3.2.2第1课时双曲线的简单几何性质练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 1.双曲线C:-=1的虚轴长为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B.2 C.3 D.6 2.双曲线2x2-y2=8的离心率为 (　 ) A. B. C.2 D.3 3.[2024·福建福州高二期末] 已知某双曲线的一条渐近线的方程为y=x,实轴长为4,则该双曲线的方程为 (　 ) A.-=1 B.-=1 C.-=1或-=1 D.-=1或-=1 4.[2024·四川遂宁射洪中学高二月考] 若双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为 (　 ) A.x±y=0 B.x±y=0 C.x±y=0 D.x±y=0 5.(多选题)[2024·浙师大附中高二期中] 已知双曲线的方程为-=1,下列说法正确的是(　 ) A.双曲线的实轴长为6 B.双曲线的焦距为2 C.双曲线的渐近线方程为3x±2y=0 D.双曲线的离心率为 6.[2024·成都石室中学高二期中] 已知点A(2,2)在双曲线C上,双曲线C的渐近线方程为y=±x,则C的标准方程是　　　　.  7.直线x+y=0是双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线,且双曲线的一个顶点和一个焦点到渐近线的距离之和为,则该双曲线的虚轴长为　　　　.  8.已知双曲线C:x2-=1,写出一个与双曲线C的渐近线相同但离心率不同的双曲线的方程. 9.已知F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若直线AB的斜率为3,则C的渐近线方程为 (　 ) A.y=±x B.y=±x C.y=±2x D.y=±x 10.[2024·浙江浙东北联盟高二期中] 过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)作其渐近线的垂线,垂足为点T,交C的左支于点P,若=2,则C的离心率为 (　 ) A. B. C.3 D.5 11.(多选题)定义:以双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线.以下关于共轭双曲线的结论正确的是 (　 ) A.与双曲线-=1(a>0,b>0)共轭的双曲线的方程是-=1(a>0,b>0) B.互为共轭双曲线的两个双曲线渐近线相同 C.若互为共轭双曲线的两个双曲线的离心率为e1,e2,则e1e2≥2 D.互为共轭双曲线的两个双曲线的4个焦点在同一个圆上 12.(多选题)[2024·深圳盐田高级中学高二期中] 已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,则下列说法正确的是 (　 ) A.若双曲线C上一点P满足|PF1|=2|PF2|,则△PF1F2的周长为28 B.双曲线C的渐近线方程为3x±4y=0 C.若从双曲线C的左、右支上各任取一点,则这两点的最短距离为6 D.双曲线C的离心率与椭圆+=1的离心率互为倒数 13.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,O为坐标原点,若双曲线的左支上存在一点P,使得FP的中点M满足|OM|=c,则该双曲线的离心率e的取值范围是　　　　.  14.[2024·广东东莞高二期中] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,且点M(2,1)在C上. (1)求双曲线C的方程; (2)若点F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,且双曲线C上一点P满足PF1⊥PF2,求△PF1F2的面积. 15.陕西历史博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯(如图①),杯身曲线内收,玲珑娇美,巧夺天工,是唐代金银细作中的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右支与y轴及直线y=4,y=-2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体,如图②,若该金杯主体部分的上口外直径为,下底座外直径为,且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍. (1)求杯身最细之处的周长(杯的厚度忽略不计); (2)求双曲线C的离心率与渐近线方程. 1 ② 16.已知点P在双曲线C:x2-=1(b>0)的右支上,直线OP(O为坐标原点)交C于点Q(异于P),点F为C的左焦点,若|PF|=4,∠PFQ为锐角,则b的取值范围为 (　 ) A.(0,2) B.(,3) C.(2,2) D.(2,+∞) 17.[2024·福建晋江一中高二期中] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)焦距为10,左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上且AF2⊥x轴,△AF1F2的面积为,点P为双曲线右支上的任意一点,则-的取值范围是　　　　.  18.[2024·哈尔滨香坊区高二期末] 已知双曲线C的实轴长为4,且双曲线C与双曲线-=1有公共的焦点. (1)求双曲线C的方程; (2)已知M(5,0),P是双曲线C上的任意一点,求|PM|的最小值. 3.2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 1.D　[解析] 由双曲线C的方程-=1,得b2=9,所以b=3,所以双曲线C的虚轴长为2b=6.故选D. 2.B　[解析] 双曲线2x2-y2=8的标准方程为-=1,则a==2,所以c==2,所以其离心率为=.故选B. 3.C　[解析] 因为实轴长为2a=4,所以a=2.若该双曲线的焦点在x轴上,则=,得b=2,则该双曲线的方程为-=1;若该双曲线的焦点在y轴上,则=,得b=,则该双曲线的方程为-=1.故选C. 4.A　[解析] 由题意可知e=2,则===,所以该双曲线的渐近线方程为y=±x,即x±y=0.故选A. 5.BC　[解析] 因为双曲线的方程为-=1,则a=2,b=3,所以c==.双曲线的实轴长为2a=4,故A错误;双曲线的焦距为2c=2,故B正确;双曲线的渐近线方程为y=±x,即3x±2y=0,故C正确;双曲线的离心率e==,故D错误.故选BC. 6.-=1　[解析] 因为双曲线C的渐近线方程为y=±x,所以可设双曲线C的方程为4y2-x2=λ(λ≠0),因为点A(2,2)在双曲线C上,所以4×4-8=λ,即λ=8,所以C的标准方程是-=1. 7.2　[解析] 由双曲线的渐近线方程知=,∴b=a,c==2a,则顶点到渐近线的距离d1== ,焦点到渐近线的距离d2==,则+=,所以a=1,c=2,b=,故该双曲线的虚轴长为2. 8.解:与双曲线C的渐近线相同的双曲线的方程可设为x2-=λ(λ∈R),当λ=-1时,得到双曲线的方程为-x2=1,显然该双曲线与双曲线C的渐近线相同但离心率不同. 9.A　[解析] 由题可知F(c,0),A(a,0),将x=c代入-=1(a>0,b>0),得y=±,又直线AB的斜率为3,所以B,所以=3,可得=3,解得c=2a或c=a(舍去),即a2+b2=4a2,所以=,则C的渐近线方程为y=±x.故选A. 10.B　[解析] 设双曲线C的左焦点为F1,则F1(-c,0),连接PF1,不妨设点T在直线y=x上,则|FT|==b,因为=2,所以点T为PF的中点,且||=2||=2b,|OT|===a,又因为原点O为FF1的中点,所以OT为△FPF1的中位线,所以|PF1|=2|OT|=2a,由双曲线的定义得|PF|-|PF1|=2b-2a=2a,得b=2a,则=2,所以C的离心率e=====.故选B. 11.BCD　[解析] 与双曲线-=1(a>0,b>0)共轭的双曲线的方程是-=1(a>0,b>0),故A不正确;互为共轭双曲线的两个双曲线渐近线相同,故B正确;易知e1e2=·=≥2,当且仅当a=b时取等号,故C正确;互为共轭双曲线的两个双曲线的4个焦点在同一个圆上,故D正确.故选BCD. 12.AC　[解析] 由题知F1(-5,0),F2(5,0).对于选项A,|PF1|=2|PF2|,||PF1|-|PF2||=2a=6,故|PF1|=12,|PF2|=6,则△PF1F2的周长为12+6+10=28,故A正确;对于选项B,双曲线C:-=1的渐近线方程为4x±3y=0,故B错误;对于选项C,从双曲线C的左、右支上各任取一点,则这两点的最短距离为2a=6,故C正确;对于选项D,双曲线的离心率e1=,椭圆+=1的离心率e2=,故D错误.故选AC. 13.　[解析] 设双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,连接PF1,因为O,M分别为F1F,PF的中点,所以|PF1|=2|OM|=c.又双曲线上的点到焦点的最小距离为c-a,所以c≥c-a>0,解得1<≤,故该双曲线的离心率e的取值范围是. 14.解:(1)由题知∴ ∴双曲线C的方程为-=1. (2)∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=24,根据双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a=2, ∴解得|PF1|·|PF2|=6, ∴=|PF1|·|PF2|=×6=3. 15.解:(1)由题意得M,N,∵双曲线C过点M,N,∴可得 由双曲线的定义可知,杯身最细之处的半径r=a=, 故杯身最细之处的周长为2πr=2π. (2)由(1)可得,双曲线的标准方程为-=1, 则双曲线C的半焦距c==2,故双曲线C的离心率e===2,渐近线方程为y=±x. 16.C　[解析] ∵双曲线C的方程为x2-=1(b>0),∴a=1,设双曲线的右焦点为F',连接PF',QF',根据对称性可知,四边形PFQF'为平行四边形,又∠PFQ为锐角,∴∠FPF'为钝角.在△FPF'中,∵|PF|=4,∴|PF'|=|PF|-2a=4-2=2,又|FF'|=2c,∴cos∠FPF'==,又∠FPF'为钝角,∴5-c2<0,且|PF|>a+c,∴∴5<c2<9,即5<a2+b2<9,∴5<b2+1<9,∴4<b2<8,又b>0,∴2<b<2,∴b的取值范围为(2,2).故选C. 17.　[解析] 由题意可知F1(-5,0),F2(5,0),A,又=×10×|yA|=,所以=.由得所以双曲线的方程为-=1.设P(x0,y0),则-=1(x0≥4),则|PF1|==x0+4,同理|PF2|=x0-4,又因为x0≥4,所以-==∈. 18.解:(1)由双曲线-=1的焦点在x轴上,焦点坐标分别为(,0),(-,0),可设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),由题知2a=4,所以a=2,又因为双曲线C与双曲线-=1有公共的焦点,所以4+b2=5,解得b=1,所以双曲线C的方程为-y2=1. (2)由-y2=1,可得x≤-2或x≥2,设P(x0,y0),因为P是双曲线C上的任意一点,所以-=1,则x0≤-2或x0≥2,|PM|====, 因为x0≤-2或x0≥2, 所以当x0=4时,|PM|取得最小值2. 学科网（北京）股份有限公司 $$