27.2.1 相似三角形的判定-【数学一起课件】初中数学九年级下册同步PPT课件（人教版）

九年级数学下27.2.1 相似三角形 的判定 第二十七章 相似 1 1 了解相似图形和相似比的概念 2 理解相似多边形的定义 能根据多边形相似进行相关的计算， 3 会根据条件判断两个多边形是否相似 重点，难点 学 习 目 标 2 目 录 6. 两角分别相等的两个三角形相似 1. 平行线分线段成比例的基本事实 2. 平行线分线段成比例的推论 3. 判定相似三角形的引理 4. 三边成比例的两个三角形相似 5. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 contents 3 复习导入 下列各组中的四条线段成比例的是( )   A.1cm，2cm，20cm，40cm B.1cm，2cm，3cm，4cm   C.5cm，10cm，15cm，20cm D.4cm，2cm，1cm，3cm   B 4 复习导入 2.如图，如果， 那么=____， =____， =_____.   180° 5 复习导入 3. 相似多边形的对应角 ，对应边 ，对应边的比叫做 . 4.如图，和 相似需要满足什么条件？ 相等 成比例 相似比 相似用符号“”表示， 读作“相似于”. 与 相似 记作“”. A B C A′ B′ C′ 6 探究新知 平行线分线段成比例的基本事实 如图，任意画两条直线 ，，再画三条与 ， 都相交的平行线 ，，. 分别度量在 上截得的两条线段 ， 和在 上截得的两条线段 ， 的长度. A C E B D F l4 l5 l1 l2 l3 计算的值，它们相等吗？ 任意平移 ，重复上述操作，度量 ，，，，同（1）中计算，它们还相等吗？ 7 平行线分线段成比例的基本事实 可以发现，当时，有， ， A C E B D F l4 l5 l1 l2 l3 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 8 平行线分线段成比例的基本事实 观察与思考： 如图，直线 ，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，若把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段是否依然成比例？ A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a 探究新知 9 平行线分线段成比例的基本事实 如图，直线 ，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，若把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段是否依然成比例？ A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a A1(B1) A2 A3 B2 B3 ( ) 若把图中的部分线条擦去，得到如图所示的新图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？ 10 平行线分线段成比例的基本事实 如图，直线 ，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，若把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段是否依然成比例？ 若把直线 n 向左平移到 B2 与 A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段. 若把图中的部分线条擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？ A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a A2(B2) A1 A3 B1 B3 ( ) 11 平行线分线段成比例的基本事实 推论：把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况. 探究新知 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 12 判定相似三角形的引理 如图，在中，D 为 AB 上任意一点，过点 D 作 BC 的平行线 DE，交 AC 于点 E. 问题 1 与的三个内角分别相等吗？ 问题 2 分别度量与的边长， 它们的边长是否对应成比例？ 问题 3 你认为与之间有什么关系？平行移动 DE 的位置，你的结论还成立吗？ 探究新知 B C A D E 13 判定相似三角形的引理 如图，在中，D 为 AB 上任意一点，过点 D 作 BC 的平行线 DE，交 AC 于点 E. 问题 1 与的三个内角分别相等吗？ 问题 2 分别度量与的边长，它们的边长是否对应成比例？ 问题 3 你认为与之间有什么关系？平行移动 DE 的位置，你的结论还成立吗？ 探究新知 B C A D E 通过度量，我们发现，且只要 ，这个结论恒成立. 14 判定相似三角形的引理 探究新知 B C A D E 思考： 我们通过度量三角形的边长，知道，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？ 由所学的定理，我们可以证出哪些结论？还需证明什么？ 由所学的定理可得= 而除了 DE 外，其他的线段都在的边上，要想利用前面学到的结论来证明三角形相似，可以怎样做呢？ 可以将 DE 平移到 BC 边上去 15 探究新知 如图，，用相似的定义证明. ∵ ，， ∴ 且四边形 DEFB 为平行四边形． ∴ . = . C A B D E F 证明：在与中，. 如图，过点 E 作 ，交 BC 于点 F. 16 判定相似三角形的引理 由此我们得到判定三角形相似的一个定理： 平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似. “A ”型 “X ”型 D E A B C A B C D E 三角形相似的两种常见类型： 探究新知 17 三边成比例的两个三角形相似 探究新知 任意画一个 ，再画一个 ，使它的各边长都是原来的各边长的 k 倍，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？ A′ B′ C′ C B A 18 三边成比例的两个三角形相似 探究新知 任意画一个 ，再画一个 ，使它的各边长都是原来 ABC 的各边长的 k 倍，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？ A′ B′ C′ C B A 通过测量不难发现，，，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 . 下面我们用前面所学过的定理证明该结论. 19 任意画一个 ，再画一个 ，使它的各边长都是原来 的各边长的 k 倍，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？ 证明：在线段 (或延长线) 上截取 ，过点 D 作 ，交 于点 E. ∵ ，∴ . ∴ 又 ，， ∴ ，. ∴ . ∴ . C B A B′ C′ A′ E D ∴ = ， 20 三边成比例的两个三角形相似 探究新知 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似． 归纳： ∵ ， ∴ . 符号语言： 21 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 探究新知 合作探究： 利用刻度尺和量角器画 和 ，使，量出 及 的长，它们的比值等于 吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？与 有何关系？改变 的值和的大小，是否有同样的结论？ 两个三角形相似 22 证明：在 的边 上取点 D，使 ．过点 作 ，交 于点 . ∵ ， ∴ . ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ . 又 ， ∴ . ∴ . 任意画一个 ，再画一个 ，使它的各边长都是原来 的各边长的 倍，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？ B A C D E B' A' C' 23 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 探究新知 由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 归纳： 符号语言： B A C B' A' C' ∴ . 在 和 中， ∵ ， ， 24 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 探究新知 A B C A′ B′ B″ C′ 思考： 对于和 ，如果 ，这两个三角形一定会相似吗？试着画画看.不一定，如下图，因为不能证明构造出来的三角形一定和原三角形全等. 25 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 探究新知 结论： 如果两个三角形两边成比例，但相等的角不是这两边的夹角，那么这两个三角形不一定相似，相等的角一般应是成比例的两边的夹角才能判定相似. 26 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 探究新知 根据下列条件，判断 和 是否相似，并说明理由：，，，， ，． 解：∵ = ∴ = 又 ，∴. 27 两角分别相等的两个三角形相似 探究新知 合作探究： 与同伴合作，一人画 ，另一人画 ，使，，探究下列问题： 问题一 度量 ，，，，，的长，并计算出它们的比值．你有什么发现？ C A B A' B' C' 这两个三角形是相似的！ 28 两角分别相等的两个三角形相似 探究新知 合作探究： 与同伴合作，一人画 ，另一人画 ，使，，探究下列问题： 问题二 试证明 . C A B A' B' C' 29 两角分别相等的两个三角形相似 探究新知 问题二 试证明 . 证明：在 的边 （或 的延长线）上截取 ，过点 作 ，交 于点 ， 则有 ，． ∵， ∴． 又∵ ，， ∴． ∴． C A A' B B' C' D E 30 两角分别相等的两个三角形相似 探究新知 由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似. 归纳： 符号语言： ∵ ，， ∴ . 在和中， 31 两角分别相等的两个三角形相似 探究新知 如图，在和 中，，，，．求证：． A C B F E D 证明：在中，∵ ，， ∴ ． 在中，∵ ，， ∴，． ∴ ． 32 两角分别相等的两个三角形相似 探究新知 判定两个直角三角形相似 如图，在 中，，，. 是 上一点，，，垂足为 ．求 的长． D A B C E 解：∵ ，∴. 又，， ∴ . ∴ , ∴ 33 两角分别相等的两个三角形相似 探究新知 归纳： 由此得到一个判定直角三角形相似的方法： 有一个锐角相等的两个直角三角形相似． 问题 对于两个直角三角形，我们可以用 判定它们全等．那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？ 34 两角分别相等的两个三角形相似 探究新知 如图，在 和 中，，， = ．求证： . C A A' B B' C' 要得到两个三角形相似，需要证明什么呢？ = 35 两角分别相等的两个三角形相似 如图，在 和 中，，， = ．求证：. 证明：设= = k，则 ，. 由勾股定理，得 ∴ ∴ = ∴ . C A A' B B' C' 36 两角分别相等的两个三角形相似 探究新知 归纳： 由此得到一个判定直角三角形相似的方法： 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似. 37 课堂练习 1. 如图，，相似比为 ，若 ，则 EF 的长为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B C A E F D B 38 课堂练习 2. 如图，在中，，则， 对应边的比例关系为 ＝ ＝ ____ ____． B C A D E 3. 已知 ，相似比是 ； ，相似比是 ．则 ，其相似比为 . ∽ 1 : 20 39 课堂练习 4. 已知 和 ，根据下列条件判断它们是否相似. (1) ， ， ， ， ， ； (2) ，， ， ，，. 是 否 方法总结：判定三角形相似的方法一：如果题中给出了两个三角形的所有边长，可分别计算出三条对应边的比值，看是否相等. 注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应. 40 课堂练习 5. 判断对错： (1) 两个等边三角形相似． ( ) (2) 两个直角三角形相似． ( ) (3) 两个等腰直角三角形相似． ( ) (4) 有一个角是 50° 的两个等腰三角形相似． ( ) × √ √ × 41 课堂练习 6. 如图， 是 一边 上一点，连接 ，使 的条件是 　 ( ) A. B. C. D. D A B C D = 42 课堂练习 7.如图，在和中，若，，，则当时，. 55 C A B B' C' A' 43 课堂练习 8.在 和 中，，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似. (1) ，： ； (2) ，，，： ； (3) ，，，： . 是 是 是 44 课堂小结 平行线分线段成比例 基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 判定相似三角形的引理： 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 45 课堂小结 三边成比例的两个三角形相似 1.利用三边成比例判定两个三角形相似 2.相似三角形的判定定理的运用 46 课堂小结 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 1.利用两边成比例且夹角相等判定三角形相似 2.相似三角形的判定定理的运用 B A C B' A' C' 47 课堂小结 两角分别相等的两个三角形相似 1.利用两角判定三角形相似 2.直角三角形相似的判定 C A B A' B' C' 48 课后练习 1.如图，在中，， ，， 求 CD 的长． 解：∵ ，， D A C B E F ∴ . 解得 . 又 ∵ 四边形 为平行四边形， ∴ . ∴ 即 = = 49 课后练习 2. 根据下列条件，判断与 是否相似，并说明理由： ，，， ，，. 解：不相似. 理由如下： ∴与 不相似. ∴与 的三边不成比例. = = = = = , ∵ 50 课后练习 A B C D 3. 如图，在四边形 中，已知 ，， ，， ，求 的长． 又∵ ， ∴ ． 解：∵，，，CD = ， ∴ = = ∴ = = ∴ 51 课后练习 证明：∵ ，，， ∴ . ∵ ， ， ， ∴ . ∴ . 4. 如图，，求证：． A B C D E 1 3 2 O 52 九年级数学下27.2.1 谢谢观看！ 第二十七章 相似 53 $$一起课件 专注教学课件制作 第二十七单元 相似 《相似三角形的判定》   一、教材分析 《相似三角形的判定》是学生在学习了三角形的基本概念、性质以及三角形的相似性质之后的内容，是对之前知识的延伸和拓展。它不仅是中考的重点，也是高中数学的基础。这一节的内容锻炼了学生的严谨的逻辑证明能力，提高了他们灵活分析问题和解决问题的能力，为后继学习奠定了基础。九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对三角形的基本概念和性质有所了解，也具备了一定的分析能力和较强的动手操作能力，以及逻辑推理能力。但是，他们在理解和运用相似三角形的判定方法方面还存在一定的困难。因此，在教学过程中，教师需要关注学生的实际情况，针对性地进行教学。  二、教学目标 1. 让学生掌握相似三角形的判定方法，包括SSS、SAS、ASA、AAS以及HL五种判定方法。 2. 培养学生运用相似三角形的判定方法解决实际问题的能力。 3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。   三、教学重难点 教学重点：相似三角形的判定方法，包括SSS、SAS、ASA、AAS以及HL五种判定方法。 教学难点：相似三角形的判定方法的灵活运用和实际问题的解决。   四、教学过程 一、复习导入 1.下列各组中的四条线段成比例的是( )   A.1cm，2cm，20cm，40cm B.1cm，2cm，3cm，4cm   C.5cm，10cm，15cm，20cm D.4cm，2cm，1cm，3cm   2.如图，如果a∥b，那么∠1=____，∠3=____，∠2+∠4=_____.   3. 相似多边形的对应角相等，对应边成比例，对应边的比叫做相似比 4. 如图，△ABC 和 △A′B′C′ 相似需要满足什么条件？ 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. △ABC 与△A′B′C′ 相似记作“△ABC∽△A′B′C′”. 【设计意图】在复习导入阶段，明确本节课的学习目标，激发学生的学习兴趣. 二、探究新知 活动一：平行线分线段成比例的基本事实 如图，任意画两条直线 l1，l2，再画三条与 l1，l2 都相交的平行线 l3，l4，l5. 分别度量在 l1 上截得的两条线段 AB，BC 和在 l2 上截得的两条线段 DE，EF 的长度. (1) 计算的值，它们相等吗？ (2) (2) 任意平移 l5，重复上述操作，度量 AB，BC，DE，EF，同（1）中计算，它们还相等吗？ 可以发现，当l3∥l4∥l5时，有， 归纳：一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 观察与思考 如图，直线 l1∥l2∥l3，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，若把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段是否依然成比例？ 若把图中的部分线条擦去，得到如图所示的新图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？ 若把直线 n 向左平移到 B2 与 A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段. 若把图中的部分线条擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？ 推论 把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 活动二：判定相似三角形的引理 问题1 如图，在△ABC 中，D 为 AB 上任意一点，过点 D 作 BC 的平行线 DE，交 AC 于点 E. 问题 1 △ADE 与△ABC 的三个内角分别相等吗？ 问题 2 分别度量△ADE 与△ABC 的边长， 它们的边长是否对应成比例？ 问题 3 你认为△ADE 与△ABC 之间有什么关系？平行移动 DE 的位置，你的结论还成立吗？ 通过度量，我们发现△ADE∽△ABC，且只要 DE∥BC，这个结论恒成立. 如图，DE∥BC，用相似的定义证明△ADE∽△ABC. 证明：在△ADE 与△ABC 中，∠A =∠A. ∵ DE∥BC，∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C. 如图，过点 E 作 EF∥AB，交 BC 于点 F. ∵ DE∥BC，EF∥AB， ∴ 且四边形 DEFB 为平行四边形． ∴ DE = BF. = ∴△ADE∽△ABC. 由此我们得到判定三角形相似的一个定理： 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 三角形相似的两种常见类型： 活动三：三边成比例的两个三角形相似 任意画一个 △ABC ，再画一个 △A′B′C′，使它的各边长都是原来△ABC 的各边长的 k 倍，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？ 通过测量不难发现∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C =∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC∽△A′B′C′. 下面我们用前面所学过的定理证明该结论. 证明：在线段 A′B′ (或延长线) 上截取 A′D = AB， 过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E. ∵ DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′. ∴ 又 ，A′D = AB， ∴ = ， ∴ DE = BC，A′E = AC. ∴ △A′DE≌△ABC. ∴△ABC∽△A′B′C′. 归纳： 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似． 活动四：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 合作探究 利用刻度尺和量角器画 △ABC 和 △A′B′C′，使∠A =∠A′，k量出 BC 及 B′C′ 的长，它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关系？ 改变 k 的值和∠A 的大小，是否有同样的结论？ 如图，在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，已知∠A = ∠A′， 求证：△ABC∽△A′B′C′. 证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上取点 D，使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E. ∵ DE∥B′C′， ∴ △A′DE∽△A′B′C′. ∴ ， ∵ A′D = AB， ， ∴ ， ∴ A′E = AC. 又 ∠A′ = ∠A， ∴ △A′DE≌△ABC. ∴ △A′B′C′∽△ABC. 归纳：由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 思考： 对于△ABC和 △A′B′C′，如果 ∠C = ∠C′，这两个三角形一定会相似吗？试着画画看.不一定，如下图，因为不能证明构造出来的三角形一定和原三角形全等. 结论： 如果两个三角形两边成比例，但相等的角不是这两边的夹角，那么这两个三角形不一定相似，相等的角一般应是成比例的两边的夹角才能判定相似. 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由： ∠A = 120°，AB = 7 cm，AC = 14 cm， ∠A′ = 120°，A′B′ = 3 cm，A′C′ = 6 cm． 解：∵ = ∴ = 又 ∠A′ = ∠A，∴△ABC∽△A′B′C′. 合作探究 与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A =∠A′ = 40°，∠B =∠B′ = 55°，探究下列问题： 问题一 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值．你有什么发现？ 这两个三角形是相似的. 问题二 试证明 △ABC∽△A′B′C′. 证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′（或 A′B′的延长线）上截取 A′D = AB，过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E， 则有 △A′DE∽△A′B′C′，∠A′DE =∠B′． ∵∠B =∠B′， ∴∠A′DE =∠B． 又∵ A′D = AB，∠A =∠A′， ∴△A′DE ≌△ABC（ASA）． ∴△ABC∽△A′B′C′． 归纳： 由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似. 如图，在△ABC 和 △DEF 中，∠A = 40°，∠B = 80°，∠E = 80°，∠F = 60°．求证：△ABC∽△DEF． 证明：在△ABC 中，∵∠A = 40°，∠B = 80°， ∴∠C = 180°－∠A－∠B = 60°． 在△DEF 中，∵∠E = 80°，∠F = 60°， ∴∠B =∠E，∠C =∠F． ∴△ABC∽△DEF． 判定两个直角三角形相似 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为 D．求 AD 的长． 解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA = 90°. 又∠C = 90°，∠A =∠A， ∴△AED ∽△ABC. ∴ , ∴ 归纳： 由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似． 对于两个直角三角形，我们可以用 “HL”判定它们全等．那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？ 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C = 90°，∠C′ = 90°， = ．求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′. 要得到两个三角形相似，需要证明什么呢？ = 证明：设= = k，则 AB = kA′B′，AC = kA′C′. 由勾股定理，得 ∴ ∴ = . ∴ Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′. 归纳： 由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似. 【设计意图】新知探究强调学生的主体地位，鼓励学生通过自主学习、小组讨论、合作探究等方式，主动探索新知识。这种设计旨在培养学生的自主学习能力和问题解决能力，使学生在探究过程中不断思考、质疑、验证，从而加深对知识的理解和记忆。 三、课堂练习 4. 已知 △ABC 和 △DEF，根据下列条件判断它们是否相似. (1) AB ＝ 3， BC ＝ 4， AC＝ 6， DE ＝ 6， EF ＝ 8， DF ＝ 9； (2) AB ＝ 4， BC ＝ 8， AC ＝10， DE ＝ 20， EF ＝ 16， DF ＝ 8. 方法总结：判定三角形相似的方法一：如果题中给出了两个三角形的所有边长，可分别计算出三条对应边的比值，看是否相等. 注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应. 【设计意图】通过课堂练习，学生可以反复运用反比例函数的概念和性质，从而加深对这些知识点的记忆。 4、 课堂小结 【设计意图】通过简洁明了的语言，帮助学生回顾本节课所学的反比例函数的基本概念、性质、图像特征以及应用实例，确保他们能够清晰地把握本节课的核心内容。 五、课后作业 【设计意图】：设计一些与课堂内容紧密相关的练习题，帮助学生巩固反比例函数的基本概念、性质和图像特征，确保他们能够熟练掌握这些知识点。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$