热点题型·专题03 一次函数与反比例函数综合及与几何综合问题（5类题型）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（浙江专用）

专题03 一次函数与反比例函数综合及与几何综合问题 目录 热点题型归纳 1 题型01 图象交点问题 1 题型02 k的几何意义及其应用 10 题型03 大小范围问题 25 题型04 面积问题 33 题型05 反比例函数与几何综合问题 41 中考练场 55 题型01 图象交点问题 一次函数与反比例函数中的综合问题的图象交点问题，是初中数学函数知识体系里，综合考查代数运算与几何直观的关键内容，在初中数学考试里，分值占比约为 5%-10%。 考查重点：考查学生能否利用函数解析式联立方程，求解交点坐标，并依据交点分析函数性质及变量关系。 高频题型：常见的高频题型有根据交点坐标求函数表达式中的参数值，通过图象交点判断不等式解集，以及基于交点探究函数的变化趋势。 高频考点：主要考点包括联立一次函数与反比例函数解析式解方程组，利用交点坐标确定函数系数，结合图象解读交点在不同情境下的意义。 能力要求：要求学生具备较强的方程求解能力、数形结合思维，能够将图象信息转化为代数关系，还需有良好的逻辑推理能力来分析交点相关问题。 易错点：易错点在于联立方程求解时计算出错，对交点坐标与函数性质的关联理解不清，以及忽略函数自变量的取值范围对交点的影响。 【提分秘籍】 一、精准求解方程 联立一次函数与反比例函数解析式，形成方程组后，仔细运算。比如解代入消元时注意正负号，计算每一步都要检查，确保准确得出交点坐标，这是得分基础。 二、巧用图象助力 通过图象观察交点位置，结合函数性质分析。如交点在一象限，一次函数上升，可判断反比例函数值正负，从而快速解决基于交点探究函数变化趋势等题目，提升解题速度与准确率。 【典例分析】 例1．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是(   )    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】解：由图可知，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，的取值范围是或， 故选：B． 【点睛】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键． 例2．（2023·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．    (1)求的值． (2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）首先将点的横坐标代入求出点A的坐标，然后代入求出，然后将点的纵坐标代入求出，然后代入即可求出； （2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出所在直线的表达式，进而求解即可． 【详解】（1）∵点的横坐标是2， ∴将代入 ∴， ∴将代入得，， ∴， ∵点的纵坐标是， ∴将代入得，， ∴， ∴将代入得，， ∴解得， ∴； （2）如图所示，    由题意可得，，， ∴设所在直线的表达式为， ∴，解得， ∴， ∴当时，， ∴直线经过原点． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 例3．（2023·浙江湖州·中考真题）已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是(    ) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得．令，代入两个函数表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别求出与的表达式，代入解不等式并求出t的取值范围即可． 【详解】解：∵的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1， ∴． 令，则，． 将点和点代入，得； 将点和点代入，得． ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ①当时，， ∴不符合要求，应舍去； ②当时，， ∴符合要求； ③当时，， ∴不符合要求，应舍去； ④当时，， ∴符合要求； ⑤当时，， ∴不符合要求，应舍去． 综上，t的取值范围是或． 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解不等式是本题的关键． 【变式演练】 1．（2024·浙江·一模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，，则不等式的解是（    ）    A．或 B．或 C．或x＞2 D．或 【答案】A 【分析】此题考查一次函数与反比例函数的交点问题以及一次函数图象与反比例函数图象的综合判断，根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：把点，代入， 得出， 解得：，m=0（舍去） ∴点，B， 观察函数图象发现：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， 则不等式的解集为：或. 故选：A． 2．（2024·浙江杭州·一模）如图，反比例函数为常数，且的图象与正比例函数为常数，且的图象相交于，两点，点的横坐标为．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．根据反比例函数的中心对称性质，点的横坐标为1，结合函数图象和，可得自变量的取值范围． 【详解】解：根据反比例函数的中心对称性质，点的横坐标为1， 根据函数图象结合， 自变量的取值范围为：． 故选：C． 3．（2024·浙江金华·三模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点和点．当时，x的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题．先求出a的值，再根据图象直接求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和点， ∴， ∴，， ∴， 当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴当时，或． 故选：D． 4．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，已知点的纵坐标为3． (1)求一次函数的表达式和B点坐标； (2)已知点在一次函数上，点在反比例函数上，若，观察图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出一次函数解析式，再联立方程组即可求解； （2）根据图象和题意直接写出解集即可． 【详解】（1）解：∵点A的纵坐标为3，且A在反比例函数的图象上， ∴， 解得，， ∴， ∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为：． 联立方程组， 解得，或， ∵ ∴； （2）解：∵点在一次函数上，点在反比例函数上，且， 由两个函数图象m的取值范围为：或． 5．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点，与轴交于点，连结，的面积为3． (1)求反比例函数的表达式． (2)当时，根据图象直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）先求出一次函数解析式，根据面积求出长点的点的横坐标，根据横坐标和一次函数解析式求出点纵坐标，即可得到反比例函数解析式； （2）根据两个函数的交点坐标和函数图象，直接写出不等式解集即可． 【详解】（1）在直线的图象上， 一次函数解析式为，， 如图，作轴，垂足为点， ， ， ， 点的横坐标为， 在直线中，令得，， 点的坐标为，且在反比例函数图象上， 反比例函数的表达式为：； （2）解：根据图象可知，当时，． 题型02 k的几何意义及其应用 一次函数与反比例函数中的综合问题的k的几何意义及其应用，是初中数学函数知识体系中兼具深度与综合性的内容，着重考查学生对函数代数表达与几何直观的融合理解。在中考数学里，这类问题的分值占比约为 5%-10%，因地区和试卷结构而有所不同。 1.考查重点：重点考查学生能否理解并运用反比例函数k的几何意义，结合一次函数性质，解决与图形面积、点坐标及几何图形特征相关的问题。 2.高频题型：常以解答题形式出现，给出一次函数与反比例函数的解析式，结合图形（如三角形、四边形等），利用k的几何意义，求图形面积、点坐标或判断几何图形的存在性。 3.高频考点：反比例函数k的几何意义（即图象上一点与坐标轴围成矩形或三角形面积与k的关系）、一次函数与反比例函数图象交点坐标求解、几何图形面积公式的运用。 4.能力要求：要求学生具备较强的数形结合能力，能将函数中的代数信息转化为几何图形信息，同时拥有良好的逻辑推理和计算能力，以应对复杂的综合问题。 5.易错点：容易忽视k的正负对图形位置及面积计算的影响，在复杂图形中，难以准确识别与k相关的几何图形，导致计算错误或无法正确应用k的几何意义解题。 【提分秘籍】 深挖k的几何意义 1.用面积关系：对于反比例函数, 过图象上点作轴垂线, 与原点构成, 其面积, 因, 所以. 已知图形面积，可据此求, 再 依象限定值。 2.做等积变换：复杂图形中，利用同一反比例函数图象上不同点与坐标轴围成图形等积性质，将与相关图形转化为易求面积的图形。如已知一个矩形部分边长，可求另一相关图形边长或面积。 【典例分析】 例1．（2022·浙江舟山·中考真题）如图，在直角坐标系中，的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数（，）的图象上，点B的坐标为，与y轴平行，若，则 ． 【答案】32 【分析】根据求出A点坐标，再代入即可． 【详解】∵点B的坐标为 ∴ ∵，点C与原点O重合， ∴ ∵与y轴平行， ∴A点坐标为 ∵A在上 ∴，解得 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标性质；得出A点坐标是解题关键． 例2．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点（0，4），（3，4），将向右平移到位置，的对应点是，的对应点是，函数的图像经过点和的中点，则的值是 ． 【答案】6 【分析】作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，设AC=EO=BD=a，表示出四边形ACEO的面积，再根据三角形中位线的性质得出FG，EG，即可表示出四边形HFGO的面积，然后根据k的几何意义得出方程，求出a，可得答案． 【详解】过点F作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，根据题意，得AC=EO=BD， 设AC=EO=BD=a， ∴四边形ACEO的面积是4a． ∵F是DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴， ∴FG是△EDQ的中位线， ∴，， ∴四边形HFGO的面积为， ∴， 解得， ∴k=6． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，正确的作出辅助线构造矩形是解题的关键． 例3．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在中，边在轴上，边交轴于点．反比例函数的图象恰好经过点，与边交于点．若，，，则= ． 【答案】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，设点的坐标为，则，先根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，又根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，，再根据反比例函数的解析式可得，从而可得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 设点的坐标为，则， ，， ，， 轴，轴， ， ， ，即， ， 又轴，轴， ， ， ，即， 解得，， 将代入反比例函数得：， ， ， 由得：， ， ， ， 解得， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用、相似三角形的判定与性质，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． 例4．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．    【答案】24 【分析】设，则，从而可得、，由正方形的性质可得，由轴，点P在上，可得，由于Q为的中点，轴，可得，则，由于点Q在反比例函数的图象上可得，根据阴影部分为矩形，且长为，宽为a，面积为6，从而可得，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵Q为的中点， ∴， ∴， ∵Q在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵P在上， ∴P点纵坐标为， ∵P点在反比例函数的图象上， ∴P点横坐标为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 例5．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C为x轴正半轴上一点，将绕点A旋转得到，点C的对应点D恰好落在该函数图象上．若的面积为6，则k的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，旋转的性质，反比例函数解析式等知识．熟练掌握反比例函数与几何综合，旋转的性质，反比例函数解析式是解题的关键． 设，由，可求，则，由将绕点A旋转得到，可知为的中点，设，则，进而可得，计算求解即可． 【详解】解：设， ∵的面积为6， ∴，即， 解得，， ∴， ∵将绕点A旋转得到， ∴为的中点， 设，则， ∵均在函数图象上， ∴， 解得，， 故答案为：8． 例6．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，点A，B分别在函数图象的两支上（A在第一象限），连接AB交x轴于点C．点D，E在函数图象上，轴，轴，连接．若，的面积为9，四边形的面积为14，则的值为 ，a的值为 ．    【答案】 12 9 【分析】如图，延长，交于点，与轴交于点，而轴，轴，可得，的面积是5，设，，则，，，利用面积可得，，由，，可得，可得③，再利用方程思想解题即可． 【详解】解：如图，延长，交于点，与轴交于点，而轴，轴， ∴， ∵的面积为9，四边形的面积为14， ∴的面积是5，    设，， ∴，， ∴，，，， ∴，， 整理得：，， ∵，， ∴， ∴， ∴，则③， 把③代入②得：， ∴，即④， 把③代入①得：⑤， 把④代入⑤得：； 故答案为：12；9 【点睛】本题考查的是反比例函数的几何应用，平行线分线段成比例的应用，坐标与图形面积，熟练的利用方程思想解题是关键． 【变式演练】 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，点A，B在反比例函数的图象上，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，线段交x轴于点E，连接．若，四边形的面积为9，则k的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，设，结合点A，B在反比例函数的图象上，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，得出，结合四边形的面积为9，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设， ∵点A，B在反比例函数的图象上，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D， ∴ ∵四边形的面积为9 ∴ 即 解得 故答案为：4 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，过原点的线段的两端点，分别在反比例函数和的图象上，过点作轴的垂线，垂足为．若的面积为1，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值几何意义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．作轴，根据值几何意义得到，利用面积可知，再利用三角形相似可得，继而求出值即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为， 点在反比例函数的图象上， ， ， ， ， ， ， ， 反比例函数图象上在第二象限， ． 故答案为：． 3．（2024·浙江·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点作的垂线交的图象于点．若，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识．过作轴于点，过作于点，则，设，则．由点，得出，证明，都是等腰直角三角形，利用勾股定理得到，，代入，整理得出．由，得出，即． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作于点，则， 设，则． 点， ， ， ， ，都是等腰直角三角形， ，， ， ， 整理得，． ， ， ， ． 故选：C． 4．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有点A，B，C，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，，已知点A，B，C的横坐标分别为2，3，4，，则k的值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．由题意可分别得三点的坐标，则可表示三个阴影部分的面积，再由面积和为8建立关于的方程，解方程即可求得的值． 【详解】解：点A，B，C在反比例函数的图象上，且它们的横坐标依次为2，3，4， ，，， ，，， ， ， 解得：， 故选：B． 5．（2024·浙江杭州·三模）如图，正比例函数为常数图象与反比例函数为常数）图象交于A，B两点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，正比例函数的性质，根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据图象的位置确定解题即可． 【详解】解：∵正比例函数图象与反比例函数图象交于A，B两点， ∴A，B关于原点对称， ∴， ∵轴， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象上在第二象限， ∴． 故选：D． 6．（2024·浙江宁波·一模）如图，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D是x轴负半轴上的一点，连结和，交y轴于点E，且，若，的面积为6，则k的值为 ． 【答案】 【分析】过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，过点作轴于，设交轴于，则，由此得，设，，则，从而得点，点，证和相似从而得，证得，则，从而得，再证和全等得，则，然后根据的面积为6可求出的值． 【详解】解：过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，过点作轴于，设交轴于，如图所示： ∴， ， 可设，，则， 点，在反比例函数的图象上， 点，点， ， ， ， 即：， ， 轴， ，， ，轴， ，， ， ， ， 即， ， ， 轴，轴，， 四边形为矩形， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为6， ， 即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上的点，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活利用相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键． 题型03 大小范围问题 一次函数与反比例函数中的综合问题的函数值大小范围比较问题，属于初中数学函数知识体系中综合性较强的部分，常出现在函数章节的考查以及中考数学中。其分值占比约为 3%-8%，在不同地区和不同试卷结构下有所波动。 1.考查重点：考查如何依据一次函数与反比例函数的图象及性质，判断在不同自变量取值范围内，两个函数值的大小关系。 2.高频题型：偶常在解答题中考查。 3.高频考点：一次函数和反比例函数的单调性、函数图象的交点坐标，以及通过图象分析函数值变化趋势。 4.能力要求：学生需具备较强的数形结合能力，能将函数的代数表达式与直观图象相互转化，同时要有分析和归纳不同函数性质的能力。 5.易错点：容易忽略函数图象所在象限对函数值正负的影响，在考虑函数值大小比较时，没有全面涵盖所有可能的自变量取值范围，导致漏解。 【提分秘籍】 分类讨论自变量范围 1按象限分类：因为反比例函数在不同象限内函数值正负不同，一次函数也受象限影响，所以要分象限讨论。比如当时，反比例函数在一、三象限，分别在这两个象限内与一次函数比较函数值大小；同时考虑一次函数在不同象限的增减性和函数值正负情况。 2.按交点位置分类：若两个函数图象有多个交点，以交点横坐标为界，分区间讨论函数值大小。如交点横坐标为则分三个区间进行分析。 检验结果完整性 1.检查取值范围：在得出函数值大小范围结论后，重新审视是否涵盖了所有可能的自变量取值情况，尤其注意函数图象在坐标轴上的取值范围，避免遗漏特殊点或区间。 2.代入特殊值：选取几个处于不同范围的特殊自变量值，代入两个函数计算函数值，检验所得大小关系结论是否正确，确保解题准确性。 【典例分析】 例1．（2024·浙江·中考真题）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小． 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 故选：A． 例2．（2022·浙江杭州·中考真题）设函数，函数（，，b是常数，，）． (1)若函数和函数的图象交于点，点B(3，1)， ①求函数，的表达式： ②当时，比较与的大小（直接写出结果）． (2)若点在函数的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值． 【答案】(1)①，；② (2)1 【分析】（1）①把点B(3，1)代入，可得；可得到m=3，再把点，点B(3，1)代入，即可求解；②根据题意，画出函数图象，观察图象，即可求解； （2）根据点在函数的图象上，可得，再根据点的平移方式可得点D的坐标为，然后根据点D恰好落在函数的图象上，可得，即可求解． 【详解】（1）解：①把点B(3，1)代入，得， ∴． ∵函数的图象过点， ∴， ∴点B(3，1)代入，得： ，解得， ∴． ②根据题意，画出函数图象，如图∶ 观察图象得∶当时，函数的图象位于函数的下方， ∴． （2）解∶∵点在函数的图象上， ∴， ∵点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D， ∴点D的坐标为， ∵点D恰好落在函数的图象上， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合题，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质是解题的关键． 【变式演练】 1．（2024·浙江杭州·二模）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求，，m，b的值． (2)求的面积． (3)观察函数图象，当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)，，， (2)8 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是得到一次函数图象在反比例函数图象上方时，对应的x的取值范围． （1）把A、B点坐标代入反比例函数解析式和一次函数解析式即可求出结果； （2）设直线与x轴交于点C，求出C点坐标，根据列式计算即可求解； （3）直接由A、B的坐标借助图象可求得答案． 【详解】（1）∵一次函数与反比例函数的图象交于点，． ∴，解得，， 把点，代入得： ，解得， ∴，，，． （2）设直线交x轴于点C， 由（1）可知，直线解析式为， 当时，， ∴， ． （3）根据图像可知，当时，x的取值范围为：或． 2．（2024·浙江台州·模拟预测）设函数，函数，且都经过点． (1)求出m的值及的函数表达式； (2)点在函数上，在函数上，若，求a的取值范围． 【答案】(1)m的值为4，的函数表达式为 (2)a的取值范围为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）将代入反比例函数解析式求出的值，再代入一次函数解析式求出的值即可； （2）结合图象解答即可． 【详解】（1）解：将代入中，得， 将代入中得：， 解得：， ∴的函数表达式为； （2）解：联立，解得：，， ∴，， 画出函数图象如图所示： , 由图象可得：若，a的取值范围为或． 3．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系内，反比例函数图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点，也在这个反比例函数图象上，且，请求出m的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入，即可求解， （2）由在每个象限内的增减性，与，得出，在不同的象限，得到 ，由，得到，即可求解， 本题考查了，求反比例函数解析式，根据反比例函数的增减性求参数，解题的关键是：熟练掌握数形结合的方法． 【详解】（1）解：将点代入，得：，解得：， ∴，， 故答案为：， （2）解：，，， ∵反比例函数，， ∴在每个象限内，随着的增大而减小， ∵，， ∴，在不同的象限， ∴，，即： ， ∵， ∴，即：， ∴当时，， 故答案为：． 4．（2024·浙江杭州·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，． (1)分别求出两个函数的表达式． (2)当时，，请根据图象求的取值范围， 【答案】(1)反比例函数为，一次函数解析式为； (2)． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）结合图象可得，当时，的取值范围为或，分和两种情况解答即可求解； 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点，， ∴把代入得，， ∴， ∴反比例函数为， 把代入得，， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：由图可得，当时，的取值范围为或， ∵当时，， ∴当即时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上，的取值范围． 5．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点． (1)求关于x的函数表达式及点B的坐标． (2)当时，；当时，．求t的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握待定系数法，数形结合的数学思想是解题关键． （1）将点代入可求得，进而得点，故可求；令，可得点； （2）数形结合，分类讨论两种情况即可求解； 【详解】（1）解：将点代入， 得，解得， ∴点， ∴． 令，解得，， 当时，， ∴点． （2）解：观察图象，分两种情况讨论： ①，解得； ②解得． 综上所述，t的取值范围是或． 题型04 面积问题 一次函数与反比例函数中的综合问题的面积问题，是初中数学函数板块的重要内容，常作为综合性题目出现。在各地中考中，这类问题分值占比约 5%-10%，具体因试卷整体结构而异。 1.考查重点：重点考查如何通过函数解析式确定函数图象上点的坐标，进而结合图形性质求相关图形面积。 2.高频题型：多以解答题形式呈现，给定一次函数与反比例函数解析式，求由它们图象交点及坐标轴围成图形的面积。 3.高频考点：一次函数与反比例函数的交点坐标求解，以及三角形、四边形等常见图形面积公式在函数图象背景下的运用。 4.能力要求：需具备将函数知识与几何图形知识相互转化的能力，以及较强的计算和逻辑推理能力。 5.易错点：容易忽略函数图象所在象限，导致点的坐标取值错误，进而在计算面积时出错；同时在复杂图形中分割或组合图形求面积时易出现遗漏或重复计算。 【提分秘籍】 合理转化面积 1.直接利用公式：若所求图形为规则三角形，且底与高易由交点坐标或坐标轴截距得出，直接用三角形面积公式为 底，为高)。 2.分割法：复杂图形可分割为几个规则图形，分别求面积再求和。例如，对于不规则四边形，可连接对角线分割成两个三角形。 3.补全法：把所求图形补成规则图形，用补全后图形面积减去补上部分图形面积。如求函数图象与坐标轴围成的凹多边形面积，可补成矩形。 【典例分析】 例1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是 ． 【答案】2 【分析】过点作轴于点，轴于点，于点，利用，，得到，结合梯形的面积公式解得，再由三角形面积公式计算，即可解答． 【详解】解：如图，过点作轴于点，轴于点，于点，    故答案为：2． 【点睛】本题考查反比例函数中的几何意义，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式演练】 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的正半轴上，，过原点作的平行线，交反比例函数的图象于点，连结交轴于点，连结．若，则的值为 ，四边形的面积为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，关键是掌握反比例函数的性质和待定系数法求函数解析式． 设点坐标为，，然后根据已知条件求出点坐标，用待定那个系数法求直线的解析式，再根据求出直线解析式，然后解方程组求出点坐标，求出点坐标，然后把，，坐标代入直线解析式，从而求出的值，再根据面积公式求面积． 【详解】解：设点坐标为，， ，点在轴上， ， 设的表达式为， 代入，得， 解得， 的表达式为， ， 的表达式为， 联立方程组， 解得， ，， ， 点，， 设直线的表达式为，代入，得：， 把点坐标代入得：， ， 解得， 点所在反比例函数解析式为， 则． 故答案为：，． 2．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，直线与反比例函数，且的图象交于点A，点A的横坐标为2． (1)求反比例函数的表达式． (2)点B在反比例函数图象上，且点B的纵坐标是6，连接，．求的面积． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点坐标，再求出直线解析式得到直线与轴的交点坐标，根据三角形面积的和差代入数据计算即可． 【详解】（1）解：点横坐标为2，且在直线的图象上， ， ， ∵点在反比例函数，且的图象上， ， ∴反比例函数解析式为． （2）解：∵点在反比例函数图象上，且点的纵坐标是6， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线与轴的交点为， ． 3．（2024·浙江杭州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴、轴分别交于点A、B，与反比例函数交于点，D两点，直线垂直于轴分别与一次函数和反比例函数交于、，连接． (1)求的值； (2)点在线段上（不与端点、重合），若，求的面积； 【答案】(1) (2)3 【分析】本题本题考查了反比例函数与一次函数交点问题、求反比例函数解析式、求一次函数解析式、三角形面积公式、求中点坐标等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，再代入反比例函数解析式计算即可得解； （2）设、的横坐标为，由于在直线上，在双曲线上，可得，，过作于点，由于，点为中点，利用中点坐标公式求得坐标，纵坐标与点纵坐标相等，解出，求出，即可求出的面积； 【详解】（1） 点在直线上，代入得， ， 点． 将代入得，， 解得． （2）由（1）可得直线解析式为，双曲线解析式为，， 设、的横坐标为，由于在直线上，在双曲线上， ，， ，， 过作于点，如图， ， 点为中点， 点纵坐标为，与点纵坐标相等， ， 解得，， 直线，与坐标轴交点为，，点在线段上（不与端点、重合） ． 可得，，， ． 4．（2024·浙江宁波·一模）如图，直线与双曲线相交于点． (1)求直线及双曲线对应的函数表达式； (2)直接写出关于x的不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)直线：，双曲线： (2) (3)8 【分析】本题主要考查了一次函数，反比例函数的交点坐标，将点的坐标代入函数关系式是确定函数关系式的常用方法，理解交点坐标与不等式解集之间的关系是解本题的关键． （1）将代入到反比例函数解析式可得其解析式；先根据反比例函数解析式求得点的坐标，再由，坐标可得直线解析式； （2）根据图象得出不等式的解集即可； （3）设一次函数的图象与坐标轴交于，两点，分别过，两点作轴于，作轴于，根据题意可得，，从而求出，和，进而求出的值． 【详解】（1）把代入，得：， ∴反比例函数的解析式为； 把代入，得：， ∴， 把、代入，得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； 故答案为：；． （2）由图象可知当时，， ∴不等式的解集是， （3）设一次函数的图象与坐标轴交于，两点，分别过，两点作轴于，作轴于， ∵、， ∴， ∵一次函数的解析式为，当时，， 当当时，，解得，， ∴点C的坐标是，点D的坐标是 ∴． ∴，， ∴． 题型05 反比例函数与几何综合问题 【典例分析】 例1．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为时，的值为 ，点F的坐标为 ． 【答案】 （，0） 【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B（b，），D（a，），根据矩形的面积得出三角形BOD的面积，将三角形BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形BOD中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果． 【详解】解：如图， 作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I， 设点B（b，），D（a，）， 由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC， ∴∠OBC=∠BOD，BC=OD， ∴OI=BI， ∴DI=CI， ∴， ∵∠CID=∠BIO， ∴△CDI∽△BOI， ∴∠CDI=∠BOI， ∴CD∥OB， ∴S△BOD=S△AOB=S矩形AOCB=， ∵S△BOE=S△DOG=|k|=3，S四边形BOGD=S△BOD+S△DOG=S梯形BEGD+S△BOE， ∴S梯形BEGD=S△BOD=， ∴ (+)•（a-b）=， ∴2a2-3ab-2b2=0， ∴（a-2b）•（2a+b）=0， ∴a=2b，a=-（舍去）， ∴D（2b，），即：（2b，）， 在Rt△BOD中，由勾股定理得， OD2+BD2=OB2， ∴[（2b）2+（）2]+[（2b-b）2+（-）2]=b2+（）2， ∴b=， ∴B（，2），D（2，）， ∵直线OB的解析式为：y=2x， ∴直线DF的解析式为：y=2x-3， 当y=0时，2x-3=0， ∴x=， ∴F（，0）， ∵OE=，OF=， ∴EF=OF-OE=， ∴， 故答案为：，（，0）． 【点睛】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式． 【变式演练】 1．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形的一边在轴上，轴，轴，已知，，，过点A的双曲线与交于点，点从点A出发沿射线运动，点从点出发沿轴正半轴运动，点、同时出发，运动速度分别是以每秒2个单位和4个单位，运动的时间设为． (1)求点的坐标； (2)当时，求的面积； (3)是否存在是直角三角形的情况，如果存在，请求出时间的值，如果不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当的值为或或或时，是直角三角形 【分析】（1）如图，设双曲线的解析式为，过A作轴于，解直角三角形得到，于是得到双曲线的解析式为，根据矩形的性质得到，求得，于是得到； （2）由题意得，，，解方程得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）当时，如图，过点作轴的垂线，垂足为，交的延长线于，当时，如图，过点作轴的垂线，垂足为，交的延长线于，当时，如图，过点作轴的垂线交的延长线于，过作轴的垂线交的延长线于，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，设双曲线的解析式为， 过A作轴于， ∵在中，，， ，， ，， 点A在双曲线上， ， 双曲线的解析式为， ∵轴，轴， 四边形是矩形， ， ， 点的横坐标为10， ， ； （2）解：由题意得，，， ∵， ， 解得， ， ， ， ∴； （3）解：当时，如图，过点作轴的垂线，垂足为，交的延长线于， 则有， ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得，（舍去）； 当时，如图，过点作轴的垂线，垂足为，交的延长线于， 则有， ， ， 解得，． 当时，如图，过点作轴的垂线交的延长线于，过作轴的垂线交的延长线于， 则有， ， ， 解得，（舍去）； 所以，当的值为或或或时，是直角三角形． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键． 2．（2023·浙江湖州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与坐标轴交于，两点，反比例函数的图象与直线交于，两点，连结，，分别过点，作轴的垂线和，交于点．    (1)若点的横坐标为12，求的面积； (2)若阴影部分的面积为12， ①记的面积为，的面积为，求证：； ②求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）由反比例函数解析式，求出点的坐标，代入直线解析式，进而求得点坐标，利用三角形面积公式，即可求解， （2）①根据反比例函数系数的几何意义，求出，得出 ，即：，即可求解， ②设点，点，求得，在中，，即，求出，即，由，可得，进而得出，将代入，即可求解， 本题考查了，反比例函数与一次函数交点，求一次函数解析式，反比例函数系数的几何意义，解直角三角形，解题的关键是：熟练掌握反比例函数系数的几何意义． 【详解】（1）解：当时，，得点的坐标为， 把代入，即：，解得：， ∴直线的函数表达式为， 令，得：，解得：，得点的坐标为， ∴, 故答案为：的面积为， （2）解：①∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ∵， ∴，即：， ∵阴影部分的面积为12， ∴，即， ∴． ②设点，点， 由直线，得：，， 在中，， ∴在中，， 如图，过点作轴于点，则，    ∴在中，， 在中，，即， ∵，整理得， ∴，即， ∴， 由①可知，， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 把代入，得，解得：， 故答案为：①；②． 3．（2023·浙江宁波·模拟预测）在直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线，且点D的坐标为． (1)如图1，当点C的横坐标为3，求点C的坐标和的值． (2)如图2，当点C在第三象限时，过点C作x轴的垂线，垂足为，过点D作y轴的垂线，垂足为F，连结，当时，求点C的坐标和的值． (3)若，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】（1）由题意易得双曲线解析式是，则有，然后可得直线的解析式为，进而问题可求解； （2）设，则有，由题意易得，则有，然后可得四边形与四边形都是平行四边形，进而可得，设，则有，，则有，然后根据三角函数及相似三角形的性质可进行求解； （3）根据题意可分两种情况进行分类讨论，然后结合相似三角形的性质与判定及三角函数可进行求解． 【详解】（1）解：∵在上， ∴，即双曲线解析式是， 当C点横坐标为3时，则纵坐标为2， ∴． 设直线的解析式为，且过点，，则有， 解得， 故直线的解析式为， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图： 设，则有， ∵，， ∴； ∵两三角形同底， ∴两三角形的高相同， ∴， ∵， ∴四边形与四边形都是平行四边形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， 设，则有，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴直线的解析式为， 联立反比例函数解析式和一次函数解析式可得， 解得，， ∴． （3）解：如图1：过D分别作于E，作于F， 则， ∵， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设直线的解析式为，则有， 解得：， ∴直线方程的解析式为， 再将直线方程代入双曲线方程有， 解得或18， 当时，则有， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图2， 直线与双曲线过，代入双曲线解析式可得，设直线的解析式为， 代入直线方程，， 所以直线方程变为， 令，则有，令，则有， ∴， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， 再将直线方程代入双曲线方程有， 解得：， ∴当，则，即， 过C作平行于x轴的直线，过D作平行于y的直线， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上所述：的值为或． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握一次函数与反比例函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键． 一、单选题 1．（2024·浙江·模拟预测）已知三个点，，在反比例函数的图象上，其中    ，则下列结论中正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象性质，掌握反比例函数的图象性质，利用数形结合思想解题是关键． 根据反比例函数图象的增减性分析解答． 【详解】解：反比例函数经过第一，三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小， ∴当时，． 故选：A． 2．（2024·浙江金华·二模）已知，是反比例函数（a为常数，）图像上的两点，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了比较反比例函数值的大小，解题的关键是数形结合，掌握函数的定义和反比例函数图象的性质．由于，反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小．据此可判断． 【详解】解： 由于，当时，反比例函数的图象在第一象限，，且y随x到增大而减小． 若，则． 故选：A． 3．（2024·浙江杭州·二模）如图，已知反比例函数图象的一支曲线经过对角线，的交点，且点的坐标为，则（　　） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴点D是的中点， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴， 故选B． 4．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，双曲线与直线相交于A，B两点，将直线向上平移1个单位长度，所得的直线在第一象限内交双曲线于点C，则点C的横坐标是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数的图象的交点问题，一次函数图象的平移，根据平移规则，得到新的直线的解析式为，联立直线与双曲线的解析式，求出点的横坐标即可． 【详解】解：将直线向上平移1个单位长度，得到新直线， 联立，得：， 解得：， ∵点在第一象限， ∴点C的横坐标是1； 故选C． 5．（2024·浙江·模拟预测）如图，直线与双曲线交于点P和点Q，点M在x轴上，且，若的面积为，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据题意可得，利用三角形的面积建立关于x的方程，求出点P坐标即可得到k值． 【详解】解：设， 则， ∵点M在x轴上，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去） ∴． ∵P点在反比例函数图象上， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的对称性，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握图象的对称性，勾股定理是解题的关键． 二、填空题 6．（2024·浙江·模拟预测）已知，点，均在反比例函数的图象上，若将线段顺时针旋转，的对应点为，得到线段的两端点仍在反比例函数的图象上，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，旋转的性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键；根据题意可知，当时，在二，四象限，即，求出坐标，结合，即可求解； 【详解】解：当时，在二，四象限，即， 点旋转顺时针旋转坐标为， ∴ 作轴于点C, 作轴于点D， ∴， ∴． ∴． 在与中 ∴≌ ∴， ∴． ， 即， 即， ， 将坐标代入， ， 故答案为： 7．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，直线（为常数）与轴交于点，与轴交于点，点在函数的图象上，过点分别作轴的垂线交直线于点，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数图象，反比例函数图象上点的特点，两点之间距离公式的计算是解题的关键． 根据题意分别求出，设，根据图形可得点的纵坐标为，点的横坐标为，分别代入直线中可得，根据两点之间距离公式分别求出即可求解． 【详解】解：在直线中，令，则，令，则， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴设，根据图示可得，， ∵轴交于直线于点，轴与直线交于点， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴把代入直线解析式得，， 解得，，即， 把代入直线解析式得，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： ． 8．（2024·浙江·模拟预测）如图，正方形的顶点A，B在x轴上，点，正方形的中心为点M，点E，F，G，H分别在边上，且四边形是正方形．已知反比例函数的图象经过点M，H．则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】30 【分析】本题考查了反比例函数，正方形的性质及三角形的全等的性质的应用是本题的解题关键．作，根据点坐标求出点坐标即可解答，证明，求出，，即可求出的面积，从而求出阴影面积． 【详解】解：点， ，， ， ， 作，如图， 正方形的中心为点， ，， ， ， ， 把代入， ， ， ， 四边形是正方形， ，， 正方形，， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积为． 故答案为：30． 9．（2024·浙江宁波·一模）如图，菱形的对角线轴，顶点A，B和边的中点E在反比例函数图象上，顶点C，D在反比例函数图象上．边与y轴的交点为F，则的值为 ；若，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】如图，连接交于，交轴于，设，，可得，结合为的中点，可得，可得：，可得，解得，由，可得，再结合，可得：，，再利用菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接交于，交轴于， ∵菱形， ∴，，，， 设，， ∴，， ∴，即， ∴， ∵为的中点， ∴ ∴， 整理得：， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∵， ∴， ∴， ∵， 解得：，， ∴菱形的面积为： ； 故答案为：， 【点睛】本题考查的是菱形的性质，反比例函数的几何应用，一元二次方程的解法，平行线分线段成比例的应用，本题难度大，计算量大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 10．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，，点P在反比例函数图象上，，且y轴平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，轴对称图形，求得点的坐标是解题的关键． 作轴点，则，通过证得，求得，，证得是轴对称图形，得到，即可证得，，再证得，求得，则，得到，然后利用待定系数法即可求得的值． 【详解】解：作轴点，则， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，轴平分， 是轴对称图形， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 点在反比例函数图象上， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（2024·浙江宁波·一模）已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上． (1)求的值； (2)若点都在该反比例函数图象上； ①当，点和点关于原点中心对称时，求点坐标； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1)3 (2)①；② 【分析】（1）根据反比例函数图象与性质，利用待定系数法列方程求解即可得到答案； （2）①利用反比例函数图象与性质，结合题意求出，利用待定系数法列方程求解即可得到答案；②利用反比例函数图象与性质，利用待定系数法求出，列不等式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：反比例函数，点都在该反比例函数图象上， ，解得， ； （2）解：点都在该反比例函数图象上，且点和点关于原点中心对称， ， ，则，解得， ， 将代入得，解得， ； ②，则， ， ， ， ． 【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，涉及待定系数法确定、点的对称性质、解不等式等知识，熟练掌握反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 12．（2024·浙江杭州·一模）如图，在平面直角坐标系中放置一块角的三角板，，，两点分别落在轴和轴上，直线的解析式为，右侧有一条直线到的距离为．    (1)求的长． (2)用尺规作出直线(保留作图痕迹，不写作法)． (3)若直线与边交于点，双曲线经过点，求出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了反比例函数综合应用，涉及线段垂直平分线的作图、勾股定理、全等三角形的判定和性质以及求反比例函数的解析式等知识； （1）根据直线解析式求出点、坐标，利用勾股定理求出长，即可； （2）根据题意作出线段的垂直平分线即可； （3）利用一线三直角证明继而可求出点坐标，再根据中点坐标公式求出点坐标，即可求出双曲线中的值． 【详解】（1）解：由题意可知，是等腰直角三角形， ， 在直线中，当时，；当时，， ，， （2），，右侧有一条直线到的距离为． 作线段的垂直平分线即可，如图示：    （3）如图，作轴，垂足为，    在和中， ， ， ，， ， 根据（2）作图可知，直线， 点为线段的中点， ， ， 点在双曲线图象上， ． 13．（2024·浙江杭州·一模）如图，反比例函数的图象与直线交于点，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线分别交反比例函数图象和轴于点和点． (1)求k和a的值； (2)根据图象直接写出的自变量x的取值范围； (3)当AB长为时，求点A的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）将点坐标代入两个解析式可得、值； （2）根据函数图象和点横坐标可得不等式的解集； （3）先确定两个函数解析式，再设则，根据点在反比例函数图象上，列出关于的方程解出值即可知道点坐标． 【详解】（1）解：反比例函数的图象与直线交于点， ，； （2）解：根据图象可知，的自变量的取值范围为：； （3）解：由（1）可知，反比例函数解析式为：，正比例函数解析式为：， 设则， 点在反比例函数图象上， ， 解得或（舍去）， ． 14．（2024·浙江·模拟预测）如图所示，直线与双曲线交于，两点，与轴交于点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)请结合上述两个函数的图象，请直接写出的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （1）将点代入直线得，确定，将代入反比例函数解析式确定即可； （2）令 中，得，确定，联立解析式求出点，进而求出的面积； （3）根据图象直接判断即可． 【详解】（1）将点代入 得， ， 将代入， ； （2）令 中，得， ， 解方程组， 得或， ， ； （3）即为， 根据图象得或． 15．（2024·浙江·模拟预测）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于两点．过点作轴的垂线，垂足为，连接、，并延长，与直线相交于点．在第一象限找点，使以为顶点的四边形为平行四边形，反比例函数，经过点． (1)求的面积． (2)在反比例函数的图象上找点，使是直角三角形，求出符合要求的点的坐标． (3)如图，在反比例函数的图象上有一点，轴于点，轴于点，分别交反比例函数的图象于两点，求的面积． 【答案】(1)15 (2)、、、 (3)或 【分析】（1）先求出，由，解得，，再由即可求解； （2）先根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，，①当为平行四边形的对角线时，此时为平行四边形，则，求得经过点N的反比例函数的表达式为，设，当，联立，可求，当，则，得到，解得：或（舍），则；②当为平行四边形的对角线时，此时为平行四边形，此时也为矩形，此时，同上可求反比例函数的表达式为，当，联立，解得，则，当时，此时点与点N重合，则，综上所述，点D的坐标为：、、、； （3）设点，，当点E在上时，由题意可得，，因此， 所以，，，故；当点E在上时，同理可得． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由，解得或， ∴，， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，，即， 设， ①当为平行四边形的对角线时，此时为平行四边形， 有， 解得， ∴， 代入得， ∴反比例函数的表达式为，设，如图， 当，联立， 解得， ∴， 当，则， ∴， 解得：或（舍）， ∴； ②当为平行四边形的对角线时，此时为平行四边形，此时也为矩形， 有， 解得， ∴， 同上可求反比例函数的表达式为，如图， 当，联立， 解得， ∴， 当时，此时点与点N重合， ∴， 综上所述，点D的坐标为：、、、； （3）解：如图， 设点， ∵轴于点，轴于点，分别交反比例函数的图象于两点， ∴， 当点E在上时，由题意可得，， ∴， ∵， ，， ∴； 当点E在上时，同理可得， 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合，待定系数法求函数解析式，反比例函数图像与一次函数图像的交点问题，平行四边形的存在性问题，直角三角形的存在性问题，勾股定理，以及反比例函数k的几何意义等，难度很大，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一次函数与反比例函数综合及与几何综合问题 目录 热点题型归纳 1 题型01 图象交点问题 1 题型02 k的几何意义及其应用 5 题型03 大小范围问题 9 题型04 面积问题 12 题型05 反比例函数与几何综合问题 15 中考练场 17 题型01 图象交点问题 一次函数与反比例函数中的综合问题的图象交点问题，是初中数学函数知识体系里，综合考查代数运算与几何直观的关键内容，在初中数学考试里，分值占比约为 5%-10%。 考查重点：考查学生能否利用函数解析式联立方程，求解交点坐标，并依据交点分析函数性质及变量关系。 高频题型：常见的高频题型有根据交点坐标求函数表达式中的参数值，通过图象交点判断不等式解集，以及基于交点探究函数的变化趋势。 高频考点：主要考点包括联立一次函数与反比例函数解析式解方程组，利用交点坐标确定函数系数，结合图象解读交点在不同情境下的意义。 能力要求：要求学生具备较强的方程求解能力、数形结合思维，能够将图象信息转化为代数关系，还需有良好的逻辑推理能力来分析交点相关问题。 易错点：易错点在于联立方程求解时计算出错，对交点坐标与函数性质的关联理解不清，以及忽略函数自变量的取值范围对交点的影响。 【提分秘籍】 一、精准求解方程 联立一次函数与反比例函数解析式，形成方程组后，仔细运算。比如解代入消元时注意正负号，计算每一步都要检查，确保准确得出交点坐标，这是得分基础。 二、巧用图象助力 通过图象观察交点位置，结合函数性质分析。如交点在一象限，一次函数上升，可判断反比例函数值正负，从而快速解决基于交点探究函数变化趋势等题目，提升解题速度与准确率。 【典例分析】 例1．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是(   )    A．或 B．或 C．或 D．或 例2．（2023·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．    (1)求的值． (2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点． 例3．（2023·浙江湖州·中考真题）已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是(    ) A．或 B．或 C．或 D．或 【变式演练】 1．（2024·浙江·一模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，，则不等式的解是（    ）    A．或 B．或 C．或x＞2 D．或 2．（2024·浙江杭州·一模）如图，反比例函数为常数，且的图象与正比例函数为常数，且的图象相交于，两点，点的横坐标为．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 3．（2024·浙江金华·三模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点和点．当时，x的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 4．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，已知点的纵坐标为3． (1)求一次函数的表达式和B点坐标； (2)已知点在一次函数上，点在反比例函数上，若，观察图象，直接写出的取值范围． 5．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点，与轴交于点，连结，的面积为3． (1)求反比例函数的表达式． (2)当时，根据图象直接写出的取值范围． 题型02 k的几何意义及其应用 一次函数与反比例函数中的综合问题的k的几何意义及其应用，是初中数学函数知识体系中兼具深度与综合性的内容，着重考查学生对函数代数表达与几何直观的融合理解。在中考数学里，这类问题的分值占比约为 5%-10%，因地区和试卷结构而有所不同。 1.考查重点：重点考查学生能否理解并运用反比例函数k的几何意义，结合一次函数性质，解决与图形面积、点坐标及几何图形特征相关的问题。 2.高频题型：常以解答题形式出现，给出一次函数与反比例函数的解析式，结合图形（如三角形、四边形等），利用k的几何意义，求图形面积、点坐标或判断几何图形的存在性。 3.高频考点：反比例函数k的几何意义（即图象上一点与坐标轴围成矩形或三角形面积与k的关系）、一次函数与反比例函数图象交点坐标求解、几何图形面积公式的运用。 4.能力要求：要求学生具备较强的数形结合能力，能将函数中的代数信息转化为几何图形信息，同时拥有良好的逻辑推理和计算能力，以应对复杂的综合问题。 5.易错点：容易忽视k的正负对图形位置及面积计算的影响，在复杂图形中，难以准确识别与k相关的几何图形，导致计算错误或无法正确应用k的几何意义解题。 【提分秘籍】 深挖k的几何意义 1.用面积关系：对于反比例函数, 过图象上点作轴垂线, 与原点构成, 其面积, 因, 所以. 已知图形面积，可据此求, 再 依象限定值。 2.做等积变换：复杂图形中，利用同一反比例函数图象上不同点与坐标轴围成图形等积性质，将与相关图形转化为易求面积的图形。如已知一个矩形部分边长，可求另一相关图形边长或面积。 【典例分析】 例1．（2022·浙江舟山·中考真题）如图，在直角坐标系中，的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数（，）的图象上，点B的坐标为，与y轴平行，若，则 ． 例2．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点（0，4），（3，4），将向右平移到位置，的对应点是，的对应点是，函数的图像经过点和的中点，则的值是 ． 例3．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在中，边在轴上，边交轴于点．反比例函数的图象恰好经过点，与边交于点．若，，，则= ． 例4．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．    例5．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C为x轴正半轴上一点，将绕点A旋转得到，点C的对应点D恰好落在该函数图象上．若的面积为6，则k的值为 ． 例6．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，点A，B分别在函数图象的两支上（A在第一象限），连接AB交x轴于点C．点D，E在函数图象上，轴，轴，连接．若，的面积为9，四边形的面积为14，则的值为 ，a的值为 ．    【变式演练】 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，点A，B在反比例函数的图象上，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，线段交x轴于点E，连接．若，四边形的面积为9，则k的值为 ． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，过原点的线段的两端点，分别在反比例函数和的图象上，过点作轴的垂线，垂足为．若的面积为1，则的值为 ． 3．（2024·浙江·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点作的垂线交的图象于点．若，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 4．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有点A，B，C，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，，已知点A，B，C的横坐标分别为2，3，4，，则k的值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 5．（2024·浙江杭州·三模）如图，正比例函数为常数图象与反比例函数为常数）图象交于A，B两点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为（　　） A． B． C． D． 6．（2024·浙江宁波·一模）如图，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D是x轴负半轴上的一点，连结和，交y轴于点E，且，若，的面积为6，则k的值为 ． 题型03 大小范围问题 一次函数与反比例函数中的综合问题的函数值大小范围比较问题，属于初中数学函数知识体系中综合性较强的部分，常出现在函数章节的考查以及中考数学中。其分值占比约为 3%-8%，在不同地区和不同试卷结构下有所波动。 1.考查重点：考查如何依据一次函数与反比例函数的图象及性质，判断在不同自变量取值范围内，两个函数值的大小关系。 2.高频题型：偶常在解答题中考查。 3.高频考点：一次函数和反比例函数的单调性、函数图象的交点坐标，以及通过图象分析函数值变化趋势。 4.能力要求：学生需具备较强的数形结合能力，能将函数的代数表达式与直观图象相互转化，同时要有分析和归纳不同函数性质的能力。 5.易错点：容易忽略函数图象所在象限对函数值正负的影响，在考虑函数值大小比较时，没有全面涵盖所有可能的自变量取值范围，导致漏解。 【提分秘籍】 分类讨论自变量范围 1按象限分类：因为反比例函数在不同象限内函数值正负不同，一次函数也受象限影响，所以要分象限讨论。比如当时，反比例函数在一、三象限，分别在这两个象限内与一次函数比较函数值大小；同时考虑一次函数在不同象限的增减性和函数值正负情况。 2.按交点位置分类：若两个函数图象有多个交点，以交点横坐标为界，分区间讨论函数值大小。如交点横坐标为则分三个区间进行分析。 检验结果完整性 1.检查取值范围：在得出函数值大小范围结论后，重新审视是否涵盖了所有可能的自变量取值情况，尤其注意函数图象在坐标轴上的取值范围，避免遗漏特殊点或区间。 2.代入特殊值：选取几个处于不同范围的特殊自变量值，代入两个函数计算函数值，检验所得大小关系结论是否正确，确保解题准确性。 【典例分析】 例1．（2024·浙江·中考真题）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 例2．（2022·浙江杭州·中考真题）设函数，函数（，，b是常数，，）． (1)若函数和函数的图象交于点，点B(3，1)， ①求函数，的表达式： ②当时，比较与的大小（直接写出结果）． (2)若点在函数的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值． 【变式演练】 1．（2024·浙江杭州·二模）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求，，m，b的值． (2)求的面积． (3)观察函数图象，当时，直接写出x的取值范围． 2．（2024·浙江台州·模拟预测）设函数，函数，且都经过点． (1)求出m的值及的函数表达式； (2)点在函数上，在函数上，若，求a的取值范围． 3．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系内，反比例函数图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点，也在这个反比例函数图象上，且，请求出m的范围． 4．（2024·浙江杭州·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，． (1)分别求出两个函数的表达式． (2)当时，，请根据图象求的取值范围， 5．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点． (1)求关于x的函数表达式及点B的坐标． (2)当时，；当时，．求t的取值范围． 题型04 面积问题 一次函数与反比例函数中的综合问题的面积问题，是初中数学函数板块的重要内容，常作为综合性题目出现。在各地中考中，这类问题分值占比约 5%-10%，具体因试卷整体结构而异。 1.考查重点：重点考查如何通过函数解析式确定函数图象上点的坐标，进而结合图形性质求相关图形面积。 2.高频题型：多以解答题形式呈现，给定一次函数与反比例函数解析式，求由它们图象交点及坐标轴围成图形的面积。 3.高频考点：一次函数与反比例函数的交点坐标求解，以及三角形、四边形等常见图形面积公式在函数图象背景下的运用。 4.能力要求：需具备将函数知识与几何图形知识相互转化的能力，以及较强的计算和逻辑推理能力。 5.易错点：容易忽略函数图象所在象限，导致点的坐标取值错误，进而在计算面积时出错；同时在复杂图形中分割或组合图形求面积时易出现遗漏或重复计算。 【提分秘籍】 合理转化面积 1.直接利用公式：若所求图形为规则三角形，且底与高易由交点坐标或坐标轴截距得出，直接用三角形面积公式为 底，为高)。 2.分割法：复杂图形可分割为几个规则图形，分别求面积再求和。例如，对于不规则四边形，可连接对角线分割成两个三角形。 3.补全法：把所求图形补成规则图形，用补全后图形面积减去补上部分图形面积。如求函数图象与坐标轴围成的凹多边形面积，可补成矩形。 【典例分析】 例1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是 ． 【变式演练】 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的正半轴上，，过原点作的平行线，交反比例函数的图象于点，连结交轴于点，连结．若，则的值为 ，四边形的面积为 ． 2．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，直线与反比例函数，且的图象交于点A，点A的横坐标为2． (1)求反比例函数的表达式． (2)点B在反比例函数图象上，且点B的纵坐标是6，连接，．求的面积． 3．（2024·浙江杭州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴、轴分别交于点A、B，与反比例函数交于点，D两点，直线垂直于轴分别与一次函数和反比例函数交于、，连接． (1)求的值； (2)点在线段上（不与端点、重合），若，求的面积； 4．（2024·浙江宁波·一模）如图，直线与双曲线相交于点． (1)求直线及双曲线对应的函数表达式； (2)直接写出关于x的不等式的解集； (3)求的面积． 题型05 反比例函数与几何综合问题 【典例分析】 例1．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为时，的值为 ，点F的坐标为 ． 【变式演练】 1．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形的一边在轴上，轴，轴，已知，，，过点A的双曲线与交于点，点从点A出发沿射线运动，点从点出发沿轴正半轴运动，点、同时出发，运动速度分别是以每秒2个单位和4个单位，运动的时间设为． (1)求点的坐标； (2)当时，求的面积； (3)是否存在是直角三角形的情况，如果存在，请求出时间的值，如果不存在，说明理由． 2．（2023·浙江湖州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与坐标轴交于，两点，反比例函数的图象与直线交于，两点，连结，，分别过点，作轴的垂线和，交于点．    (1)若点的横坐标为12，求的面积； (2)若阴影部分的面积为12， ①记的面积为，的面积为，求证：； ②求的值． 3．（2023·浙江宁波·模拟预测）在直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线，且点D的坐标为． (1)如图1，当点C的横坐标为3，求点C的坐标和的值． (2)如图2，当点C在第三象限时，过点C作x轴的垂线，垂足为，过点D作y轴的垂线，垂足为F，连结，当时，求点C的坐标和的值． (3)若，直接写出的值． 一、单选题 1．（2024·浙江·模拟预测）已知三个点，，在反比例函数的图象上，其中    ，则下列结论中正确的是（   ）． A． B． C． D． 2．（2024·浙江金华·二模）已知，是反比例函数（a为常数，）图像上的两点，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江杭州·二模）如图，已知反比例函数图象的一支曲线经过对角线，的交点，且点的坐标为，则（　　） A．3 B． C．6 D． 4．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，双曲线与直线相交于A，B两点，将直线向上平移1个单位长度，所得的直线在第一象限内交双曲线于点C，则点C的横坐标是（    ） A． B． C．1 D． 5．（2024·浙江·模拟预测）如图，直线与双曲线交于点P和点Q，点M在x轴上，且，若的面积为，则k的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·浙江·模拟预测）已知，点，均在反比例函数的图象上，若将线段顺时针旋转，的对应点为，得到线段的两端点仍在反比例函数的图象上，且，则的值为 ． 7．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，直线（为常数）与轴交于点，与轴交于点，点在函数的图象上，过点分别作轴的垂线交直线于点，则的值为 ． 8．（2024·浙江·模拟预测）如图，正方形的顶点A，B在x轴上，点，正方形的中心为点M，点E，F，G，H分别在边上，且四边形是正方形．已知反比例函数的图象经过点M，H．则图中阴影部分的面积是 ． 9．（2024·浙江宁波·一模）如图，菱形的对角线轴，顶点A，B和边的中点E在反比例函数图象上，顶点C，D在反比例函数图象上．边与y轴的交点为F，则的值为 ；若，则菱形的面积为 ． 10．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，，点P在反比例函数图象上，，且y轴平分，则 ． 三、解答题 11．（2024·浙江宁波·一模）已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上． (1)求的值； (2)若点都在该反比例函数图象上； ①当，点和点关于原点中心对称时，求点坐标； ②当时，求的取值范围． 12．（2024·浙江杭州·一模）如图，在平面直角坐标系中放置一块角的三角板，，，两点分别落在轴和轴上，直线的解析式为，右侧有一条直线到的距离为．    (1)求的长． (2)用尺规作出直线(保留作图痕迹，不写作法)． (3)若直线与边交于点，双曲线经过点，求出的值． 13．（2024·浙江杭州·一模）如图，反比例函数的图象与直线交于点，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线分别交反比例函数图象和轴于点和点． (1)求k和a的值； (2)根据图象直接写出的自变量x的取值范围； (3)当AB长为时，求点A的坐标． 14．（2024·浙江·模拟预测）如图所示，直线与双曲线交于，两点，与轴交于点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)请结合上述两个函数的图象，请直接写出的解集． 15．（2024·浙江·模拟预测）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于两点．过点作轴的垂线，垂足为，连接、，并延长，与直线相交于点．在第一象限找点，使以为顶点的四边形为平行四边形，反比例函数，经过点． (1)求的面积． (2)在反比例函数的图象上找点，使是直角三角形，求出符合要求的点的坐标． (3)如图，在反比例函数的图象上有一点，轴于点，轴于点，分别交反比例函数的图象于两点，求的面积． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$