03 平面几何中的向量方法&04 例析投影向量在解题中的应用-《中学生数理化》高一数学2025年2月刊

■陈军丽 平面向量的应用比较广泛,可以解决平面 几何中的很多常见问题,比如夹角、垂直、平 行、距离等。其实,上升到几何与代数的高度, 可以理解为用代数的方法处理几何问题,在解 题时,常用的相关知识基本上涵盖了平面向量 的所有计算法则,因此一定要将法则理解清 楚,切勿死记硬背,避免造成解题出错。 类型一:向量垂直或共线问题 例1 (1)在△ABC 中,|AB→+AC→|= |AB→-AC→|,则△ABC 的形状为( )。 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 (2)已知向量a=(2,1),b=(sin(π-α), 2cosα)。 ①若α= 3π 4 ,求证:a⊥b。②若向量a,b 共线,求|b|的值。 解析:(1)通过对向量加减法几何意义的 理解,可以将向量的模直接平方切入求解。 因为|AB→+AC→|=|AB→-AC→|,所以|AB→+ AC→|2=|AB→-AC→|2,可得|AB→|2+2AB→· AC→+|AC→|2=|AB→|2-2AB→·AC→+|AC→|2, 所以 AB→·AC→=0,所 以 AB⊥AC,所 以 △ABC 为直角三角形。应选B。 (2)①当α= 3π 4 时,b=(sin(π-α), 2cosα)=(sinα,2cosα)= 2 2 ,- 2 。 因为a=(2,1),所以a·b=2× 2 2 + 1×(- 2)=0,所以a⊥b。 ②(方法1)因为向量a,b共线,所以2× 2cosα=1×sin(π-α)=sinα,所以sinα= 4cosα。 当cosα=0时,则sinα=0,这时与sin2α +cos2α=1矛盾,舍去;当cosα≠0时,由 sinα=4cosα,可得tanα= sinα cosα=4 。 所 以|b|= sin2(π-α)+4cos2α = sin2α+4cos2α = sin2α+4cos2α sin2α+cos2α = tan2α+4 tan2α+1 = 20 17= 2 85 17 。 (方 法 2)结 合 方 法 1 可 得 方 程 组 sinα=4cosα, sin2α+cos2α=1, 所以 sin2α= 16 17 , cos2α= 1 17 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以|b| = sin2α+4cos2α= 20 17= 2 85 17 。 体验:处理共线或垂直问题时,可以将已 知向量作为一组基底,证明向量共线或计算 数量积为零,也可以直接建立坐标系,将几何 问题转化为代数问题,通过坐标成比例或数 量积为零判断共线或垂直。 变式1:设向量a=(4cosα,sinα),b= (sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ)。 (1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的 值。 (2)求|b+c|的值。 (3)若tanαtanβ=16,求证:向量a∥b。 提示:(1)由a 与b-2c垂直,可得a· (b-2c)=a·b-2a·c=0,即4sin(α+β) -8cos(α+β)=0,所以tan(α+β)=2。 (2)因为b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ- 4sinβ),所以|b+c|2=sin2β+2sinβcosβ+ cos2β+16cos2β-32cosβsinβ+16sin2β=17 -30cosβsinβ=17-15sin2β,所以|b+c|2 的最大值为17+15=32,所以|b+c|的最大 值为42。 6 知识结构与拓展 高一数学 2025年2月 (3)由tanαtanβ=16,可得sinαsinβ= 16cosαcosβ。 因为4cosα·4cosβ-sinα·sinβ=0, 所以向量a∥b。 类型二:两向量的夹角问题 例2 若两个非零向量a,b满足|a+b| =|a|=|b|,则向量b 与a-b 的夹角是 。 解析:利用夹角公式和“见模平方”沟通求 解。因为两个非零向量a,b 满足|a+b|= |a|=|b|,所以|a+b|2=|a|2,即a2+2a· b+b2=a2,所以2a·b=-b2。所以|a-b|= (a-b)2= a2-2a·b+b2=3|a|,所以 (a-b)·b=a·b-b2=- 3 2a 2。 设向量b与a-b的夹角为θ,则cosθ= (a-b)·b |a-b|·|b|= - 3 2|a| 2 3|a|·|b| =- 3 2 。 因为θ∈[0,π],所以θ= 5π 6 ,即向量b与 a-b的夹角是 5π 6 。 体验:解决向量的夹角问题,主要思路是 先将模分别平方,化简整理到最简形式,再列 出求夹角的余弦值的表达式,即可求出结果。 本题需要灵活运用向量夹角的计算公式。向 量的夹角范围与直线的夹角范围有本质的区 别,前者需要考虑方向,而后者无须考虑方向。 变式2:若e1,e2 是夹角为60°的两个单 位向量,则a=2e1+e2 与b=-3e1+2e2 的 夹角为 。 提示:因为e1·e2=|e1||e2|·cos60°= 1 2 ,所以a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)= -6e21+e1·e2+2e22=-6+ 1 2+2=- 7 2 。 易得|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e21+4e1·e2+ e22=4+4× 1 2+1=7 ,|b|2=b2=(-3e1+ 2e2)2=9e21-12e1·e2+4e22=9-12× 1 2+ 4=7,所以|a|= 7,|b|= 7。 设向量a 与向量b 的夹角为θ,则cosθ = a·b |a||b|= - 7 2 7× 7 =- 1 2 。因为0°≤θ≤ 180°,所以θ=120°。 类型三:利用平面向量解决最值(或距离) 问题 例3 平面向量a,b 满足a2-a·b-3 =0,|b|=2,则|a-b|的最大值是( )。 A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选取主元构建二次函数求模(或距 离)的最值。设a 与b 的夹角为θ。由a2- a·b-3=0,可得|a|2-2|a|cosθ-3=0, 则|a|cosθ= |a|2-3 2 。由cosθ= |a|2-3 2|a| ∈ [-1,1],解得1≤|a|≤3。因为|a-b|2= |a|2+|b|2-2|a||b|·cosθ=|a|2+4- 2× |a|2-3 2 ×2=-|a| 2+10,所以当|a|=1 时,|a-b|2 取最大值,可得|a-b|的最大值 为 -1+10=3。应选C。 体验:利用平面向量解决最值(或距离) 问题,就是求向量模的最值问题。 变式3:在△ABC 中,M 是BC 的中点, A=120°,AB→·AC→=-12,则线段AM 的长 的最小值为 。 提示:由 AM→=12(AB →+AC→),平方得 AM→ 2 = 1 4 (AB→ 2 +AC→ 2 +2AB→ ·AC→)= 1 4 (AB→ 2 +AC→ 2 -1)。 因为AB→·AC→=|AB→|·|AC→|cos120° =- 1 2|AB →|·|AC→|=-12,所以|AB →|· |AC→|=1。 所以 AM→ 2 = 1 4 (AB→ 2 +AC→ 2 -1)≥ 1 4 (2|AB→|·|AC→|-1)=14,当且仅当|AB →| =|AC→|=1时取等号,所以|AM→|的最小值 为 1 2 ,即线段AM 的长的最小值为 1 2 。 作者单位:湖北省十堰市东风高级中学 (责任编辑 王琼霞) 7 知识结构与拓展 高一数学 2025年2月 ■刘长柏 投影向量法在解决模或夹角变化的数量 积问题中有较大的优势,投影向量法体现了 转化与化归的数学思想,蕴含着数学抽象和 直观想象的核心素养。下面从两个方面,剖 析投影向量在解题中的应用,以期对同学们 的学习有所帮助。 一、对投影向量的理解 如图1,如果向量AB→ 的起点A 和终点B 在直线l上的投影分别为A'和B',那么向量 A'B'→叫作向量AB→ 在直线l上的投影向量。 图1 一个向量b在一个非零向量a的方向上 的投影,就是向量b 在向量a 的任意一条所 在直线上的投影。因为这些直线都是平行 的,所以向量b 在一个非零向量a 的方向上 的投影是唯一确定的。特殊地,若两个向量 共起点 O,OA→=a,OB→=b,过点 B 作直线 OA 的垂线,垂足为B',则OB'→就是向量b在 向量a上的投影向量,向量b 在向量a 方向 上的投影向量为OB'→=|b|cos <a,b> |a| a 。 二、投影向量的应用 题型1:直接求投影向量 例1 在△ABC 中,已 知|AB→|=5, |BC→|=4,|AC→|=3,求 AB→·BC→ 及AC→ 在 AB→ 方向上的投影向量。 解:因为|AB→|=5,|BC→|=4,|AC→|=3, 所以|BC→|2+|AC→|2=|AB→|2,所以 AC⊥ BC,即△ABC 为直角三角形,所以cosB= |BC→| |AB→| = 4 5 。所以AB→·BC→=|AB→||BC→|· cos(π-B)=5×4× - 4 5 =-16。 因为△ABC 为直角三角形,所以cosA = |AC→| |AB→| = 3 5 ,所以AC→ 在AB→ 方向上的投影 向量为|AC→|·cosA· AB → |AB→| =3× 3 5× AB→ 5 = 9 25AB →。 点评:求投影向量要搞清楚是哪个向量 在哪一个向量方向上的投影向量,在正确理 解定义的同时,找准两向量之间的夹角是关 键。在确定两向量的夹角时,一定要注意“共 起点”。 题型2:已知投影向量求向量的模或 夹角 例2 已 知 向 量 a = (2,0),b= sinα, 3 2 ,若向量b 在向量a 上的投影向 量c= 12 ,0 ,则|a+b|=( )。 A.3 B.7 C.3 D.7 解:由已知得向量b 在a 上的投影向量 为 a·b |a| · a |a|= 2sinα 2×2 (2,0)=(sinα,0)。因 为向量b在a上的投影向量c= 12 ,0 ,所以 sinα= 1 2 ,所以向量b= 1 2 ,3 2 。所以a+b = 5 2 ,3 2 ,所以|a+b|= 52 2 + 3 2 2 = 7。应选B。 点评:解答本题的关键是投影向量定义 的灵活应用。 题型3:已知投影向量求参数 例3 已知向量a=(-4,3),点 A(1, 1),B(2,-1),记 A'B'→为向量AB→ 在向量a 上的投影向量,若A'B'→=λa,则λ= 。 解:因为点A(1,1),B(2,-1),所以AB→ =(1,-2)。因为向量a=(-4,3),所以AB→ 在向量a 上的投影数量为 AB→·a |a| = -10 5 = -2,所 以 投 影 向 量 A'B'→=-2× a|a|= 8 知识结构与拓展 高一数学 2025年2月