10.1.3 古典概型 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第十章　概率 10.1.3　古典概型 学习目标 1.了解随机事件概率的含义及表示.(数学抽象) 2.理解古典概型的特点和概率公式.(数学抽象、逻辑推理) 3.了解古典概型的一般求解思路和策略.(逻辑推理、数学运算) 基础落实·必备知识一遍过 知识点一:随机事件的概率 对随机事件　　　　　　　　　　　　的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用　　　　表示.  发生可能性大小 P(A) 知识点二:古典概型 1.　　　　　　:样本空间的样本点只有有限个;  2.　　　　　　:每个样本点发生的可能性相等.  我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. 名师点睛 1.由古典概型的定义可得,古典概型满足样本点的有限性和等可能性这两个重要特征,所以求事件的概率就可以不用通过大量的重复试验,而只要对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可. 2.在古典概型中,每个基本事件发生的可能性都相等,称这些基本事件为等可能基本事件. 有限性 等可能性 思考辨析 1.若一次试验的结果包含有限个样本点,则该试验是古典概型吗? 2.掷一枚不均匀的骰子,求出现点数为偶数的概率.这个概率模型是古典概型吗? 提示 不一定.判断试验是不是古典概型,还要看每个样本点发生的可能性是否相等,若相等才是,否则不是. 提示 不是.因为骰子不均匀,所以每个样本点出现的可能性不相等. 知识点三:古典概型的概率公式 一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=　　　=　　　.其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.  名师点睛 求解古典概型问题的一般思路 (1)明确试验的条件及要观察的结果,用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果); (2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性; (3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数,求出事件A的概率. 思考辨析 某中学高一年级有12个班,要选2个班代表学校参加一项活动.由于某种原因,1班一定要参加,现要从2~12班选1个班参加.有人提议:抛掷2个质地均匀的骰子,用向上的点数之和来表示选中的班级.试问: (1)点数之和共有多少种可能? (2)你认为这种做法公平吗?请说明理由. 提示 (1)共有11种可能,分别为2,3,4,…,11,12. (2)此种做法不公平.理由如下: 我们先把两个骰子分别标记为甲、乙,它们的点数之和有36种不同组合.具体如表所示. 乙 甲 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 其中,点数之和为2,12的只有1种组合;点数之和为3,11的有2种组合;点数之和为4,10的有3种组合;点数之和为5,9的有4种组合;点数之和为6,8的有5种组合;点数之和为7的有6种组合.由此可见,点数之和出现的结果不是等可能的,此种方法显然不公平,对7班最有利,对2,12班最不利. 重难探究·能力素养速提升 问题1 如何根据已有知识定义相关事件的概率? 探究点一 古典概型的判断 问题2 古典概型的定义是什么?如何判断古典概型? 【例1】 袋中有大小质地完全相同的5个白球,3个黑球和3个红球,每球有一个区别于其他球的编号,从中摸出一个球. (1)有多少种不同的摸法?如果把每个球的编号看作一个样本点,以这些样本点建立概率模型,该模型是不是古典概型? (2)若将球的颜色作为样本点,有多少个样本点?以这些样本点建立概率模型,该模型是不是古典概型? 解 (1)由于共有11个球,且每个球有不同的编号,故共有11种不同的摸法,又因为所有球大小质地完全相同,因此每个球被摸中的可能性相等,故以球的编号为样本点的概率模型为古典概型. (2)由于11个球共有3种颜色,因此共有3个样本点,分别记为A:“摸到白球”, B:“摸到黑球”,C:“摸到红球”. 因为所有球大小质地完全相同, 显然这三个样本点出现的可能性不相等, 所以以颜色为样本点的概率模型不是古典概型. 规律方法　1.一个试验是否为古典概型,在于是否具有两个特征:有限性和等可能性. 2.并不是所有的试验都是古典概型,下列三类试验都不是古典概型: (1)样本点个数有限,但非等可能. (2)样本点个数无限,但等可能. (3)样本点个数无限,也不等可能. 探究点二 样本点的计数问题 问题3 计算样本点的常用方法有哪些? 【例2】 将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,观察两次出现的点数情况,则: (1)一共有几个样本点? (2)“出现的点数之和大于8”包含几个样本点? 解 (方法一)(1)用(x,y)表示样本点,其中x表示第1次骰子出现的点数,y表示第2次骰子出现的点数,则试验的样本空间 Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}. 共36个样本点. (2)设A为“出现的点数之和大于8”, 则A={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5), (5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}, 包含10个样本点. (方法二)如下图所示,坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和,样本点与坐标平面内的数一一对应. (1)由图知,样本点的总数为36. (2)“出现的点数之和大于8” 包含10个样本点(已用虚线圈出). (方法三)一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图表示,如下图所示. (1)由图知,共36个样本点. (2)“出现的点数之和大于8”包含10个样本点(已用“√”标出). 规律方法　1.在列出样本点时,应先确定样本点是否与顺序有关.写样本点时,一定要按一定的顺序写,这样不容易漏写. 2.求样本点总数的常用方法: (1)列举法,适合于较简单的问题. (2)列表法,适合求较复杂问题中的样本点数. (3)树形图法,适合较复杂问题中样本点的探求. 探究点三 古典概型的概率计算 问题4 古典概型中的“放回”与“不放回”,有什么区别? 角度1.简单的古典概型问题 【例3】 从1,2,3,4,5这5个数字中任取3个不同的数字,求下列事件的概率: (1)事件A=“三个数字中不含1和5”; (2)事件B=“三个数字中含有1或5”. 解 这个试验样本空间Ω={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)},所以样本点总数n=10. (1)因为事件A={(2,3,4)},所以事件A包含的样本点数m=1. 规律方法　1.求解古典概型“四步法”: 2.列举出样本点的各种情况是核心,常用方法除列表法、树形图外还可以借用坐标系来表示二维或三维问题. 角度2.古典概型中的“放回”与“不放回”问题 【例4】 从含有两件正品a1,a2和一件次品b的3件产品中每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次. (1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率; (2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少? 解 (1)每次取一件,取后不放回,连续取两次,其一切可能的结果组成的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,b),(b,a1),(b,a2)},其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.Ω由6个样本点组成,这些样本点的出现是等可能的.用A表示“取出的两件产品中恰有一件次品”这一事件,则A={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)}. (2)有放回地连续取出两件,其一切可能的结果组成的样本空间Ω'={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b),(b,a1),(b,a2),(b,b)}, 共9个样本点. 用B表示“取出的两件产品中恰有一件次品”这一事件, 则B={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)}. 规律方法　关于有放回抽样,应注意在连续取出两次的过程中,因为先后顺序不同,所以(a1,b1),(b1,a1)不是同一个样本点,解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”,每一件产品被取出的机会都是均等的. 探究点四 古典概型与其他统计知识的交汇问题 问题5 统计与概率密不可分,如何从统计问题中挖掘有效信息为概率服务? 【例5】 某甜品公司开发了一款甜品,现邀请甲、乙两地部分顾客进行试吃,并收集顾客对该产品的意见以及评分,所得数据统计如图所示. (1)试通过计算比较甲、乙两地 顾客评分平均数的大小(同一组 中的数据用该组区间的中点值 作代表); (2)若按照分层随机抽样的方法 从甲地分数在[40,80)的顾客中 抽取7人,再从这7人中随机抽取2人,求恰有1人的分数在[40,60)的概率. 解 (1)甲地顾客评分的平均数为30×0.1+50×0.3+70×0.4+90×0.2=64; 乙地顾客评分的平均数为30×0.3+50×0.2+70×0.4+90×0.1=56. 故甲地顾客评分的平均数大于乙地. (2)依题意,从分数在[40,60)的顾客中抽取3人,记为a,b,c, 从分数在[60,80)的顾客中抽取4人,记为A,B,C,D. 则任取2人,所有的情况为(a,b),(a,c),(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,c),(b,A),(b,B), (b,C),(b,D),(c,A),(c,B),(c,C),(c,D),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共21种. 其中满足条件的有(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),(c,A),(c,B), (c,C),(c,D),共12种. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 1.(例1对点题)下列是古典概型的是(　　) A.种下一粒杨树种子,求其能长成大树的概率 B.掷一颗质地不均匀的骰子,求出现1点的概率 C.在区间[1,4]上任取一数,求这个数大于1.5的概率 D.同时掷两颗质地均匀的骰子,求向上的点数之和是5的概率 D 1 2 3 4 5 2.(例2对点题)袋中有2个标号分别为1,2的白球和2个标号分别为3,4的黑球,这4个球除颜色、标号外完全相同,4个人按顺序依次从中摸出1个球,求样本点的个数. 解 4个人按顺序依次从袋中摸出1个球的所有可能结果用树形图表示如图,共24个样本点. 1 2 3 4 5 3.(例3对点题)甲袋子中装有2个红球、1个白球,乙袋子中装有1个红球、2个白球(袋子不透明,球除颜色外完全一样). (1)现从甲、乙两个袋子中各任选1个球,求选出的2个球的颜色相同的概率; (2)从甲、乙两袋6个球中任选2个球,求选出的2个球来自同一袋子的概率. 1 2 3 4 5 解 (1)甲袋子中2个红球分别用A,B表示,白球用C表示, 乙袋子中红球用D表示,2个白球分别用E,F表示. 从甲、乙两袋中各任选1个球的所有可能结果为(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),共9种, 从中选出的2个球的颜色相同的有(A,D),(B,D),(C,E),(C,F),共4种, 故选出的2个球的颜色相同的概率P= . 1 2 3 4 5 (2)从6个球中任选2个球的所有可能结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F), (B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种, 选出的2个球来自同一袋子的所有可能结果有(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F),共6种, 1 2 3 4 5 4.(例4对点题)一个不透明的箱子中有4个红球、2个蓝球(球除颜色不同外,大小质地完全相同). (1)若从箱子中不放回地随机抽取两球,求两球颜色相同的概率; (2)若从箱子中有放回地随机抽取两球,求两球颜色相同的概率. 1 2 3 4 5 解 把4个红球标记为A1,A2,A3,A4,2个蓝球标记为B1,B2. (1)试验的样本空间Ω1={A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A3A4,A3B1,A3B2,A4B1,A4B2,B1B2},共有15个样本点, 设事件E=“从箱子中不放回地随机抽取两球且颜色相同”, 则事件E={A1A2,A1A3,A1A4,A2A3,A2A4,A3A4,B1B2},包含7个样本点,∴P(E)= . (2)试验的样本空间为Ω2, 则易知n(Ω2)=36,设F=“从箱子中有放回地抽取两球且颜色相同”,则 F={A1A1,A1A2,A1A3,A1A4,A2A1,A2A2,A2A3,A2A4,A3A1,A3A2,A3A3,A3A4,A4A1, A4A2,A4A3,A4A4,B1B1,B1B2,B2B2,B2B1},n(F)=20, 1 2 3 4 5 5.(例5对点题)从某校高二年级800名男生中随机抽取50名测量其身高(单位:cm,被测学生的身高全部在155 cm到195 cm之间),将测量结果按如下方式分成8组:第一组[155,160),第二组[160,165),…,第八组[190,195].绘制成的频率分布直方图如图所示,若从身高位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名,记他们的身高分别为x,y,则|x-y|≤5的概率为(　　) A 1 2 3 4 5 解析 由频率分布直方图,可知身高在[180,185)的人数为0.016×5×50=4,分别记为a,b,c,d;身高在[190,195]的人数为0.008×5×50=2,分别记为A,B,则“从身高位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名”,若x,y∈[180,185),满足条件的有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共6种情况;若x,y∈[190,195],满足条件的有(A,B),共1种情况;若x∈[180,185),y∈[190,195]或x∈[190,195],y∈[180,185),满足条件的有(a,A),(b,A),(c,A),(d,A),(a,B),(b,B), (c,B),(d,B),共8种情况. 所以样本点的总数为6+1+8=15, 而事件“|x-y|≤5”所包含的样本点数为6+1=7, 所以一次摸球,每个球被摸中的可能性均为. 因为白球有5个,所以一次摸球摸中白球的可能性为. 同理可知,摸中黑球、红球的可能性均为. 所以P(A)=. (2)因为事件B ={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)}, 所以事件B包含的样本点数t=9.所以P(B)=. 事件A由4个样本点组成,所以P(A)=. 事件B由4个样本点组成,所以P(B)=. 故所求概率P=. 所以选出的2个球来自同一袋子的概率P=. 则P(F)=. A. B. C. D. 故P(|x-y|≤5)=. $$