陕西省汉中市西乡县第一中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题

2025届高三下学期3月月考数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在复平面内，复数所对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4.已知单位向量满足（ ） A.8 B.3 C. D. 5. 等比数列前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 6.已知( ) A. B. C. D. 7. 已知面积为正三角形的所有顶点都在球的球面上，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上奇函数，对于任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．数据的第70百分位数是23. B．随机变量X服从二项分布，则 C．一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60. D．随机变量X服从正态分布，且，则 10. 已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数的最大值为 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数上单调递增 11. 双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”．如图，曲线是双纽线，关于曲线，下列说法正确的是（ ） A. B. 上存在点，使得 C. 上的点的纵坐标的最大值为 D. 若直线与恰有一个公共点，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________． 13. 现从5名男生、4名女生中分别选3名男生和2名女生参加社区服务，若其中男生甲和女生乙至少有一人被选派的情况下，这两人均被选派的概率为________． 14．，是双曲线的左，右焦点，点为双曲线右支上一点，，的角平分线交轴于点，若，则双曲线的离心率为 _______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(13分） 在中，角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 16. （15分）在数列中，，． （1）若，证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 17.（15分） 为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的1班~8班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）： （1）若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率； （2）若从高一2班抽测的10人中随机抽取1人，从高一5班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列和数学期望； （3）假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀.写出方差，，，的大小关系. 18．（17分）已知函数，． (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)设，若，求实数的取值范围． 19. （17分）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直． （i）若，求异面直线和所成角的余弦值； （ii）是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三3月考练试题答案 一，二题答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B D D D C B B BC ACD ACD 三:填空题 12. 8 13. 14． 11. 双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”．如图，曲线是双纽线，关于曲线，下列说法正确的是（ ） A. B. 上存在点，使得 C. 上的点的纵坐标的最大值为 D. 若直线与恰有一个公共点，则的取值范围为 【详解】由图可知，点在C上，所以，A正确， 设曲线C上任一点，由，可得，， 即C上不存在点，使得，B不正确, 方程可化为， 令，得， 由可得， 即，等号成立，故C上的点的纵坐标的最大值为，C正确． 直线与C均经过原点，则直线与C除原点外无其他公共点． 联立方程组整理得． 当时，方程仅有一解，满足题意， 当时，当时，方程恒成立，即恒有一解，当时，方程化简得， 即当时，方程无解，满足题意，综上，，解得或，D正确． 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用方程的思想分析几何问题，C选项转化为关于的方程有正根，D转化为方程只有1个根. 12. 若，则__________． 【答案】8 【详解】依题意，，所以． 13. (0.375) 14． 【详解】不妨设，，，， 则由题，且，故， 有，得， 故．故，所以， 故，所以， 故即，双曲线的离心率． 故答案为：. 四：解答题答案 15. 在中，内角，，所对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 小问1详解】 因为，所以， 由正弦定理得，即， 所以， 因为，所以.（6分） 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 即，所以， 又，即， 所以的周长为.（13分） 16. 在数列中，，． （1）若，证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【小问1详解】 ，又， ∴是以为首项，为公差的等差数列， ∴．（7分） 【小问2详解】 由（1）知，则， ∴，（9分） ①， ②， ①②，得（12分） ， ∴．（15分） 16. 为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的1班~8班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）： （1）若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率； （2）若从高一2班抽测的10人中随机抽取1人，从高一5班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列和数学期望； （3）假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀.写出方差，，，的大小关系. 【小问1详解】 依题意，从高一年级的（1）班~（8）班抽测共80人， 其中身体素质监测成绩达到优秀的共有， 所以估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率为.（4分） 【小问2详解】 依题意，高一2班抽测的10人中优秀的有6人，高一5班抽测的10人中优秀的有7人， 则可取， ，，， 则的分布列为： 0 1 2 的数学期望.（10分） 【小问3详解】 依题意，，服从两点分布，则， ，服从两点分布，则， ，服从两点分布，则， ，服从两点分布，则， 所以.（15分） 18．(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可求解； （3）由参变分离得恒成立，设，，则，令，利用导数证明即可求出. 【详解】（1）， 当时，，， 当时，，， 函数在处的切线方程为；（5分） （2）函数的定义域为，， ①当时，恒成立，令，则， 若，则；若，则， 所以在单调递减，在单调递增； ②当时，， 令，则或， （ⅰ）当，即时， 若，则或；若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）当，即时，恒成立，在上递增； （ⅲ）当，即时， 若，则或，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减；（12分） （3）的定义域为， 由得恒成立，即恒成立， 设，，则， 因为，同构可得， 令，因为，所以， 下面证． 设，，于是， 令，则，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，当且仅当时等号成立． 所以，即， 所以， 所以，即， 所以实数的取值范围为.（17分） 18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直． （i）若，求异面直线和所成角的余弦值； （ii）是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i），（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意，的周长为8，离心率为，结合椭圆标准方程的定义，求解即可； （2）（i）由（1）知，点，倾斜角为，故直线设为：，与联立求得，，再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，再求异面直线和所成角的余弦值即可； （ii）根据题意得到，设折叠前，，直线与椭圆联立方程，结合韦达定理，在折叠后的图形中建立空间直角坐标系（原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为轴），设，在新图形中对应点记为，，，，得到，结合，得到的值． 【小问1详解】 因为的周长为8，离心率为， 所以，即，，， 所以椭圆的标准方程为：；（4分） 【小问2详解】 由（1）知，点，倾斜角为， 故直线设为：， （i）联立直线与椭圆的方程：，可得， 可得或， 可得，（因为点在轴上方）以及， 再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系 则，，， ，， ，，， 所以 记异面直线和所成角为，则；（12分） （ii）由，，， 设折叠前，， 直线与椭圆联立方程，得， 即，， 在折叠后的图形中建立空间直角坐标系（原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为轴）， 设，在新图形中对应点记为，，， ，， ①， 即 所以②， 由①②可得： 即 则 即，， 解得， 因为，所以．（17分） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$