第27章 相似模型专练 练习课件2024-2025学年人教版数学九年级下册

第27章 相似 专题 相似模型 重要模型 模型一 平行得相似 ∵DE∥BC. ∴ ADE∽ ABC; ∴ . 模型二 反A字形或反8字形 条件:∠1=∠2(如图). 结论: ABC∽ ADE. 注意:隐含公共角或对顶角相等. 模型三 双垂直型 如图,已知: ABC是直角三角形,AD⊥BC. 结论:①∠1=∠B,∠2=∠C; ② ABC∽ DBA; DBA∽ DAC; ③AB2=BD BC, AC2=CD BC, AD2=BD CD. 模型练习 1. 如图,点E在平行四边形ABCD的边DC上,若DE∶EC=4∶5,求BF∶EF的值. 解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD. ∵DE∶EC=4∶5, ∴EC∶AB=5∶9. ∵CE∥AB, ∴ ABF∽ CEF. ∴BF∶EF=AB∶EC=9∶5. 2. 如图,在 ABC中,点D为边AB上一点,若∠ADC=∠ACB,BD=6,AD=4,求AC的长. 解:∵∠ADC=∠ACB,∠A=∠A, ∴ ACD∽ ABC. ∴AC2=AD AB=4 (6+4)=40. ∴ . ∴AC=2 . 3. 如图,AB为⊙O的直径,CD为 ABC的高,BD=2,CD=4,求⊙O的面积. 解:∵AB为⊙O的直径,CD为 ABC的高, ∴∠ACB=∠CDB=90 . 又∵∠ABC=∠CBD,∴ ABC∽ CBD. 在Rt CDB中,BD=2,CD=4, ∴⊙O的面积为 r2= 52=25 . ∴ . ∴BC= . ∴ . ∴AB=10. ∴⊙O的半径为 AB= 10=5. 模型四 (手拉手型)旋转型 已知:∠1=∠2, ∠B=∠D(如图). 结论: ABC∽ ADE. 4. 如图,已知∠BAE=∠CAD,AB=6,AC=18,AE=4,AD=12. 求证: ABC∽ AED. 证明:∵∠BAE=∠CAD, ∴∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE, 即∠BAC=∠EAD. ∴ ABC∽ AED. ∵ , ∴ . 模型五 K字形(一线三等角型) 1. 特征:两个三角形的一条边在一条直线上,并且有一个顶点重合(如图). 2. 结论: (1)已知:∠B=∠ACE=∠D=90 (如图). 结论:① ABC∽ CDE; ②当点C为BD中点时, ABC∽ CDE∽ ACE. (2)已知:∠B=∠ACE=∠D= (如图). 结论:① ABC∽ CDE; ②当点C为BD中点时, ABC∽ CDE∽ ACE. 5. 如图,在 ABC中,∠BAC=90 ,AB=AC,D是BC边上的一个动点(不与B,C点重合),∠1=45 . (1)求证: ABD∽ DCE; (1)证明:∵∠BAC=90 ,AB=AC, ∴∠B=∠C=45 . ∴∠BAD+∠3=180 -∠B=135 . ∵∠2+∠3+∠1=180 ,∠1=45 , ∴∠2+∠3=135 . ∴∠BAD=∠2. ∴ ABD∽ DCE; (2)若AE=EC=1,求BD的长. (2)解:∵AE=EC=1, ∴AB=AC=2. ∵ ABD∽ DCE, ∴BC= . ∴ . 解得BD= . 6. 如图,在等边 ABC中,P为BC上一点,D为AC上一点,且∠APD=60 ,AB=2. (1)求证: ABP∽ PCD; (1)证明:∵ ABC是等边三角形, ∴∠B=∠C=60 . ∵∠APC=∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP, ∠APD=60 , ∴∠BAP=∠CPD. ∴ ABP∽ PCD; (2)AD可能等于1吗?为什么? (2)解:不可能. 假设AD=1, ∵ ABC是等边三角形, ∴AC=BC=AB=2. ∴CD=1. ∵ ABP∽ PCD, 整理得BP2-2BP+2=0. =(-2)2-4 2=-4<0. ∴该方程无实数根. ∴若AB=2,则AD不可能等于1. ∴ . 7. 如图,AB∥CD,∠B=90 ,E为BC上一点,且AE⊥ED. 若AB=3,BE=4,DC=6. 求DE的长. 解:∵AB∥CD,∠B=90 , ∴∠C=90 . ∴∠BAE+∠AEB=90 . ∵AE⊥ED,∴∠DEC+∠AEB=90 . ∴∠BAE=∠DEC. ∴ ABE∽ ECD. ∴ .∴EC= . 在Rt ECD中,DE= =7. 5. $$