精品解析： 天津市南开中学滨海生态城学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

2023-2024学年天津市南开中学滨海生态城学校八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算错误的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A. B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 1，2，3 4. 估计的值在( ) A. 和之间 B. 和之间 C. 和6之间 D. 6和之间 5. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 6. 已知点，在一次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数的图像不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 直角三角形的两条直角边的长分别为6和8，斜边上的高是（ ） A. 10 B. 2.4 C. 4.8 D. 1.2 10. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，则 B. 它的图像经过第一、二、三象限 C. 它的图像必经过点 D. y的值随x值的增大而增大 11. 如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD四条边上的点，并且，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. 四边形EFPQ是正方形 D. 四边形PQEF面积是四边形ABCD面积的一半 12. 如图，菱形周长为16，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 化简 结果为_______． 14. 将直线向上平移3个单位长度，则平移后的直线解析式为______． 15. 如图，菱形的对角线，交于点O，E为的中点，若，则菱形的周长为_________． 16. 一次函数（k是常数，且），y随x的增大而减小，则k的值可以是______．（写出一个值即可） 17. 如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为_______． 18. 在如图所示的6×6网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均落在格点上． （1）的长等于__________________； （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段，使平分线段，点D是格点______．（简要说明画法，不要求证明） 三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 如图，有一块四边形绿地，已知，，，，的面积是． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求这块四边形绿地的面积． 21. 如图，菱形ABCD边长为2，，对角线AC，BD相交于点O，又有E，F分别为AB，AD的中点，连接EF． （1）求对角线AC的长； （2）求EF的长． 22. 已知一次函数的图象与正比例函数的图像交于点． （1）求，的解析式； （2）直接在图中画出两个函数图像； （3）当时，______．（填“>”，“=”或“<”） 23. 已知：如图，四边形是矩形，分别延长，到点E，F，使，，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，如果四边形的周长是，，求的长． 24. 在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知小明家、体育馆、图书馆依次在同一条直线上．小明从家出发，匀速骑行0.5h到达体育馆：在体育馆停留一段时间后，匀速骑行0.4h到达图书馆：在图书馆停留一段时间后，匀速骑行返回家中．给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离与离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 小明离开家的时间/h 0.1 02 1.8 2.2 2.8 小明离开家的距离/km 1.2 6 （2）填空： ①体育馆与图书馆之间的距离为 ； ②小明从体育馆到图书馆的骑行速度为 ； ③当小明离开家的距离为时，他离开家的时间为 h． （3）当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 25. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点，，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D． （1）线段的长度___________； （2）求直线所对应的函数表达式； （3）若点Q在线段上，在线段上是否存在点P，使以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年天津市南开中学滨海生态城学校八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、不是最简二次根式，不符合题意； C、不是最简二次根式，不符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 2. 下列计算错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，不是同类二次根式，无法合并，计算错误. 故选：B. 3. 下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A. B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 1，2，3 【答案】A 【解析】 【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 本题考查勾股定理的逆定理的应用．掌握两小边的平方和等于最长边的平方是解答本题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴能组成直角三角形； B、∵， ∴不能组成直角三角形； C、∵， ∴不能组成直角三角形； D、∵， ∴不能组成三角形． 故选：A． 4. 估计的值在( ) A. 和之间 B. 和之间 C. 和6之间 D. 6和之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的估算得出的大小范围，即可得答案. 【详解】∵16<23<25， ∴，即4<<5， 故选B. 【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，根据题意估算出的大小范围是解答此题的关键． 5. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D． 6. 已知点，在一次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用一次函数的性质可得出随的增大而增大，结合可得出． 【详解】解：， 随的增大而增大， 又点，在一次函数的图象上，且， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 7. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形知识，解题的关键是掌握矩形的性质，根据题意，则，点是对角线的交点，则，根据等边对等角，则，，再根据，等边三角形的三线合一，即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 故选：C． 8. 一次函数的图像不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 根据一次函数的性质即可判断． 【详解】解：在一次函数中，， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限， ∴图象一定不经过第二象限． 故选：B． 9. 直角三角形的两条直角边的长分别为6和8，斜边上的高是（ ） A. 10 B. 2.4 C. 4.8 D. 1.2 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出斜边，然后利用三角形的面积求高即可． 【详解】∵直角三角形的两条直角边的长分别为6和8， ∴斜边为． 设斜边上的高为h， ， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查勾股定理及直角三角形的面积，利用勾股定理求出斜边是解题的关键． 10. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，则 B. 它的图像经过第一、二、三象限 C. 它的图像必经过点 D. y的值随x值的增大而增大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键，根据一次函数的图像与性质逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴y随x的增大而减小， ∵当时，， ∴当时，，正确，符合题意； B、∵，， ∴它的图像经过第一、二、四象限，原说法错误，不符合题意； C、∵当时，， ∴它的图像必经过点，原说法错误，不符合题意； D、∵， ∴y随x的增大而减小，原说法错误，不符合题意． 故选：A． 11. 如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. 四边形EFPQ是正方形 D. 四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质可证得△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，再根据全等三角形的性质和勾股定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠A=∠B=90°， 又CQ=BP ， ∴AB-BP=BC-CQ，即AP=BQ 在△AFP和△BPQ中， ∵AF=BP，∠A=∠B，AP=BQ， ∴△AFP≌△BPQ（SAS）， ∴∠AFP=∠BPQ，故A选项正确，不符合题意； 同理：△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF， ∴PF=PQ=QE=EF， ∴四边形EFPQ为菱形， ∴EF∥QP，故B选项正确，不符合题意； ∵△AFP≌△BPQ ∴∠BPQ=∠AFP， 又∵∠A=90°， ∴∠AFP+∠APF=90°， ∴∠AFP+∠APF=∠BPQ+∠APF=90°， ∴∠FPQ=180°-（∠BPQ+∠APF）=90°， ∴四边形EFPQ是正方形，故C选项正确，不符合题意； 设正方形ABCD的边长为a，BP=AF=x，则， ∴AB=a， ∴， ∴正方形EFPQ的面积为， 而x的值无法确定， ∴四边形PQEF的面积不一定是四边形ABCD面积的一半，故D选项错误，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 12. 如图，菱形周长为16，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接交于点O，连接，，由四边形是菱形，可得，，可知垂直平分，所以，可得，即，由四边形是菱形，，可得，由四边形是菱形且周长为16，可得，结合，可得是等边三角形，由E是的中点，可得，所以，由，可得，在中，由直角三角形的性质，可求出，由勾股定理可得，可求出，所以的最小值为． 本题考查了轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟记性质与最短路线的确定方法找出点P的位置是解题的关键． 【详解】解：如图，连接交于点O，连接，， ∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵菱形周长为16， ∴， ∴是等边三角形， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴．的最小值为． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 化简 的结果为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为： ． 14. 将直线向上平移3个单位长度，则平移后的直线解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移规则，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：将直线向上平移3个单位长度，则平移后的直线解析式为； 故答案为：． 15. 如图，菱形的对角线，交于点O，E为的中点，若，则菱形的周长为_________． 【答案】24 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相平分可得，然后求出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，然后根据菱形的周长公式计算即可得解． 本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴是中位线， ∴， ∴菱形的周长； 故答案为：24． 16. 一次函数（k是常数，且），y随x的增大而减小，则k的值可以是______．（写出一个值即可） 【答案】（答案不唯一，负值均可） 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，y随x的增大而减小，取值即可． 【详解】解：∵一次函数（k是常数，且），y随x的增大而减小， ∴， 不妨设， 故答案为：（答案不唯一，负值均可） 【点睛】本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足． 17. 如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，再利用全等角之间关系得出，再由H为BF的中点，又为直角三角形，得出，为直角三角形再利用勾股定理得出BF即可求解． 【详解】解：， ． ∴∠BEA=∠AFD， 又∵∠AFD＋∠EAG=90°， ∴∠BEA＋∠EAG=90°， ∴∠BGF=90°． H为BF的中点，又为直角三角形， ． ∵DF=2， ∴CF=5-2=3． ∵为直角三角形． ∴BF===． ． 【点睛】本题主要考查全等三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半知识点，解题的关键是熟悉掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半． 18. 在如图所示的6×6网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均落在格点上． （1）的长等于__________________； （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段，使平分线段，点D是格点______．（简要说明画法，不要求证明） 【答案】（1） （2）见详解 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）构造平行四边形即可． 本题考查作图-复杂作图，勾股定理，平行四边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 如图，线段即为所求． 三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握二次根式的加减，二次根式的乘法运算，进行计算，即可． （1）根据二次根式的加减运算，进行计算，即可； （2）根据，进行计算，即可； （3）根据二次根式的乘法，进行计算，即可； （4）根据，二次根式的乘法，二次根式的加减运算，进行计算，即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 20. 如图，有一块四边形绿地，已知，，，，的面积是． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求这块四边形绿地的面积． 【答案】（1）直角三角形，见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用的面积求出的长，分别求出，，利用勾股定理逆定理判断出三角形为直角三角形； （2）分别求出和的面积，两个三角形的面积的和即为四边形绿地的面积． 【小问1详解】 解：是直角三角形． 理由：的面积是，，， ， ， ，， ， 是直角三角形； 【小问2详解】 ， 四边形的面积是． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，三角形面积的求解，熟练掌握勾股定理逆定理是解答本题的关键． 21. 如图，菱形ABCD的边长为2，，对角线AC，BD相交于点O，又有E，F分别为AB，AD的中点，连接EF． （1）求对角线AC的长； （2）求EF的长． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得AB=BC=2，∠BCA=∠DCA=∠BCD=60°，再证△ABC是等边三角形即可； （2）由三角形中位线定理得EF=BD，再由菱形的性质得AO=AC=1，BO=DO，AC⊥BD，最后运用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解： 四边形ABCD是菱形， ∴，， ∵， ∴ 是等边三角形 ∴． 【小问2详解】 解：∵E，F分别为AB，AD的中点， ∴是中位线， ∴． 又∵四边形ABCD是菱形， ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， ∴（负舍） ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． 22. 已知一次函数的图象与正比例函数的图像交于点． （1）求，的解析式； （2）直接在图中画出两个函数图像； （3）当时，______．（填“>”，“=”或“<”） 【答案】（1） ， （2）见解析 （3）> 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据描点法画出图像即可． 【小问1详解】 解：由已知，把点分别代入，中， 得： ， ． 解得：， ， 所以 ，的解析式为： ， ． 【小问2详解】 解：画出两个函数图象，如图所示， 【小问3详解】 解：由（2）可知，当时， > ， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，画一次函数的图形以及一次函数图像与不等式的关系，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 23. 已知：如图，四边形是矩形，分别延长，到点E，F，使，，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，如果四边形的周长是，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对角线互相平分的得到平行四边形，再附加对角线垂直的四边形是菱形进行证明； （2）根据勾股定理得到，再根据矩形的性质得到长，解勾股定理求出线段长． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是是平行四边形， 又∵是矩形， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形的周长是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是矩形， ∴，°， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握矩形的性质和勾股定理． 24. 在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知小明家、体育馆、图书馆依次在同一条直线上．小明从家出发，匀速骑行0.5h到达体育馆：在体育馆停留一段时间后，匀速骑行0.4h到达图书馆：在图书馆停留一段时间后，匀速骑行返回家中．给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离与离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 小明离开家的时间/h 0.1 0.2 1.8 2.2 2.8 小明离开家的距离/km 1.2 6 （2）填空： ①体育馆与图书馆之间的距离为 ； ②小明从体育馆到图书馆的骑行速度为 ； ③当小明离开家的距离为时，他离开家的时间为 h． （3）当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 【答案】（1）2.4；7；8； （2）①2；②5；③或； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据题意和函数图象，可以将表格补充完整； （2）①根据函数图象中的数据，可以得到体育馆与图书馆之间的距离； ②根据速度=路程÷时间计算即可； ③根据图象可知，分两种情况，然后计算即可； （3）根据（2）中的结果和函数图象中的数据，可以写出当时，y关于x的函数解析式． 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【小问1详解】 由图象可得， 在前的速度为， 故当时，小明离开家的距离为， 当时，速度为， ∴当时，， 在时，距离不变，都是8，故当时，小明离开家的距离为8， 故答案为：2.4；7；8； 【小问2详解】 由图象可得， ①体育馆与图书馆之间的距离为2， 故答案为：2； ②小明从体育馆到图书馆的骑行速度为：， 故答案为：5； ③当时， 小明离家的距离为5时，小明离开家的时间为， 当时， 小明离家的距离为5时，小明离开家的时间为， 故答案为：或； 【小问3详解】 由图象可得， ①当时，设， ， 解得， ∴； ②当时，， ③当时，设， 则， 解得， ∴； 由上可得，当时，y关于x的函数解析式是． 25. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点，，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D． （1）线段的长度___________； （2）求直线所对应的函数表达式； （3）若点Q在线段上，在线段上是否存在点P，使以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）10 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得出点的坐标及，的长，利用勾股定理可求出的长； （2）设，则，，，利用勾股定理可求出值，进而可得出点的坐标，再根据点，的坐标，利用待定系数法可求出直线所对应的函数表达式； （3）过点作轴于点，由，可得出，利用面积法可求出的长，在中，利用勾股定理可求出的长，进而可得出点的坐标，根据，求出直线的解析式，根据点的纵坐标求出其横坐标即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：点的坐标为，，， ， 故答案为：10． 【小问2详解】 设，则，， ，即， ， ， 点的坐标为． 设直线所对应的函数表达式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线所对应的函数表达式为； 【小问3详解】 存在，理由：过点作轴于点，如图所示． ， ， ， 在中，， 点的坐标为， 由，设直线的解析式为：， 把代入得：，解得：， 直线的解析式为：， 令，则，解得：， 存在，点的坐标为：． 【点睛】本题考查了矩形性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用性质解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$