热点题型·专题02 函数（一次二次反比例）、方程与不等式的实际应用（6类题型）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（浙江专用）

专题02 函数（一次二次反比例）、方程与不等式的实际应用 目录 热点题型归纳 1 题型01 一元一次方程的实际应用 1 题型02 二元一次方程组的实际应用 4 题型03 一元二次方程的实际应用 6 题型04 一次函数的实际应用 8 题型05 反比例函数的实际应用 13 题型06 二次函数的实际应用 16 中考练场 20 题型01 一元一次方程的实际应用 一元一次方程的实际应用是初中数学代数部分的重要内容，它是将数学知识与实际生活紧密相连的关键环节，在初中数学整体分值占比中，约为 5%-10%。 考查重点：考查如何从实际问题中抽象出数学模型，准确找出等量关系并列出一元一次方程求解。 高频题型：常见高频题型包括行程问题、工程问题、销售问题、调配问题以及方案选择问题等。 高频考点：主要考点集中在根据不同实际情境构建方程，求解方程以及对解的合理性进行检验与解释。 能力要求：要求学生具备较强的阅读理解能力、分析问题能力、数学建模能力以及计算求解能力。 易错点：易错点在于审题不清导致等量关系找错，解方程过程中运算错误，以及对解的实际意义判断失误。 【提分秘籍】 1. 列方程解实际应用题的步骤： ①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。 ②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。 ③列方程：根据等量关系与未知数列出一元一次方程。④解方程——按照解方程的步骤解一元一次方程。 ④答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。 2. 常见的基本等量关系： ①行程问题基本等量关系： 路程=时间×速度；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间。 顺行：顺行速度＝自身速度＋风速（水速）；逆行速度＝自身速度－风速（水速） ②工程问题：工作总量=工作时间×工作效率。 ③配谈问题：实际生产比＝配套比。 ④商品销售问题：利润＝售价－成本；售价＝标价×0.1折扣；利润率＝利润÷进价×100% ⑤图形的周长，面积，体积问题。 3. 常见的建立方程的方法： ①基本等量关系建立方程。 ②同一个量的两种不同表达式相等。 【典例分析】 例1．（2023·浙江·中考真题）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝斤，干燥后耗损斤两（古代中国斤等于两）．今有干丝斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 斤． 例2．（2022·浙江绍兴·中考真题）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．” 其题意为：“良马每天行里，劣马每天行里，劣马先行天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是 ． 例3．（2024·浙江·中考真题）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小明 不分段 A档 4000米 小丽 第一段 B档 1800米 第一次休息 第二段 B档 1200米 第二次休息 第三段 C档 1600米 (1)求A，B，C各档速度（单位：米/分）； (2)求小丽两次休息时间的总和（单位：分）； (3)小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值． 【变式演练】 1．（2024·浙江杭州·一模）《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·浙江嘉兴·三模）已知物体自由下落的距离可以表示为，表示物体下落的末速度，表示物体下落的时间，声音传播的速度为米/秒．若将一块石头从井口自由落下，秒后听到它落水的声音，测得米/秒，设石头下落的时间为，则可列得方程（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江温州·二模）一组同学一起去种树，如果每人种4棵，还剩下3棵树苗；如果每人种5棵，那么缺少5棵树苗．则需种植的树苗数为 棵． 4．（2024·浙江嘉兴·二模）将飞镖投向如图所示的靶盘．计分规则如下：每次投中A区得5分，投中B区得3分，脱靶扣2分．小曹玩了两局，每局投10次飞镖，在第一局中，小曹投中A区2次，B区4次，脱靶4次． (1)求小曹第一局的得分， (2)第二局，小曹投中A区k次，B区5次，其余全部脱靶．若小曹第二局得分比第一局得分提高了12分，求k的值． 5．（2024·浙江·三模）如图，将若干条完全相同的塑料板凳叠放成一摞．如图1，测得一条板凳的高度为；如图2，测得五条板凳的总高度为． (1)求六条板凳叠放成一摞的总高度． (2)运送时，板凳总高度限制为不超过，则运送时最多可以将几条板凳叠放成一摞？ 题型02 二元一次方程组的实际应用 二元一次方程组的实际应用是初中数学代数板块中解决复杂实际问题的有力工具，它承接一元一次方程，进一步拓展学生运用方程思想处理多变量问题的能力。在初中数学试卷中，这部分内容的分值占比通常在 5% - 10% 。 考查重点：核心考查学生依据实际情境，精准分析出两个独立的等量关系，进而构建二元一次方程组并求解。 高频题型：行程问题中的相遇与追及、工程合作与分工问题、商品买卖中的价格与利润问题，以及资源分配与方案设计等问题较为常见。 高频考点：主要围绕根据不同场景正确列出方程组、熟练运用代入消元法或加减消元法准确求解，同时对解是否符合实际情况进行验证与说明。 能力要求：需要学生拥有出色的阅读理解能力，能从冗长文字中提炼关键信息；具备较强逻辑思维，梳理出变量间关系；掌握消元技巧，实现准确计算。 易错点：容易因对题目条件理解偏差，错误设定等量关系；在消元求解过程中，因计算粗心产生错误；还可能忽略解在实际问题中的合理性，未对结果进行有效检验。 【提分秘籍】 列方程解实际应用题的步骤： ①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。 ②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。 ③列方程：根据等量关系与未知数列出二元一次方程。 ④解方程——按照解方程的步骤解二元一次方程。 ⑤答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。 高频题型包括行程问题、工程问题、利润问题、比例问题和混合问题，这些题型通常以应用题的形式出现，要求学生灵活运用方程组知识解决实际问题。 秘籍：熟记常见题型的解题套路，如行程问题中的“路程=速度×时间”，利润问题中的“利润=售价-成本”等 【典例分析】 例1．（2023·浙江绍兴·中考真题）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容是单位）；大容器1个，小容器5个，总容暴为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·浙江宁波·中考真题）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为(   ) A． B． C． D． 例3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花钱买了只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有只，小鸡有只，可列方程组为 ． 【变式演练】 1．（2024·浙江温州·三模）某社区积极响应“创文”活动，购买了甲、乙两种树木，其中甲种树木每棵100元，乙种树木每棵80元，乙种树木比甲种树木少8棵，共用去资金8000元．设甲种树木购买了x棵，乙种树木购买了y棵，根据题意，可列方程组（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江杭州·模拟预测）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x，y的二元一次方程组中符合题意的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足．问兽、禽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头和46只脚，问兽、鸟各多少？设兽有x个，鸟有y只，列出的方程为（    ） A． B． C． D． 题型03 一元二次方程的实际应用 一元二次方程的实际应用是初中数学代数领域中，用于解决涉及数量变化规律及几何图形面积等复杂问题的重要内容，在初中数学考试里，分值占比大致为 8%-12%。 考查重点：重点考查从实际问题中挖掘出能构建一元二次方程的数量关系，并通过求解方程来解决问题。 高频题型：常见的有增长率问题、几何图形面积问题、商品定价与利润问题以及传播问题等。 高频考点：考点聚焦于根据实际情境准确列出一元二次方程，运用合适方法求解方程，以及依据实际意义对所得方程的解进行筛选和解释。 能力要求：学生需具备良好的文字理解能力，能将实际问题转化为数学语言，有较强的逻辑思维梳理数量关系，掌握一元二次方程的求解方法并准确运算。 易错点：易错之处在于对实际情境分析不透，导致方程列错；解方程过程中因方法不当或计算失误出错；同时，易忽略实际问题对解的限制，未舍去不符合实际的根。 【提分秘籍】 秘籍： 仔细审题，明确已知条件和未知量，找到等量关系，特别注意判别式的意义 熟记常见题型的解题套路，如面积问题中的“面积=长×宽”，利润问题中的“利润=售价-成本”等。 列方程时确保系数a、b、c计算准确，求根时注意判别式的值，分析判别式时注意根的性质。 【典例分析】 例1．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·浙江湖州·中考真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·浙江金华·中考真题）如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．    （1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是 ． （2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是 ． 【变式演练】 1．（2024·浙江台州·模拟预测）某厂生产一件产品的成本从两年前的100元，下降到的a元，求年平均下降率．设年平均下降率为x，通过解方程得到一个根为，则下列说法符合题意的是为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江温州·三模）某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江嘉兴·一模）《九章算术》是我国传统数学的重要著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门高为尺，则依题意所列方程为（1丈尺，1尺寸）（    ） A． B． C． D． 题型04 一次函数的实际应用 一次函数的实际应用是初中数学函数板块中，用于描述现实世界中变量间呈线性变化关系的重要内容，在初中数学考试里，分值占比约为 10%-15%。 考查重点：考查如何从实际问题里提炼出变量关系，建立恰当的一次函数模型并借助其性质解决问题。 高频题型：常见高频题型有行程问题（速度与时间的函数关系等）、费用问题（如出租车计费、水电费计算等）、方案优化问题（通过比较不同函数方案确定最优解）。 高频考点：主要考点包括依据实际背景确定函数表达式，分析函数的增减性并利用其求最值，以及结合实际情境对函数图象进行解读。 能力要求：要求学生拥有较强的抽象概括能力、数学建模能力，能熟练运用一次函数知识分析和处理实际情境中的变量关系。 易错点：易错点在于对实际情境中变量的理解偏差，导致函数关系式建立错误，在利用函数性质时忽略实际意义对取值范围的限制。 【提分秘籍】 1、 透彻理解题意 二、构建函数模型 三、结合实际求解 四、检验与作答 高频题型包括行程问题、利润问题、费用问题、图像分析问题等，这些题型通常以应用题的形式出现，要求学生灵活运用一次函数知识解决实际问题。 秘籍：熟记常见题型的解题套路，如行程问题中的“路程=速度×时间”，利润问题中的“利润=售价-成本”等。 【典例分析】 例1．（2023·浙江绍兴·中考真题）一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象．    (1)求所在直线的表达式． (2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？ (3)甲机器人到地后，再经过1分钟乙机器人也到地，求两地间的距离． 例2．（2023·浙江宁波·中考真题）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．    (1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值， (2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间． 例3．（2023·浙江金华·中考真题）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妺妺骑车，到书吧前的速度为200米/分．图2中的图象分别表示两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数关系．    (1)求哥哥步行的速度． (2)已知妺妺比哥哥迟2分钟到书吧． ①求图中的值； ②妺妺在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妺俩离家还有多远；若不能，说明理由． 例4．（2023·浙江·中考真题）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：    (1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多； (2)求方案二y关于x的函数表达式； (3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案． 【变式演练】 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）某种溶液的体积与温度之间的关系在一定范围内符合一次函数关系．现测得一定量的这种溶液在时的体积为，在时的体积为． (1)求该溶液体积与温度的函数关系式，并求当时，该溶液的体积． (2)若用容积为的容器来盛这些溶液，为了不使溶液溢出，温度应控制在多少摄氏度内？ 2．（2024·浙江温州·三模）“低碳生活，绿色出行”的理念正逐渐被人们所接受，越来越多的人选择骑自行车上出行小星某天骑自行车上班从家出发到图书馆的过程中行进速度v（米1/分）随时间t（分钟）变化的函数图象大致如图所示，图象由三条线段，和组成．设线段上有一动点，直线l过点T且与横轴垂直，梯形在直线l左侧部分的面积即为t分钟内小星行进的路程（米）．    (1)①当分钟时，速度______米/分钟，路程______米； ②当分钟时，速度______米/分钟，路程______米； (2)当和时，分别求出路程（米）关于时间（分钟）的函数解析式． 3．（2024·浙江宁波·三模）学习了弹力及弹簧测力计的相关知识后，小明知道在弹性限度内，弹簧的长度与它受到的拉力成一次函数关系，他想进一步探究“某个弹簧伸长的长度与它所受到的拉力之间的关系”，于是采用了如图装置进行探究．实验中，他观察到当拉力为时，弹簧长度为，同时还收集到了如下数据： 弹簧受到的拉力 1 2 … 6 弹簧伸长的长度 3 6 … 18 (1)在受到的拉力为时，弹簧的长度是多少？ (2)求弹簧伸长的长度y关于它所受到的拉力x的函数表达式． (3)当弹簧的长度为时，求弹簧受到的拉力x的值． 4．（2024·浙江温州·二模）某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况，当他们尝试施用某种药物时，发现会对A，B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验，A，B植物的生长高度， 与药物施用量的关系数据统计如下表： 0 4 6 8 10 15 18 21 25 21 19 16 14 10 7 4 10 18 22 27 31 40 45 52 任务1：根据以上数据，在下面带网格的平面直角坐标系中通过描点，连线，画出A，B植物的生长高度，与药物施用量的函数图象． 任务2：猜想A，B植物的生长高度，与药物施用量的函数关系，并分别求出函数关系式． 任务3：同学们研究发现，当两种植物高度差距不超过时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态，请求出满足平衡状态时，该药物施用量的取值范围． 题型05 反比例函数的实际应用 反比例函数的实际应用是初中数学函数知识体系中，用以刻画现实世界中两个变量乘积为定值这类特殊数量关系的重要部分，在初中数学考试中，分值占比通常在 5%-10%。 考查重点：考查从具体实际情境中洞察变量间的反比例关系，构建反比例函数模型并运用其性质解决问题。 高频题型：常见的高频题型包含工程进度问题（工作时间与工作效率的关系）、物理力学问题（如压力与受力面积的关系）、行程问题（路程一定时，速度与时间的关系）等。 高频考点：主要考点为根据实际背景准确确定反比例函数表达式，利用反比例函数的单调性分析变量变化趋势，以及结合实际对函数图象的特殊点和变化情况进行解读。 能力要求：要求学生具备敏锐的观察分析能力，能从复杂情境中抽象出反比例函数模型，还需熟练掌握反比例函数性质并灵活运用。 易错点：易错点在于对实际问题中变量关系判断失误，导致函数模型建立错误，同时容易忽略实际问题中自变量的取值范围对函数的限制。 【提分秘籍】 高频题型包括面积问题、速度问题、工程问题、物理问题等，这些题型通常以应用题的形式出现，要求学生灵活运用反比例函数知识解决实际问题。 秘籍：熟记常见题型的解题套路，如面积问题中的“面积=长×宽”，速度问题中的“路程=速度×时间”，利润问题等。 【典例分析】 例1．（2023·浙江·中考真题）如果的压力作用于物体上，产生的压强要大于，则下列关于物体受力面积的说法正确的是（    ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 例2．（2023·浙江温州·中考真题）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ．    例3．（2023·浙江台州·中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．    (1)求h关于的函数解析式． (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度． 例4．（2022·浙江台州·中考真题）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【变式演练】 1．（2024·浙江温州·二模）图1是某电路图，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为，关于的函数图象如图2所示．小温同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为 ． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）科学课中，同学们用如图电路做《探究电流与电压、电阻的关系》的实验，采用控制变量法，发现当U（V）一定时，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数关系．小甬所在小组控制电压不变，测得当电阻时，电流． (1)求I与R的函数关系式． (2)调节变阻器，测得电流为，求此时电阻的值． 3．（2024·浙江台州·模拟预测）某导线的电阻与温度t（单位：）（在一定范围内）满足反比例关系，通电后下表记录了发热材料温度从上升到的过程中电阻与温度的数值： … 10 15 20 30 … … 6 4 3 2 … (1)根据表中的数据，求出R与t之间的函数解析式； (2)当温度超过，或低于时，导线性能不佳，某一时刻测得电阻为，请判断此时导线性能是否正常． 4．（2024·浙江杭州·模拟预测）某种新药在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退，衰退时y与x成反比例函数关系．血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数关系如图所示， (1)求血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数表达式； (2)如果每毫升血液中含药量不低于5微克时是有效的，一次服药后的有效时间能超过130分钟吗？ 题型06 二次函数的实际应用 二次函数的实际应用是初中数学函数板块中，用于解决涉及最值、抛物线形状等现实问题的核心内容，在初中数学考试中，分值占比约为 10%-15%。 考查重点：考查如何将实际问题转化为二次函数模型，利用二次函数的性质求最值以及分析变量间的关系。 高频题型：常见高频题型有销售利润问题（求最大利润）、几何图形面积问题（求图形面积最大值或最小值）、物体运动轨迹问题（如抛物线形的投篮、抛球等运动）。 高频考点：主要考点为确定二次函数表达式，运用顶点坐标求最值，分析函数图象在实际情境中的意义，如与 x 轴交点表示的实际情况等。 能力要求：要求学生具备较强的建模能力，能将实际问题数学化，同时要熟练掌握二次函数图象与性质的运用，具备分析数据和推理的能力。 易错点：易错点在于建模过程中对实际情境理解不透彻导致函数表达式错误，求最值时忽略自变量的实际取值范围，以及对函数图象与实际问题结合的解读偏差。 【提分秘籍】 高频题型包括最值问题（如利润最大、成本最小）、抛物线运动问题（如抛体运动）、面积优化问题（如矩形面积最大）、利润最大化问题等。 秘籍：熟记常见题型的解题套路，如最值问题通常需要找到顶点坐标，抛物线运动问题需要分析抛物线的开口方向和顶点位置。 【典例分析】 例1．（2023·浙江湖州·中考真题）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 (1)试求出y关于x的函数表达式． (2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 例2．（2023·浙江温州·中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．      (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 例3．（2023·浙江衢州·中考真题）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．    (1)求出启航阶段关于的函数表达式（写出自变量的取值范围）， (2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s． ①当时，求出此时龙舟划行的总路程， ②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，视为达标，请说明该龙舟队能否达标； (3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）． 例4．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案． 【变式演练】 1．（2024·浙江宁波·二模）蛟蛟水果店现出售一批高级水果，以每千克元的价格购入，再以每千克元的价格出售， 统计发现月份的销售量为千克． (1)由于水果畅销，预计月份的销售量将达到千克．求月份到月份的销售量月平均增长率； (2)经过市场调研发现，以月份为标准，保持进价不变的基础之上，若每千克售价上涨元，月销量将减少千克， 同时运输的消耗每月按照销售量每千克支出元． 设上涨元（为正整数），当月总利润为，试求与之间的函数关系式． 现要保证每月的总利润达到元，同时又要尽可能的给予顾客优惠， 则每千克应涨价多少元． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，将球从点的正上方的点处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式． (1)若当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度，求小球达到的最大高度． (2)若小球的正前方处有一个截面为长方形的球筐，其中为，为，若要使小球落人筐中，求的取值范围． 3．（2024·浙江·模拟预测）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，相关数据如图1所示，其中支架，，这个大棚用了400根支架．    为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），需要增加的经费不超过32000元． (1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系． ①求出改造前的函数解析式． ②当米，求的长度． (2)只考虑经费情况下，求出的最大值． 4．（2024·浙江台州·模拟预测）如图1为弹球游戏示意图，弹力球从桌子左边沿正上方某一高度向右发射后与桌面接触，连续弹起降落，以O为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标系如图2，设小球高度为，水平方向的距离为．小球运动轨迹由多个抛物线组成，其中第一段抛物线的解析式为，后续抛物线均可由第一段抛物线平移得到．已知桌长为，小球每次撞击桌面后弹跳的最大高度为前一次最大高度的．（忽略小球体积） (1)若第一次落点刚好在桌子正中间，求第一段抛物线的解析式； (2)在（1）的情况下，判断小球是否会再次接触桌面，并说明理由； (3)若小球只接触桌面一次，求发射高度的取值范围． 5．（2024·浙江·模拟预测）篮球是一项广受喜爱的运动．学习了二次函数后，小江同学打篮球时发现，篮球投出时在空中的运动可近似看作一条抛物线，于是建立模型，展开如下研究： 如图，篮框距离地面，某同学身高，站在距离篮球架处，从靠近头部的O点将球正对篮框投出，球经过最高点时恰好进入篮框，球全程在同一水平面内运动，轨迹可看作一条抛物线．不计篮框和球的大小、篮板厚度等． (1)求抛物线C的表达式； (2)研究发现，当球击在篮框上方及以内范围的篮板上时，球会打板进框．若该同学正对篮框，改用跳投的方式，出手点O位置升高了，要能保证进球，求L的取值范围．（计算结果保留小数点后一位） 一、单选题 1．（2024·浙江·模拟预测）学校要制作一块广告牌，请来两名工人，已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，若先由乙做1天，再两人合作，完成任务后共得到报酬900元，若按各人的工作量计算报酬，则分配方案为（    ） A．甲360元，乙540元 B．甲450元，乙450元 C．甲300元，乙600元 D．甲540元，乙360元 2．（2024·浙江金华·二模）一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，设用x 张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，则下列方程组中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（2024·浙江湖州·一模）已知某可变电阻两端的电压为定值，使用该可变电阻时，电流与电阻是反比例函数关系，函数图象如图所示． (1)求I关于R的函数表达式； (2)若要求电流I不超过，则该可变电阻R应控制在什么范围? 4．（2024·浙江·模拟预测）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，函数关系如表： (1)若， ①求的值； ②求电流关于电阻的函数关系式． (2)通过计算，比较与的大小． 5．（2024·浙江温州·二模）为了解新建道路的通行能力，查阅资料获知：在某种情况下，车流速度V（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，其函数图象如图所示． (1)当时，求V关于x的函数表达式． (2)车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量车流速度车流密度．若车流速度V不超过80千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P（单位：辆/时）达到最大，并求出这一最大值． 6．（2024·浙江金华·三模）随着“体育进公园”提档改造的不断推进，金华沿江绿道成为这座城市的一个超大型“体育场”．在笔直的绿道上，平平和安安分别从相距a千米的甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，已知平平的速度大于安安的速度，两人相遇后，一起聊天停留b分钟后，各自按原速度原方向继续前行，分别到达乙地、甲地后原地休息．两人之间的距离s（千米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图2所示． (1)根据图象信息，______，______． (2)求平平和安安的速度． (3)求线段AB所在直线的函数表达式． 7．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）某城市正在实施垃圾分类制度，居民需要将垃圾分为可回收垃圾、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．某小区为了鼓励居民积极参与垃圾分类，决定设立积分奖励机制．规则如下表： 垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾 每公斤获得积分 a b 100 无 积分可以兑换部分商品，具体如下表： 物品 垃圾袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张 积分数 800 1500 2000 1000 已知2公斤可回收垃圾和1.5公斤易腐垃圾可以获得130积分；2.5公斤可回收垃圾和2公斤易腐垃圾可获得165积分． (1)求a，b的值； (2)小明家一季度产出了46公斤可回收垃圾，100公斤易腐垃圾，1公斤有害垃圾，将这一季度获得的所有积分都兑换成物品，可有哪些兑换方案？ 8．（2024·浙江·一模）如图（1），一小球从斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加；然后在水平地面继续上滚动，呈匀减速运动状态，滚动速度每秒减小．速度与时间的关系如图2中的实线所示．（提示：根据物理学知识可知，物体匀加速运动时的路程平均速度时间，其中是开始时的速度，是秒时的速度．匀减速运动时的路程和平均速度类似可得．） (1)若时，求解下面问题． ①求的值； ②写出滚动的路程（单位：）关于滚动时间（单位：）的函数解析式． (2)若小球滚动最大的路程，则小球在水平地面上滚动了多长时间？ 9．（2024·浙江台州·二模）有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离．现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（）表示球与点M之间的水平距离，y（）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到．    (1)当时， ①求b的值； ②求点A，B之间的距离； (2)已知段抛物线的最大高度为，且它的形状与段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值． 10．（2024·浙江杭州·二模）如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板直线运动，其中．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．记录的数据如表： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 12 10 8 6 4 2 … 运动距离 0 22 40 54 64 70 … (1)根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出关于，关于的函数图象，并分别求出关于，关于的函数表达式． (2)①求黑球在水平木板上滚动的最大距离． ②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点处，两球会在水平木板的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点到点的距离；若不能相遇，请说明理由． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数（一次二次反比例）、方程与不等式的实际应用 目录 热点题型归纳 1 题型01 一元一次方程的实际应用 1 题型02 二元一次方程组的实际应用 7 题型03 一元二次方程的实际应用 11 题型04 一次函数的实际应用 14 题型05 反比例函数的实际应用 25 题型06 二次函数的实际应用 32 中考练场 46 题型01 一元一次方程的实际应用 一元一次方程的实际应用是初中数学代数部分的重要内容，它是将数学知识与实际生活紧密相连的关键环节，在初中数学整体分值占比中，约为 5%-10%。 考查重点：考查如何从实际问题中抽象出数学模型，准确找出等量关系并列出一元一次方程求解。 高频题型：常见高频题型包括行程问题、工程问题、销售问题、调配问题以及方案选择问题等。 高频考点：主要考点集中在根据不同实际情境构建方程，求解方程以及对解的合理性进行检验与解释。 能力要求：要求学生具备较强的阅读理解能力、分析问题能力、数学建模能力以及计算求解能力。 易错点：易错点在于审题不清导致等量关系找错，解方程过程中运算错误，以及对解的实际意义判断失误。 【提分秘籍】 1. 列方程解实际应用题的步骤： ①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。 ②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。 ③列方程：根据等量关系与未知数列出一元一次方程。④解方程——按照解方程的步骤解一元一次方程。 ④答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。 2. 常见的基本等量关系： ①行程问题基本等量关系： 路程=时间×速度；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间。 顺行：顺行速度＝自身速度＋风速（水速）；逆行速度＝自身速度－风速（水速） ②工程问题：工作总量=工作时间×工作效率。 ③配谈问题：实际生产比＝配套比。 ④商品销售问题：利润＝售价－成本；售价＝标价×0.1折扣；利润率＝利润÷进价×100% ⑤图形的周长，面积，体积问题。 3. 常见的建立方程的方法： ①基本等量关系建立方程。 ②同一个量的两种不同表达式相等。 【典例分析】 例1．（2023·浙江·中考真题）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝斤，干燥后耗损斤两（古代中国斤等于两）．今有干丝斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 斤． 【答案】 【分析】设原有生丝斤，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设原有生丝斤，依题意， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程解题的关键． 例2．（2022·浙江绍兴·中考真题）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．” 其题意为：“良马每天行里，劣马每天行里，劣马先行天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是 ． 【答案】20 【分析】设良马x天追上劣马，根据良马追上劣马所走路程相同可得：240x＝150（x＋12），即可解得良马20天追上劣马． 【详解】解：设良马x天追上劣马， 根据题意得：240x＝150（x＋12）， 解得x＝20， 答：良马20天追上劣马； 故答案为：20． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 例3．（2024·浙江·中考真题）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小明 不分段 A档 4000米 小丽 第一段 B档 1800米 第一次休息 第二段 B档 1200米 第二次休息 第三段 C档 1600米 (1)求A，B，C各档速度（单位：米/分）； (2)求小丽两次休息时间的总和（单位：分）； (3)小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值． 【答案】(1)80米/分，120米/分，160米/分 (2)5分 (3)42.5 【分析】此题考查函数图象获取信息，一元一次方程的应用，读懂图象中的数据是解本题的关键． （1）由小明的跑步里程及时间可得档速度，再根据C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分可得B，C档速度； （2）结合图象求出小丽每段跑步所用时间，再根据总时间即可求解； （3）由题意可得，此时小丽在跑第三段，所跑时间为（分），可得方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，档速度为米/分， 则档速度为米/分，档速度为米/分； （2）小丽第一段跑步时间为分， 小丽第二段跑步时间为分， 小丽第三段跑步时间为分， 则小丽两次休息时间的总和分； （3）由题意可得：小丽第二次休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等， 此时小丽在跑第三段，所跑时间为：（分） 可得：， 解得：． 【变式演练】 1．（2024·浙江杭州·一模）《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完”，即可列出关于的一元一次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：． 故选：D． 2．（2024·浙江嘉兴·三模）已知物体自由下落的距离可以表示为，表示物体下落的末速度，表示物体下落的时间，声音传播的速度为米/秒．若将一块石头从井口自由落下，秒后听到它落水的声音，测得米/秒，设石头下落的时间为，则可列得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意列出方程式是解题的关键． 根据题意列出方程式即可选出． 【详解】解：∵声音传播的速度为米/秒．若将一块石头从井口自由落下，秒后听到它落水的声音，设石头下落的时间为 ∴从石头落水时，传到井口用的时间为， ∴从井底到井口的总路程， 将米/秒，石头下落的时间为，代入，得， 即， 故选． 3．（2024·浙江温州·二模）一组同学一起去种树，如果每人种4棵，还剩下3棵树苗；如果每人种5棵，那么缺少5棵树苗．则需种植的树苗数为 棵． 【答案】35 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、正确列出一元一次方程成为解题的关键． 设则需种植的树苗数为x棵，然后根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设则需种植的树苗数为x棵， 由题意可得：， 解得： 所以需种植的树苗数为35棵． 故答案为：35． 4．（2024·浙江嘉兴·二模）将飞镖投向如图所示的靶盘．计分规则如下：每次投中A区得5分，投中B区得3分，脱靶扣2分．小曹玩了两局，每局投10次飞镖，在第一局中，小曹投中A区2次，B区4次，脱靶4次． (1)求小曹第一局的得分， (2)第二局，小曹投中A区k次，B区5次，其余全部脱靶．若小曹第二局得分比第一局得分提高了12分，求k的值． 【答案】(1)分 (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出算式和方程是解题的关键． （1）先根据列出得分算式，然后再计算即可； （2）根据“小曹第二局得分比第一局得分提高了12分”列关于k的方程求解即可． 【详解】（1）解：小曹第一局的得分为（分）． 答：小曹第一局的得分14分． （2）解：由题意可得：，解得． 答：k的值为3． 5．（2024·浙江·三模）如图，将若干条完全相同的塑料板凳叠放成一摞．如图1，测得一条板凳的高度为；如图2，测得五条板凳的总高度为． (1)求六条板凳叠放成一摞的总高度． (2)运送时，板凳总高度限制为不超过，则运送时最多可以将几条板凳叠放成一摞？ 【答案】(1)六条板凳总高度为 (2)运送时最多可以将11条板凳叠放成一摞 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的应用， （1）设增加一条板凳将增高，根据五条板凳的总高度为列得，求出一条板凳的高度即可求出六条板凳的高度； （2）设运送时最多可以将y条板凳叠放成一摞，列不等式求解． 【详解】（1）设增加一条板凳将增高，则，解得； 六条板凳总高度：. 答：六条板凳总高度为. （2）设运送时最多可以将y条板凳叠放成一摞， ；解得． 答：运送时最多可以将11条板凳叠放成一摞． 题型02 二元一次方程组的实际应用 二元一次方程组的实际应用是初中数学代数板块中解决复杂实际问题的有力工具，它承接一元一次方程，进一步拓展学生运用方程思想处理多变量问题的能力。在初中数学试卷中，这部分内容的分值占比通常在 5% - 10% 。 考查重点：核心考查学生依据实际情境，精准分析出两个独立的等量关系，进而构建二元一次方程组并求解。 高频题型：行程问题中的相遇与追及、工程合作与分工问题、商品买卖中的价格与利润问题，以及资源分配与方案设计等问题较为常见。 高频考点：主要围绕根据不同场景正确列出方程组、熟练运用代入消元法或加减消元法准确求解，同时对解是否符合实际情况进行验证与说明。 能力要求：需要学生拥有出色的阅读理解能力，能从冗长文字中提炼关键信息；具备较强逻辑思维，梳理出变量间关系；掌握消元技巧，实现准确计算。 易错点：容易因对题目条件理解偏差，错误设定等量关系；在消元求解过程中，因计算粗心产生错误；还可能忽略解在实际问题中的合理性，未对结果进行有效检验。 【提分秘籍】 列方程解实际应用题的步骤： ①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。 ②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。 ③列方程：根据等量关系与未知数列出二元一次方程。 ④解方程——按照解方程的步骤解二元一次方程。 ⑤答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。 高频题型包括行程问题、工程问题、利润问题、比例问题和混合问题，这些题型通常以应用题的形式出现，要求学生灵活运用方程组知识解决实际问题。 秘籍：熟记常见题型的解题套路，如行程问题中的“路程=速度×时间”，利润问题中的“利润=售价-成本”等 【典例分析】 例1．（2023·浙江绍兴·中考真题）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容是单位）；大容器1个，小容器5个，总容暴为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组． 【详解】解：设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛， 根据题意得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键． 例2．（2023·浙江宁波·中考真题）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据某村有土地60公顷，计划将其中的土地种植蔬菜，得到种植茶园和种植粮食的面积为，结合茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，列出方程组即可． 【详解】解：设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷， 由题意，得：， 即： 故选B． 【点睛】本题考查根据实际问题列方程组．找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键． 例3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花钱买了只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有只，小鸡有只，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】根据“现花钱买了只鸡”，列出方程组即可． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用．明确题意，准确列出方程组是解题的关键． 【变式演练】 1．（2024·浙江温州·三模）某社区积极响应“创文”活动，购买了甲、乙两种树木，其中甲种树木每棵100元，乙种树木每棵80元，乙种树木比甲种树木少8棵，共用去资金8000元．设甲种树木购买了x棵，乙种树木购买了y棵，根据题意，可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 利用总价单价数量，结合购进两种树苗棵数间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵购进的乙种树木比甲种树木少8棵， ∴； ∵购进这批树木共用去资金8000元， ∴． ∴根据题意可列方程组． 故选：B． 2．（2024·浙江杭州·模拟预测）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x，y的二元一次方程组中符合题意的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组．“甜果苦果买一千”可得甜果个数苦果个数，可列出一个方程，又根据“甜果九个十一文，苦果七个四文钱”可得甜果和苦果的单价，根据共花费“九百九十九文钱”可得买甜果的钱数买苦果的钱数，据此可得另一个方程，联立组成方程组即可． 【详解】根据题意列方程． 故选：C． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足．问兽、禽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头和46只脚，问兽、鸟各多少？设兽有x个，鸟有y只，列出的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据兽与鸟共有76个头与46只脚，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵兽与鸟共有76个头， ∴； ∵兽与鸟共有46只脚， ∴． ∴根据题意可列方程组． 故选：B． 题型03 一元二次方程的实际应用 一元二次方程的实际应用是初中数学代数领域中，用于解决涉及数量变化规律及几何图形面积等复杂问题的重要内容，在初中数学考试里，分值占比大致为 8%-12%。 考查重点：重点考查从实际问题中挖掘出能构建一元二次方程的数量关系，并通过求解方程来解决问题。 高频题型：常见的有增长率问题、几何图形面积问题、商品定价与利润问题以及传播问题等。 高频考点：考点聚焦于根据实际情境准确列出一元二次方程，运用合适方法求解方程，以及依据实际意义对所得方程的解进行筛选和解释。 能力要求：学生需具备良好的文字理解能力，能将实际问题转化为数学语言，有较强的逻辑思维梳理数量关系，掌握一元二次方程的求解方法并准确运算。 易错点：易错之处在于对实际情境分析不透，导致方程列错；解方程过程中因方法不当或计算失误出错；同时，易忽略实际问题对解的限制，未舍去不符合实际的根。 【提分秘籍】 秘籍： 仔细审题，明确已知条件和未知量，找到等量关系，特别注意判别式的意义 熟记常见题型的解题套路，如面积问题中的“面积=长×宽”，利润问题中的“利润=售价-成本”等。 列方程时确保系数a、b、c计算准确，求根时注意判别式的值，分析判别式时注意根的性质。 【典例分析】 例1．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：． 【详解】由题意得：， 故选：C． 【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 例2．（2023·浙江湖州·中考真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设年平均增长率为x，根据2020年销量为20万辆，到2022年销量增加了万辆列方程即可． 【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 例3．（2023·浙江金华·中考真题）如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．    （1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是 ． （2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是 ． 【答案】 6 / 【分析】（1）根据面积的不变性，列式计算即可． （2）根据面积，建立分式方程，转化为a一元二次方程，判别式为零计算即可． 【详解】（1）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∵，边减少，得到的矩形面积不变， ∴， 解得， 故答案为：6． （2）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵有且只有一个的值， ∴， ∴， 解得（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的面积变化，一元二次方程的应用，正确转化为一元二次方程是解题的关键． 【变式演练】 1．（2024·浙江台州·模拟预测）某厂生产一件产品的成本从两年前的100元，下降到的a元，求年平均下降率．设年平均下降率为x，通过解方程得到一个根为，则下列说法符合题意的是为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．将值代入等式中检验即可判断． 【详解】解：A．当时， ，不符合题意； B．当时， ，当时，，符合题意； C．当时， ，不符合题意； D．当时， ，不符合题意； 故选：B． 2．（2024·浙江温州·三模）某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解销售量，利润之间的关系． 设每件男士短袖降价x元，则销售量为件，每件的利润为元，根据每件的利润销售量总利润即可建立方程． 【详解】解：设每件男士短袖降价x元，可列出方程为： ， 故选：D． 3．（2024·浙江嘉兴·一模）《九章算术》是我国传统数学的重要著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门高为尺，则依题意所列方程为（1丈尺，1尺寸）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，勾股定理，矩形的性质，设矩形门高为尺，则矩形门宽为尺，再根据勾股定理结合对角线的长为1丈列出方程即可． 【详解】解：设矩形门高为尺，则矩形门宽为尺， 由题意得，， 故选：B． 题型04 一次函数的实际应用 一次函数的实际应用是初中数学函数板块中，用于描述现实世界中变量间呈线性变化关系的重要内容，在初中数学考试里，分值占比约为 10%-15%。 考查重点：考查如何从实际问题里提炼出变量关系，建立恰当的一次函数模型并借助其性质解决问题。 高频题型：常见高频题型有行程问题（速度与时间的函数关系等）、费用问题（如出租车计费、水电费计算等）、方案优化问题（通过比较不同函数方案确定最优解）。 高频考点：主要考点包括依据实际背景确定函数表达式，分析函数的增减性并利用其求最值，以及结合实际情境对函数图象进行解读。 能力要求：要求学生拥有较强的抽象概括能力、数学建模能力，能熟练运用一次函数知识分析和处理实际情境中的变量关系。 易错点：易错点在于对实际情境中变量的理解偏差，导致函数关系式建立错误，在利用函数性质时忽略实际意义对取值范围的限制。 【提分秘籍】 1、 透彻理解题意 二、构建函数模型 三、结合实际求解 四、检验与作答 高频题型包括行程问题、利润问题、费用问题、图像分析问题等，这些题型通常以应用题的形式出现，要求学生灵活运用一次函数知识解决实际问题。 秘籍：熟记常见题型的解题套路，如行程问题中的“路程=速度×时间”，利润问题中的“利润=售价-成本”等。 【典例分析】 例1．（2023·浙江绍兴·中考真题）一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象．    (1)求所在直线的表达式． (2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？ (3)甲机器人到地后，再经过1分钟乙机器人也到地，求两地间的距离． 【答案】(1) (2)出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇 (3)两地间的距离为600米 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用待定系数法求出所在直线的表达式，再列方程组求出交点坐标，即可； （3）列出方程即可解决． 【详解】（1）∵， ∴所在直线的表达式为． （2）设所在直线的表达式为， ∵， ∴解得 ∴． 甲、乙机器人相遇时，即，解得， ∴出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇． （3）设甲机器人行走分钟时到地，地与地距离， 则乙机器人分钟后到地，地与地距离， 由，得． ∴． 答：两地间的距离为600米． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，用待定系数法可求出函数表达式，要利用方程组的解，求出两个函数的交点坐标，充分应用数形结合思想是解题的关键． 例2．（2023·浙江宁波·中考真题）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．    (1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值， (2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，将，代入解析式求出的值即可； （2）先求出军车的速度，然后分别求出军车到达仓库，和从仓库出发到达基地的时间，用总时间减去两段时间即可得解． 【详解】（1）解：设大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为，由图象可知，直线过点， ∴，解得：， ∴； 当时：，解得：， ∴； （2）由图象可知，军车的速度为：， ∴军车到达仓库所用时间为：， 从仓库到达基地所用时间为：， ∴部队官兵在仓库领取物资所用的时间为． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用．从函数图象上有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键． 例3．（2023·浙江金华·中考真题）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妺妺骑车，到书吧前的速度为200米/分．图2中的图象分别表示两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数关系．    (1)求哥哥步行的速度． (2)已知妺妺比哥哥迟2分钟到书吧． ①求图中的值； ②妺妺在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妺俩离家还有多远；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②能追上，理由见解析 【分析】（1）结合图表可得，根据速度等于路程除以时间，即可解答； （2）①根据时间=路程÷速度可知妹妹到书吧所用的时间，再根据题意确定a得值即可； ②如图，将妹妹走完全程的图象画出，将和的解析式求出，求两个函数的交点即可． 【详解】（1）解：由图可得， （米/分）， ∴哥哥步行速度为100米/分． （2）①根据妺妺到书吧前的速度为200米/分， ∴妹妹所用时间t为：（min）． ∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧， ∴． ②能追上． 如图，根据哥哥的速度没变，可得的解析式的k值相同，妹妹的速度减小但仍大于哥哥的速度，将妹妹的行程图象补充完整， 设所在直线为，将代入，得， 解得， ∴． ∵妺妺的速度是160米/分． 设所在直线为，将代入，得， 解得， ∴． 联立方程， 解得， ∴米，即追上时兄妺俩离家300米远． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用（行程问题），从图像中获得正确的信息是解题的关键． 例4．（2023·浙江·中考真题）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：    (1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多； (2)求方案二y关于x的函数表达式； (3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案． 【答案】(1)30件 (2) (3)若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一 【分析】（1）由图象的交点坐标即可得到解答； （2）由图象可得点，设方案二的函数表达式为，利用待定系数法即可得到方案二y关于x的函数表达式； （3）利用图象的位置关系，结合交点的横坐标即可得到结论． 【详解】（1）解：由图象可知交点坐标为，即员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多； （2）由图象可得点，设方案二的函数表达式为， 把代入上式，得 解得 ∴方案二的函数表达式为． （3）若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二； 若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种； 若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一． 【点睛】此题考查了从函数图像获取信息、一次函数的应用等知识，从函数图象获取正确信息和掌握待定系数法是解题的关键． 【变式演练】 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）某种溶液的体积与温度之间的关系在一定范围内符合一次函数关系．现测得一定量的这种溶液在时的体积为，在时的体积为． (1)求该溶液体积与温度的函数关系式，并求当时，该溶液的体积． (2)若用容积为的容器来盛这些溶液，为了不使溶液溢出，温度应控制在多少摄氏度内？ 【答案】(1)； (2)温度应控制在内 【分析】本题考查了一次函数的应用、解一元一次不等式，正确求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求出与的函数关系式，将代入函数关系式，计算即可得出答案； （2）将（1）中求得的关系式代入并求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：设， 由已知，时，；时，． ， 解得：， ． 当时，， ∴该溶液的体积为． （2）解：由题意得：， 解得． 答：温度应控制在内． 2．（2024·浙江温州·三模）“低碳生活，绿色出行”的理念正逐渐被人们所接受，越来越多的人选择骑自行车上出行小星某天骑自行车上班从家出发到图书馆的过程中行进速度v（米1/分）随时间t（分钟）变化的函数图象大致如图所示，图象由三条线段，和组成．设线段上有一动点，直线l过点T且与横轴垂直，梯形在直线l左侧部分的面积即为t分钟内小星行进的路程（米）．    (1)①当分钟时，速度______米/分钟，路程______米； ②当分钟时，速度______米/分钟，路程______米； (2)当和时，分别求出路程（米）关于时间（分钟）的函数解析式． 【答案】(1)①，；②， (2)当时，；当时， 【分析】此题考查一次函数的应用，关键是根据图象进行分析，同时利用待定系数法得出解析式． （1）①根据图象得出每分钟增加米，进而求得平均速度，根据路程等于速度乘以时间，即可求解； ②根据图象得出时的速度，并计算其路程即可； （2）根据题意得出和时的解析式即可； 【详解】（1）解：①由图象可知分钟内速度由增加到米/分钟，每分钟增加米，故当分钟时，速度米/分钟，此时路程（米）； 故答案为：，；   ②由图象可知当分钟时，速度米/分钟，路程（米）． 故答案为：，； （2）①当时，设直线的解析式为，由图象可知点， ∴，解得，则． 设与的交点为，则， ∴．    ②当时，设与的交点为，则， ∴．    3．（2024·浙江宁波·三模）学习了弹力及弹簧测力计的相关知识后，小明知道在弹性限度内，弹簧的长度与它受到的拉力成一次函数关系，他想进一步探究“某个弹簧伸长的长度与它所受到的拉力之间的关系”，于是采用了如图装置进行探究．实验中，他观察到当拉力为时，弹簧长度为，同时还收集到了如下数据： 弹簧受到的拉力 1 2 … 6 弹簧伸长的长度 3 6 … 18 (1)在受到的拉力为时，弹簧的长度是多少？ (2)求弹簧伸长的长度y关于它所受到的拉力x的函数表达式． (3)当弹簧的长度为时，求弹簧受到的拉力x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，根据“弹簧的长度＝弹簧受到的拉力为0时的长度+弹簧伸长的长度”求出弹簧受到的拉力为0时的长度及根据“弹簧受到的拉力增加，弹簧伸长的长度增加”求出y与x之间的函数表达式是解题的关键． （1）根据“弹簧的长度＝弹簧受到的拉力为0时的长度+弹簧伸长的长度”及“当拉力为时，弹簧长度为，弹簧伸长的长度为”作答即可； （2）根据“弹簧受到的拉力增加，弹簧伸长的长度增加”作答即可； （3）根据“弹簧的长度＝弹簧受到的拉力为0时的长度+弹簧伸长的长度”，求出弹簧的伸长长度，再由（2）中求得的函数表达式解答即可． 【详解】（1）∵弹簧的长度＝弹簧受到的拉力为0时的长度+弹簧伸长的长度，当拉力为时，弹簧长度为，弹簧伸长的长度为， ∴弹簧受到的拉力为0时的长度为． （2）由表格可知，弹簧受到的拉力增加，弹簧伸长的长度增加，则， ∴弹簧伸长的长度y关于它所受到的拉力x的函数表达式为． （3）根据“弹簧的长度＝弹簧受到的拉力为0时的长度+弹簧伸长的长度”，得弹簧的伸长长度为， 当时，得，解得， ∴弹簧受到的拉力x的值为． 4．（2024·浙江温州·二模）某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况，当他们尝试施用某种药物时，发现会对A，B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验，A，B植物的生长高度， 与药物施用量的关系数据统计如下表： 0 4 6 8 10 15 18 21 25 21 19 16 14 10 7 4 10 18 22 27 31 40 45 52 任务1：根据以上数据，在下面带网格的平面直角坐标系中通过描点，连线，画出A，B植物的生长高度，与药物施用量的函数图象． 任务2：猜想A，B植物的生长高度，与药物施用量的函数关系，并分别求出函数关系式． 任务3：同学们研究发现，当两种植物高度差距不超过时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态，请求出满足平衡状态时，该药物施用量的取值范围． 【答案】任务1：见解析 任务2：，, 任务3： 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用、一元一次不等式的实际应用等知识点，正确求出植物的生长高度，与药物施用量的关系式是解题的关键． （1）运用描点，连线的方法画出函数图像即可； （2）运用待定系数法求解函数解析式即可； （3）分和两种情况分别建立不等式进行求解，然后借助函数图像即可解答． 【详解】解：任务1：如图：即为所求； 任务2：选取两点分别代入可得：，解得， ∴； 选取两点分别代入；得：解得， ∴； 任务3：当时，  解得：． 当，时，解得，． ∴. ∴在时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态． 题型05 反比例函数的实际应用 反比例函数的实际应用是初中数学函数知识体系中，用以刻画现实世界中两个变量乘积为定值这类特殊数量关系的重要部分，在初中数学考试中，分值占比通常在 5%-10%。 考查重点：考查从具体实际情境中洞察变量间的反比例关系，构建反比例函数模型并运用其性质解决问题。 高频题型：常见的高频题型包含工程进度问题（工作时间与工作效率的关系）、物理力学问题（如压力与受力面积的关系）、行程问题（路程一定时，速度与时间的关系）等。 高频考点：主要考点为根据实际背景准确确定反比例函数表达式，利用反比例函数的单调性分析变量变化趋势，以及结合实际对函数图象的特殊点和变化情况进行解读。 能力要求：要求学生具备敏锐的观察分析能力，能从复杂情境中抽象出反比例函数模型，还需熟练掌握反比例函数性质并灵活运用。 易错点：易错点在于对实际问题中变量关系判断失误，导致函数模型建立错误，同时容易忽略实际问题中自变量的取值范围对函数的限制。 【提分秘籍】 高频题型包括面积问题、速度问题、工程问题、物理问题等，这些题型通常以应用题的形式出现，要求学生灵活运用反比例函数知识解决实际问题。 秘籍：熟记常见题型的解题套路，如面积问题中的“面积=长×宽”，速度问题中的“路程=速度×时间”，利润问题等。 【典例分析】 例1．（2023·浙江·中考真题）如果的压力作用于物体上，产生的压强要大于，则下列关于物体受力面积的说法正确的是（    ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 【答案】A 【分析】根据压力压强受力面积之间的关系即可求出答案. 【详解】解：假设为， 为， . ， . 故选：A. 【点睛】本题考查的是反比例函数值的取值范围，解题的关键是要知道压力压强受力面积之间的关系以及越大，越小 例2．（2023·浙江温州·中考真题）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ．    【答案】20 【分析】由图象易得P关于V的函数解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设P关于V的函数解析式为，由图象可把点代入得：， ∴P关于V的函数解析式为， ∴当时，则， 当时，则， ∴压强由加压到，则气体体积压缩了； 故答案为20． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键． 例3．（2023·浙江台州·中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．    (1)求h关于的函数解析式． (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度． 【答案】(1)． (2)该液体的密度为． 【分析】（1）由题意可得，设，把，代入解析式，求解即可； （2）把代入（1）中的解析式，求解即可． 【详解】（1）解：设h关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． ∴h关于的函数解析式为． （2）解：把代入，得． 解得：． 答：该液体的密度为． 【点睛】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活利用反比例函数的性质进行求解． 例4．（2022·浙江台州·中考真题）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出y的值即可． 【详解】（1）由题意设， 把，代入，得． ∴关于的函数解析式为． （2）把代入，得． ∴小孔到蜡烛的距离为． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及求函数值，能正确掌握待定系数法是解答本题的关键． 【变式演练】 1．（2024·浙江温州·二模）图1是某电路图，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为，关于的函数图象如图2所示．小温同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、跨学科综合等知识点，根据题意求得解析成为解题的关键． 设当为时的功率为P，则当为时的功率为，然后列方程组求得函数解析式，然后将代入计算即可． 【详解】解：设当为时的功率为P，则当为时的功率为, 由题意可得：， 解得：（舍弃负值） 所以， 当时，． 故答案为：． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）科学课中，同学们用如图电路做《探究电流与电压、电阻的关系》的实验，采用控制变量法，发现当U（V）一定时，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数关系．小甬所在小组控制电压不变，测得当电阻时，电流． (1)求I与R的函数关系式． (2)调节变阻器，测得电流为，求此时电阻的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求函数自变量的值等知识．熟练掌握反比例函数的应用，求函数自变量的值是解题的关键． （1）设，将，，代入得，，计算求解，然后作答即可； （2）当时，，计算求解即可． 【详解】（1）解：设， 将，，代入得，， 解得，， ∴与的函数关系式为． （2）解：当时，， 解得，， ∴电阻的值为． 3．（2024·浙江台州·模拟预测）某导线的电阻与温度t（单位：）（在一定范围内）满足反比例关系，通电后下表记录了发热材料温度从上升到的过程中电阻与温度的数值： … 10 15 20 30 … … 6 4 3 2 … (1)根据表中的数据，求出R与t之间的函数解析式； (2)当温度超过，或低于时，导线性能不佳，某一时刻测得电阻为，请判断此时导线性能是否正常． 【答案】(1) (2)导线性能正常 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式与反比例函数的实际应用． （1）根据题意设，结合表格中数据利用待定系数法求解，即可解题； （2）将电阻为，代入（1）中解析式求解判断，即可解题． 【详解】（1）解：设， 当时，， ， ； （2）解：当时，， ， 导线性能正常． 4．（2024·浙江杭州·模拟预测）某种新药在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退，衰退时y与x成反比例函数关系．血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数关系如图所示， (1)求血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数表达式； (2)如果每毫升血液中含药量不低于5微克时是有效的，一次服药后的有效时间能超过130分钟吗？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)能超过130分钟，见解析 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的值的方法是解题的关键． （1）根据“从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克”可得的值，运用待定系数法求一次函数，反比例函数解析式的方法即可求解； （2）令分别代入一次函数，反比例函数求出时间进行比较即可求解． 【详解】（1）解：从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克， ∴， 当时，设y与x之间的函数关系式为， ∵经过点， ∴， 解得， ∴； 当时，y与x之间的函数关系式为， ∵经过点， ∴， 解得，即； （2）解：令， 解得， 令， 解得， ∴一次服药后的有效视角为：（分钟），超过分钟． 题型06 二次函数的实际应用 二次函数的实际应用是初中数学函数板块中，用于解决涉及最值、抛物线形状等现实问题的核心内容，在初中数学考试中，分值占比约为 10%-15%。 考查重点：考查如何将实际问题转化为二次函数模型，利用二次函数的性质求最值以及分析变量间的关系。 高频题型：常见高频题型有销售利润问题（求最大利润）、几何图形面积问题（求图形面积最大值或最小值）、物体运动轨迹问题（如抛物线形的投篮、抛球等运动）。 高频考点：主要考点为确定二次函数表达式，运用顶点坐标求最值，分析函数图象在实际情境中的意义，如与 x 轴交点表示的实际情况等。 能力要求：要求学生具备较强的建模能力，能将实际问题数学化，同时要熟练掌握二次函数图象与性质的运用，具备分析数据和推理的能力。 易错点：易错点在于建模过程中对实际情境理解不透彻导致函数表达式错误，求最值时忽略自变量的实际取值范围，以及对函数图象与实际问题结合的解读偏差。 【提分秘籍】 高频题型包括最值问题（如利润最大、成本最小）、抛物线运动问题（如抛体运动）、面积优化问题（如矩形面积最大）、利润最大化问题等。 秘籍：熟记常见题型的解题套路，如最值问题通常需要找到顶点坐标，抛物线运动问题需要分析抛物线的开口方向和顶点位置。 【典例分析】 例1．（2023·浙江湖州·中考真题）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 (1)试求出y关于x的函数表达式． (2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论； （2）根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为． 将和分别代入，得： ， 解得：， ∴y关于x的函数表达式是：； （2）解：， ∵， ∴当时，在的范围内， W取到最大值，最大值是2250． 答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元． 【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式． 例2．（2023·浙江温州·中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．      (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【答案】(1)，球不能射进球门 (2)当时他应该带球向正后方移动1米射门 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； （2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 例3．（2023·浙江衢州·中考真题）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．    (1)求出启航阶段关于的函数表达式（写出自变量的取值范围）， (2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s． ①当时，求出此时龙舟划行的总路程， ②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，视为达标，请说明该龙舟队能否达标； (3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）． 【答案】(1) (2)①龙舟划行的总路程为；②该龙舟队能达标． (3)该龙舟队完成训练所需时间为 【分析】（1）把代入 得出的值，则可得出答案； （2）①设，把代入，得出，求得，当时，求出，则可得出答案； ②把代入，求得，则可得出答案； （3）由（1）可知，把代入，求得．求出，则可得出答案． 【详解】（1）把代入 得， 解得， 启航阶段总路程关于时间的函数表达式为； （2）①设，把代入，得， 解得， ． 当时，． 当时，龙舟划行的总路程为． ②， 把代入， 得． ， 该龙舟队能达标． （3）加速期：由（1）可知， 把代入， 得． 函数表达式为， 把代入， 解得． ， ． 答：该龙舟队完成训练所需时间为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，根据条件准确得到表达式是解题关键． 例4．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案． 【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：（1），（2）；任务4：见解析 【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可； 任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解； 任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值； （2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可； 任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素． 【详解】解：任务1：变化量分别为，；； ；； 任务2：设， ∵时，，时，； ∴ ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为． 任务3：（1）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ． （2）设，则 ． 当时，w最小． ∴优化后的函数解析式为． 任务4：时间刻度方案要点： ①时间刻度的0刻度在水位最高处； ②刻度从上向下均匀变大； ③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值、二次函数的最值是解题的关键． 【变式演练】 1．（2024·浙江宁波·二模）蛟蛟水果店现出售一批高级水果，以每千克元的价格购入，再以每千克元的价格出售， 统计发现月份的销售量为千克． (1)由于水果畅销，预计月份的销售量将达到千克．求月份到月份的销售量月平均增长率； (2)经过市场调研发现，以月份为标准，保持进价不变的基础之上，若每千克售价上涨元，月销量将减少千克， 同时运输的消耗每月按照销售量每千克支出元． 设上涨元（为正整数），当月总利润为，试求与之间的函数关系式． 现要保证每月的总利润达到元，同时又要尽可能的给予顾客优惠， 则每千克应涨价多少元． 【答案】(1)月份到月份的销售量月平均增长率为； (2)；每千克应涨价元． 【分析】（）设月份到月份的销售量月平均增长率，根据题意列出方程，解方程并检验即可； （）由题意销售量：千克，售价：元，运输的消耗：元，据此列出函数关系式即可； 当时，得，解方程并检验即可； 本题考查了一元二次方程的应用，求二次函数解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设月份到月份的销售量月平均增长率， 由题意得：， 解得：，（舍去）； 答：月份到月份的销售量月平均增长率为； （2）解：由题意销售量：千克，售价：元，运输的消耗：元， ； 由题意得：， 解得 或， 由于要尽可能的给予顾客优惠， 答：每千克应涨价元． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，将球从点的正上方的点处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式． (1)若当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度，求小球达到的最大高度． (2)若小球的正前方处有一个截面为长方形的球筐，其中为，为，若要使小球落人筐中，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意判断出抛物线上的点的坐标是解决本题的关键． （1）小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度，那么抛物线的对称轴为：直线，即可得到，把相关数值代入可得的值；易得抛物线经过点，坐标为，那么．即可判断出抛物线的解析式，进而可得时，小球达到的最大的高度； （2）抛物线经过点，坐标为，那么函数解析式中的．易得点和点的坐标，分别代入题中所给的函数解析式中，可得的值，即可判断出要使小球落人筐中，的取值范围． 【详解】（1）解：小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度， 抛物线的对称轴为：直线． ． 解得：． 由题意得：抛物线上点的坐标为． ． 抛物线的解析式为：． 当时，． 答：小球达到的最大高度为； （2）解：由题意得：点的坐标为，点的坐标为． 抛物线上点的坐标为， ． 抛物线的解析式为：． ①抛物线经过点． ． 解得：． ②抛物线经过点． ． 解得：． 要使小球落人筐中，的取值范围为：． 3．（2024·浙江·模拟预测）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，相关数据如图1所示，其中支架，，这个大棚用了400根支架．    为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），需要增加的经费不超过32000元． (1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系． ①求出改造前的函数解析式． ②当米，求的长度． (2)只考虑经费情况下，求出的最大值． 【答案】(1)①；②米 (2)1.6米 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）①设改造前的函数解析式为，根据所建立的平面直角坐标系得到，，，然后代入解析式得到关于a、b、c的方程组，求解即可； ②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论； （2）根据已知条件表示出、的坐标得到a的不等式，进而得到的最大值． 【详解】（1）解：①如图，以O为原点，分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可知：，，， 设改造前的抛物线解析式为， ， 解得：， ∴改造前的抛物线的函数表达式为；    ②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系， 由①知改造前抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 设改造后抛物线解析式为：， ∵调整后C与E上升相同的高度，且， ∴对称轴为直线，则有， 当时，， ， ，， 改造后抛物线解析式为：， 当时， 改造前：， 改造后：， 米， ∴的长度为米； （2）解：如图，设改造后抛物线解析式为，    ∵当时，， 当时，， ，， ， 由题意可列不等式：， 解得：， ， 要使最大，需a最小， ∴当时，的值最大，最大值为米． 4．（2024·浙江台州·模拟预测）如图1为弹球游戏示意图，弹力球从桌子左边沿正上方某一高度向右发射后与桌面接触，连续弹起降落，以O为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标系如图2，设小球高度为，水平方向的距离为．小球运动轨迹由多个抛物线组成，其中第一段抛物线的解析式为，后续抛物线均可由第一段抛物线平移得到．已知桌长为，小球每次撞击桌面后弹跳的最大高度为前一次最大高度的．（忽略小球体积） (1)若第一次落点刚好在桌子正中间，求第一段抛物线的解析式； (2)在（1）的情况下，判断小球是否会再次接触桌面，并说明理由； (3)若小球只接触桌面一次，求发射高度的取值范围． 【答案】(1) (2)小球不会再次接触桌面，理由见解析 (3)当时，小球只接触桌面一次 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． （1）把，，代入，求出b即可求解； （2）设第二段抛物线解新式为，把，，代入求出h值，得到，再把人攻求出x，然后再与80比较即可得出结论； （3）分两种情况：①若小球第一次正好接触桌面边缘，②若小球第二次下落正好接触桌面边缘，分别求解即可． 【详解】（1）解：设 当时，， 解得 （2）解：第一段抛物线的最大高度为 则第二段抛物线的最大高度为 设第二段抛物线解新式为 当时，， 或（舍去） 当时， 解得或40 又 小球不会再次接触桌面 （3）解：①若小球第一次正好接触桌面边缘， 当时，， 则 解得 ②若小球第二次下落正好接触桌面边缘 第一段： 第二段： 当时， 解得 因为正好接触边缘 当时，小球只接触桌面一次． 5．（2024·浙江·模拟预测）篮球是一项广受喜爱的运动．学习了二次函数后，小江同学打篮球时发现，篮球投出时在空中的运动可近似看作一条抛物线，于是建立模型，展开如下研究： 如图，篮框距离地面，某同学身高，站在距离篮球架处，从靠近头部的O点将球正对篮框投出，球经过最高点时恰好进入篮框，球全程在同一水平面内运动，轨迹可看作一条抛物线．不计篮框和球的大小、篮板厚度等． (1)求抛物线C的表达式； (2)研究发现，当球击在篮框上方及以内范围的篮板上时，球会打板进框．若该同学正对篮框，改用跳投的方式，出手点O位置升高了，要能保证进球，求L的取值范围．（计算结果保留小数点后一位） 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的应用，涉及了利用待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型． （1）以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知，抛物线的顶点坐标为，则设其表达式为，利用待定系数法即可求解； （2）由（1）可设抛物线的表达式为，结合题意可知抛物线的抛球点位，，，将其代入求得，则，可知由题意可知，当时，，即， 计算出，时，的值，根据距离蓝框的距离即可求解． 【详解】（1）解：以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可知，抛物线的顶点坐标为，则设其表达式为， 将代入，可得：， ∴， ∴抛物线C的表达式为； （2）解：由（1）可设抛物线的表达式为， ∵改用跳投的方式，出手点O位置升高了， 则抛物线的最高点抛物线的基础上升高， ∴抛物线的抛球点位，，， 将其代入，得， 解得：， 由球的运动可知，最高点在抛出点的右侧，则， ∴，则， ∴ ∵当球击在篮框上方及以内范围的篮板上时，球会打板进框， ∴当时，，即， 若，则，解得：， 此时距离蓝框的距离或， 若，则，解得：， 此时距离蓝框的距离或， 即：或 亦即：或． 一、单选题 1．（2024·浙江·模拟预测）学校要制作一块广告牌，请来两名工人，已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，若先由乙做1天，再两人合作，完成任务后共得到报酬900元，若按各人的工作量计算报酬，则分配方案为（    ） A．甲360元，乙540元 B．甲450元，乙450元 C．甲300元，乙600元 D．甲540元，乙360元 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，熟悉掌握工程问题中的数量关系是解题的关键． 设两人合作了天，根据甲的工作量乙的工作量剩余工作总量列出方程求解即可． 【详解】解：设两人合作了天， ∴由题意可得： 解得： ∴甲的工作量为 ∴甲的报酬为：元， ∴乙的报酬为：元， 故选：B． 2．（2024·浙江金华·二模）一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，设用x 张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，则下列方程组中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设用x 张制作盒身，y张制作盒底，根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设用x 张制作盒身，y张制作盒底， 根据题意得：， 故选：B． 二、解答题 3．（2024·浙江湖州·一模）已知某可变电阻两端的电压为定值，使用该可变电阻时，电流与电阻是反比例函数关系，函数图象如图所示． (1)求I关于R的函数表达式； (2)若要求电流I不超过，则该可变电阻R应控制在什么范围? 【答案】(1) (2)该可变电阻应控制在以上 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求反比例函数是解题的关键． （1）利用待定系数法，即可解答； （2）结合图像和反比例函数，即可解答． 【详解】（1）解：设 ，图象经过， ∴， ； （2）解：， ， ， ， ， ∴该可变电阻应控制在及以上． 4．（2024·浙江·模拟预测）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，函数关系如表： (1)若， ①求的值； ②求电流关于电阻的函数关系式． (2)通过计算，比较与的大小． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质． （1）①根据题意可设，结合表格可得，根据，即可求解；②由①知，把代入，即可求解； （2）通过表格数据和（1）可知：，分别用含有的式子表示出、、、，即可求解． 【详解】（1）解：①使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系， 可设， 当时，；当时，， ， ， ， 解得：； ②， ， 电流（A）关于电阻的函数关系式为：； （2）通过表格数据和（1）可知：， ，，，， ，， ， ． 5．（2024·浙江温州·二模）为了解新建道路的通行能力，查阅资料获知：在某种情况下，车流速度V（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，其函数图象如图所示． (1)当时，求V关于x的函数表达式． (2)车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量车流速度车流密度．若车流速度V不超过80千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P（单位：辆/时）达到最大，并求出这一最大值． 【答案】(1) (2)时，P的最大值为4418 【分析】此题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用以及函数最值求法，得出关于的函数关系式是解题关键． （1）直接利用待定系数法求一次函数解析式进而得出答案； （2）根据计算公式为：车流量车流速度车流密度可得，再利用配方法求出最值即可． 【详解】（1）解：当时，． 当时，设， 由图象可知，， 解得：， 当时，； （2）根据题意，得． 答：当车流密度为94辆千米时，车流量最大，为4418辆时． 6．（2024·浙江金华·三模）随着“体育进公园”提档改造的不断推进，金华沿江绿道成为这座城市的一个超大型“体育场”．在笔直的绿道上，平平和安安分别从相距a千米的甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，已知平平的速度大于安安的速度，两人相遇后，一起聊天停留b分钟后，各自按原速度原方向继续前行，分别到达乙地、甲地后原地休息．两人之间的距离s（千米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图2所示． (1)根据图象信息，______，______． (2)求平平和安安的速度． (3)求线段AB所在直线的函数表达式． 【答案】(1)15，10 (2)平平的速度为0.3千米分钟，安安的速度为0.2千米分钟； (3)线段所在直线的函数表达式为． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度、路程之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）根据题意直接写出、的值即可； （2）当时平平到达乙地，根据“速度路程时间”计算平平的速度；设安安的速度为千米分钟，根据二人相遇时两人路程之和为甲、乙两地之间的距离列方程并求解即可； （3）根据“路程速度时间”求出时安安离乙地的距离，从而求出点的坐标；设分钟时安安到达甲地，根据“路程速度时间”列方程并求解，从而求得点的坐标；利用待定系数法求出线段所在直线的函数表达式即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，． 故答案为：15，10； （2）解：平平的速度为（千米分钟）； 设安安的速度为千米分钟，当二人相遇时，得，解得， 平平的速度为0.3千米分钟，安安的速度为0.2千米分钟； （3）解：当时，平平到达乙地，此时安安离乙地的距离为（千米）， ． 设分钟时安安到达甲地． 根据“路程速度时间”，得，解得， ． 设线段所在直线的函数表达式为、为常数，且． 将点和分别代入， 得， 解得， 线段所在直线的函数表达式为． 7．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）某城市正在实施垃圾分类制度，居民需要将垃圾分为可回收垃圾、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．某小区为了鼓励居民积极参与垃圾分类，决定设立积分奖励机制．规则如下表： 垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾 每公斤获得积分 a b 100 无 积分可以兑换部分商品，具体如下表： 物品 垃圾袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张 积分数 800 1500 2000 1000 已知2公斤可回收垃圾和1.5公斤易腐垃圾可以获得130积分；2.5公斤可回收垃圾和2公斤易腐垃圾可获得165积分． (1)求a，b的值； (2)小明家一季度产出了46公斤可回收垃圾，100公斤易腐垃圾，1公斤有害垃圾，将这一季度获得的所有积分都兑换成物品，可有哪些兑换方案？ 【答案】(1) (2)有两种兑换方案：垃圾袋3卷，小区临时停车券2张或垃圾袋3卷，水果店打折券1张 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用等知识点 ，理解题意，列出方程（组）是解决此题的关键． （1）根据题意得列出方程组，解方程即可得解； （2）根据题意列出方程，然后根据s，t，m，n都为非负整数，讨论即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：共有积分为：， 设兑换垃圾袋s卷，5元话费券t张，水果店打折券m张，小区临时停车券n张， ∴由题意得： 化简得：， ∵s，t，m，n都为非负整数， ∴ ∴原式化为：， ∴；或， 有两种兑换方案：垃圾袋3卷，小区临时停车券2张或垃圾袋3卷，水果店打折券1张． 8．（2024·浙江·一模）如图（1），一小球从斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加；然后在水平地面继续上滚动，呈匀减速运动状态，滚动速度每秒减小．速度与时间的关系如图2中的实线所示．（提示：根据物理学知识可知，物体匀加速运动时的路程平均速度时间，其中是开始时的速度，是秒时的速度．匀减速运动时的路程和平均速度类似可得．） (1)若时，求解下面问题． ①求的值； ②写出滚动的路程（单位：）关于滚动时间（单位：）的函数解析式． (2)若小球滚动最大的路程，则小球在水平地面上滚动了多长时间？ 【答案】(1)①，②； (2)小球在水平地面上滚动的时间为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，根据给出的条件找出合适的等量关系，列出方程． （1）①当时，小球在斜面运动的速度与时间的关系为：小球在地面滚动的速度为当时，②当时，小球在地面运动的速度即可求解； （2）设小球在斜面的运动时间为，则小球运动的路程关于的函数为：即可求解 【详解】（1）解：①当时，小球在斜面运动的速度与时间的关系为： 当时， 由于小球在地面上滚动的每秒减少， ∴小球在地面滚动的速度为： 当时， 即：； ② 小球在斜面运动的时间范围是在斜面上的平均速度为： ∴小球在斜面的运动路程为： 当时，小球在地面运动的速度 ∴， ∴小球运动的路程， 综合上述：， （2）解：设小球在斜面的运动时间为， ∴小球在斜面运动的速度为：， 小球在斜面运动的平均速度为：， 小球在斜面运动的路程为：， ∴小球在水平面运动的速度为：， 小球在水平面运动的平均速度为：， 小球在水平面运动的路程为：， ∴小球运动路程关于的函数为： 当时，有最大值为即 解得： ∴， ∴小球在水平地面上滚动的时间为：． 9．（2024·浙江台州·二模）有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离．现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（）表示球与点M之间的水平距离，y（）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到．    (1)当时， ①求b的值； ②求点A，B之间的距离； (2)已知段抛物线的最大高度为，且它的形状与段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是求出解析式； （1）①由得到，代入即可求解；②抛物线的对称轴为直线，得到点关于直线对称的点为，从而即可解答； （2）设点，由落点A和落点C重合，得到，设段抛物线的解析式为，则抛物线的最高点横坐标为，代入得到纵坐标为2，即，解得，因此段抛物线的解析式为，令，得，即，即可解答． 【详解】（1）解：①当时，则． 代入， 得， 解得； ②∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线对称的点为． ∴ ∴点A，B之间的距离为； （2）解：设点， ∵落点A和落点C重合， ∴． 根据题意，设段抛物线的解析式为， 抛物线在线段的中点时有最高点，此时该中点的横坐标为． ∴， 即，解得， ∴此时段抛物线的解析式为， 令，得，即． ∴当时，落点C恰好与落点A重合． 10．（2024·浙江杭州·二模）如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板直线运动，其中．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．记录的数据如表： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 12 10 8 6 4 2 … 运动距离 0 22 40 54 64 70 … (1)根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出关于，关于的函数图象，并分别求出关于，关于的函数表达式． (2)①求黑球在水平木板上滚动的最大距离． ②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点处，两球会在水平木板的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点到点的距离；若不能相遇，请说明理由． 【答案】(1)图像见解析；；； (2)①；②能相遇，相遇点到点． 【分析】（1）根据表中数据画出图像即可，由图像可知是的一次函数，设，表中取点代入，即可解得函数表达式；由图像可知是的二次函数，且过原点，设，表中取点代入，即可解得函数表达式； （2）①由，可知，结合，开口向下，对称轴，即可求得的最大值；②根据题意，可得白球滑行距离的表达式，再令，解出，代入即可得到相遇点离点距离． 【详解】（1） 由图像猜测是的一次函数， 设，表中取点，代入得： 解得：， 即：，再把其它点坐标代入上述函数表达式成立， 与的函数表达式为； 由图像猜测是的二次函数，且过原点， 设，表中取点，代入得： 解得：，， 即：，再把其它点坐标代入上述函数表达式成立， 与的函数表达式为； （2）①由（1）可知，， ，即， 又的对称轴为，且开口向下， 当时，取最大值为：， 黑球在水平木板上滚动的最大距离为； ②由题意可知，时，白球从处出发， 当时，设表示白球在木板上滑行的距离， 则， ， 令，即， 得：， 解得：，（不合题意，舍去） 将代入， 相遇点到点的距离为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数表达式，待定系数法求二次函数表达式，二次函数最值，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$