河北省博野中学2025届高三下学期高考信息联考卷（三）数学试题

秘密★启用前 2025届普通高等学校招生全国统一考试 高考信息联考卷（三） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数为虚数单位，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知10个互不相同的样本数据：的平均值为，则关于新样本数据：，下列说法正确的是（ ） A. 极差变大 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 中位数变小 4. 记是正项数列的前项和，已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，点满足，记的轨迹为，则（ ） A. 是半径为的圆 B. C与圆有一个交点 C. 与直线有两个交点 D. 与圆围成图形的面积为 6. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 20 7. （ ） A. B. C. D. 8. 已知是椭圆上两点，分别为的左、右焦点，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 曲线在上有3条对称轴 10. 在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，为的中点，则（ ） A. 四边形为正方形 B. 平面 C. 四棱锥的体积为 D. 直线与平面所成的角为 11. 已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，，且，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 4为的一个周期 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点在抛物线上，且到的焦点的距离为，则实数__________. 13. 已知圆台的上底面的半径为，下底面的半径为，高为，则该圆台的外接球的体积为__________. 14. 记表示数集中最大的数，设为正数，，，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在点处的切线与轴垂直. （1）求的值； （2）求的极值； （3）求方程的实数根的个数. 16. 如图，三棱柱的侧面与侧面均为正方形，为的中点，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求二面角的正弦值. 17. 现有甲、乙两个抽题箱，两抽题箱内放有大小、质量、颜色均相同的小球，且小球内放有题目.已知甲箱内有4个A类题目的小球，5个B类题目的小球，3个C类题目的小球；乙箱内有2个A类题目的小球，2个B类题目的小球，6个C类题目的小球. （1）从甲箱、乙箱内各随机抽取一个小球，记表示抽取的小球内放有B类题目的个数，求的分布列和数学期望； （2）先从甲箱内抽取一个小球放入乙箱内，再从乙箱内抽取一个小球，求这个小球内放有A类题目的概率. 18. 已知双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线垂直，分别为的左、右顶点，且到的两条渐近线的距离之和为. （1）求双曲线的标准方程； （2）设为上异于的不同的两点，且直线的斜率与直线的斜率满足，证明：直线恒过定点. 19. 记数阵，其中，设集合，其中且.现定义变换为“对于数阵中的每一行，若其中含有或，则这一行中的每一个数都乘；若其中没有且没有，则这行数字均保持不变”表示“将经过变换得到，再将经过变换得到，以此类推，最后将经过变换得到”.记数阵中四个数的和为. （1）若先后经过和变换后得到的数阵，求的最大值； （2）若，求使取得最大值的集合的个数； （3）对于任意确定的一个数阵所有可能取值的和记为，当时，证明：且. 秘密★启用前 2025届普通高等学校招生全国统一考试 高考信息联考卷（三） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】4 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2）的极大值，的极小值 （3）有1个实数根 【16题答案】 【答案】（1） 证明：因为侧面与侧面均为正方形， 所以，， 又平面ABC，所以平面； （2） 证明：因为，所以平面， 由平面得，， 因为，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以. 因为平面平面， 所以， 因为平面，所以平面. 又平面，故平面平面； （3） 【17题答案】 【答案】（1） 0 1 2 . （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 证明：由（1）可知，， ①当直线的斜率存在时，设方程为，， 由，整理得， 则， 得， 由得，，即， 由，则， 所以， 则 即， 所以， 整理得， 所以， 解得或， 若时，直线的方程为， 即，则直线过定点，不合题意，舍去； 若时，直线的方程为，即，则直线过定点. 当直线过定点， ②当斜率不存在时，， 得，故直线，满足题意. 综上可知，直线恒过定点. 【19题答案】 【答案】（1） （2）集合的个数为11. （3） 证明：若，在的所有非空子集中，含有且不含的子 集共有个，经过变换后第一行均变为 含有且不含的子集共有个，经过变换后第一行均变为一； 同时含有和的子集共有个，经过变换后第一行仍为； 不含有且不含的子集共有个，经过变换后第一行仍为 所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为. 若，在的所有非空子集中， 含有的子集共有个，经过变换后第一行均变为； 不含有的子集共有个，经过变换 后第一行仍为； 所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为， 同理，经过变换后所有的第二行的所有数的和为， 所以的所有可能取值的和为. 又，， 则当时取得最大值， 当一时，， 根据12的分解情况可知，， 所以，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $