7.1.1数系的扩充和复数的概念 教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.1.1数系的扩充和复数的概念 1、 教学内容 从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念。 二、教学目标 1.了解引入复数的必要性； 2.了解数系扩充的一般“规则”，了解从实数系扩充到复数系的过程，感受数系扩充过程中人类理性思维的作用，提升数学抽象、逻辑推理素养； 3.掌握复数的代数表示式，理解复数的有关概念。 三、教学重点及难点 1.教学重点 虚数单位的引入、复数的概念、复数的分类。 2.教学难点 数集扩展的必要性，复数概念的引入。 4、 教学过程 问题1：截至目前，我们都学习过哪些数集？这些数集之间有什么关系？ 师生活动：学生回忆以前学过的数集,有自然数集、整数集、有理数集、实数集。后面的数集包含前面的数集，即后一个数集是前一个数集的扩充。 设计意图：通过梳理已经学习过的数集，抓住知识的“关联点”，使学生了解数的产生及数系的不断扩充。 问题2：以下方程是否有根？ （1） （2） 师生活动：学生回答方程（1）有根为，方程（2）在实数集中没有解。因为在实数集中对-1开平方没有意义。 教师追问：怎样才能使方程（2）有解？ 师生活动：学生思考回答，引入新数扩充实数系，使负数开方在新数系中有意义。 设计意图：根据方程求解，为后续实数系的进一步扩充提供方法，提升学生逻辑推理的数学能力，攻克本节课的难点。 问题3：引入什么新数能解决所有负数开平方问题？ 师生活动：为了解决负数开平方问题，数学家欧拉大胆引入一个新数，把叫做虚数单位，并且规定： (1) (2) 实数系中的加法、乘法运算及运算律在新数系中依然适用。 教师追问：实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成？ 师生活动：依此设想 ①把实数b与相乘，结果记作b ②把实数a与b相加，结果记作a+b 所有实数以及都可写成a+b (a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中。 设计意图：通过启发式提问，引入虚数的概念，从而数集得到扩充，再通过课堂活动，引导学生归纳复数的代数形式。 问题4：在新数集中，复数的代数形式是如何定义的？ 师生活动：师生共同归纳出， (1)复数的定义：形如的数叫做复数，其中 称为虚数单位，满足.称为的实部，称为的虚部； (2)全体复数构成的集合叫做复数集.即 (3)复数的代数形式：通常用字母表示，即 设计意图：归纳出复数的代数形式和复数集，让学生体会数系扩充过程中理性思维的作用，以及数学形式化、符号化的过程，提升学生归纳总结能力。 问题5：观察复数实部和虚部的特点，实部a和虚部b满足什么条件时为实数？什么情况下为虚数？纯虚数呢？ 师生活动：学生小组之间讨论得到如下结论： 教师追问1：复数集 C 和实数集 R 之间有什么关系？ 师生活动：学生回答，实数集R是复数集C的真子集（）。 教师追问2：用韦恩图如何表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系？ 师生活动：学生画出韦恩图表示如下 教师追问3：结合复数实部和虚部的特点，完成以下例题： 练习：下列复数哪些是虚数，纯虚数？分别指出其实部与虚部. 解：都是虚数，其中只有是纯虚数； 它们的实部分别为；虚部分别是. 【例1】实数m取什么值，使得复数 （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数. 师生活动：师生共同完成以下过程。 解： (1)当，即时，复数是实数； (2)当，即时，复数是虚数； (3)当且，即时，复数是纯虚数. 设计意图： 通过问题串的方式，对复数集的概念进行深化，对复数、虚数、纯虚数的概念以及相互之间的关系用韦恩图表示，更直观地在学生的脑海中形成概念。例题巩固复数的分类标准，完善认知结构。 问题6：复数可以像实数那样比较大小吗？ 师生活动：一般来说，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。 教师追问1：如何判断两个复数是否相等呢？ 师生活动：教师引导学生得出如下结论： 在复数集中任取两个数，我们规定： 教师追问2：结合两个复数相等的结论，完成如下例题： 【例2】已知，其中，求与. 师生活动：师生共同完成以下过程 解：根据复数相等的定义，得方程组解得，4. 设计意图：引入新的数学对象时，为了保证对象的确定性，就要明确两个元素相等的含义，让学生具有这种意识。由两个复数相等的定义，可以把复数看成一个有序数对，从而为复数的几何意义奠定基础。 五、课堂小结 1.了解从实数扩展到复数的过程。 2.复数的概念：形如()的数称为复数.其中 称为虚数单位，满足.称为的实部，称为的虚部； (1) 复数的分类：实数，虚数，纯虚数； (2) 复数的相等关系. 六、目标检测 课堂检测： 1.分别求实数x的值，使得复数： （1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数. 解： (1)当，即时，复数是实数； (2)当，即时，复数是虚数； (3)当且，即时，复数是纯虚数. 2.已知，求满足上述关系的实数与的值。 解：根据复数相等的定义，得解得， . 设计意图：上述各题是对本课时学习目标的综合检测，学生要从复数的分类、复数相等出发，解决相关问题，并对复数的分类要进行适当讨论。让学生在解决问题的过程中内化复数的相关概念，起到及时巩固、学以致用的功效。 课后作业: 1. 独立完成P70练习1、2、3，下次课检查。 2. 结合平面向量的知识预习7.1.2复数的几何意义。 七、板书设计 学科网（北京）股份有限公司 $$