27.2.3 相似三角形的应用举例-【数学一起课件】初中数学九年级下册同步PPT课件（人教版）

一起课件 专注教学课件制作 第二十七单元 相似 《相似三角形的应用举例》   一、教材分析 相似三角形是全等三角形在边上的推广，是相似变换的延续和深化，也是空间与图形领域中的重要内容。在教材中，相似三角形的应用举例不仅巩固了学生对相似三角形性质和判定的理解，还培养了学生的应用意识和解决问题的能力。通过实际应用，学生可以更直观地感受到数学与生活的联系，从而激发学习数学的兴趣。  二、教学目标 1. 使学生进一步理解相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形在解决实际问题中的应用方法。 2. 培养学生的应用意识和解决问题的能力，使学生能够运用相似三角形的知识解决实际问题。 3. 提高学生的观察、分析和推理能力，培养学生的数学素养。   三、教学重难点 重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度. 难点：通过审题、思考后，如何在实际问题中抽象出相似三角形的模型.   四、教学过程 一、复习导入 1.相似三角形的判定： (1) 通过平行线；(2) 三边成比例；(3) 两边成比例且夹角相等；(4) 两角分别相等. 2.相似三角形的性质： (1) 对应边成比例，对应角相等； (2) 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比； (3) 相似三角形周长的比等于相似比； (4) 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 【设计意图】在新课导入阶段，明确本节课的学习目标，激发学生的学习兴趣. 二、探究新知 活动一：利用相似三角形测量高度 例4 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO. 怎样测出OA的长？ 由于太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似的看成平行光线. 解：太阳光是平行光线，因此∠BAO=∠EDF 又 ∠AOB=∠DFE=90° ∴ △ABO∽△DEF ∴ ∴ 因此金字塔的高度为134m. 测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 测高方法二： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决. 活动二：利用相似三角形测量宽度 例5 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据，计算河宽PQ. 解：∵ ∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P ∴ △PQR∽△PST ∴ 即 ，，PQ×90=(PQ+45)×60，解得 PQ=90(m) 因此，河宽大约为90m. 活动三：利用相似解决有遮挡物问题 例6 如图，左、右并排的两棵大树的高分别为AB=8m和CD=12m，两树底部的距离BD=5m，一个人估计自己眼晴距地面1.6m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C了？ 分析：如图，设观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水平视线FG，分别交AB、CD于点H、K.视线FA与FG的夹角∠AFH是观察点A时的仰角.类似地，∠CFK是观察点C时的仰角.由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ，观察者都看不到. 解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E与两树的顶端A、C恰在一条直线上. ∵ AB⊥l，CD⊥l，∴ AB∥CD ∴ △AEH∽△CEK ∴ 即 ，解得 EH=8(m) 由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端C. 三、课堂练习 1.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，这栋楼的高度是多少？ 解：在同一时刻物体的高度与它的影长成正比，设这栋楼的高度是xm，依题意得 解得 x=54 答：这栋楼的高度是54m. 2.如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求河宽AB. 解：∵ AB⊥BC，CE⊥BC ∴ ∠B=∠C=90° 又 ∠ADB=∠EDC ∴ △ABD∽△ECD ∴ 即 解得，AB=100 因此，河宽AB为100m. 【设计意图】通过课堂练习，学生可以反复运用反比例函数的概念和性质，从而加深对这些知识点的记忆。 4、 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 【设计意图】通过简洁明了的语言，帮助学生回顾本节课所学知识，确保他们能够清晰地把握本节课的核心内容。 五、课后作业 1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得 教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高 度应为 ( ) A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米 2. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长 为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( ) A. 0.5 m B. 0.55 m C. 0.6 m D . 2.2 m 3. 如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在 可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的 C、D 两点，使得 CD∥AB. 若测得 CD＝5 m，AD ＝15 m，ED=3 m，则 A、B 两点间的距离为 m. 4. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬 纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调 整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米， EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米， 到旗杆的水平距离 DC = 20 米，求旗杆的高度. 【设计意图】：设计一些与课堂内容紧密相关的练习题，帮助学生巩固知识，确保他们能够熟练掌握这些知识点。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学下27.2.3 相似三角形 的应用举例 第二十七章 相似 1 1 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接 测量的物体的高度和宽度. 2 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力. 学 习 目 标 2 目 录 contents 2.利用相似三角形测量宽度 1.利用相似三角形测量高度 3.利用相似解决有遮挡物问题 3 复习导入 1.相似三角形的判定： (1) 通过平行线； (2) 三边成比例； (3) 两边成比例且夹角相等； (4) 两角分别相等 4 复习导入 2. 相似三角形的性质： (1) 对应边成比例，对应角相等； (2) 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线 的比都等于相似比； (3) 相似三角形周长的比等于相似比； (4) 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 5 例4 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 如图，木杆长，它的影长为，测得为，求金字塔的高度.怎样测出的长？由于太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似的看成平行光线. 探究新知 利用相似三角形测量高度 6 ∴ 如图，木杆长，它的影长为，测得为，求金字塔的高度.怎样测出的长？由于太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似的看成平行光线. 解：∵太阳光是平行的光线，因此 又∵ ，∴ . 因此金字塔的高度为. ∴ 利用相似三角形测量高度 7 探究新知 利用相似三角形测量高度 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 8 还可以有其他测量方法吗？ 探究新知 利用相似三角形测量高度 A F E B O ┐ ┐ 平面镜 9 探究新知 利用相似三角形测量高度 测高方法二： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决. 10 例5 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 ，在近岸取点 和 ，使点 共线且直线 与河垂直，接着在过点 且与 垂直的直线 上选择适当的点 ，确定 与过点 且垂直 的直线 的交点 . 已知测得请根据这些数据，计算河宽 . 探究新知 利用相似三角形测量宽度 11 ∴ 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 𝑷，在近岸取点 𝑸 和 𝑺，使点 𝑷，𝑸，𝑺共线且直线 𝑷𝑺 与河垂直，接着在过点 𝑺 且与 𝑷𝑺 垂直的直线 𝒂 上选择适当的点 𝑻，确定 𝑷𝑻 与过点 𝑸 且垂直 𝑷𝑺 的直线 �� 的交点 𝑹. 已知测得𝑸𝑺 = 𝟒𝟓 𝒎，𝑺𝑻 = 𝟗𝟎 𝒎，𝑸𝑹 = 𝟔𝟎 𝒎，请根据这些数据，计算河宽 𝑷𝑸. 因此河宽大约为. 即 利用相似三角形测量宽度 ∴ . ∵ 因为 解： 12 例6 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 和 ，两树底部的距离 ，一个人估计自己眼睛距离地面 ，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端 了? 探究新知 利用相似解决有遮挡物问题 13 例6 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 和 ，两树底部的距离 ，一个人估计自己眼睛距离地面 ，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端 了? 利用相似解决有遮挡物问题 分析：如图，设观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水平视线，分别交于点视线与的夹角是观察点时的仰角.类似地，是观察点时的仰角.由于树的遮挡，区域和，观察者都看不到. 14 例6 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 和 ，两树底部的距离 ，一个人估计自己眼睛距离地面 ，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端 了? 利用相似解决有遮挡物问题 解： 如图，假设观察者从左向右走到点 时，她的眼睛的位置点与两树的顶端恰在一条直线上. ∴ . ∴ 即 由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边较低的树的距离小于这棵树的遮挡，她就看不到右边树的顶端𝑪. 15 1. 在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一栋楼的影长为，这栋楼的高度是多少？ 课堂练习 解： 在同一时刻物体的高度与它的影长成正比，设这栋楼的高度是，依题意得 答：这栋楼的高度是. 16 2. 如图，测得求河宽. 课堂练习 解： E A D C B 30 m 24 m 80 m ∴ 又 ∴ . 即 ∴ 因此，河宽为. 17 课堂小结 1.相似三角形的应用举例 2.利用相似三角形测量高度 3.利用相似三角形测量宽度 4.利用相似解决有遮挡物问题 18 课后作业 1. 小明身高 米，在操场的影长为 米，同时测得教学大楼在操场的影长为 米，则教学大楼的高度应为（ ） 19 课后作业 2.小刚身高 ，测得他站立在阳光下的影子长为，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 ，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( ) 20 课后作业 3.如图，为了测量水塘边 两点之间的距离，在可以的点 处，取 延长线上的 两点，使得 . 若测则 两点间的距离为 . A B E D C 21 4.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 来测量操场旗杆 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上， A B C D G E F 课后作业 22 九年级数学下27.2.3 谢谢观看！ 第二十七章 相似 23 $$