26.2 实际问题与反比例函数-【数学一起课件】初中数学九年级下册同步PPT课件（人教版）

一起课件 专注教学课件制作 第二十六单元 反比例函数 《实际问题与反比例函数》   一、教材分析 实际问题与反比例函数是初中数学中的重要内容，特别是在九年级上册或下册（根据教材版本不同而有所差异）中，它起着承上启下的作用。一方面，它是在学生已经学习了变量与变量之间的关系、正比例函数及一次函数之后进行的，为后续学习二次函数等知识打下基础；另一方面，通过实际问题与反比例函数的学习，可以进一步巩固和提升学生对反比例函数性质的理解和应用能力。  二、教学目标 1. 知识与技能：使学生能够进一步运用反比例函数的概念解决实际问题，理解和掌握反比例函数在实际问题中的应用，提高学生的数学应用能力。 2. 过程与方法：通过经历“实际问题—数学建模—拓展应用”的过程，培养学生运用反比例函数进行分析、计算和解答的能力，同时发展学生的数学建模思想。 3. 情感态度与价值观：让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学习数学的兴趣，并培养学生的数学应用意识。   三、教学重难点 教学重点：反比例函数在实际问题中的应用，特别是如何根据实际问题建立反比例函数模型。 教学难点：如何引导学生将实际问题转化为数学问题，并运用反比例函数进行解答，同时巩固反比例函数的性质。   四、教学过程 一、新课导入 【设计意图】在新课导入阶段，明确本节课的学习目标，激发学生的学习兴趣. 二、探究新知 活动一：实际问题与反比例函数 例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室. (1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m)有怎样的函数关系? 解：根据圆柱体的体积公式，得 Sd =104， ∴ S 关于d 的函数解析式为 (2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队施工时应该向下掘进多深? 解：把 S = 500 代入，得 解得 d = 20. 如果把储存室的底面积定为 500 m²，施工时应向地下掘进 20 m 深. (3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相应地，储存室的底面积应改为多少 (结果保留小数点后两位)? 解：根据题意，把 d =15 代入，得 解得 S≈666.67. 当储存室的深度为15 m 时，底面积应改为 666.67 m². 思考：第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方程和求代数式的值的问题有何联系？ 第 (2) 问实际上是已知函数 S 的值，求自变量 d 的取值，第 (3) 问则是与第 (2) 问相反． 例2 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间. (1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v (单位： 吨/天)与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系? 提示：根据平均装货速度×装货天数=货物的总量，可以求出轮船装载货物的总量；再根据平均卸货速度=货物的总量÷卸货天数，得到 v 关于 t 的函数解析式. 解：设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得 k =30×8=240， 所以 v 关于 t 的函数解析式为 (2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨? 解：把 t =5 代入，得 =48 从结果可以看出，如果全部货物恰好用 5 天卸载完，则平均每天卸载 48 吨. 而观察求得的反比例 函数的解析式可知，t 越小，v 越大. 这样若货物不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨. 方法总结：在解决反比例函数相关的实际问题中，若题目要求“至多”、“至少”，可以利用反比例函数的增减性来解答 . 活动二：反比例函数在其他学科中的应用 例3 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m. (1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系? 当动力臂为 1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力? 解：根据“杠杆原理”，得 Fl =1200×0.5， ∴ F 关于 的函数解析式为, 当 =1.5m 时， =400, 对于函数 ，当 l =1.5 m时，F =400 N，此 时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要400 N的力. (2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少? 提示：对于函数，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F =200 N 时对应的 l 的值，就能 确定动力臂 l 至少应加长的量. 解：当F=400× =200 时，由200 =,得 3－1.5 =1.5 (m). 对于函数，当 ＞0 时， 越大，越小. 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，则动力臂至少要加长 1.5 m. 【设计意图】通过提出与反比例函数相关但尚未解答的问题，激发学生的好奇心和探索欲，促使他们主动寻求答案。 三、课堂练习 1. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升 (1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗． (1) 漏斗口的面积 S (单位：dm2)与漏斗的深 d (单 位： dm) 有怎样的函数关系? 解： (2) 如果漏斗的深为1 dm，那么漏斗口 的面积为多少 dm2？ 解：把 d =1 代入解析式，得 S =3.所以漏斗口的面积为 3 dm2. (3) 如果漏斗口的面积为 60 cm2，则漏斗的深为多少? 解：60 cm2 = 0.6 dm2，把 S =0.6 代入解析式，得 d =5. 所以漏斗的深为 5 dm. 2.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时 的平均速度用 6 小时达到乙地. (1) 甲、乙两地相距多少千米？ 解：80×6=480 (千米) 答：甲、乙两地相距 480 千米. (2) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？ 解：由题意得 vt=480， 整理得(t ＞0). 3.一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110～220 Ω. 已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如图所示. (1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系? 解：根据电学知识， 当 U = 220 时，得 (2) 这个用电器功率的范围是多少? 【设计意图】通过课堂练习，学生可以反复运用反比例函数的概念和性质，从而加深对这些知识点的记忆。 四、课堂小结 实际问题中的反比例函数 过程： 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意： 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值；作实际问题中的函数图象时，横、纵坐标的单位长度不一定相同 【设计意图】通过简洁明了的语言，帮助学生回顾本节课所学的反比例函数的基本概念、性质、图像特征以及应用实例，确保他们能够清晰地把握本节课的核心内容。 五、课后作业 1. 王强家离工作单位的距离为3600 米，他每天骑自行 车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟． (1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？ (2) 若王强到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速 度是多少？ (3) 如果王强骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少 需要几分钟到达单位? 2. 在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项 开挖水渠的工程，所需天数 y (天) 与每天完成的工 程量 x (m/天) 的函数关系图象如图所示. (1) 请根据题意，求 y 与 x 之间的函数表达式； (2) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够 开挖水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完 成此项任务？ (3) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内 (按 30 天计算)完成任务，那么每天至少要完成多 少 米？ 3. 某汽车的功率 P 为一定值，汽车行驶时的速度 v (m/s) 与它所受的牵引力F (N)之间的函数关系如 下图所示： (1) 这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表 达式； (2) 当它所受牵引力为1200 N时，汽车的速度为多 少 km/h？ (3) 如果限定汽车的速度不超过 30 m/s，则 F 在什 么范围内？ 【设计意图】：设计一些与课堂内容紧密相关的练习题，帮助学生巩固反比例函数的基本概念、性质和图像特征，确保他们能够熟练掌握这些知识点。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 反比例函数 第二十六章 FANBILIHANSHU 授课人：一起课件 实际问题和反比例函数 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力。 01 学习目标 能够根据实际问题确定自变量的取值范围。 02 能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图象、性质的综合 能力。 03 (重点、难点) 目录 1.实际问题与反比例函数。 2.反比例函数在其他学科中的应用。 新课导入 前面我们结合实际问题讨论了反比例函数，看到了反比例函数在分析和解决实际问题中的作用。下面我们进一步 探讨如何利用反比例函数解决实际问题。 探究新知 实际问题与反比例函数 例1市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室. 解：根据圆柱体的体积公式，得 ∴ S 关于d 的函数解析式为 Sd =104， (1) 储存室的底面积S (单位：m2) 与其深度d (单位：m)， 有怎样的函数关系? 探究新知 实际问题与反比例函数 例1市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室. 如果把储存室的底面积定为500m²，施工时应向地下掘进 20m深。 (2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队 施工时应该向下掘进多深? 解：把 S = 500 代入 ， 得 解得 d = 20. 探究新知 实际问题与反比例函数 (3)当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下15m时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15m.相应地，储存室的底面积应改为多少 (结果保留小数点后两位)? 解得 S≈666.67. 当储存室的深度为15m时，底面积应改为 666.67 m². 解：根据题意，把 d =15 代入 ，得 探究新知 实际问题与反比例函数 第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方程和求代数式的值的问题有何联系？ 想一想 第 (2) 问实际上是已知函数 S 的值，求自变量 d 的取值，第 (3) 问则是与第 (2) 问相反。 探究新知 实际问题与反比例函数 例2 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间. (1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v (单位：吨/天)与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系? 提示 根据平均装货速度×装货天数=货物的总量，可以求出轮船装载货物的总量； 再根据平均卸货速度=货物的总量÷ 卸货天数，得到 v 关于 t 的函数解析式。 解：设轮船上的货物总量为 k吨，根据已知条件得k =30×8=240， 所以 v 关于 t 的函数解析式为 探究新知 实际问题与反比例函数 例2 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间. (2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5天卸 载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨? 从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸载完，则平均每天卸载 48 吨. 而观察求得的反比例函数的解析式可知，t越小，v越大. 这样若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨. 解：把 t =5 代入，得 = 48 探究新知 实际问题与反比例函数 在解决反比例函数相关的实际问题中，若题目要求“至多”、“至少”，可以利用反比例函数的增减性来解答。 方法总结 探究新知 反比例函数在其他学科中的应用 例3 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和 0.5m. (1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系? 当动力臂为 1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力? 解：根据“杠杆原理”，得 Fl =1200×0.5， ∴ F 关于l 的函数解析式为, 当 l=1.5m 时， =400, 对于函数 ，当 l =1.5 m时， F =400 N，此时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要400 N的力. 探究新知 反比例函数在其他学科中的应用 例3 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和 0.5m. (2)若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少? 提示 对于函数𝐹= ，F随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F =200 N 时对应的l的值，就能确定动力臂 l 至少应加长的量. 解：当 F=400× =200 时， 由200 = ,得 3－1.5 =1.5 (m). 探究新知 反比例函数在其他学科中的应用 例3 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和 0.5m. (2)若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少? 对于函数，当 l ＞0 时，l 越大，F越 小. 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，则 动力臂至少要加长 1.5 m. 对于函数𝐹= ，当l＞0时，l 越大，F越小. 因此，若想用力不超过400 N的一半，则动力臂至少要加长 1.5 m. 600 𝑙 课堂练习 1. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升 (1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗． (1)漏斗口的面积 S (单位：dm2)与漏斗的深 d (单位： dm) 有怎样的函数关系? 解： 课堂练习 1. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升 (1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗． (2)如果漏斗的深为1 dm，那么漏斗口的面积为多少 dm2? 解：把 d =1代入解析式，得S =3.所以漏斗口的面积为3dm2. 课堂练习 1. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升 (1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗． (3)如果漏斗口的面积为60cm2，则漏斗的深为多少? 解：60 cm2 = 0.6 dm2，把 S =0.6 代入解析式，得d =5. 所以漏斗的深为5dm. 课堂练习 2.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时的平均速度用 6 小时达到乙地.． (1) 甲、乙两地相距多少千米？ 解：80×6=480 (千米) 答：甲、乙两地相距 480 千米. (2)当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？ 解：由题意得 vt=480， 整理得 (t ＞0). 课堂练习 3.一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110～220 Ω. 已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如图所示． (1)功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系? 解：根据电学知识， 当 U = 220 时，得 课堂练习 (2)这个用电器功率的范围是多少? 因此用电器功率的范围为220~440W. 解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小. 把电阻的最小值 R = 110 代入求得的解析式， 得到功率的最大值 把电阻的最大值 R = 220 代入求得的解析式， 得到功率的最小值 课堂练习 4.在公式 中，当电压 U 一定时，电流 I 与电阻 R 之间的函数关系可用图象大致表示为 ( ) D 课堂小结 实际问题中的反比例函数 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 过程 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值；作实际问题中的函数图象时，横、纵坐标的单位长度不一定相同。 注意 课堂小结 反比例函数的概念 物理学科中的反比例函数 与其他知识的综合 思想 方法 小结 “杠杆原理”： 动力×动力臂=阻力×阻力臂 与力学的综合 与电学的综合 知识 小结 建模—反比例函数的数学思想方法 课后作业 1.王强家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v米/分，所需时间为t分钟 (1)速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系? (2) 若王强到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速度是多少? (3)如果王强骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少需要几分钟到达 单位? 课后作业 2.在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数 y (天) 与每天完成的工程量 x (m/天) 的函数关系图象如图所示. (1) 请根据题意，求 y 与 x 之间的函数表达式? (2)若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完成此项任务? (3) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内 (按 30 天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少米？ 课后作业 3.某汽车的功率 P 为一定值，汽车行驶时的速度v (m/s) 与它所受的牵引力F (N)之间的函数关系 如右图所示： (1)这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式? (2)当它所受牵引力为1200 N时，汽车的速度为多少 km/h? (3) 如果限定汽车的速度不超过 30 m/s，则 F 在什么范围内？ 谢谢观看 第二十六章 FANBILIHANSHU 授课人：一起课件 实际问题和反比例函数 $$