热点题型·专题04 二次函数与二次函数中的代几综合问题（5类题型）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（浙江专用）

专题04 二次函数与二次函数中的代几综合问题 目录 热点题型归纳 1 题型01 二次函数的图象及其应用 1 题型02 二次函数与系数、参数范围 11 题型03 二次函数中x、y的范围 43 题型04 二次函数中的证明问题 57 题型05 二次函数中几何综合问题 64 中考练场 85 题型01 二次函数的图象及其应用 二次函数的图象及其应用（选填题）是初中数学里函数知识板块中借助函数图象考查学生对二次函数理解与运用能力的关键内容，在中考中分值占比约 3% - 7%。 1.考查重点：重点考查通过观察二次函数图象获取信息，如函数的性质、与坐标轴的交点等，并运用这些信息解决实际问题或进行相关计算。 2.高频题型：以选择题和填空题呈现，常给出二次函数图象，要求判断函数性质、判断大小关系、确定系数符号、求解函数值或根据实际情境选择合适的函数图象等。 3.高频考点：涵盖二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点，以及利用函数图象解决实际问题中的最值、方案选择等考点。 4.能力要求：学生需具备较强的数形结合能力，能够从图象中准确提取关键信息，运用二次函数的基本性质进行推理和计算，还要能将实际问题转化为二次函数图象问题求解。 5.易错点：容易误判图象特征与函数性质的对应关系，在利用图象解决实际问题时，对题意理解不准确，忽略实际问题中的限制条件。 【提分秘籍】 1. 快速识别图象关键信息 开口方向与大小：观察二次函数图象的开口方向，若开口向上，二次项系数a > 0；开口向下，则a < 0。 对称轴位置：顶点坐标：与坐标轴交点： 2. 巧用函数性质解题 增减性与对称性：根据开口方向和对称轴确定函数增减性。开口向上时，在对称轴左侧函数单调递减，右侧单调递增；开口向下则相反。函数值比较：当需要比较函数值大小时，可根据函数增减性。若两点在对称轴同侧，直接根据增减性判断；若在两侧，利用对称性转化到同侧再比较。 【典例分析】 例1．（2022·浙江衢州·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ） A．或4 B．或 C．或4 D．或4 【答案】D 【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为：直线， （1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， ； （2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小， 当时，取得最小值， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解题的关键． 例2．（2023·浙江宁波·中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是(   ) A．点在该函数的图象上 B．当且时， C．该函数的图象与x轴一定有交点 D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， 当时：， ∵， ∴， 即：点不在该函数的图象上，故A选项错误； 当时，， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，， ∴当时，有最大值为， 当时，有最小值为， ∴，故B选项错误； ∵， ∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确； 当时，抛物线的对称轴为：， ∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧，故选项D错误； 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 例3．（2022·浙江温州·中考真题）已知点都在抛物线上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】画出二次函数的图象，利用数形结合的思想即可求解． 【详解】解：当时，画出图象如图所示， 根据二次函数的对称性和增减性可得，故选项C错误，选项D正确； 当时，画出图象如图所示， 根据二次函数的对称性和增减性可得，故选项A、B都错误； 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，借助图象，利用数形结合的思想解题的解决问题的关键． 例4．（2023·浙江台州·中考真题）抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（    ）． A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】D 【分析】根据已知条件可得出，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， ， ． ， ∵， ． 当，时，直线经过第一、三、四象限， 当，时，直线经过第一、二、四象限， 综上所述，一定经过一、四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握根与系数关系公式． 例5．（2023·浙江杭州·中考真题）设二次函数是实数，则（    ） A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为 C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为 【答案】A 【分析】令，则，解得：，，从而求得抛物线对称轴为直线，再分别求出当或时函数y的最小值即可求解． 【详解】解：令，则， 解得：，， ∴抛物线对称轴为直线 当时， 抛物线对称轴为直线， 把代入，得， ∵ ∴当，时，y有最小值，最小值为． 故A正确，B错误； 当时， 抛物线对称轴为直线， 把代入，得， ∵ ∴当，时，y有最小值，最小值为， 故C、D错误， 故选：A． 【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键． 例6．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知点在函数的图象上，，设，当且时，则下列结论正确的是（   ）． A．m有最大值，也有最小值 B．m有最小值，但没有最大值 C．m有最大值，但没有最小值 D．m没有最小值，也没有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，先由题意得，进而得，进而可得结论． 【详解】解：∵点在函数的图象上，即， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，m有最小值，但没有最大值， 故选：B． 【变式演练】 1．（2024·浙江宁波·三模）点，都在二次函数的图象上，若，则下列可能成立的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，不等式的性质，先把点的坐标分别代入解析式得到，，再由得到，则，然后依次对各选项进行判断即可求解，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：把，代入中得，，， ∵， ∴， 即，故选项不符合题意； ∵， ∴，， 当时，，， ∴，，故、选项不符合题意； ∵， ∴， 当时，， ∴可能成立，故选项符合题意； 故选：． 2．（2024·浙江杭州·二模）已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别，，而的两根为，则、、M、N的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，依题意画出函数和的图象草图，根据二次函数的图象可直接求解． 【详解】解：依题意，画出函的图象，如图所示． 函数图象为抛物线，开口向下，与x轴两个交点的横坐标分别为， 方程的两根是抛物线与直线的两个交点． 由，可知对称轴左侧交点横坐标为M，右侧为N． 由图象可知，， 故选：C． 3．（2024·浙江嘉兴·三模）在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，m有最大值 B．若，m有最小值 C．若，m有最大值 D．若，m有最小值 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数与一次函数，一元二次方程的综合应用，先联立两个函数解析式可得，再进一步建立二次函数的关系式结合二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵直线与抛物线相交于，且，如图， ∴，，，， ∴， 当时， ∴， 当时，的最小值为， 此时，不符合题意，故A，B不符合题意； 当， ∴， 当时，的最小值为， 此时，符合题意，故C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 4．（2024·浙江台州·模拟预测）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应取值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 15 5 … 点，点均在函数图象上，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，求出二次函数解析式和对称轴是解题的关键． 先用待定系数法求出二次函数解析式为，从而求得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，开口上，再根据抛物线的性质求解即可． 【详解】解：把，，分别代入，得 ，解得：， ∴ ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵ ∴抛物线的开口向上， ∴当时，y随x增大而增大， ∵，点，且， ∴，即． 故选：D． 5．（2024·浙江杭州·模拟预测）二次函数的图象经过两点，若时，总有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图象的开口，对称轴可得，求出二次函数解析式为，令可得一元二次方程中两根的关系，可得两根之间的最大距离，根据，可得当或时，有最小值，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，二次函数的对称轴为， ∴，且二次函数图象的开口向下， 把代入二次函数得， ， 解得，， ∴二次函数的解析式为：， ∴，即二次函数顶点坐标为， ∵， ∴当时，，即， ∴方程的两根的关系为：， ∴， ∴二次函数图象与直线的两个交点之间的距离为4，即的最大值为； 当时，是二次函数图象的顶点，即; ∵当时，总有， ∴或时，的最小值为； ∴的取值范围为：， 故选：C ． 6．（2024·浙江·模拟预测）已知二次函数与轴只有一个交点，且图象经过两点，，则满足的关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根的判别式，由点的纵坐标相同，可得，即得，再由二次函数与轴只有一个交点可得，即得，最后把代入二次函数解析式得，即可得，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵二次函数与轴只有一个交点， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， 故选：． 题型02 二次函数与系数、参数范围 二次函数与系数、参数范围是初中数学函数知识体系中，深入考查学生对二次函数代数表达式理解与运用能力的关键内容，在浙江中考中分值占比约 5% - 10%。 1.考查重点：重点考查根据二次函数的图象特征、性质以及给定的条件，精准确定二次函数系数的取值范围，深入探究参数变化对函数图象和性质的影响，并据此解决相关问题。 2.高频题型：多以选择题、填空题或解答题中的小问形式呈现，常给出二次函数的部分信息，如系数间的关系、函数图象经过的点、对称轴位置等，要求确定系数的取值或参数的范围。 3.高频考点：涵盖二次函数系数与图象特征的关联（如a决定开口方向、a与b共同决定对称轴位置）、利用函数性质（增减性、最值）构建不等式确定参数范围、通过方程（组）求解系数值或参数值以及借助二次函数与方程、不等式的关系分析参数问题。 4.能力要求：学生需具备较强的代数运算能力，能熟练运用二次函数的性质进行推理，将函数问题转化为方程或不等式问题求解，还要有良好的数形结合能力，从函数图象中提取有效信息分析系数与参数情况。 5.易错点：容易混淆二次函数系数与图象特征的对应关系，在构建不等式或方程求解参数范围时，因对函数性质理解不深导致条件运用错误。 【提分秘籍】 1. 深度剖析已知条件、梳理函数基本信息、提取图象相关线索、挖掘额外条件 2. 灵活运用函数性质、利用系数与图象关系、借助函数增减性与最值求解 3. 构建等式与不等式求解 【典例分析】 例1．（2022·浙江宁波·中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案． 【详解】解：∵点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上， ∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n， y2=（m-1）2+n， ∵y1＜y2， ∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n， ∴（m-2）2-（m-1）2＜0， 即-2m+3＜0， ∴m＞， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式． 例2．（2023·浙江衢州·中考真题）已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与轴的交点和二次函数的性质，即可解答． 【详解】解：， ， 点，都在直线的上方，且， 可列不等式：， ， 可得， 设抛物线，直线， 可看作抛物线在直线下方的取值范围， 当时，可得， 解得， ， 的开口向上， 的解为， 根据题意还可列不等式：， ， 可得， 整理得， 设抛物线，直线， 可看作抛物线在直线下方的取值范围， 当时，可得， 解得， ， 抛物线开口向下， 的解为或， 综上所述，可得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确列出不等式是解题的关键． 例3．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，已知点在二次函数的图像上，且． (1)若二次函数的图像经过点． ①求这个二次函数的表达式； ②若，求顶点到的距离； (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①将点代入中即可求出二次函数表达式； ②当时，此时为平行x轴的直线，将代入二次函数解析式中求出，再由求出直线为，最后根据二次函数顶点坐标即可求解； （2）分两种情形：若M，N在对称轴的异侧，；若M、N在对称轴的异侧，，x1<2，分别求解即可． 【详解】（1）解：①将点代入中， ∴，解得， ∴二次函数的表达式为：； ②当时，此时为平行x轴的直线， 将代入二次函数中得到：， 将代入二次函数中得到：， ∵， ∴=， 整理得到：， 又∵，代入上式得到：，解出， ∴，即直线为：， 又二次函数的顶点坐标为(2，-1)， ∴顶点(2,-1)到的距离为； （2）解：若M，N在对称轴的异侧，， ∴x1+3>2， ∴x1>-1， ∵ ∴， ∴-1<， ∵函数的最大值为y1=a（x1-2）2-1，最小值为-1， ∴y-（-1）=1， ∴a=， ∴， ∴； 若M、N在对称轴的异侧，，x1<2， ∵， ∴， ∵函数的最大值为y=a（x2-2）2-1，最小值为-1， ∴y-（-1）=1， ∴a=， ∴， ∴， 综上所述，a的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像与性质及二次函数的最值等问题：当开口向上(向下)时，自变量的取值离对称轴越远，其对应的函数值就越大(越小) ． 例4．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知函数（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）． (1)求b，c的值． (2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值． (3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值． 【答案】(1)b＝-6，c=-3 (2)x＝－3时，y有最大值为6 (3)m＝－2或 【分析】（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y＝，即可求解； （2）先求出抛物线的顶点坐标为（-3，6），再由-4≤x≤0，可得当x＝-3时，y有最大值，即可求解； （3）由（2）得当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，然后分两种情况：当-3＜m≤0时，当m≤-3时，即可求解． 【详解】（1）解：把（0，-3），（-6，-3）代入y＝，得∶ ，解得：； （2）解：由（1）得：该函数解析式为y＝＝， ∴抛物线的顶点坐标为（-3，6）， ∵-1＜0 ∴抛物线开口向下，   又∵-4≤x≤0， ∴当x＝-3时，y有最大值为6． （3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3， ∴当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大， ①当-3＜m≤0时， 当x＝0时，y有最小值为-3， 当x＝m时，y有最大值为， ∴+（-3）＝2， ∴m＝-2或m＝-4（舍去）． ②当m≤-3时， 当x＝-3时，y有最大值为6， ∵y的最大值与最小值之和为2， ∴y最小值为-4， ∴=-4， ∴m＝或m＝（舍去）． 综上所述，m＝-2或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键． 例5．（2023·浙江嘉兴·中考真题）在二次函数中， (1)若它的图象过点，则t的值为多少？ (2)当时，y的最小值为，求出t的值： (3)如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将坐标代入解析式，求解待定参数值； （2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分，当时，函数值最小，以及，当时，函数值最小，求得相应的t值即可 得； （3）由关于对称轴对称得，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：A，B都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）将代入中， 得， 解得，； （2）抛物线对称轴为． 若，当时，函数值最小， ， 解得． ， 若，当时，函数值最小， ， 解得（不合题意，舍去） 综上所述． （3）关于对称轴对称 ，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧 抛物线与y轴交点为，抛物线对称轴为直线， 此交点关于对称轴的对称点为 且 ，解得． 当A，B都在对称轴左边时， ， 解得， 当A，B分别在对称轴两侧时 到对称轴的距离大于A到对称轴的距离 ， 解得 综上所述或． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质、极值问题；存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是解题的关键． 例6．（2023·浙江杭州·中考真题）设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 1 1 … (1)若，求二次函数的表达式； (2)在（1）问的条件下，写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小． (3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可． （2）利用抛物线的对称性质求得抛物线的对称轴为直线；再根据抛物线的增减性求解即可． （3）先把代入，得，从而得，再求出，，，从而得，然后m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，得，求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得 ，解得：， ∴． （2）解：∵，在图象上， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，则时，随的增大而减小， （3）解：把代入，得 ， ∴ ∴ 把代入得，， 把代入得，， 把代入得，， ∴， ∵m、n、p这三个实数中，只有一个是正数， ∴，解得：． 【点睛】本题考查用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质，解不等式组，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解析的关键． 例7．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的对称轴是直线，图象与轴交于，两点，点坐标为，直线经过点，且与轴交于点． (1)填空：____；____；_____． (2)将该二次函数图象向右平移个单位，使抛物线顶点落在直线上，试求的值． (3)在（2）的条件下，设是轴上的一动点，若外接圆的圆心落在平移后的抛物线内部，试求的取值范围． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）将点坐标代入直线中求出，根据二次函数的对称轴和经过点得到方程组，解方程即可求出、； （2）将抛物线化为顶点式，平移后得到平移后的顶点坐标，再将顶点坐标代入直线求解； （3）先求出平移后的解析式，设抛物线对称轴与轴交于点，根据题意易得到外接圆的圆心必在边的中垂线上，设该中垂线交抛物线于点，，进而求出点，的坐标，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，得到这两点的横坐标，进而求出和的横坐标，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：点坐标为，直线经过点， ， ． 二次函数图象的对称轴是直线，是二次函数图象是的点， ，， 联立组成方程组为， 解得． 故答案为：；；． （2）解：由题意知：抛物线解析式为，即． 将的图象向右平移个单位后得到， 其顶点坐标为． ∵顶点恰好落在直线上， ， ． （3）解：由题意知：平移后的抛物线解析式为，顶点． 设抛物线对称轴与轴交于点． ， 为等腰直角三角形． 点在轴上， 则外接圆的圆心必在边的中垂线上． 设该中垂线交抛物线于点，． 由可知线段的中点坐标为， ，故可求得该中垂线解析式为． ∴解方程组 解得：． 即，两点的横坐标分别为． 过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，， 则，两点的横坐标分别为． ． ． 从而点的横坐标为． 同理． ． 从而点的横坐标为． 的取值范围是． 【点晴】本题主要考查了二次函数的综合，二次函数的图象和性质，函数解析式的求法，二次函数平移规律，二次函数与一次函数的交点，理解相关知识是解答关键． 例8．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； （2）解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； （3）解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 例9．（2022·浙江舟山·中考真题）已知抛物线：（）经过点． (1)求抛物的函数表达式． (2)将抛物线向上平移m（）个单位得到抛物线．若抛物线的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线上，求m的值． (3)把抛物线向右平移n（）个单位得到抛物线．已知点，都在抛物线上，若当时，都有，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据待定系数法即可求解． （2）根据平移的性质即可求解． （3）根据平移的性质对称轴为直线，，开口向上，进而得到点P在点Q的左侧，分两种情况讨论：①当P，Q同在对称轴左侧时，②当P，Q在对称轴异侧时，③当P，Q同在对称轴右侧时即可求解． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式：． （2）∵将抛物线向上平移m个单位得到抛物线， ∴抛物线的函数表达式：． ∴顶点， ∴它关于O的对称点为， 将代入抛物线得：， ∴． （3）把向右平移n个单位，得 ：，对称轴为直线，，开口向上， ∵点，， 由得：， ∴点P在点Q的左侧， ①当P，Q同在对称轴左侧时， ，即， ∵，∴， ②当P，Q在对称轴异侧时， ∵， ∴， 解得：， ③当P，Q同在对称轴右侧时，都有（舍去）， 综上所述：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象平移变换，熟练掌握待定系数法及平移的性质结，巧妙运用分类讨论思想是解题的关键． 【变式演练】 1．（2024·浙江宁波·二模）已知二次函数与直线的交点横坐标分别是1和3，其与轴的其中一个交点的横坐标满足，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．根据题意，得到直线与抛物线的交点坐标，代入二次函数解析式，得到，根据其与x轴的另一个交点的横坐标t满足，得到不等式组，得到结果． 【详解】解：∵二次函数与直线的交点横坐标分别是1和3， ∴当时，，当时，， ∴点，在抛物线上， ∵二次函数， ∴把，代入函数表达式， 得， 得，， ∴， ∵与x轴的其中一个交点的横坐标t满足， ∴， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查的二次函数的图象与性质，能确定出抛物线的开口方向与对称轴是解题的关键． 根据题意先确定出抛物线的开口方向及对称轴,再根据开口向上的抛物线上的点离对称轴距离越大对应的函数值越大得到关于m的不等式组,求解即可得答案． 【详解】解：∵当时， 或， ∴抛物线开口向上，且对称轴是直线， ∴当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小， ∵， 又， 是抛物线上的两点， 且， ∴， ∴， ∴， ， 故选： A． 3．（2024·浙江嘉兴·一模）已知二次函数，若点，点，点都在二次函数图象上，且，则的取值范围（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，绝对值的性质，由点、点可得抛物线的对称轴为直线，即得，得，再根据二次函数解析式得抛物线与轴的交点坐标为，又根据抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越小，得到点到对称轴的距离比点到对称轴的距离近，即得，最后根据绝对值的性质解不等式即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点，点在二次函数图象上， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∵抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越小， ∵， ∴点到对称轴的距离比点到对称轴的距离近， ∴， 即， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上， 的取值范围为或， 故选：． 4．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数在和时的函数值相等． (1)求二次函数图像的对称轴； (2)若二次函数的图像与x轴只有一个交点，求b的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与一元二次方程的应用． （1）依题意结合二次函数对称性可直接求出其对称轴； （2）由函数与x轴只有一个交点，进而转化为一元二次方程判别式为0建立等量关系求出b． 【详解】（1）解：∵二次函数在和函数值相等， ∴对称轴为直线． （2）解：由（1）得， 又∵二次函数的图象与x轴只有一个交点， ∴ 解得， 5．（2024·浙江温州·二模）设抛物线与直线交于点． (1)求，的值及抛物线的对称轴； (2)设，是抛物线上两点，且，在直线上． ①当时，求的值； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)①4；② 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，把分别代入和，即可求出，，从而求得抛物线的对称轴； （2）①依据题意，由和关于对称，且，从而和到对称轴的距离都为1，可得，，又将代入抛物线解析式，可得，再由直线为，即可得解； ②依据题意，可得，故，再结合，故可得，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，把分别代入和， ，． 抛物线的对称轴为直线； （2）解：①和关于 对称，且， 和到对称轴的距离都为1， ，． 又将代入抛物线解析式， ． 又直线为， ． ②由题意，， ． ， ． ，即． 6．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知关于x的二次函数 (1)若该函数的图像与x轴的交点坐标是，求的值； (2)若该函数的图像的顶点纵坐标为3， ①用含b的代数式表示c； ②当时，y的取值范围是，求c的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数的顶点坐标，二次函数的性质等等： （1）利用待定系数法求解即可； （2）①把解析式化为顶点式求出顶点坐标，再根据顶点纵坐标为3进行求解即可；②分当时，当时，两种情况根据二次函数开口向上，离对称轴越远函数值越大进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数与x轴的交点坐标是， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵二次函数解析式为， ∴二次函数顶点坐标为， ∵该函数的图像的顶点纵坐标为3， ∴， ∴； ②∵二次项系数大于0， ∴二次函数开口向上， ∵当时，y的取值范围是， ∴当时，， ∴或（舍去）， 则； 当时，或（舍去）， 综上：， ∴． 7．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，设二次函数． (1)若a为整数，二次函数图象过点（其中n是正整数），求抛物线的对称轴． (2)若，为抛物线上两个不同的点． ①当时，，求a的值． ②若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线 (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程、二次函数的对称轴公式， （1）把代入，求得，，从而可得，再代入对称轴公式求解即可； （2）①根据对称轴为直线，进行求解即可； ②根据二次函数的图象与性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得，，． ∵n是正整数，a为整数， （舍去），．则， ∴对称轴为直线． （2）解：①时，， ，两点关于抛物线的对称轴对称， 则对称轴为直线， ． ②由题意可知，对于任意的，y随x的增大而增大， 可得， 解得． 8．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数． (1)若顶点坐标为，求b和c的值． (2)若． ①求证：函数图象上必存在一点，使得． ②若函数图象与x轴的两个交点间的距离小于1，求b的取值范围． 【答案】(1)， (2)①见解析；② 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、将二次函数化为顶点式等知识，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）由对称轴，求出b的值，再将把点代入， 即可得出c的值． （2）①由已知条件可得出，然后代入二次函数，然后将二次函数化为顶点式，则可得出． ②令，求出，．然后利用已知条件得出不等式，化简即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得：， 把点代入， 得，解得． （2）①证明：∵，∴ ∴， ∴顶点坐标为． 由， ∴函数图象上必存在一点，使得 ②解：令，则， ∴，． 又∵函数图象与x轴的两个交点间的距离小于1， ∴， ∴， ∴． 9．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数，的图象在同一平面直角坐标系中． (1)若函数的图象过点，函数的图象过点，求t的值． (2)求这两个函数图象的交点的横坐标． (3)已知当时，，求的取值范围． 【答案】(1)4 (2)0，1 (3) 【分析】题目主要考查一次函数与二次函数综合问题，熟练掌握待定系数法及其性质是解题关键． （1）将代入，点代入，即可求解； （2）令，求解即可； （3）根据题意得出当时，，即可求解． 【详解】（1）解：将代入，点代入， 得 ∴； （2）令， 得， 解得， ∴这两个函数图象的交点的横坐标为0，1． （3）∵这两个函数图象的交点的横坐标为0，1，， ∴当时，， ∵当时，， ∴， ∴． 10．（2024·浙江杭州·模拟预测）在二次函数中， (1)若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标； (2)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点； (3)若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标 (2)见解析 (3) 【分析】（1）二次函数的图象经过，即可求得，得到抛物线为，解析式化成顶点式即可求得顶点坐标； （2）依据题意，由，又对于任意的都有，从而可以判断的大小，进而可以得解； （3）依据题意，由，在二次函数图象上，从而对称轴直线，故，即，又抛物线开口向上，可得抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，再结合可得 ，再分类讨论即可得解． 【详解】（1）解：二次函数图象经过， ， ， 抛物线为， ， 顶点坐标为； （2）证明： ∴二次函数图象与轴总有两个公共点； （3）解：对称轴直线， ∴即． ∵， ∴， ∵抛物线过， ∴，即， ∵， ∴， 解得，即 ∵抛物线开口向上， ∴当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小． ∵， ∴， 当，解得（不合题意舍去）； 当，解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 11．（2024·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知二次函数（a， b，c是常数，）． (1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． (2)若，函数图象与x轴有两个交点，，且，求证：． (3)若函数图象经过点，当时，；当时，，求a的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质并准确计算是解题的关键． （1）根据，函数图象经过点和，利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据题意得到二次函数开口向下，当时，函数值大于，建立不等式，对不等式进行变形，即可证明； （3）根据题意得到，函数图象在时取得最小值，即，以及，联立这三个式子求解，即可解题． 【详解】（1）解：，函数图象经过点和， ， 解得， 二次函数解析式为， 整理得， 函数图象的顶点坐标为：． （2）证明：， 二次函数开口向下， 函数图象与x轴有两个交点，，且， 当时，函数值大于， 即， ； （3）解：函数图象经过点， ①， 当时，；当时，， 函数图象在时取得最小值，即②， ， 在的左侧， 当时，，即③， 由①②③解得． 12．（2024·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线． (1)抛物线与直线两个交点的横坐标分别为和2，求该抛物线的解析式； (2)设，当时；当时．已知时，． ①求的值； ②当时，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)①，②或 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是解题的关键： （1）依题意，由抛物线与直线两个交点的横坐标分别为和2，从而可得两个交点为，，再将，代入，得，计算即可得解； （2）①依据题意，由，又当时，，可得的对称轴是直线 ，计算即可得解； ②依据题意，，代入得，再代入得，进而两式相减得，化简得，进而可以判断得解 【详解】（1）解：由题意，抛物线与直线两个交点的横坐标分别为和2， ∴把分别代入得，， ∴两个交点为，， 代入，得， 解得， 故． （2）解：①∵，且， ∴， 又当时，，所以y的对称轴是直线， ∴， ∴． ②∵， ∴， ∴． 代入得， 代入得， 两式相减得， 化简得， 故或． 13．（2024·浙江台州·模拟预测）已知抛物线：经过点． (1)求的函数表达式及其顶点坐标； (2)若点和在抛物线上，且，． ①求A，B两点的坐标； ②将拋物线平移得到抛物线：．当时，抛物线的函数最大值为p，最小值为q，若，求k的值． 【答案】(1)的函数表达式为，顶点坐标为 (2)①，；②或 【分析】本题主要考查二次函数的图像与几何变换，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把点把代入解析式求出，利用顶点式即可求出顶点坐标； （2）①由抛物线对称性得到，解得即可得到答案； ②分三种情况讨论，根据二次函数图像上点的坐标特征，表示出，根据题意得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 的函数表达式为． 顶点坐标为； （2）解：①由得：， ， ，． ，； ②：的对称轴为：直线， 顶点为 由①得：， Ⅰ．当时，，则： ，；，， ， 解得：（舍）． Ⅱ．当时，，则： ，；，， ， 解得：（舍）． Ⅲ．当时，， ，， 若，则：，即：， 此时，， ， 解得：（舍），（符合） 若，则：，即：， 此时，， ， 解得：（符合），（舍） 综上所述：或． 14．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象经过原点和点，其中． (1)当时． ①求关于的函数解析式，求出当为何值时，有最大值？最大值为多少？ ②当和时，函数值相等，求的值． (2)当时，在范围内，有最大值，求相应的和的值． 【答案】(1)①；时，有最大值，最大值为；② (2)， 【分析】本题考查了二次函数综合，二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）①当时，求出点坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式，根据函数解析式即可求出二次函数的顶点坐标，进而解答问题； ②根据和时，函数值相等，列得方程，解方程即可求解； （2）求出二次函数的对称轴，由二次函数图象经过原点和点，可得，分和两种情况，根据二次函数的性质解答即可求解． 【详解】（1）①解：当时，则， 把和分别代入可得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为： ， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为； ②解：当和时，函数值相等， ∴， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴的值为； （2）∵二次函数的图象经过原点， ∴， ∴二次函数， ∴对称轴为直线， ∵二次函数过点和， ∴， 当时，对称轴， ∵， ∴时，有最大值， 整理可得：， ∴或， ∵， ∴， ∴， 当时，对称轴， ∵， ∴在对称轴的左侧，的值随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值， 即， 解得：， ∴， ∴， 综上，，． 15．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为，点M为该抛物线上一动点． (1)求该抛物线的表达式． (2)将此抛物线绕点顺时针旋转得图形G，其中点A的对应点为点，点M的对应点为点． ①求点的坐标，并求出点的横坐标m与纵坐标n之间的数量关系． ②请直接写出时，m的取值范围． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题主要考查了待定系数法、旋转变换、三角形全等的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形解决问题成为解题的关键． （1）设抛物线的表达式为，把代入可得，然后写出解析式即可； （2）①如图：过C作轴，过A作于P，过作于Q，证明可得，即；过C作轴，过M作于G，过作于H，同理可得，可得，设，则，消掉p即可解答；②由，即可得当时，m取最小值1，当时，m取最大值，从而m的取值范围即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 把代入得：，解得， ∴该抛物线的表达式为． （2）解：①如图：过C作轴，过A作于P，过作于Q， ∵是由A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 如图：过C作轴，过M作于G，过作于H， 同理可得， ∴， 设， ∵， ∴消掉p得：，整理得：． ②由①可得：， ∵， ∴当时，m取最小值1， 当时，m取最大值， ∴m的取值范围是． 16．（2024·浙江宁波·二模）已知抛物线 ，点 和点 是该抛物线与轴的交点． (1)若，求的取值范围； (2)若，现将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，若直线 与新得到的函数图象至少有三个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，作出图象，结合二次函数图象与性质，由得到、和，解不等式即可得到的取值范围； （2）根据题意，由一元二次方程根与系数关系得到，从而求出新抛物线的表达式，作出图象，数形结合，可知，当直线过点时，直线与新抛物线恰好有3个交点，求出此时的值；当直线与抛物线只有一个交点，求出此时的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的开口向上，点 和点 是该抛物线与轴的交点，，如图所示： 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，的取值范围为； （2）解：令，则， 由一元二次方程根与系数关系可得， ， ，解得， ，则，即， 解得或， 抛物线与轴的交点为， 现将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，如图所示： 抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折后得到的抛物线表达式为， 根据抛物线关于轴对称时，，则此时抛物线的表达式为， 当直线过点时，直线与新抛物线恰好有3个交点， 将代入，解得； 联立方程组 ，消去得， 将直线向上平移，根据直线与新抛物线恰好有3个交点， 直线与抛物线只有一个交点，故方程有两个相等的实数根，解得，则， ， 综上所述，当直线与新得到的函数图象至少有三个交点时，的取值范围为 ． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及抛物线的图象与性质、由函数图象确定值符号解不等式、抛物线与坐标轴交点、一元二次方程根与系数关系、直线与抛物线交点问题、一元二次方程根的情况求参数等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 题型03 二次函数中x、y的范围 二次函数中 x、y 的范围是初中数学函数知识体系里，考查学生对二次函数定义域与值域理解及运用能力的重要内容，在浙江中考中分值占比约5% - 10%。 1.考查重点：重点考查依据二次函数的图象、性质以及给定的实际情境或条件，精准确定自变量 x 的取值范围），并据此求出因变量 y 的取值范围。 2.高频题型：多以解答题形式出现，常见形式有给定二次函数解析式及相关限制条件，求 x 或 y 的取值范围； 3.能力要求：学生需具备较强的数形结合能力，能够从函数图象获取关键信息，熟练运用二次函数性质进行推理计算 4.易错点：容易忽略实际问题中对 x、y 取值范围的隐含限制条件，在利用函数性质求解范围时，因对函数单调性和对称轴位置分析不准确导致结果错误。 【典例分析】 例1．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．    (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为； (2) 【分析】（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和． ∴，解得：， ∴抛物线为， ∴顶点坐标为：； （2）当时，， ∴ 解得：，，    如图，当时， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键． 例2．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知二次函数． (1)当时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当时，求的取值范围． (2)当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式． 【答案】(1)①；②当时， (2) 【分析】（1）①将代入解析式，化为顶点式，即可求解； ②已知顶点，根据二次函数的增减性，得出当时，有最大值7，当时取得最小值，即可求解； （2）根据题意时，的最大值为2；时，的最大值为3，得出抛物线的对称轴在轴的右侧，即，由抛物线开口向下，时，的最大值为2，可知，根据顶点坐标的纵坐标为3，求出，即可得解． 【详解】（1）解：①当时，， ∴顶点坐标为． ②∵顶点坐标为．抛物线开口向下， 当时，随增大而增大， 当时，随增大而减小， ∴当时，有最大值7． 又 ∴当时取得最小值，最小值； ∴当时，． （2）∵时，的最大值为2；时，的最大值为3， ∴抛物线的对称轴在轴的右侧， ∴， ∵抛物线开口向下，时，的最大值为2， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴二次函数的表达式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，顶点式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 例3．（2022·浙江杭州·中考真题）设二次函数（b，c是常数）的图像与x轴交于A，B两点． (1)若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数的表达式及其图像的对称轴． (2)若函数的表达式可以写成（h是常数）的形式，求的最小值． (3)设一次函数（m是常数）．若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图像经过点时，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可． （2）根据等式的性质，构造以b+c为函数的二次函数，求函数最值即可． （3）先构造y的函数，把点代入解析式，转化为的一元二次方程，解方程变形即可． 【详解】（1）由题意，二次函数（b，c是常数）经过(1，0)，(2，0)， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式． ∴ 图像的对称轴是直线． （2）由题意，得， ∵， ∴b=-4h，c= ∴， ∴当时，的最小值是． （3）由题意，得 因为函数y的图像经过点， 所以， 所以，或． 【点睛】本题考查了二次函数的待定系数法，二次函数的最值，对称性，熟练掌握二次函数的最值，对称性是解题的关键． 【变式演练】 1．（2024·浙江·模拟预测）二次函数，若时，的取值范围为（为常数），则当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质．根据题意可得对称轴为直线，推出，抛物线为，当时，，得到，进而得到二次函数为，又，结合函数的性质即可求解． 【详解】解：由题意，时，的取值范围为，且抛物线开口向下， 对称轴是直线， ， 抛物线为， 又当时，， ， 二次函数为， 抛物线开口向下， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越大． ，， 又， 当时，取最大值为； 当时，取最小值为． 当时，． 故选：B． 2．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，点，点都在该函数图象上． (1)若时，求该二次函数的顶点坐标． (2)若时，求a的值． (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，顶点坐标，最值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入，得，结合对称轴性质，把代入，即可作答． （2）分别得出，再代入，进行计算化简，即可作答． （3）因为，所以，根据二次函数的图象性质进行作答即可 【详解】（1）解：依题意，把代入 得出 则对称轴， 把代入， 得出， ∴该二次函数的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数，点，点都在该函数图象上 ∴， ， ∵， ∴， 则， 解得； （3）解：由（2）知， ∴， ∵， ∴该函数的开口向上， ∴该函数的对称轴为， 则把代入， 得出， ∴的最小值为． 3．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知一次函数与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，经过点B的抛物线的顶点C在线段上（不包括点B）． (1)求b，c的值 (2)当时，请直接写出x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求二次函数解析式，解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，，将点B代入得，，则，故，由于顶点C在线段上（不包括点B），则，解方程即可； （2）把b，c代入，得：，即，转化为或，解不等式组即可． 【详解】（1）解：当，则， 解得，， ∴， 当，， ∴， 将点B代入 得，， ∴， ∴， ∵顶点C在线段上（不包括点B）， ∴， 解得：或（舍）； （2）解：把b，c代入， 得：， ∴， ∴或， 分别解得：或． 4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象过点． (1)若该函数图象的对称轴为直线，求该函数的表达式． (2)在（1）的条件下，当时，函数有最小值，求的值． (3)已知，二次函数的图象经过点，，，且，试比较与的大小． 【答案】(1) (2)或 (3)时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用对称轴和点求函数表达式; （2）分和两种情况分类讨论: （3）通过点，，与对称轴之间的距离，比较与的大小. 【详解】（1）图象过点， ， 函数图象的对称轴为直线， ， 联立得 解得：，， ． （2）解：n和的中点为， 当即，则时，， 解得：或（不合，舍去）， 当即，则时，． 解得：或（不合，舍去）， 综上所述，或． （3）二次函数的图象过点， ，即， ， ， ， 抛物线的对称轴为直线， ，且， ，又 当，即时，； 当时，； 当时，． 5．（2024·浙江温州·三模）已知关于x的二次函数的图象过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求当时，y的最大值与最小值的差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）将、代入求解． （2）根据抛物线开口方向，将函数解析式化为顶点式可得时，y取最小值，时y取最大值，进而求解． 【详解】（1）解：将、代入得， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴时，y最小值为， ∵， ∴时，为最大值， ∴当时，y的最大值与最小值的差为． 6．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，点和都在二次函数是常数）的图象上． (1)若，求该二次函数的表达式． (2)若，求b的取值范围． (3)已知点也都在该二次函数图象上，若且，试比较的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）当时，用待定系数法可得二次函数的表达式为； （2）当时，可得，又，故，得； （3）由，可得，又，即可知且；求出，用作差的方法可得到答案． 【详解】（1）解：当时，把和代入得： ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：当时，， 把和代入得：， ， ， 解得， ∴的取值范围是； （3）解：把和代入得： ， ， ， 或， 由得， ， ∴无解， 即无解， 则 且， 把代入， 得：， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，解不等式组，作差法比较大小等，解题的关键是掌握二次函数图象上点坐标的特征和不等式的基本性质． 7．（2024·浙江金华·二模）设二次函数 （是常数）． (1)若时，求二次函数的顶点坐标．（用含的代数式表示） (2)若时，求二次函数 的最大值．（用含的代数式表示） (3)若时，如图，直线与此函数图象交于两点，点不在二次函数图象上，线段分别交二次函数图象于点，且，求点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时，最大值为，当时，最大值为； (3)． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的交点问题，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． （1）把代入函数解析式，利用配方法即可求得顶点坐标； （2）把代入函数解析式，求得函数的对称轴，然后根据对称轴的位置以及函数的增减性即可求得最大值； （3）当时，二次函数的表达式为，联立方程组求得点A、B坐标，设过点P的直线表达式为，分别求出直线和与抛物线有且只有一个交点时的函数表达式，进而联立方程组求得点P坐标为，根据得到点P在直线运动，求出点C与D重合时的点P坐标为，结合图象即可求得点P的纵坐标的取值范围． 【详解】（1）解：， ， 顶点坐标为：； （2）解：二次函数的对称轴为直线， ∵，， ∴当即时，时，y取最大值； 当即时，时，y取最大值； （3）解：当时，二次函数的表达式为， 联立方程组，解得或， ∴，， 设过点P的直线表达式为， 联立方程组，得， 当直线与抛物线有且只有一个交点A时， 根据一元二次方程根与系数关系得， 解得， ∴直线的函数表达式为； 同理可得当直线与抛物线有且只有一个交点时的函数表达式为， 联立方程组，解得， 此时与重合，点P坐标为； ∵， ∴点P在直线运动， ∴当点C与D重合时，点P和点C、D重合，即点P在抛物线上，此时点P坐标为， ∵， ∴由图可知，点P的纵坐标的取值范围为． 8．（2024·浙江宁波·模拟预测）设一次函数的图象与x轴交于点A，二次函数，B两个不同的点，设函数． (1)设点 在函数y的图象上，若，求证 (2)若函数，y的图象在x轴上截得的线段长分别为，，求，的数量关系式． (3)若函数的图象分别与函数的图象、函数y的图象交于点，，且点E，F不同于点A，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)1 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数综合．熟练掌握二次函数和一次函数图象及性质，二次函数、一次函数与方程的关系，是解题的关键． （1）写出，把代入，得到，根据即得； （2）求出，设，则，得到，当时，， ，得到，，即得； （3）设，得到， ，当时，，根据，得到；当时，，得到，即得． 【详解】（1）∵，， ∴ ， ∵点在函数y的图象上， ∴， 即， ∵， ∴； （2）中，当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 当时，， ∴，， ∴； ， ∴，， ∴， ∴； （3）设， 由（2）知，， ， 当时，， ∵E，F不同于点A， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型04 二次函数中的证明问题 【典例分析】 例1．（2023·浙江·中考真题）已知点和在二次函数是常数，的图像上． (1)当时，求和的值； (2)若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）由可得图像过点和，然后代入解析式解方程组即可解答； （2）先确定函数图像的对称轴为直线，则抛物线过点，即，然后再结合即可解答； （3）根据图像的对称性得，即，顶点坐标为；将点和分别代入表达式并进行运算可得；则，进而得到，然后化简变形即可证明结论． 【详解】（1）解：当时，图像过点和， ∴，解得， ∴， ∴． （2）解：∵函数图像过点和， ∴函数图像的对称轴为直线． ∵图像过点， ∴根据图像的对称性得． ∵， ∴． （3）解：∵图像过点和， ∴根据图像的对称性得． ∴，顶点坐标为． 将点和分别代人表达式可得 ①②得， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、解不等式等知识点，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键． 【变式演练】 1．（2024·浙江温州·二模）已知抛物线（，a，b均为常数）过点． (1)求a，b之间的数量关系及该抛物线的对称轴． (2)若函数y的最大值为5，求该抛物线与y轴的交点坐标． (3)当自变量x满足时，记函数y的最大值为m，最小值为n，求证：． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把点代入函数解析式即可得到a，b之间的数量关系，再根据二次函数的对称轴求解即可； （2）把二次函数化为顶点式，根据函数y的最大值为5求出a的值，即可得到与y轴的交点坐标； （3）根据二次函数的性质求出当自变量x满足时，函数y的最大值为当时的函数值，故，函数y的最小值为当时的函数值，故，代入即可求出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线（，a，b均为常数）过点． ∴ 整理得，， ∴ ∵． 即该抛物线的对称轴为． （2）∵， ∴ ∵函数y的最大值为5，与y轴的交点坐标为， ∴， 解得， ∴， ∴该抛物线与y轴的交点坐标为． （3）证明：∵， ∴抛物线开口向下， ∴当自变量x满足时，函数y的最大值为当时的函数值，故， 函数y的最小值为当时的函数值，故， ∴ 2．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数． (1)若函数图象经过点． ①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，求的值． (2)设点，是该函数图象上的两点，若，求证：． 【答案】(1)①；②12 (2)见解析 【分析】本题主要考查了待定系数法、二次函数图像的性质、配方法的应用等知识点，掌握二次函数图像的性质成为解题的关键． （1）①直接将代入求得a即可解得；②先根据平移表示出B、C两点的坐标，然后根据二次函数图像的对称性和二次函数的性质即可解答； （2）由可得，则有，，再用表示出可得，然后运用配方法解答即可． 【详解】（1）解：（1）①将代入可得，解得：， ∴该二次函数的表达式为； ②∵将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为：， ∴，解得：， ∴， ∴． （2）解：∵设点，是该函数图象上的两点， ∴ ∴，， ∴ ， ∵， ∴，即． 3．（2024·浙江杭州·三模）在直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数（是常数）的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，已知． (1)若，求该二次函数的最小值． (2)求证：． (3)若点A位于点之间，求证：． 【答案】(1)二次函数的最小值为； (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查二次函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键． （1）将点和的坐标代入即可求出解析式，然后配方得到最小值即可； （2）将点B的坐标代入得到，然后代入关系式为，然后求出点A和点C的坐标即可解题； （3）由题可得整理相加即可得到结论． 【详解】（1）解：把点和代入得： ，解得， ∴， ∴二次函数的最小值为； （2）证明：把代入得：， ∴， ∴， 令，则，解得或， ∴点A的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴； （3）解：由题可知：，即 两式相加得． 4．（2024·浙江温州·三模）已知，点，在二次函数的图象上． (1)当时，求此时二次函数的表达式和顶点坐标． (2)求证： 【答案】(1)二次函数的表达式为，顶点坐标 (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、将抛物线解析式化为顶点式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由得出抛物线的对称轴为直线，从而即可得出，即可得出抛物线的解析式，再化为顶点式即可得出答案； （2）由题意得出，，从而得出，再代入式子计算即可得出答案． 【详解】（1）解：， 二次函数图象的对称轴为直线， ， 解得，， 二次函数的表达式为， ∵， ∴顶点坐标； （2）解：∵点，在二次函数的图象上， ∴，， ∴ ∴． 5．（2024·浙江温州·三模）二次函数的图象与x轴交于点，且． (1)当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； (2)若，求证：． 【答案】(1)①，；② (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数的性质； （1）①依题意，，解方程组即可求解； ②根据①得出解析式，对称轴为直线，进而分，，两种情况求得最小值，根据题意建立方程，解方程即可求解； （2）由题意得：，，将代入，得出  ，得出，代入得，进而，即可得证． 【详解】（1）解：①依题意，， 解得，； ②， 对称轴为直线，，抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 依题意，， 方程无解； 当时， 最小值为， 最大值为， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，； （2）∵，，   ∴，   ∴， 由题意得：，， ∴， ∴，     ∴， ∵，　 ∴，即， ∴把，代入， 得； ∴． 题型05 二次函数中几何综合问题 【典例分析】 例1．（2022·浙江湖州·中考真题）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线经过A，C两点，与x轴交于另一个点D． (1)①求点A，B，C的坐标； ②求b，c的值． (2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值． 【答案】(1)①A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；② (2)（0≤m≤3）； 【分析】（1）①根据坐标与图形的性质即可求解；②利用待定系数法求解即可； （2）证明Rt△ABP∽Rt△PCM，根据相似三角形的性质得到n关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵正方形OABC的边长为3， ∴点A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)； ②把点A(3，0)，C(0，3)的坐标分别代入y=−x2+bx+c， 得，解得； （2）解：由题意，得∠APB=90°-∠MPC=∠PMC，∠B=∠PCM=90°， ∴Rt△ABP∽Rt△PCM， ∴，即． 整理，得，即（0≤m≤3）． ∴当时，n的值最大，最大值是． 【点睛】本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，根据正方形的性质求出点A，B，C的坐标是解题的关键． （2023·浙江湖州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．    (1)求c的值及顶点M的坐标， (2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G． ①当时，求的长； ②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点M的坐标是 (2)①1；②存在，或 【分析】（1）把代入抛物线的解析式即可求出c，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）①先判断当时，，的坐标分别是，，再求出，时点Q的纵坐标与点P的纵坐标，进而求解； ②先求出，易得P，Q的坐标分别是，，然后分点G在点Q的上方与点G在点Q的下方两种情况，结合函数图象求解即可． 【详解】（1）∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为， ∴，                                         ∴， ∴顶点M的坐标是． （2）①∵A在x轴上，B的坐标为， ∴点A的坐标是． 当时，，的坐标分别是，． 当时，，即点Q的纵坐标是2， 当时，，即点P的纵坐标是1． ∵， ∴点G的纵坐标是1，                         ∴．                             ②存在．理由如下： ∵的面积为1，， ∴． 根据题意，得P，Q的坐标分别是，． 如图1，当点G在点Q的上方时，， 此时（在的范围内），              如图2，当点G在点Q的下方时，， 此时（在的范围内）．             ∴或． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 例2．（2023·浙江金华·中考真题）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，其中点的坐标为．直线与直线相交于点．    (1)如图2，若抛物线经过原点． ①求该抛物线的函数表达式；②求的值． (2)连接与能否相等？若能，求符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由． 【答案】(1)①；② (2)能，或或或． 【分析】（1）①先求顶点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解； ②过点作于点．设直线为，把代入，得，解得，直线为．同理，直线为．联立两直线解析式得出，根据，由平行线分线段成比例即可求解； （2）设点的坐标为，则点的坐标为．①如图2-1，当时，存在．记，则．过点作轴于点，则．在中，，进而得出点的横坐标为6．②如图2-2，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．③如图，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．④如图2-4，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为． 【详解】（1）解：①∵， ∴顶点的横坐标为1． ∴当时，， ∴点的坐标是． 设抛物线的函数表达式为，把代入， 得， 解得． ∴该抛物线的函数表达式为， 即． ②如图1，过点作于点．    设直线为，把代入，得， 解得， ∴直线为． 同理，直线为． 由 解得 ∴． ∴． ∵， ∴． （2）设点的坐标为，则点的坐标为． ①如图，当时，存在． 记，则． ∵为的外角， ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． 过点作轴于点，则． 在中，， ∴，解得． ∴点的横坐标为6．    ②如图2-2，当时，存在． 记． ∵为的外角， ∴． ∴ ∴． ∴． 过点作轴于点，则． 在中，， ∴，解得． ∴点的横坐标为．      ③如图2-3，当时，存在．记．     ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 过点作轴于点，则． 在中，， ∴，解得． ∴点的横坐标为． ④如图2-4，当时，存在．记． ∵， ∴．      ∴． ∴． 过点作轴于点，则． 在中，， ∴，解得． ∴点的横坐标为． 综上，点的横坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，解直角三角形，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识，分类讨论是解题的关键． 【变式演练】 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．    【答案】或 【分析】根据题意求得点，，，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解． 【详解】由，当时，， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴， ①当抛物线经过时，将点，代入， ∴ 解得： ②当抛物线经过点时，将点,代入， ∴ 解得： 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键． 2．（2024·浙江湖州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，抛物线 经过B，C两点，点D为抛物线的顶点，连结，，． (1)求此抛物线的表达式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)12． 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的顶点式解析式、三角形面积等知识，掌握相关知识是解题关键． （1）由正方形性质，得到，，将其代入，利用待定系数法解题； （2）利用配方法，将解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标，最后根据结合三角形面积公式解题． 【详解】（1）由已知得：，， 把B与C坐标代入得 ， 解得：， 则解析式为； （2）∵， ∴抛物线顶点D坐标为， 则． 3．（2024·浙江·模拟预测）如图所示，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最大值． (1)求直线和抛物线的解析式． (2)设点P是直线上一点，且，求点P的坐标． (3)若直线与（1）中所求的抛物线分别交于点M、N．问： ①是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． ②当时，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或 (3)①存在值，使得，其值为或； ②当时，的取值范围是 【分析】（1）先根据抛物线，当时，取最大值，得到抛物线的顶点坐标为，可写出抛物线的顶点式，再根据抛物线的解析式求出的坐标，然后将的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是，即，可先求出的长，然后分情况讨论： ①当在线段上时，过点作轴，点为垂足．由，根据相似三角形性质求出的长，进而求出点的坐标； ②当在的延长线上时，由，根据相似三角形性质求出的长，进而求出点的坐标； （3）联立两函数的解析式，设直线与抛物线的交点为(在左侧)，则是方程的两个根，由一元二次方程根与系数关系得，，进而求出． ①由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的方程，解方程即可求出的值； ②由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的不等式，解不等式即可求出的范围． 【详解】（1）解：∵抛物线， 当时，取最大值， ∴抛物线的解析式是：， 即； 当时，， 即点坐标是， 当时，，解得：或， 即点坐标是，点坐标是(2，． 将代入直线的解析式， 得， 解得：， 则直线的解析式是：； （2）过点作为垂足， ∵， ， ， 由勾股定理，得， ①当点为线段上一点时，过点作轴，点为垂足． ， ， ， ， ， ， ； ②当点在延长线时，作轴，点为垂足． ． ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 综上所述，点的坐标为或． （3）设直线与抛物线的交点为在左侧)． 则为方程组的解， 由方程组消去整理，得：， ∴是方程的两个根， ， ， ①存在的值，使得．理由如下： ， ， 即， 化简得， ， 整理，得， 解得， ∴存在值，使得，其值为或； ②∵， 即， 化简得， ， 整理，得， 解得， ∴当时，的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，相似三角形的性质和判定，函数与方程的关系，勾股定理，钝角三角形三边的关系等知识，综合性较强，难度较大．运用分类讨论、数形结合及方程思想是解题的关键． 4．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C，设点 D 为直线上方的抛物线上一动点．连接，，设直线 交线段于点E，的面积为，的面积为．    (1)设点D的横坐标为x，写出 关于x的函数关系式． (2)F为线段 上一点，若，求点F的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点D作轴于点H，交于点G，作于点F，证明，得到，求出，，，得到，，，得到，求出的解析式，根据，得到，求出，得到，根据，，判定是直角三角形，，得到； （2）过点C作平分，过点F作于点L，证明，得到，在中运用勾股定理求出，，根据正切定义，得到， ，设，则，，得到，得到，得到，得到，即得． 【详解】（1）过点D作轴于点H，交于点G，作于点F， 则， ∵， ∴， ∴， 在中， 当时，， 解得，或， 当时，， ∴，，， ∴，，， ∴， 设的解析式为， 则 ， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ；    （2）过点C作平分交x轴于点K，过点F作于点L， 则， ∵， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合．熟练掌握二次函数图象和性质，相似三角形的判断和性质，勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积公式，角平分线定义，正切定义，是解决问题的关键． 5．（2024·浙江·模拟预测）如图，二次函数的图象经过点，，且与轴交于点． (1)试求此二次函数的解析式； (2)试证明：（其中是原点）； (3)若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交此二次函数图象及轴于、两点，试问：是否存在这样的点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，P1与 【分析】（1）利用待定系数法把坐标代入抛物线解析式即可； （2）根据已知条件求出的正切值，根据正切值相等解答即可； （3）利用待定系数法得到直线的解析式，再根据两点之间的距离公式列方程解方程即可． 【详解】（1）解：∵点与在二次函数图象上， ∴ 解得， ∴二次函数解析式为． （2）解：解：过作轴于点，由（1）得， ∵，， ∴点， ∴，，，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴； （3）解：∵点与， 设直线的解析式为, ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 则 ∵， ∴， ∴， 当时， 解得（舍去）， ∴， 当时 解得（舍去）， ∴， 综上所述，存在满足条件的点，它们是与． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，两点之间的距离公式，二次函数与锐角三角函数，二次函数与一次函数的解析式，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键． 一、单选题 1．（2024·浙江衢州·一模）已知二次函数，当时，函数的最小值是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，把解析式化为顶点式求出抛物线开口向上，顶点坐标为，再根据当时，函数的最小值是可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴y的最小值即为， ∵当时，函数的最小值是， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2024·浙江宁波·一模）设二次函数（为实数）的图象过点，设，下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，则 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及解不等式组，用表示、，再根据条件求的范围即可得出答案，解题的关键是用的代数式表示、． 【详解】解：二次函数（为实数）的图象过点，，，， 代入变形可得，，，， ，， ，， A、若，且，则①，且②， 由①得，由②得， ，故A不符合题意； B、若，且，则③，且④， 由③得，由④得， ，故B不符合题意； C、若，且，则⑤，且⑥， 由⑤得或，由⑥得， ，故C不符合题意； D、若，且，则⑦，且⑧， 由⑦得或，由⑧得， ，故D符合题意， 故选：D． 3．（2024·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，点、、是抛物线上的三个点，若且，抛物线对称轴为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质并数形结合是解题的关键． 当时，，由，可知图象开口向上，经过原点，由且，可知，，可作二次函数的图象，根据离对称轴距离越远，函数值越大，列不等式和，求解作答即可． 【详解】解：当时，， ∵， ∴图象开口向上，经过原点， ∵且， ∴，， 如图， ∴， 解得，， ∴， 解得，， ∴， 故选：C． 4．（2024·浙江温州·模拟预测）已知二次函数（，，是常数，）的图象经过点，且对任意的值，始终成立，则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，根据当时，，，得出当时，再根据图象经过点．得出，，再根据对任意实数，恒有，即恒成立，整理得 ，然后由判别式，求出的值，从而得出结论，解题的关键熟练掌握知识点的应用． 【详解】解：由题意可知，当时，， ∵， ∴当时，， 即， ∴时，， ∵图象经过点， ∴当时，， 即，， 解得：，， ∵对任意实数，恒有， ∴恒成立，即， ∴，即， 解得：， 此时， ∴抛物线的表达式为， 故选：． 5．（2024·浙江杭州·一模）已知抛物线与的交点为A，与x轴的交点分别为B，C，点A，B，C的横坐标分别为，，，且．若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，以及不等式性质，根据题意得到，，再联立函数解析式表示出，，，利用不等式性质，比较其大小，即可解题． 【详解】解：，， ，， 抛物线与的交点为A， ， 整理得， 解得或， ， ， 抛物线与，与x轴的交点分别为B，C， ，可得，，可得， ， ，， ， 故选：C． 二、填空题 6．（2024·浙江宁波·一模）已知二次函数的图象上有两点，，且，则与的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．求出二次函数的对称轴为直线，然后判断出、距离对称轴的大小，即可判断与的大小． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ，且， ， ， ， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ． 故答案为：． 7．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知x的一元二次方程的解为，，且，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】 本题主要考查了抛物线与轴的交点，理清一元二次方程与二次函数的关系，将x的方程的解为，，的问题转化为二次函数与交点的横坐标，借助图象得出答案． 【详解】解：设， 它与x轴交点坐标为， 图象如图：    当时的交点横坐标为，，且， 借助图象可得， 故答案为：． 8．（2024·浙江金华·二模）若关于x的方程的一个实数根，另一个实数根，则关于x的二次函数图象的顶点到x轴距离h的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由题意得：时，，时，，可以确定k的取值范围；二次函数顶点的纵坐标为，在k的取值范围内计算出的取值范围，即可得到顶点到x轴距离h的取值范围． 【详解】解：由题意得：时，，时，， 即：， 解得：， 二次函数， 顶点的纵坐标为：， ， 又， 当时，在时，取得最大值，即：当时，， 在时，取得最小值，即：当时，， 即：图象的顶点到x轴的距离h的最小值是，图象的顶点到x轴的距离h的最大值是， h的取值范围是， 故答案为：． 9．（2024·浙江温州·一模）已知，为x轴上两点，，为二次函数图象上两点，当时，二次函数y随x增大而减小，若，时，恒成立，则A、B两点的最大距离为 ． 【答案】8 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，综合运用二次函数的图象及性质，掌握数形结合思想是解题的关键． 由二次函数图象及性质可得对称轴为，再根据当时，二次函数y随x增大而减小可得．根据图象及性质可得，进而得到，求解得，因此，从而根据点A，B的坐标即可求解． 【详解】∵二次函数中，， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为 ∵当时，二次函数y随x增大而减小， ∴，即 当时，， ∵， ∴在中， 当时，y有最大值，为， 当时，y有最小值，为， ∴当，时， ∵恒成立， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴A、B两点的最大距离为． 故答案为：8 三、解答题 10．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数的图象经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若点和点均在该抛物线上，当时，请你比较，的大小关系； (3)若，且当时，y有最小值为，求a的值． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3)或 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）把代入可得，然后根据对称轴公式计算即可； （2）由（1）得抛物线的解析式为，然后把和代入得到，然后对于a分为和两种情况讨论即可； （3）分为和两种情况，利用最值讨论即可解题． 【详解】（1）解：把代入得， 解得：， ∴对称轴为； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， 把点和点代入得： ，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，，则； 当时，，则； （3）解：∵， ∴抛物线的解析式为， 当时，即时，有最小值，即，解得； 当时，即时，有最小值，即，解得； 综上所述，a的值为或． 11．（2024·浙江·模拟预测）已知：二次函数（m是常数） (1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）． (2)若该二次函数图象与直线交于A，B两点（点A在点B的右侧），这两点的横坐标分别为，，求证：是个定值． (3)已知点，，若该二次函数图象与线段只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式求解． （2）利用根与系数的关系即可判断； （3）求得直线的解析式为，即可得到抛物线的顶点在直线上，分别求得抛物线过、点时的的值，结合图象即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：， 抛物线顶点坐标为． （2）证明：由题意可知，，是方程，即的两个根， ，， ． 是个定值． （3）解：设所在直线解析式为， 将，代入得， 解得， 直线解析式为． 抛物线顶点坐标为， 抛物线的顶点在直线上， 当时，抛物线与线段有1个交点，当时，抛物线与线段有2个交点， 将代入得， 解得，， 时，抛物线与线段有1个交点， 将代入得， 解得，， 时，抛物线与线段有1个交点， 综上所述，该二次函数图象与线段只有一个交点，的取值范围是或． 12．（2024·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，． (1)求抛物线的表达式． (2)若抛物线，当时，有最大值，求的值． (3)若将抛物线平移得到新抛物线，当时，新抛物线与直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（）把点坐标代入抛物线用待定系数法解答即可求解； （）根据函数的性质，分三种情况：、和，利用二次函数的性质解答即可求解； （）根据二次函数图象的平移画出图象，结合图象分两种情况：新抛物线与直线相交且有一个交点和抛物线与直线相切，利用数形结合求取值范围即可； 本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，掌握数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把点，代入抛物线得， ， 解得， 抛物线表达式为； （2）解：由（）知，抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∵时，有最大值， 最大值只能在或时取得， 当时，即， 此时，有最大值， 即， 解得，符合题意； 当时，即， 此时，有最大值， 即， 解得，不合，舍去； 当，即， 当时，有最大值， 即， 解得，不合，舍去； 当，有最大值， 即， 解得，不合，舍去； 综上，的值为； （3）解：由题意得，新抛物线为是把抛物线平移个单位得到的，如图所示： 当时，新抛物线与直线相交且有一个交点时， 则 解得； 当抛物线与直线相切时， 就是把抛物线，向上平移10个单位，即， 的取值范围为或． 13．（2024·浙江嘉兴·三模）已知二次函数 的图象经过点． (1)求二次函数的函数表达式； (2)当 时， ①若 求 的取值范围； ②设直线AB 的函数表达式为求m的最大值． 【答案】(1) (2)①；②4 【分析】（1）运用待定系数法求解析式即可； （2）①先表示出，，由得到或，当时，有，解得：，则，可得，故；当时，有，解得：，故，因此可求，综上所述，；②将点代入，得：，求出，将代入①可得：，求出m关于的二次函数，转化为二次函数求最值． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入， 得：， 解得：， ∴二次函数的函数表达式； （2）①解：∵， ∴， 而二次函数，且过点， ∴，， ∵ ∴或， 当时，有 结合图像化简得：， 解得：， ∴， 此时， ∴， ∴， 当时，有， 结合图像化简得：， 解得：， ∴， 此时， ∴， 综上所述，； ②将点代入， 得：， 由②①得：， ∴， 将代入①可得：， ∴， ∴，m取得最大值为4． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，不等式的性质，二次函数与一元二次方程的关系，借助于图像求解集，难度较大，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 14．（2025·浙江宁波·一模） 已知点在二次函数  的图象上， 且满足． (1)如图，若二次函数的图象经过点，若，此时二次函数图象的顶点为点P，求； (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的对称性、二次函数的性质、面积问题等知识点，熟练掌握二次函数的性质和最值是解题的关键． （1）把点代入解析式中求得a的值，得到抛物线线解析式可确定顶点坐标P，由得到点是对称点得到，结合，确定点，进而求得、、，再根据三角形的面积公式求解即可； （2）根据二次函数得到顶点，可判定函数最大值为2，结合最大值与最小值的差为1，确定函数的最小值为1，根据函数的性质分类计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ． ∴二次函数的表达式为：． ∴该抛物线的顶点坐标为． ∵， ∴M、N关于抛物线的对称轴对称， ∵对称轴是直线，顶点为且， ∴，即， ∴，解得， ，， ∴，，， ． （2）∵二次函数，顶点为， ∴函数的最大值为2， ①当时，如图， ∵最大值与最小值的差为1， ， 设，的对称点为， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ， ∴， 根据题意得，解得：， ， ∴， ， ∴，解得， ∴，解得； ②当时，如图， ∵最大值与最小值的差为1， ， 设的对称点为， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ， ∴， 根据题意得，解得：， ， ∴， ， ∴，解得， ∴，解得； 综上，a的取值范围为． 15．（2024·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形 “梦之点”的是 ； (2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，求的面积； (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)12； (3)存在，或． 【分析】（1）根据“梦之点”的定义，确定自变量的范围，函数值的取值范围，判断这几个点是否在矩形的内部或边上； （2）根据“梦之点”的定义可得：，确定，，利用二次函数的顶点式可得抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线，利用分割法计算面积即可求； （3）设，由以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，可得，利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴矩形的“梦之点”满足，， ∴点，是矩形 “梦之点”， 故答案为：，． （2）解：∵点A，B是抛物线上的“梦之点”， ∴点A，B是直线上的点， ∴， 解得：，， ∴，， ∵， ∴抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的对称轴交于M，则， ∴， ∴． （3）解：存在，理由如下： 设， ∵以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴ 解得：， 当时，， 当时，， ∴或． 【点睛】本题考查了新定义，方程组求交点，分割法求面积，菱形的性质，两点间距离公式，熟练掌握定义，菱形性质，两点间距离公式是解题的关键． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数与二次函数中的代几综合问题 目录 热点题型归纳 1 题型01 二次函数的图象及其应用 1 题型02 二次函数与系数、参数范围 4 题型03 二次函数中x、y的范围 10 题型04 二次函数中的证明问题 12 题型05 二次函数中几何综合问题 13 中考练场 17 题型01 二次函数的图象及其应用 二次函数的图象及其应用（选填题）是初中数学里函数知识板块中借助函数图象考查学生对二次函数理解与运用能力的关键内容，在中考中分值占比约 3% - 7%。 1.考查重点：重点考查通过观察二次函数图象获取信息，如函数的性质、与坐标轴的交点等，并运用这些信息解决实际问题或进行相关计算。 2.高频题型：以选择题和填空题呈现，常给出二次函数图象，要求判断函数性质、判断大小关系、确定系数符号、求解函数值或根据实际情境选择合适的函数图象等。 3.高频考点：涵盖二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点，以及利用函数图象解决实际问题中的最值、方案选择等考点。 4.能力要求：学生需具备较强的数形结合能力，能够从图象中准确提取关键信息，运用二次函数的基本性质进行推理和计算，还要能将实际问题转化为二次函数图象问题求解。 5.易错点：容易误判图象特征与函数性质的对应关系，在利用图象解决实际问题时，对题意理解不准确，忽略实际问题中的限制条件。 【提分秘籍】 1. 快速识别图象关键信息 开口方向与大小：观察二次函数图象的开口方向，若开口向上，二次项系数a > 0；开口向下，则a < 0。 对称轴位置：顶点坐标：与坐标轴交点： 2. 巧用函数性质解题 增减性与对称性：根据开口方向和对称轴确定函数增减性。开口向上时，在对称轴左侧函数单调递减，右侧单调递增；开口向下则相反。函数值比较：当需要比较函数值大小时，可根据函数增减性。若两点在对称轴同侧，直接根据增减性判断；若在两侧，利用对称性转化到同侧再比较。 【典例分析】 例1．（2022·浙江衢州·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ） A．或4 B．或 C．或4 D．或4 例2．（2023·浙江宁波·中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是(   ) A．点在该函数的图象上 B．当且时， C．该函数的图象与x轴一定有交点 D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧 例3．（2022·浙江温州·中考真题）已知点都在抛物线上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例4．（2023·浙江台州·中考真题）抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（    ）． A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 例5．（2023·浙江杭州·中考真题）设二次函数是实数，则（    ） A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为 C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为 例6．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知点在函数的图象上，，设，当且时，则下列结论正确的是（   ）． A．m有最大值，也有最小值 B．m有最小值，但没有最大值 C．m有最大值，但没有最小值 D．m没有最小值，也没有最大值 【变式演练】 1．（2024·浙江宁波·三模）点，都在二次函数的图象上，若，则下列可能成立的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．（2024·浙江杭州·二模）已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别，，而的两根为，则、、M、N的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江嘉兴·三模）在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，m有最大值 B．若，m有最小值 C．若，m有最大值 D．若，m有最小值 4．（2024·浙江台州·模拟预测）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应取值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 15 5 … 点，点均在函数图象上，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江杭州·模拟预测）二次函数的图象经过两点，若时，总有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（2024·浙江·模拟预测）已知二次函数与轴只有一个交点，且图象经过两点，，则满足的关系为(    ) A． B． C． D． 题型02 二次函数与系数、参数范围 二次函数与系数、参数范围是初中数学函数知识体系中，深入考查学生对二次函数代数表达式理解与运用能力的关键内容，在浙江中考中分值占比约 5% - 10%。 1.考查重点：重点考查根据二次函数的图象特征、性质以及给定的条件，精准确定二次函数系数的取值范围，深入探究参数变化对函数图象和性质的影响，并据此解决相关问题。 2.高频题型：多以选择题、填空题或解答题中的小问形式呈现，常给出二次函数的部分信息，如系数间的关系、函数图象经过的点、对称轴位置等，要求确定系数的取值或参数的范围。 3.高频考点：涵盖二次函数系数与图象特征的关联（如a决定开口方向、a与b共同决定对称轴位置）、利用函数性质（增减性、最值）构建不等式确定参数范围、通过方程（组）求解系数值或参数值以及借助二次函数与方程、不等式的关系分析参数问题。 4.能力要求：学生需具备较强的代数运算能力，能熟练运用二次函数的性质进行推理，将函数问题转化为方程或不等式问题求解，还要有良好的数形结合能力，从函数图象中提取有效信息分析系数与参数情况。 5.易错点：容易混淆二次函数系数与图象特征的对应关系，在构建不等式或方程求解参数范围时，因对函数性质理解不深导致条件运用错误。 【提分秘籍】 1. 深度剖析已知条件、梳理函数基本信息、提取图象相关线索、挖掘额外条件 2. 灵活运用函数性质、利用系数与图象关系、借助函数增减性与最值求解 3. 构建等式与不等式求解 【典例分析】 例1．（2022·浙江宁波·中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·浙江衢州·中考真题）已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，已知点在二次函数的图像上，且． (1)若二次函数的图像经过点． ①求这个二次函数的表达式； ②若，求顶点到的距离； (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围． 例4．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知函数（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）． (1)求b，c的值． (2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值． (3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值． 例5．（2023·浙江嘉兴·中考真题）在二次函数中， (1)若它的图象过点，则t的值为多少？ (2)当时，y的最小值为，求出t的值： (3)如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 例6．（2023·浙江杭州·中考真题）设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 1 1 … (1)若，求二次函数的表达式； (2)在（1）问的条件下，写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小． (3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围． 例7．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的对称轴是直线，图象与轴交于，两点，点坐标为，直线经过点，且与轴交于点． (1)填空：____；____；_____． (2)将该二次函数图象向右平移个单位，使抛物线顶点落在直线上，试求的值． (3)在（2）的条件下，设是轴上的一动点，若外接圆的圆心落在平移后的抛物线内部，试求的取值范围． 例8．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 例9．（2022·浙江舟山·中考真题）已知抛物线：（）经过点． (1)求抛物的函数表达式． (2)将抛物线向上平移m（）个单位得到抛物线．若抛物线的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线上，求m的值． (3)把抛物线向右平移n（）个单位得到抛物线．已知点，都在抛物线上，若当时，都有，求n的取值范围． 【变式演练】 1．（2024·浙江宁波·二模）已知二次函数与直线的交点横坐标分别是1和3，其与轴的其中一个交点的横坐标满足，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 3．（2024·浙江嘉兴·一模）已知二次函数，若点，点，点都在二次函数图象上，且，则的取值范围（   ） A． B． C． D．或 4．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数在和时的函数值相等． (1)求二次函数图像的对称轴； (2)若二次函数的图像与x轴只有一个交点，求b的值． 5．（2024·浙江温州·二模）设抛物线与直线交于点． (1)求，的值及抛物线的对称轴； (2)设，是抛物线上两点，且，在直线上． ①当时，求的值； ②当时，求的取值范围． 6．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知关于x的二次函数 (1)若该函数的图像与x轴的交点坐标是，求的值； (2)若该函数的图像的顶点纵坐标为3， ①用含b的代数式表示c； ②当时，y的取值范围是，求c的取值范围． 7．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，设二次函数． (1)若a为整数，二次函数图象过点（其中n是正整数），求抛物线的对称轴． (2)若，为抛物线上两个不同的点． ①当时，，求a的值． ②若对于，都有，求a的取值范围． 8．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数． (1)若顶点坐标为，求b和c的值． (2)若． ①求证：函数图象上必存在一点，使得． ②若函数图象与x轴的两个交点间的距离小于1，求b的取值范围． 9．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数，的图象在同一平面直角坐标系中． (1)若函数的图象过点，函数的图象过点，求t的值． (2)求这两个函数图象的交点的横坐标． (3)已知当时，，求的取值范围． 10．（2024·浙江杭州·模拟预测）在二次函数中， (1)若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标； (2)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点； (3)若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围． 11．（2024·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知二次函数（a， b，c是常数，）． (1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． (2)若，函数图象与x轴有两个交点，，且，求证：． (3)若函数图象经过点，当时，；当时，，求a的值． 12．（2024·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线． (1)抛物线与直线两个交点的横坐标分别为和2，求该抛物线的解析式； (2)设，当时；当时．已知时，． ①求的值； ②当时，求a的取值范围． 13．（2024·浙江台州·模拟预测）已知抛物线：经过点． (1)求的函数表达式及其顶点坐标； (2)若点和在抛物线上，且，． ①求A，B两点的坐标； ②将拋物线平移得到抛物线：．当时，抛物线的函数最大值为p，最小值为q，若，求k的值． 14．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象经过原点和点，其中． (1)当时． ①求关于的函数解析式，求出当为何值时，有最大值？最大值为多少？ ②当和时，函数值相等，求的值． (2)当时，在范围内，有最大值，求相应的和的值． 15．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为，点M为该抛物线上一动点． (1)求该抛物线的表达式． (2)将此抛物线绕点顺时针旋转得图形G，其中点A的对应点为点，点M的对应点为点． ①求点的坐标，并求出点的横坐标m与纵坐标n之间的数量关系． ②请直接写出时，m的取值范围． 16．（2024·浙江宁波·二模）已知抛物线 ，点 和点 是该抛物线与轴的交点． (1)若，求的取值范围； (2)若，现将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，若直线 与新得到的函数图象至少有三个交点，求的取值范围． 题型03 二次函数中x、y的范围 二次函数中 x、y 的范围是初中数学函数知识体系里，考查学生对二次函数定义域与值域理解及运用能力的重要内容，在浙江中考中分值占比约5% - 10%。 1.考查重点：重点考查依据二次函数的图象、性质以及给定的实际情境或条件，精准确定自变量 x 的取值范围），并据此求出因变量 y 的取值范围。 2.高频题型：多以解答题形式出现，常见形式有给定二次函数解析式及相关限制条件，求 x 或 y 的取值范围； 3.能力要求：学生需具备较强的数形结合能力，能够从函数图象获取关键信息，熟练运用二次函数性质进行推理计算 4.易错点：容易忽略实际问题中对 x、y 取值范围的隐含限制条件，在利用函数性质求解范围时，因对函数单调性和对称轴位置分析不准确导致结果错误。 【典例分析】 例1．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．    (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 例2．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知二次函数． (1)当时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当时，求的取值范围． (2)当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式． 例3．（2022·浙江杭州·中考真题）设二次函数（b，c是常数）的图像与x轴交于A，B两点． (1)若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数的表达式及其图像的对称轴． (2)若函数的表达式可以写成（h是常数）的形式，求的最小值． (3)设一次函数（m是常数）．若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图像经过点时，求的值． 【变式演练】 1．（2024·浙江·模拟预测）二次函数，若时，的取值范围为（为常数），则当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，点，点都在该函数图象上． (1)若时，求该二次函数的顶点坐标． (2)若时，求a的值． (3)求的最小值． 3．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知一次函数与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，经过点B的抛物线的顶点C在线段上（不包括点B）． (1)求b，c的值 (2)当时，请直接写出x的取值范围． 4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象过点． (1)若该函数图象的对称轴为直线，求该函数的表达式． (2)在（1）的条件下，当时，函数有最小值，求的值． (3)已知，二次函数的图象经过点，，，且，试比较与的大小． 5．（2024·浙江温州·三模）已知关于x的二次函数的图象过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求当时，y的最大值与最小值的差． 6．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，点和都在二次函数是常数）的图象上． (1)若，求该二次函数的表达式． (2)若，求b的取值范围． (3)已知点也都在该二次函数图象上，若且，试比较的大小，并说明理由． 7．（2024·浙江金华·二模）设二次函数 （是常数）． (1)若时，求二次函数的顶点坐标．（用含的代数式表示） (2)若时，求二次函数 的最大值．（用含的代数式表示） (3)若时，如图，直线与此函数图象交于两点，点不在二次函数图象上，线段分别交二次函数图象于点，且，求点的纵坐标的取值范围． 8．（2024·浙江宁波·模拟预测）设一次函数的图象与x轴交于点A，二次函数，B两个不同的点，设函数． (1)设点 在函数y的图象上，若，求证 (2)若函数，y的图象在x轴上截得的线段长分别为，，求，的数量关系式． (3)若函数的图象分别与函数的图象、函数y的图象交于点，，且点E，F不同于点A，求的值． 题型04 二次函数中的证明问题 【典例分析】 例1．（2023·浙江·中考真题）已知点和在二次函数是常数，的图像上． (1)当时，求和的值； (2)若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围； (3)求证：． 【变式演练】 1．（2024·浙江温州·二模）已知抛物线（，a，b均为常数）过点． (1)求a，b之间的数量关系及该抛物线的对称轴． (2)若函数y的最大值为5，求该抛物线与y轴的交点坐标． (3)当自变量x满足时，记函数y的最大值为m，最小值为n，求证：． 2．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数． (1)若函数图象经过点． ①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，求的值． (2)设点，是该函数图象上的两点，若，求证：． 3．（2024·浙江杭州·三模）在直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数（是常数）的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，已知． (1)若，求该二次函数的最小值． (2)求证：． (3)若点A位于点之间，求证：． 4．（2024·浙江温州·三模）已知，点，在二次函数的图象上． (1)当时，求此时二次函数的表达式和顶点坐标． (2)求证： 5．（2024·浙江温州·三模）二次函数的图象与x轴交于点，且． (1)当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； (2)若，求证：． 题型05 二次函数中几何综合问题 【典例分析】 例1．（2022·浙江湖州·中考真题）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线经过A，C两点，与x轴交于另一个点D． (1)①求点A，B，C的坐标； ②求b，c的值． (2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值． （2023·浙江湖州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．    (1)求c的值及顶点M的坐标， (2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G． ①当时，求的长； ②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 例2．（2023·浙江金华·中考真题）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，其中点的坐标为．直线与直线相交于点．    (1)如图2，若抛物线经过原点． ①求该抛物线的函数表达式；②求的值． (2)连接与能否相等？若能，求符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由．    【变式演练】 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．    2．（2024·浙江湖州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，抛物线 经过B，C两点，点D为抛物线的顶点，连结，，． (1)求此抛物线的表达式； (2)求四边形的面积． 3．（2024·浙江·模拟预测）如图所示，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最大值． (1)求直线和抛物线的解析式． (2)设点P是直线上一点，且，求点P的坐标． (3)若直线与（1）中所求的抛物线分别交于点M、N．问： ①是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． ②当时，直接写出a的取值范围． 4．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C，设点 D 为直线上方的抛物线上一动点．连接，，设直线 交线段于点E，的面积为，的面积为．    (1)设点D的横坐标为x，写出 关于x的函数关系式． (2)F为线段 上一点，若，求点F的坐标． 5．（2024·浙江·模拟预测）如图，二次函数的图象经过点，，且与轴交于点． (1)试求此二次函数的解析式； (2)试证明：（其中是原点）； (3)若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交此二次函数图象及轴于、两点，试问：是否存在这样的点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（2024·浙江衢州·一模）已知二次函数，当时，函数的最小值是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江宁波·一模）设二次函数（为实数）的图象过点，设，下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，则 3．（2024·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，点、、是抛物线上的三个点，若且，抛物线对称轴为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江温州·模拟预测）已知二次函数（，，是常数，）的图象经过点，且对任意的值，始终成立，则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江杭州·一模）已知抛物线与的交点为A，与x轴的交点分别为B，C，点A，B，C的横坐标分别为，，，且．若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·浙江宁波·一模）已知二次函数的图象上有两点，，且，则与的大小关系是 ． 7．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知x的一元二次方程的解为，，且，则m的取值范围是 ． 8．（2024·浙江金华·二模）若关于x的方程的一个实数根，另一个实数根，则关于x的二次函数图象的顶点到x轴距离h的取值范围是 ． 9．（2024·浙江温州·一模）已知，为x轴上两点，，为二次函数图象上两点，当时，二次函数y随x增大而减小，若，时，恒成立，则A、B两点的最大距离为 ． 三、解答题 10．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数的图象经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若点和点均在该抛物线上，当时，请你比较，的大小关系； (3)若，且当时，y有最小值为，求a的值． 11．（2024·浙江·模拟预测）已知：二次函数（m是常数） (1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）． (2)若该二次函数图象与直线交于A，B两点（点A在点B的右侧），这两点的横坐标分别为，，求证：是个定值． (3)已知点，，若该二次函数图象与线段只有一个交点，求的取值范围． 12．（2024·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，． (1)求抛物线的表达式． (2)若抛物线，当时，有最大值，求的值． (3)若将抛物线平移得到新抛物线，当时，新抛物线与直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围． 13．（2024·浙江嘉兴·三模）已知二次函数 的图象经过点． (1)求二次函数的函数表达式； (2)当 时， ①若 求 的取值范围； ②设直线AB 的函数表达式为求m的最大值． 14．（2025·浙江宁波·一模） 已知点在二次函数  的图象上， 且满足． (1)如图，若二次函数的图象经过点，若，此时二次函数图象的顶点为点P，求； (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围． 15．（2024·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形 “梦之点”的是 ； (2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，求的面积； (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$