精品解析： 福建省泉州市晋江市2024-2025学年九年级上学期期末质量抽测数学试卷

晋江市2024年秋初中学科抽测诊断 初三数学 （本卷共8页，25道题．满分150分；考试时间120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. “翻开九年级上册数学课本，恰好翻到第10页”，这个事件是（　　） A. 不可能事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 确定事件 2. 下列式子中运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. 4. 如图，直线，，，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 6. 在中，，则的值为（　　） A. B. C. D. 7. 已知抛物线，下列说法不正确是（　　） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 8. 如图，三架飞机A，B，C保持编队飞行（即在同一平面内，三架飞机相对距离保持不变）．某时刻在坐标系中的坐标分别为．不久后，飞机A飞到位置，则飞机的位置为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点为的中点，点为的中点，交于点．若，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 3．5 D. 4 10. 如图，在正方形中，对角线与相交于点，点为边的中点，于点，，交的延长线于点，则的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 要使得式子有意义，则a的取值范围是_____． 12. 若，则代数式的值为_______． 13. 一个不透明箱子里有红球和绿球共9个，它们除了颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到红球的概率是，则袋子中有_______个红球． 14. 某天，嘉嘉和父母外出郊游，在河岸边玩耍，她想测量河的宽度，设计了一种测量方案：如图所示，在河对岸选择点，再在河这边岸边选取两点，测得，并测量出长为40米，则河的宽度为_______米． 15. 如图，是等边三角形，点为的重心，连接，以为边作等边三角形，若，则的周长为_______． 16. 抛物线的顶点为，点，点为抛物线上的点．若是底角为的等腰三角形，且，则的面积为_______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，在中，D为上一点，．求的长． 20. 某学校开设了三门劳动教育课程：种植、烹饪、陶艺． （1）若小明随机选择一门，恰好是“陶艺”的概率是_______； （2）若小明随机选择两门，请用列表法或画树状图的方法，求出他同时选择“种植”、“陶艺”的概率． 21. 某超市销售晋江特产“衙口花生”，平均每天可售出100箱，每箱盈利12元．为了扩大销售，让利顾客，该超市采取降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱．根据上面的信息，解决下列问题： （1）若每箱降价3元，则每天销售该花生可获利多少元？ （2）若要使每天销售该花生获利1400元，则每箱应降价多少元？ 22. 一副直角三角板如图放置，D，F，A三点在同一直线上，，，，，． （1）求的度数； （2）求的长． 23. 综合与实践：某数学小组为了了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查询资料获得以下信息： 材料一：由于人反应和惯性的作用，行驶中的汽车发现情况到刹车停止前还要继续向前行驶一段距离才能停下，这段距离称为制动非安全距离．从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，这段距离普通人反应时间为0.2秒．从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离． 材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能（车速不超过）进行测试，测得数据如表： 车速x（km/h） 0 30 60 90 120 150 制动距离y（m） 0 7.8 19.2 34.2 52.8 75 探究任务： （1）已知该款新型汽车的制动距离和车速之间存在已学过的某种函数关系，请根据上面提供的数据，求出这个函数的表达式； （2）若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为，请通过计算估计该款汽车开始刹车时的速度； （3）若某驾驶员驾驶这种新型汽车以速度在单行道上行驶，发现前方处有一辆大货车停在公路上挡住去路，驾驶员紧急刹车，请问是否有碰撞危险？请说明理由． 24. 已知：抛物线平移后经过点，两点，得到新抛物线，点为新抛物线的对称轴与轴的交点． （1）求新抛物线的函数表达式． （2）线段在新抛物线的对称轴上移动（点在点下方且在轴上方），新抛物线的顶点为点，点为线段上的动点． ①当时，求证：点三点在同一条直线上； ②在①的条件下，连接，，当，时，过点的直线与相交于点，若与相似，求直线l的函数表达式． 25. 在中，，对角线交于点，，是上两点．延长交于点，延长交于点． （1）如图1，若． ①求证：； ②如图2，连结交于点，连结，若．求证：． （2）如图3，若，，，是否存在最小值？若存在，求出最小值并直接写出长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 晋江市2024年秋初中学科抽测诊断 初三数学 （本卷共8页，25道题．满分150分；考试时间120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. “翻开九年级上册数学课本，恰好翻到第10页”，这个事件是（　　） A. 不可能事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 确定事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：“翻开九年级上册数学课本，恰好翻到第10页”，这个事件是随机事件， 故选：B． 2. 下列式子中运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的乘法计算，化简二次根式，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减计算，二次根式的乘法运算法则逐选项判断即可． 【详解】解：A．，原式计算错误，不符合题意； B．，原式计算错误，不符合题意； C．，原式计算正确，符合题意； D．，原式计算错误，不符合题意； 故答案为：C． 3. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. 【答案】C 【解析】 【分析】先移项,然后通过提取公因式x对等式的左边进行因式分解即可求出结果． 【详解】解： 解得，， 故选：C． 【点睛】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程，考查了运算求解能力，熟练掌握因式分解法求解一元二次方程是解决此题的关键． 4. 如图，直线，，，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，判断即可．灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：A、，，故本选项结论错误，不符合题意； B、时，的值不能确定 C、，，故本选项结论正确，符合题意； D、由C的解答可知：本选项结论错误，不符合题意； 故选：C． 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，关键是掌握，一元二次方程有两个不相等的根，，一元二次方程没有根，，一元二次方程有两个相等的根． 根据一元二次方程根的判别式的值，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 6. 在中，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义和勾股定理，根据勾股定理求得的值，然后根据余弦的定义即可求解．掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提． 【详解】解：中，，，， ， ． 故选：A． 7. 已知抛物线，下列说法不正确的是（　　） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，根据所给顶点式即可逐个判断进而得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【详解】解：由题意，抛物线为， 抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点为，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 故A、C、D均不符合，B符合． 故选：B． 8. 如图，三架飞机A，B，C保持编队飞行（即在同一平面内，三架飞机相对距离保持不变）．某时刻在坐标系中的坐标分别为．不久后，飞机A飞到位置，则飞机的位置为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出平移规律是解题的关键． 直接利用A点平移规律进而得出B点平移后位置，即可得出答案． 【详解】解：，， 是点A向左平移4个单位，向上平移5个单位长度， ， ， 故选C 9. 如图，在中，点为的中点，点为的中点，交于点．若，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 3．5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 取的中点H，连结，因为点D为的中点，所以，，再证明，求出，进而可求出的长． 【详解】解：取的中点H，连结， ∵点D为的中点， ∴，， ∵点E为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，在正方形中，对角线与相交于点，点为边的中点，于点，，交的延长线于点，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质和勾股定理，圆内接四边形，求正切值，过点作于点，设，然后根据正方形的性质求出，然后利用勾股定理求出，，，，利用面积法求出，，从而求出，最后求出，从而求出的正弦值，然后证明，，，四点共圆，从而得到，求出答案即可，解题关键是添加辅助线改造直角三角形，熟练掌握利用面积法求线段的长． 【详解】解：如图所示：过点作于点， 设， 为边的中点， ， 四边形是正方形， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 的面积， ， ， ， 的面积， ， ， ， ， 在中，， ， ， ，，，四点共圆， ， ， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 要使得式子有意义，则a的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式有意义的条件解答即可． 本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：二次根式有意义， 故， 故， 故答案为：. 12. 若，则代数式的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，由比例的性质得，代入所求的式子化简计算即可．解题的关键是熟练掌握比例的性质． 【详解】解：， ， ． 故答案为：1． 13. 一个不透明箱子里有红球和绿球共9个，它们除了颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到红球的概率是，则袋子中有_______个红球． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，根据概率公式即可得到结论．熟练掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：袋子中红球的个数为（个． 故答案为：6． 14. 某天，嘉嘉和父母外出郊游，在河岸边玩耍，她想测量河的宽度，设计了一种测量方案：如图所示，在河对岸选择点，再在河这边岸边选取两点，测得，并测量出长为40米，则河的宽度为_______米． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定以及性质，含30度直角三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可得出，进而可得出，则，最后根据含30度直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴（米）， 在中， （米） 故答案为：20 15. 如图，是等边三角形，点为的重心，连接，以为边作等边三角形，若，则的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的重心及等边三角形的性质，延长交于点，由点为的重心，得出点为中点，且，再由长得出长，进一步得出的长，据此求出的边长即可解决问题．熟知等边三角形的性质及三角形重心的性质是解题的关键． 【详解】解：延长交于点， 点为的重心， ，． 是等边三角形，且， ， ， ． 是等边三角形， ． 在中， ， ， 则， 的周长为18． 故答案为：18． 16. 抛物线的顶点为，点，点为抛物线上的点．若是底角为的等腰三角形，且，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，解直角三角函数，求得点的坐标是解题的关键．设抛物线的对称轴为轴，则抛物线为，，设，则，解直角三角形求得即可求得把的坐标代入求得的值，从而把求得和，利用三角形面积公式求得即可． 【详解】解：设抛物线的对称轴为轴，则， ， 设，则，如图， 是底角为等腰三角形， , 即 把的坐标代入得， 解得，舍去， ，， 的面积为：． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂的运算、二次根式的化简、特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 依次根据零指数幂的运算，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，绝对值的化简计算即可． 【详解】解： 原式 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：“利用因式分解求出方程的解的方法”，是解一元二次方程最常用的方法，本题利用因式分解法，进行计算即可解答． 【详解】解： ， 或， 所以． 19. 如图，在中，D为上一点，．求的长． 【答案】的长为9． 【解析】 【分析】根据已知条件证明，得到求出即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴． 故的长为9． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的性质求解． 20. 某学校开设了三门劳动教育课程：种植、烹饪、陶艺． （1）若小明随机选择一门，恰好是“陶艺”的概率是_______； （2）若小明随机选择两门，请用列表法或画树状图的方法，求出他同时选择“种植”、“陶艺”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：若小明随机选择一门，恰好是“陶艺”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：将种植、烹饪、陶艺分别记作1、2、3，列表如下： 1 2 3 1 2 3 由表知，共有6种等可能结果，其中他同时选择“种植”、“陶艺”的有2种结果， 所以他同时选择“种植”、“陶艺”的概率为． 21. 某超市销售晋江特产“衙口花生”，平均每天可售出100箱，每箱盈利12元．为了扩大销售，让利顾客，该超市采取降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱．根据上面的信息，解决下列问题： （1）若每箱降价3元，则每天销售该花生可获利多少元？ （2）若要使每天销售该花生获利1400元，则每箱应降价多少元？ 【答案】（1）1440元 （2）5元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据销售单价每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱，列式计算即可； （2）设每箱应降价元，则日销量为箱，每箱花生获利元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：若每箱降价3元，则每天销售该花生可获利为（元， 答：若每箱降价3元，则每天销售该花生可获利1440元； 【小问2详解】 解：设每箱应降价元，则日销量为箱，每箱花生获利元， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），； 答：要使每天销售该花生获利1400元，则每箱应降价5元． 22. 一副直角三角板如图放置，D，F，A三点在同一直线上，，，，，． （1）求的度数； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定，平行线的性质求角度： （1）根据平行线的性质进行角度和差计算即可； （2）由得到 ，解直角三角形，在 中，，解直角三角形得到，再进行线段和差计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：过点 作 于点 在中，，，， 在 中， ． 23. 综合与实践：某数学小组为了了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查询资料获得以下信息： 材料一：由于人的反应和惯性的作用，行驶中的汽车发现情况到刹车停止前还要继续向前行驶一段距离才能停下，这段距离称为制动非安全距离．从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，这段距离普通人反应时间为0.2秒．从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离． 材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能（车速不超过）进行测试，测得数据如表： 车速x（km/h） 0 30 60 90 120 150 制动距离y（m） 0 7.8 19.2 34.2 52.8 75 探究任务： （1）已知该款新型汽车的制动距离和车速之间存在已学过的某种函数关系，请根据上面提供的数据，求出这个函数的表达式； （2）若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为，请通过计算估计该款汽车开始刹车时的速度； （3）若某驾驶员驾驶这种新型汽车以的速度在单行道上行驶，发现前方处有一辆大货车停在公路上挡住去路，驾驶员紧急刹车，请问是否有碰撞危险？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）有碰撞危险，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数应用．一元二次方程的应用，根据所给表格和函数图象判断出相应的函数为哪种函数是解决本题的易错点；关键是理解并应用得到的函数解析式． （1）观察函数和表格中的数据可猜测函数关系式为过原点的抛物线，设出抛物线解析式，把表格中的任意两点代入可得和的值，即可求得函数表达式； （2）取，代入（1）中得到的函数解析式，求得合适的的值即可； （3）取，代入（1）中得到的函数解析式，求得制动距离的值，进而计算出制动非安全距离与所给的比较即可得到是否有碰撞危险． 【小问1详解】 解：设与的关系式为：， 经过点，， ， 解得：， 这个函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：当时，， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：制动距离约为时该款汽车开始刹车时的速度约为； 【小问3详解】 解：有碰撞危险，理由如下： 当时，， 制动非安全距离为：， 有碰撞危险． 24. 已知：抛物线平移后经过点，两点，得到新抛物线，点为新抛物线的对称轴与轴的交点． （1）求新抛物线的函数表达式． （2）线段在新抛物线的对称轴上移动（点在点下方且在轴上方），新抛物线的顶点为点，点为线段上的动点． ①当时，求证：点三点在同一条直线上； ②在①的条件下，连接，，当，时，过点的直线与相交于点，若与相似，求直线l的函数表达式． 【答案】（1） （2）①见解析；②或 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法可得函数的解析式，一次函数和二次函数的性质，三角形相似的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，掌握三角形相似的性质和判定是解本题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①如图1，设，则，利用配方法可得：顶点的坐标为，对称轴是：直线，点的坐标，利用待定系数法可得：的解析式为：，将点的坐标代入，符合可得结论； ②先表示的长，得是等腰直角三角形，则，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可得，，，表示点的坐标，分两种情况：当时，如图2，，；当时，如图3，，即可解答． 【小问1详解】 解：由平移得：， 把点，代入新抛物线中，得：， 解得：， 新抛物线的函数表达式是：； 【小问2详解】 ①证明：如图1，设，则， ， 顶点的坐标为，对称轴是：直线，点的坐标， 点的坐标为， ，， 的坐标为，的坐标为， 设的解析式为：， ，解得：， 的解析式为：， 当时，， 点在上，即点，，三点在同一条直线上； ②解：由①知：，， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 中，， ，，， ， ， ， ， 点的坐标为，， 分两种情况： 当时，如图2，，， 同理得：的解析式为：， 设的解析式为：， 把点的坐标代入得：， ， 的解析式为：； 当时，如图3，， ，即， ， 过点作于， ，， ， 点的坐标为， 同理得：的解析式为：； 综上，直线的函数表达式为：或． ． 25. 在中，，对角线交于点，，是上两点．延长交于点，延长交于点． （1）如图1，若． ①求证：； ②如图2，连结交于点，连结，若．求证：． （2）如图3，若，，，是否存在最小值？若存在，求出最小值并直接写出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）存在，， 【解析】 【分析】（1）①证明即可解答；②证明，得出，再结合①得出，即可得，证明，即可解答． （2）取中点，证明，得出，作点关于直线的对称点，则，，作交延长线于点，则，，证明，得出，取中点，连接，得出是的中位线，，，则三点共线时，最小．过作于点，求出，，连接，勾股定理求出，根据，求出的最小值为．再证明，根据相似三角形的性质求出即可解答． 【小问1详解】 解：①证明：中， ，， ， 在与中 ， ， ． ②证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：存在． 四边形是平行四边形， ， ， 取的中点，则， ， ， 在和中 ， ， 作点关于直线的对称点，则，， 作交延长线于点，则，， ∴， ∴， ， 取中点，连接， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 则三点共线时，最小． 过作于点， 则， ，， ， ， 连接， ， ， ， 的最小值为． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故此时． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形中位线定理，轴对称的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$