解三角形问题中的最值及取值范围问题的解法探究讲义-2025届高三数学一轮复习

解三角形问题中的最值及取值范围问题的解法探究

                                                                                  昆明市明德民族中学   李玉金

 

解三角形问题中最值与取值范围是高考及竞赛重点知识点之一，这类问题出现的形式灵活，对学生能力要求较高，学生往往不易掌握。对于此类问题，仅仅应用正弦定理以及余弦定理是不足以解决，需要与其他知识相结合才能解决。本文就对解三角形问题中的最值及取值范围问题的解法进行探究，不足之处，请批评指正

一、构造三角函数，把所求的表达式化成一角一函数的形式

例1.2019年全国三卷理科高考试题18题：

△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知.

    （1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.

解：（1）略；（2）由题设及（1）知△ABC的面积．

由正弦定理得．

由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°，由（1）知A+C=120°，所以30°<C<90°，故，从而．

因此，△ABC面积的取值范围是．

评析：本方法从最后统一以角为变量，由角的范围推出边的范围，最后得出面积的取值范围。难点在于如何把表示出来。

变式1：

在中，角的对边分别为，且成等差数列。

（1）（2），求。

解：（1）由题意知，

由正弦定理得

所以，于是

（2）由正弦定理，所以

又由得，所以

。

评析：对三角函数式的处理常常借助于同角三角函数间关系、诱导公式以及恒等变换式等实施变形，达到化简、求值域的目的。

二．利用极限思想

例2．同例1.

纵观例1的解法，由于变量变化复杂，学生很难得出正确结果，其实，我们从极限的观点出发，大道至简，还是很容易得出答案的。由于△ABC为锐角三角形，故

0°<A<90°，0°<C<90°，由（1）知A+C=120°，所以30°<C<90°，假如当C=90°时，A =30°，  

。当然此种方法可以先预估三角形的面积的取值范围，为我们的解题提供思路和方向，不失为一种较好的方法。

解：

,; ，，，；；所以，.