10.1.1有限样本空间与随机事件10.1.2事件的关系和运算课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

第十章　概率 10.1.1　有限样本空间与随机事件 10.1.2　事件的关系和运算 概率论是研究随机现象规律性的数学学科,概率是随机事件发生的可能性大小的度量.由于随机现象的普遍性,概率论在经济、金融、保险等领域都具有广泛的应用.通过对随机现象的探索,在构建随机现象的研究路径、抽象概率的研究对象、建立概率的基本概念、发现和提出概率的性质、探索和形成研究具体随机现象的思路和方法、应用概率知识解决实际问题的过程中,发展学生认识不确定性现象的思维模式,使学生学会辩证地思考问题. 本学习单元在认识随机现象和随机事件的基础上,结合具体实例,利用集合论的知识,理解样本点、有限样本空间,随机事件等概念,构建了由直观描述到数学刻画的精确化过程.类比集合的关系与运算,理解事件关系与运算的含义,用简单事件表示复杂事件,从而计算随机事件的概率,进一步加深对随机事件的认识.这也即是本单元的知识明线:随机试验——随机现象、样本空间——随机事件——事件的关系与运算、古典概型.具体内容结构如下图所示. 本学习单元的最终目标是理解事件关系与运算的含义,能用简单事件表示复杂事件,从而计算概率.在此单元的学习过程中,进一步加深对随机现象的认识、对核心概念“随机事件”的理解,提升数学抽象、逻辑推理、数学运算素养. 学习目标 1.理解有限样本空间、样本空间、样本点的概念.(数学抽象) 2.理解必然事件、不可能事件、随机事件、基本事件的含义及其关系.(数学抽象) 3.理解事件A与事件B之间的关系及并事件、交事件、事件互斥、事件互为对立等相关概念.(逻辑推理、数学运算) 基础落实·必备知识一遍过 知识点一:有限样本空间的相关概念 1.随机试验:我们把对随机现象的　　　和对它的　　　　称为随机试验,简称试验,常用字母　　表示.  说明:本节中我们研究的是具有以下特点的随机试验. (1)试验可以在相同条件下重复进行; (2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个; (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果. 实现 观察 E 2.我们把随机试验E的　　　　　　　　　　　　　　　　称为样本点,一般用ω表示样本点.  3.全体样本点的　　　　称为试验E的样本空间,一般用Ω表示样本空间.  4.如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω= 　　　 　　为有限样本空间,也就是说Ω为有限集的情况即为有限样本空间. 名师点睛 样本点与样本空间的关系可联想元素与集合的关系来理解记忆.注意:试验不同,对应的样本空间也不同;同一试验,若试验的目的不同,则对应的样本空间也不同. 每个可能的基本结果 集合 {ω1,ω2,…,ωn} 思考辨析 1.抛掷两枚骰子,观察它们落地时朝上面的点数情况,能否写出该试验的样本空间? 提示 可以考虑用有序数对(a,b)来表示试验的结果.其中a表示一枚骰子的点数,b表示另一枚骰子的点数,则有Ω={(a,b)|1≤a≤6,1≤b≤6,且a,b∈N*}.Ω还可以用列举法进行表示,该样本空间中有36个样本点. 2.袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球,分别写出以下随机试验的样本空间. (1)从中任取1球; (2)从中任取2球. 提示 (1)Ω={红,白,黄,黑}. (2)若记(红,白)表示一次试验中取出的是红球与白球, 则Ω={(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑)}. 知识点二:事件的概念及分类 1.样本空间Ω的　　　　称为随机事件,简称　　　　.  2.只包含　　　　　　　　的事件称为基本事件.  3.在每次试验中,当且仅当　　　　　　　　　　　,称为事件A发生.  4.Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称　　　为必然事件.  5.空集⌀不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称　　　为不可能事件.  名师点睛 应该注意事件发生的结果是相对应于“一定条件”而言的.故要弄清某一随机事件,必须明确何为事件发生的条件.随机事件发生有可能性大小之分. 子集 事件 一个样本点 A中某个样本点出现时 Ω ⌀ 知识点三:利用集合的知识研究随机事件 符号 读法 含义 Venn图 B⊇A (或A⊆B) 事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) 　　　     　　   事件A与事件B相等 事件B包含事件A,事件A也包含事件B   若事件A发生, 则事件B一定发生 A=B(B⊇A且A⊇B) 符号 读法 含义 Venn图 A∪B (或A+B) 　 　　  事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中   　 　  事件A与事件B的交事件(或积事件) 事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中   事件A与事件 B的并事件 (或和事件) A∩B (或AB) 符号 读法 含义 Venn图 　　 　  事件A与事件B互斥(或互不相容) 事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件   　　　 　,  且　　 　,  即 =B, =A 事件A与事件B互为对立 事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生   A∩B=⌀ A∪B=Ω A∩B=⌀ 重难探究·能力素养速提升 问题1 概率的研究对象是什么?如何研究? 问题2 体育彩票摇奖时,将10个质地和大小完全相同、分别标号0,1,2,…,9的球放入摇奖器中,经过充分搅拌后摇出一个球,观察这个球的号码.这个随机试验共有多少个可能结果?如何表示这些结果? 问题3 在体育彩票摇号试验中,摇出“球的号码为奇数”是随机事件吗?摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件?如果用集合的形式来表示它们,那么这些集合与样本空间有什么关系? 探究点一 试验的样本空间 问题4 如何表示随机事件? 【例1】 某人做试验,从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中,无放回地取两个小球,每次取一个,先取的小球的标号为x,后取的小球的标号为y,这样构成有序实数对(x,y). (1)写出这个试验的样本空间; (2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件. 解 (1)当x=1时,y=2,3,4; 当x=2时,y=1,3,4; 当x=3时,y=1,2,4; 当x=4时,y=1,2,3.因此,这个试验的样本空间是Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}. (2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A,则A={(2,1),(2,3),(2,4)}. 规律方法　随机事件的结果是相对于条件而言的,要弄清某一随机事件的结果,必须明确事件发生的条件.在写试验结果时,要按照一定的顺序采用列举法写出,注意不能重复也不能遗漏. 探究点二 随机事件的概念及分类 问题5 如何理解基本事件、随机事件?两者有何关联? 【例2】 (1)一个不透明的袋子中装有8个红球、2个白球,除颜色外,球的大小、质地完全相同,采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件的是(　　) A.3个都是白球 B.3个都是红球 C.至少1个红球 D.至多2个白球 A 解析 由于袋子中白球的个数为2,所以摸出的3个球都是白球是不可能事件,故A选项正确;摸出的3个球都是红球是随机事件,故B选项错误;摸出的球至少一个红球是必然事件,故C选项错误;摸出的球至多2个白球是必然事件,故D选项错误. (2)下列事件中,是必然事件的是(　　) A.任意买一张电影票,座位号是2的倍数 B.12个人中有两个人生肖相同 C.买了一注彩票中一等奖 D.实数a+b=b+a D 解析 选项A,B,C中的事件都不确定发生,因此都不是必然事件,只有选项D总会发生,因此是必然事件. 探究点三 互斥事件、对立事件的判断 问题6 如何从基本事件出发构建随机事件?如何用集合的关系表示所列事件的关系? 问题7 如何区分互斥事件与对立事件?两者的区别与联系是什么? 【例3】 (多选题)某学习小组有3名男生和2名女生,从中任选2名学生去参加知识竞赛,则下列说法正确的是(　　) A.事件“恰有1名女生”与事件“恰有2名女生”是互斥事件 B.事件“至少有1名女生”与事件“至少有1名男生”是互斥事件 C.事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”是对立事件 D.事件“至少有1名女生”与事件“全是男生”是对立事件 AD 解析 事件“恰有1名女生”等价于事件“1名男生和1名女生”,该事件与事件“恰有2名女生”不可能同时发生,故事件“恰有1名女生”与事件“恰有2名女生”是互斥事件,A正确; 事件“至少有1名女生”与事件“至少有1名男生”都包含事件“1名男生和1名女生”,所以事件“至少有1名女生”与事件“至少有1名男生”不是互斥事件,B错误; 事件“恰有2名男生”发生时,事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”都没发生,所以事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”和事件不是必然事件,所以事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”不是对立事件,C错误; 事件“至少有1名女生”与事件“全是男生”不可能同时发生,故两事件互斥,又它们的和事件为必然事件,所以事件“至少有1名女生”与事件“全是男生”是对立事件,D正确. 规律方法　1.一般判断互斥事件或对立事件时常从集合的角度来认识,若A∪B=Ω,A∩B=⌀,则称事件A与事件B互为对立;若A∩B=⌀,则称事件A与事件B互斥(或互不相容).对于本例中的问题,要把样本空间明确,再进行分析. 2.判断互斥事件的步骤: (1)确定每个事件包含的结果; (2)确定是否至少有一个结果发生会意味着两个事件都发生,若是,则两事件不互斥,否则就是互斥的. 3.判断对立事件的步骤: (1)判断是互斥事件; (2)确定两个事件必然有一个发生,否则只互斥,但不对立. 探究点四 用简单事件的和或积表示复杂事件 问题8 如何通过事件的运算得到新的事件?什么是和事件、积事件?如何用和事件、积事件表示复杂事件? 【例4】 盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A=“3个球中有1个红球,2个白球”,事件B=“3个球中有2个红球,1个白球”,事件C=“3个球中至少有1个红球”,事件D=“3个球中既有红球又有白球”.问: (1)事件D与A,B是什么样的运算关系? (2)事件C与A的交事件是什么事件? 解 (1)对于事件D,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球, 故D=A∪B. (2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球,2个红球1个白球,3个均为红球,故C∩A=A. 规律方法　进行事件运算时应注意的问题 (1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析. (2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.若遇到比较复杂的题目,必须严格按照事件之间关系的定义来推理. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 1.(例1对点题)某人做试验,从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中,有放回地取两个小球,每次取一个,先取的小球的标号为x,看清编号后放回盒子摇匀,再取一个小球的标号为y,这样构成有序实数对(x,y).试写出这个试验的样本空间. 解 当x=1时,y可取1,2,3,4. 同理,x=2,3,4时,对应的不同的试验结果也有4个. 所以这个试验的样本空间为Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}. 1 2 3 4 2.(例2对点题)有下列事件: ①在标准大气压下,水加热到80 ℃时会沸腾; ②实数的绝对值不小于零; ③某彩票中奖的概率为 ,则买100 000 张这种彩票一定能中奖. 其中必然事件是(　　) A.② B.③ C.①②③ D.②③ A 解析 ①在标准大气压下,水加热到80 ℃时会沸腾,是不可能事件; ②实数的绝对值不小于零,是必然事件; ③某彩票中奖的概率为 ,买100 000张这种彩票不一定能中奖, 因此是随机事件,所以其中是必然事件的为②. 1 2 3 4 3.(例3对点题)从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球,则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是(　　) A.取出2个红球和1个白球 B.取出的3个球全是红球 C.取出的3个球中既有红球也有白球 D.取出的3个球中不止一个红球 D 解析 从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球,则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是取出的3个球中至少有两个红球.故选D. 1 2 3 4 4.(例4对点题)从一批100件的产品中每次取出一个(取后不放回),假设100件产品中有5件是次品,用事件Ak表示第k次取到次品(k=1,2,3),试用A1,A2,A3表示下列事件. (1)三次全取到次品; (2)只有第一次取到次品; (3)三次中至少有一次取到次品; (4)三次中恰有两次取到次品; (5)三次中至多有一次取到次品. 1 2 3 4 解 (1)A1A2A3. (2)A1. (3)A1∪A2∪A3. (4)A1A2∪A1A3∪A2A3. (5)A1 A3∪ A2 或. $$