精品解析： 福建省泉州市南安市2024—2025学年九年级上学期期末质量检测数学试卷

南安市2024－2025学年度上学期初中期末教学质量监测 初三年数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上． 学校 　　　 班级 　　　 姓名 　　 考号 　　 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 要使二次根式有意义，的值可以是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 4. 利用位似可以设计有立体感的美术字．如图，以点为位似中心，设计“”中字母“”美术字的一种方法．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 将方程化成的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 蓝球 D. 红球 7. 如图，小红同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 8. 中华优秀传统文化中蕴含着鼓励劳动、赞美劳动、劳动创造美好生活的内容，比如《大戴礼·武王践祚·履屡铭》中记载：“慎之劳，则富．”《国语·鲁语》中记载：“夫民劳则思，思则善心生．”如图是某学校的学生劳动实践基地，有三条同宽的矩形道路，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为32米，宽为20米，种植面积为570平方米，设劳动实践基地的道路宽为米，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 在学习完锐角三角函数后，小明想利用简单的工具求一电线杆的高度．如图，是电线杆的一根拉线，用皮尺量得米，用测角仪测得，则电线杆的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 已知m是关于x的一元二次方程的一个实数根，且满足，则a的值为（ ）． A. B. 1 C. 或 D. 或1 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若，则的值为_____． 12. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是____事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 13. 如图，已知传送带与地面所成坡面的坡度为，它把物体从地面点送到离地面2米高的点处，则物体从到所经过的路程为_____米． 14. 如果最简二次根式和是可以合并的二次根式，则___________． 15. 如图，在中，点是的重心，连结并延长交于点，过点作交于点，如果，那么_____． 16. 如图，正方形中，点、分别是、的中点，与交于点，连结并延长交于点，与对角线交于点，现有以下列结论：①；②；③；④；其中正确结论有_____．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 有四张形状和大小完全一样的卡片，正面分别写有“决”“胜”“中”“考”，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法，求抽到的两张卡片中有“胜”卡片的概率． 20. 如图，在平面直角坐标系中，△顶点均在网格格点上． （1）以点为位似中心，在第一象限画出的位似图形，使与的相似比为； （2）在（1）的条件下，若每个小正方形的面积为1，请直接写出的面积． 21. 2024年11月16日英都坂头芦柑园正式开园采摘，其果肉细腻柔软，汁水丰盈，酸甜度恰到好处，既不过于甜腻，又非酸涩，具有独特的清新香气，令人回味无穷，深受消费者喜爱．某水果店以批发价40元箱的价格购进一批‌坂头芦柑，若以50元箱的零售价出售，则每天可售出20箱．为了更好地促进乡村经济发展，该水果店决定降价销售．经调查发现，每箱的售价每降价1元，每天可多售出5箱．该水果店想要每天通过销售坂头芦柑盈利240元，又要尽可能让顾客得到实惠，应将每箱芦柑的售价降低多少元？ 22. 已知关于的一元二次方程满足． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若一元二次方程的两实根为，，且，请确定之间的数量关系． 23. 为了保护视力，某人购买了可升降夹书阅读架（图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图2），测得面板长为cm，底座高为cm，，支架为cm，为cm．（厚度忽略不计） （1）求支点离桌面的高度（结果保留根号）； （2）通过查阅资料，当面板绕点转动时，面板与桌面的夹角满足时，能保护视力．当从变化到的过程中，问面板上端离桌面的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少cm？请说明理由．（结果精确到cm，参考数据：，，，， 24. 综合与实践 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展了“折叠矩形纸片做角”的探究活动，先将矩形纸片按如图1上下对折，折痕为；点是线段上的点，再把△按如图2沿折叠，使点刚好落在上的点，连结，，则．活动后，老师鼓励同学们能通过折叠手中的矩形纸片发现并提出新的问题． 【活动猜想】 （1）小华受此问题启发，将准备一张纸（生活常识：一张纸宽为，长为），按如图3的方式把沿折叠得到，经观察后得到猜想：当，，三点共线时，是一个特殊的三角形．请直接写出： 是__________三角形； 【探究迁移】 （2）如图4，小明和小亮把沿折叠，使点对应点落在上，连结，发现并提出新的探究点： ①若，，求的长； ②当三点共线时，求的值． 25. 如图，在中，，，，是线段上点，且满足，将线段绕点逆时针旋转得到，连结． （1）求证：； （2）连结交线段于点，求的值； （3）点在直线上，当时，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南安市2024－2025学年度上学期初中期末教学质量监测 初三年数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上． 学校 　　　 班级 　　　 姓名 　　 考号 　　 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，分母有理化．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、是二次根式，故本选项符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程，据此解答即可． 【详解】解：A. ，是一元一次方程，故本选项不合题意 B. 是二元二次方程，故本选项不合题意； C. 是一元二次方程，故本选项符合题意； D. 当时，不含二次项，故本选项不合题意； 故选：C． 3. 要使二次根式有意义，的值可以是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴的值可以是4． 故选D． 4. 利用位似可以设计有立体感的美术字．如图，以点为位似中心，设计“”中字母“”美术字的一种方法．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查位似图形，根据位似图形一定是相似图形，利用相似图形的性质，进行求解即可． 【详解】解：由题意，前后两个位置的图形相似， ∴； 故选：A． 5. 将方程化成的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法的运用，掌握配方法的计算方法是解题的关键．根据配方法，先移项，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，由此即可得到的值． 【详解】解：， 移项得，， 等式两边同时加上得，， ∴， ∴， 故选：B ． 6. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 蓝球 D. 红球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，由频率估计概率，先求出四种颜色球出现的概率，再根据频率估计出概率，即可求解． 【详解】解：由题意可知，袋子中的球共有：（个）， ∴黑球出现的概率为：， 白球出现的概率为：， 蓝球出现的概率为：， 红球出现的概率为：， ∵试验中该颜色球出现的频率稳定在0.2左右， ∴该颜色的球出现的概率为0.2， ∴该种球的颜色最有可能是蓝球， 故选：C． 7. 如图，小红同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理进行计算即可，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题关键． 【详解】解：如图，，，，， ， ， ， ， ， 故选：B． 8. 中华优秀传统文化中蕴含着鼓励劳动、赞美劳动、劳动创造美好生活的内容，比如《大戴礼·武王践祚·履屡铭》中记载：“慎之劳，则富．”《国语·鲁语》中记载：“夫民劳则思，思则善心生．”如图是某学校的学生劳动实践基地，有三条同宽的矩形道路，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为32米，宽为20米，种植面积为570平方米，设劳动实践基地的道路宽为米，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题的关键是通过平移道路，将种植区域转化为规则的矩形，从而找出种植区域长和宽与道路宽度的关系． 将三条道路平移到矩形基地的边缘，这样种植区域就变成一个新的矩形，根据新矩形的长，宽与道路宽度的关系以及种植面积列出方程． 【详解】把三条道路平移到矩形基地的边缘，此时种植区域是一个矩形， 原来矩形基地长为32米，因为有两条横向道路，道路宽为米，所以新矩形的长为米， 原来矩形基地宽为20米，因为有一条纵向道路，道路宽为米，所以新矩形的宽为米， 已知种植面积为570平方米，根据矩形面积=长宽，可列方程为， 故选：D． 9. 在学习完锐角三角函数后，小明想利用简单的工具求一电线杆的高度．如图，是电线杆的一根拉线，用皮尺量得米，用测角仪测得，则电线杆的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，将其转化为解直角三角形的问题是本题的关键．根据正切定义：即可解答． 【详解】解：， ， 米， 米； 故选：B． 10. 已知m是关于x的一元二次方程的一个实数根，且满足，则a的值为（ ）． A. B. 1 C. 或 D. 或1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意可求得，，从而可得出方程，解方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵m是关于x的一元二次方程的一个实数根， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 整理可得：， 解得：或， ∵， ∴， 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，设，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 故答案为：． 12. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是____事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 【答案】随机 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是明确必然事件，不可能事件，随机事件的定义． 必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．判断诗句描述的事件类型，依据随机事件的定义分析． 【详解】“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件． 故答案为：随机． 13. 如图，已知传送带与地面所成坡面的坡度为，它把物体从地面点送到离地面2米高的点处，则物体从到所经过的路程为_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，熟练掌握坡度的定义是解题的关键．过B作地面于C，根据坡比求出的长，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：即，米 米， ∴在中 （米）， 物体从A到B所经过的路程为米， 故答案为：． 14. 如果最简二次根式和是可以合并的二次根式，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同类二次根式，正确理解同类二次根式的定义是解题关键． 15. 如图，在中，点是的重心，连结并延长交于点，过点作交于点，如果，那么_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的重心及平行线分线段成比例，熟知三角形重心的性质及平行线分线段成比例是解题的关键． 根据三角形重心的性质得出，再结合平行线分线段成比例及的长，可求出的长，据此求出的长即可． 【详解】∵点是的重心， 又 故答案为：6． 16. 如图，正方形中，点、分别是、的中点，与交于点，连结并延长交于点，与对角线交于点，现有以下列结论：①；②；③；④；其中正确结论有_____．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】证明可判断结论①．由得到，从而．设，则，过点H作，交于点J，交于点K，证明，即可判断结论②．证明点B、N、G、E四点共圆，得到，连接，可证，根据相似三角形的对应边成比例即可判断③正确．过点B作于点I，作，交的延长线于点J，证明，进而推出四边形是正方形，根据正方形的性质即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∵，， ∵点E，N分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴．故①正确． ∵在正方形中，， ∴， ∴相似比， ∴． 设，则， 过点H作，交于点J，交于点K， ∴，， ∴，， ∴， ∴．故②错误． 由①可知， ∴在四边形中，， ∴， 根据对角互补可得点B、N、G、E四点共圆， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．故③正确． 如图，过点B作于点I，作，交的延长线于点J， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 故④正确． 综上所述，正确的结论有①③④． 故答案为：①③④ ． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，四点共圆，熟练掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，特殊角的三角函数的计算，掌握以上知识，实数的混合运算法则是解题的关键． 根据二次根式的性质化简，二次根式的除法运算法则计算，特殊角的三角函数值的计算，最后再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用配方法解一元二次方程即可．解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数，即可求解. 【详解】解： 解得：，. 19. 有四张形状和大小完全一样的卡片，正面分别写有“决”“胜”“中”“考”，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法，求抽到的两张卡片中有“胜”卡片的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得从中随机抽取两张卡片的所有等可能的结果，再找出抽到的两张卡片中有“胜”卡片的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，从中随机抽取两张卡片共有12种等可能的结果，其中，抽到的两张卡片中有“胜”卡片的结果有6种， 则抽到的两张卡片中有“胜”卡片的概率为， 答：抽到的两张卡片中有“胜”卡片的概率为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，△的顶点均在网格格点上． （1）以点为位似中心，在第一象限画出的位似图形，使与的相似比为； （2）在（1）的条件下，若每个小正方形的面积为1，请直接写出的面积． 【答案】（1）图见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—位似图形，熟练掌握位似图形的性质，是解题的关键： （1）根据为位似图形的性质，画出即可； （2）分割法求出的面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 ∵每个小正方形的面积为1， ∴每个小正方形的边长为1， ∴的面积为：． 21. 2024年11月16日英都坂头芦柑园正式开园采摘，其果肉细腻柔软，汁水丰盈，酸甜度恰到好处，既不过于甜腻，又非酸涩，具有独特的清新香气，令人回味无穷，深受消费者喜爱．某水果店以批发价40元箱的价格购进一批‌坂头芦柑，若以50元箱的零售价出售，则每天可售出20箱．为了更好地促进乡村经济发展，该水果店决定降价销售．经调查发现，每箱的售价每降价1元，每天可多售出5箱．该水果店想要每天通过销售坂头芦柑盈利240元，又要尽可能让顾客得到实惠，应将每箱芦柑的售价降低多少元？ 【答案】4元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每箱芦柑降低元，则每箱‌芦柑的销售利润为元，平均每天可售出箱，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设每箱芦柑降低元，则每箱‌芦柑销售利润为元，平均每天可售出箱，根据题意得： 整理得： 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠 ∴ 答：应将售价降低4元． 22. 已知关于的一元二次方程满足． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若一元二次方程的两实根为，，且，请确定之间的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形求值． （1）证明即可得出方程总有两个不相等的实数根； （2）根据根与系数的关系可得，，根据，可得，结合可得，解出的值即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵是关于的一元二次方程， ∴， ∴， 又， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：∵方程的两实根为，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴或， ∴之间的数量关系为或． 23. 为了保护视力，某人购买了可升降夹书阅读架（图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图2），测得面板长为cm，底座高为cm，，支架为cm，为cm．（厚度忽略不计） （1）求支点离桌面的高度（结果保留根号）； （2）通过查阅资料，当面板绕点转动时，面板与桌面的夹角满足时，能保护视力．当从变化到的过程中，问面板上端离桌面的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少cm？请说明理由．（结果精确到cm，参考数据：，，，， 【答案】（1）cm （2）增加，增加了8cm，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．作合适的辅助线构建直角三角形是解决本题的关键． （1）作于点，作于点，易得四边形为矩形，那么可得，得到，利用的三角函数值可得长，加上长即为支点离桌面的高度； （2）如图3，延长交于点，，过作于点，分别得到与所成的角为和时的值，相减即可得到面板上端离桌面的高度增加或减少了． 【小问1详解】 解：（1）如图2，作于点，作于点， ∴，， 在中，， ∴cm， ∴cm， ∴支点离桌面的高度为cm； 【小问2详解】 当面板与桌面夹角从变化到的过程中，面板上端离桌面的高度随之增加，增加了8cm，理由如下： 如图3，延长交于点，，过作于点， =24cm，=6cm， cm， ①当时，在中，， ∴， ∴cm， ∴cm， 在中，， ∴cm， ②当时，在中，， ∴， ∴cm， ∴cm， 在中，， ∴cm， ∴cm， 答：当面板与桌面夹角从变化到的过程中，面板上端离桌面的高度随之增加，增加了cm． 24. 综合与实践 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展了“折叠矩形纸片做角”的探究活动，先将矩形纸片按如图1上下对折，折痕为；点是线段上的点，再把△按如图2沿折叠，使点刚好落在上的点，连结，，则．活动后，老师鼓励同学们能通过折叠手中的矩形纸片发现并提出新的问题． 【活动猜想】 （1）小华受此问题启发，将准备的一张纸（生活常识：一张纸宽为，长为），按如图3的方式把沿折叠得到，经观察后得到猜想：当，，三点共线时，是一个特殊的三角形．请直接写出： 是__________三角形； 【探究迁移】 （2）如图4，小明和小亮把沿折叠，使点的对应点落在上，连结，发现并提出新的探究点： ①若，，求的长； ②当三点共线时，求的值． 【答案】（1）等腰直角；（2）①，② 【解析】 【分析】（1）根据折叠可得，，，进而勾股定理求得，可得，即可求解； （2）①过点作于点，勾股定理求得，根据折叠的性质可得，根据证明得出，进而求得，在中，勾股定理即可求解； ②设，由得出，进而得出，在中，根据正弦的定义，即可求解． 【详解】（1）∵张纸宽为，长为，把沿折叠得到， ∴，， 在中，， ∴ ∴是等腰直角三角形 故答案为：等腰直角． （2）①如图4，过点作于点， 在中， 由沿折叠得到， 则 ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴ 在中，． ②当，，三点共线时，如图5， 由沿折叠得到， 则 ∴ ， 设 ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 即 解得 在中，． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠问题，全等三角形的性质，相似三角形的性质与判定，求正弦，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 25. 如图，在中，，，，是线段上的点，且满足，将线段绕点逆时针旋转得到，连结． （1）求证：； （2）连结交线段于点，求的值； （3）点在直线上，当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义得到，，由旋转的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，求得； （2）如图2，过点作交BC于点，根据相似三角形的性质得到，得到，由（1）知，根据相似三角形的性质得到，得到， （3）①当点在点下方时，如图3，连结，过点作于点，设，则，根据三角函数的定义得到，求得，解直角三角形得到； ②当点在点上方时，如图4，连结，过点作交BD的延长线于点，设，则，根据三角函数的定义得到，求得，得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论． 【小问1详解】 证明：如图1，在中，， ∵，， ∴，， 由旋转特征，得：， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图2，过点作交于点 ∴， ∴， 即， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：在Rt△中，， ①当点在点下方时， 如图3，连结，过点作于点， 在中，， 设，则， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ②当点在点上方时， 如图4，连结， 过点作交的延长线于点， 在中，， 设，则， 和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的长为． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $