28.2.2 应用举例-【数学一起课件】初中数学九年级下册同步PPT课件（人教版）

一起课件 专注教学课件制作 第二十七单元 锐角三角函数 《应用举例》   一、教材分析 解直角三角形的内容通常出现在人教版初中数学九年级下册的教材中，如28.2.1节。这一节是整个初中数学的重要内容之一，主要让学生了解直角三角形的性质，学会使用锐角三角函数来解直角三角形。教材通过丰富的实例和练习，引导学生探索直角三角形的性质和解题方法，从而提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。  二、教学目标 1. 学生通过初二、初三的学习已打下一定的几何基础，加上本章前面四节的学习，学生具备应用三角函数解决实际问题的知识能力。 2. 九年级学生能够进行自主探究、合作学习，并能应对随时可能出现的答题质疑。   三、教学重难点 1. 重点：认识仰角、俯角，能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。 2. 难点：能够由实际问题抽象出几何图形，找到对应的解题模型，并运用三角函数解决与直角三角形有关的问题。   四、教学过程 一、新课导入 “学校打算在操场上建一个旗杆，已知旗杆的高度和影子的长度之间存在一定的比例关系，如果我们知道了影子的长度，该如何计算旗杆的高度呢？” 温故知新： (1)在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？ (2)知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？ (1)三边之间的关系 a2+b2=c2 (勾股定理) (2)两锐角之间的关系 ∠A+∠B=90° (3)边角之间的关系 ，， 【设计意图】在新课导入阶段，明确本节课的学习目标，激发学生的学习兴趣. 二、探究新知 活动一：解与仰俯角有关的问题 如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角. 例3 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数)？ 解：设∠POQ=α，在右图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形. ∵ cosα==≈0.9491 ∴ α≈18.36° ∴ 的长为 (km) 由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051km. 圆的切线与过切点的半径的垂直关系，直径与被垂直的弦的垂直关系，直径所对的圆周 角是直角等都是构造直角三角形的重要条件. 例4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高(结果取整数)？ 分析: 分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30°，β=60°. Rt△ABD中，a =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD的长度；类似地可以求出CD的长度，进而求出BC的长度，即求出这栋楼的高度. 解：如图，α=30°，β=60°，AD=120. ∵ tanα=，tanβ= ∴ BD=AD·tanα=120×tan30°=120×=40 CD=AD·tanβ=120×tan60°=120×=120 ∴ BC=BD+CD=40+120=160≈277(m) 因此，这栋楼高约为277m. 活动二：解与方位角有关的问题 知识预备 1.方位角：如图(1)所示 除上面八个方向外还有：南偏西、北偏西、南偏东、北偏东等方位.如：图①表示南偏西60°图②表示北偏东30°. 2.坡度：如图，坡面的垂直高度h与水平宽度a的比叫做坡度(坡比)，即i=. 3.坡角：斜坡面与水平面的夹角α叫做坡角，l的长叫做坡面长. 坡度与坡角的关系：tanα=i=. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时，B处距离灯塔P有多远(结果取整数)？ 解：如图，在Rt△APC中， PC=PA cos(90°-65°)=80×cos25°≈72.505 在Rt△BPC中，∠B=34°， ∵ sinB= ∴ PB==≈130(nmile) 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130nmile. 铁路路基横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度是 i =3:2，顶宽是3m，路基高是1.5m，求路基的下底宽？ 解：如图，AD=3m，作AE⊥BC，DF⊥BC. ∵ i =3:2，AE=DF=1.5m ∴ BE=CF=1m ∴ BC=1+1+3=5(m) 即路基的下底宽为5m. 【设计意图】：组织学生进行课堂练习，巩固所学知识，旨在通过反复练习，加深学生对锐角函数的理解和记忆；鼓励学生独立思考、尝试解决问题，旨在提高他们的解题能力和解决问题的能力；及时纠正学生的错误，并给予积极的反馈和鼓励，旨在帮助学生及时发现问题、改正错误，增强他们的自信心和学习动力。 三、课堂练习 【设计意图】通过课堂练习，学生可以反复运用反比例函数的概念和性质，从而加深对这些知识点的记忆。 4、 课堂小结 1. 本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： (1) 将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)； (2) 根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； (3) 得到数学问题的答案； (4) 得到实际问题的答案. 【设计意图】通过简洁明了的语言，帮助学生回顾本节课所学知识，确保他们能够清晰地把握本节课的核心内容。 五、课后作业 【设计意图】：设计一些与课堂内容紧密相关的练习题，帮助学生巩固知识，确保他们能够熟练掌握这些知识点。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 应用举例 九年级数学下 28.2.2 第二十八章 锐角三角函数 1 学习目标 4. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力 1. 巩固解直角三角形相关知识 2. 能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问 题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三角函数解决问题 3.正确理解方向角、坡度的概念 2 “学校打算在操场上建一个旗杆，已知旗杆的高度和影子的长度之间存在一定的比例关系，如果我们知道了影子的长度，该如何计算旗杆的高度呢？” 情景导入 3 仰角、俯角与解直角三角形 第二十八章 锐角三角函数 九年级数学下 28.2.2 4 情景导入 (1) 三边之间的关系： （勾股定理）； 2. 解直角三角形的依据 (2) 两锐角之间的关系： (3) 边角之间的关系： ＝ ＝ a c ＝ b c a b A C B a b c 在直角三角形中，除直角外，由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形。 1. 解直角三角形 ； ； 5 探究新知 解与仰俯角有关的问题 如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角。 6 探究新知 解与仰俯角有关的问题 例3 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接。“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少(地球半径约为， 取3.142，结果取整数)？ 解：设，在右图中，FQ是⊙O的切线，是直角三角形。  7 探究新知 解与仰俯角有关的问题 解：设，在右图中，FQ是⊙O的切线，是直角三角形。  长为 由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离点约圆的切线与过切点的半径的垂直关系，直径与被垂直的弦的垂直关系，直径所对的圆周角是直角等都是构造直角三角形的重要条件。 8 探究新知 解与仰俯角有关的问题 例4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高(结果取整数)？ 9 探究新知 解与仰俯角有关的问题 分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中， 中，，所以利用解直角三角形的知识求出的长度；类似地可以求出CD的长度，进而求出的长度，即求出这栋楼的高度。 10 探究新知 解与仰俯角有关的问题 解：如图， 答：这栋楼高约为 ） ） ） 11 利用方位角、 坡度解直角三角形 第二十八章 锐角三角函数 九年级数学下 28.2.2 12 探究新知 解与方位角有关的问题 1.方位角：如图(1)所示 13 探究新知 解与方位角有关的问题 除上面八个方向外还有：南偏西、北偏西、南偏东、北偏东等方位。如：图①表示南偏西图②表示北偏东 2.坡度：如图，坡面的垂直高度与水平宽度的比叫做坡度(坡比)，即 3.坡角：斜坡面与水平面的夹角叫做坡角，的长叫做坡面长。 坡度与坡角的关系： 14 探究新知 解与方位角有关的问题 例1 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔 的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到）？ 15 探究新知 解与方位角有关的问题 在中，， 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东方向 时，它距离灯塔大约 16 课堂练习 解与方位角有关的问题 铁路路基横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度是 ，顶宽是，路基高是，求路基的下底宽？ 解：如图，，作 ∵ ∴ ∴ 即路基的下底宽为 17 课堂练习 解与方位角有关的问题 建筑物上有一旗杆，由距的处观察旗杆顶部的仰角为，观察底部的仰角为，求旗杆的高度（精确到。 解：在等腰中， 在中 ， ∴ . 18 课堂练习 解与方位角有关的问题 如图，海中有一个小岛，它的周围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上，航行到达点，这时测得小岛在北偏东方向上。如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 作，依题意得，， ∵ 改变航线继续向东航行，没有触礁的危险。 解： ∵ 19 课堂小结 解与方位角有关的问题 仰角、俯角问题的常见基本模型： 模型二 模型三 A D B E C 模型一 模型四 20 课堂小结 解与方位角有关的问题 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： (1) 将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)； (2) 根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； (3) 得到数学问题的答案； (4) 得到实际问题的答案。 21 课堂小结 解与方位角有关的问题 如图，直升飞机在长米的跨江大桥的上方点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为和，求飞机的高度。（结果取整数， 参考数据：，，） A B 37° 45° 400米 P 22 课堂小结 解与方位角有关的问题 A B O 37° 45° 400米 P 设米， 在中，， 在中，， 米. 解得. 解：作交的延长线于点. 故飞机的高度为米。 即 23 谢谢观看！ 九年级数学下 28.2.2 第二十八章 锐角三角函数 24 $$