精品解析：2025年辽宁省中考数学预测卷

2025年辽宁省数学中考预测卷 数学试题 考试时间：100分钟；分数：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 的值是　　 A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】首先思考绝对值的性质，再根据负数的绝对值等于它的相反数的得出答案． 详解】. 故选：C． 【点睛】本题主要考查了绝对值判断，掌握绝对值的性质是解题的关键．即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 2. 某几何体如图所示，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看，上面是一个圆，下在是一个长方形． 故选：B 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 3. 从水利部长江水利委员会获悉，截至2023年3月30日17时，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计向受水区实施生态补水约90亿立方米．其中9000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，看小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．小数点向左移动时，n是正整数；小数点向右移动时，n是负整数． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，单项式除以单项式，积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据完全平方公式，平方差公式，单项式除以单项式，积的乘方逐一判断各个选项即可 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 在中，点、分别在边、上，，那么下列条件中能够判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可先假设，由平行得出其对应线段成比例，进而可得出结论． 【详解】如图， 可假设， ∵ ∴，故A选项错误， ，故D选项错误； 反过来，当时，不能得到，故B选项错误； 当时，能得到，故C选项正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用． 6. 如图，是甲、乙两名同学五次数学测试成绩的折线统计图，下列结论正确的是（ ） A. 甲的方差比乙的方差小 B. 甲的方差比乙的方差大 C. 甲、乙的方差相等 D. 不能比较两组数据的方差 【答案】B 【解析】 【分析】折线统计图既可表示各种数量的多少，又可反映出数量的增减变化趋势；图中折线越起伏的表示数据越不稳定，反之，表示数据越稳定，由此即可找出答案． 【详解】解：从图中可以看出：甲组数据的折线统计图起伏较大，所以甲组的数据不如乙组的数据稳定． 故选：B． 【点睛】此题考查了对折线统计图的观察分析能力，解题的关键是知道从折线统计图不仅能看出各种数量的多少，而且还能看出数量的增减变化趋势． 7. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，可得，再根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键． 8. 若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为．现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件可以先计算出几个x的值，从而可以发现其中的规律，求出的值． 【详解】解：∵，是的差倒数， ∴， ∴， ∴， 可知每三个一个循环 余1， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查数字的规律问题，解题的关键是发现其中的规律，求出相应的x的值． 9. 某市政工程队准备修建一条长1200米的污水处理管道．在修建完400米后，为了能赶在汛期前完成，采用新技术，工作效率比原来提升了．结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天修建管道x米，依题意列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由采用新技术前后工作效率间的关系可得出采用新技术后每天修建管道米，利用工作时间工作总量工作效率，结合时间比原计划提前4天完成任务，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：采用新技术，工作效率比原来提升了，且原计划每天修建管道米， 采用新技术后每天修建管道米． 依题意得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 10. 如图，已知抛物线与x轴交点A，B的横坐标分别为和4，设顶点为D，则下列结论：①；②；③；④若抛物线经过，则关于x的一元二次方程的两个根分别为，6；⑤当时，是等腰直角三角形，其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线可表示为得即可判断的正负及的关系可判断①②③；根据图象可知，对称轴为求出对称点的坐标，可判断④，根据求出抛物线解析式，再求出的坐标，以此即可判断⑤． 【详解】解：抛物线与x轴的交点A，B的横坐标分别为和4， 则抛物线可表示为， ， ，，故①错误； ，故②正确； ，故③错误； 抛物线的对称轴为，关于直线的对称点为， ∴关于x的一元二次方程的两个根分别为，5，故④错误； 当时，，顶点，， ，且，是等腰直角三角形，故⑤正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系、抛物线与轴的交点坐标、等腰直角三角形的性质，解题关键是根据抛物线与轴的交点坐标求出对称轴，得到与之间的数量关系，再利用等腰三角形的性质进行解答． 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 12. 有两把不同的锁（记为A，B），四把不同的钥匙（记为a，b，c，d），其中钥匙a只能打开锁A，钥匙b只能打开锁B，钥匙c和d都不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁，一次就能打开锁的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，正确理解题意是解题关键． 根据题意列表，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下． 钥匙锁 a b c d A ( A,a ) ( A,b ) ( A,c ) ( A,d) B ( B,a ) ( B,b ) ( B,c ) ( B,d ) 由上表可知，共有8种等可能的结果，一次就能打开锁的结果有2种． 所以一次就能打开锁的概率是． 故答案为： 13. 已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质可得，解不等式即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，观察尺规作图的痕迹，则的度数为___________． 【答案】##110度 【解析】 【分析】由作图可知， 是线段的垂直平分线， 是的角平分线，求出 ，再利用三角内角和定理即可求解． 【详解】解： 是线段的垂直平分线， ， 是的角平分线，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角内角和等知识，熟悉掌握有关知识是解题关键． 15. 如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接，若，则________． 【答案】5：4 【解析】 【分析】根据CE：DE＝1：2，设CE＝x，DE＝2x，则BC＝3x，由勾股定理知BE＝，由∠BEH＝∠EDB，∠EBH＝∠DBE可证△BEH∽△BDE，根据对应边成比例即可； 【详解】∵CE：DE＝1：2， ∴设CE＝x，DE＝2x，则BC＝3x， 在 中，， 在中，， ∵∠BEH＝∠EDB＝45°，∠EBH＝∠DBE， ∴△BEH∽△BDE， ∴， ∴， 即， 解得， ∴ ， ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决问题的关键． 三、解答题（8道大题，共75分） 16. （1）计算： ； （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算与分式的混合运算，熟知运算法则是正确解决本题的关键． （1）按零次幂、乘方运算法则及完全平方公式计算再相加减即可； （2）先算括号里的，再算除法即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．“五一”假期，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案：游客进园不需购买门票，采摘的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为 (元），在乙采摘园所需总费用为 (元），图中折线表示与x之间的函数关系． （1）求与x之间的函数关系式、与x（只求时直线）的函数关系式； （2）当游客采摘15千克的草莓时，你认为他在哪家草莓园采摘更划算？ 【答案】（1） （2）甲家草莓园采摘更划算 【解析】 【分析】（1）根据题意得出草莓销售价格，进而求得甲的函数关系式；根据函数图象待定系数法求得乙的解析式； （2）将分别代入（1）中解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得，甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格： （元/千克）． ； 当时，设， 由题意的：， 解得， ， 与之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 当时， ， ， ， 他在甲家草莓园采摘更划算． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意求得函数关系式是解题的关键． 18. 为庆祝中国共产党成立102周年，某中学举行党史知识竞赛，团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩得分x（满分100分）按四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图． 竞赛成绩/分 等级 不合格 合格 良好 优秀 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽查的学生人数是　 　人，圆心角　 　°； （2）补全条形统计图，并指出成绩的中位数落在哪个等级； （3）学校计划给参加党史竞赛获得良好、优秀两个等级的同学每人分别奖励价值3元、5元的学习用品，该校共有1000名学生参加党史竞赛，试估计此次竞赛该校用于奖励学生的费用． 【答案】（1）50；144 （2）图见解析；良好 （3）3080元 【解析】 【分析】（1）根据合格的学生人数为10人，占总抽查人数的，求出总的抽查人数即可；用优秀学生的人数除以总的抽查人数乘以即可求出的度数； （2）先求出良好学生人数，然后补全条形统计图即可；根据中位数的定义进行解答即可； （3）根据题意列式计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得，本次抽查的学生人数是（人）； 圆心角， 故答案：50；144． 【小问2详解】 解：成绩良好的人数为：（人），补全条形统计图如下： 将成绩从从小到大进行排序，排在第25和26的学生落在良好等级中，成绩的中位数落在良好等级． 【小问3详解】 解： （元）． 答：估计此次竞赛该校用于奖励学生的费用大约为3080元． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，求中位数，有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握扇形统计图和条形统计图的特点，数形结合． 19. 某商店需要购进甲、乙两种商品（两种商品均购进），其进价和销售价如表所示： 甲 乙 进价（元/件） 120 150 售价（元/件） 135 180 （1）若商店计划购进甲、乙两种商品共30件，正好用去3900元，甲、乙两种商品分别购进多少件？ （2）若商店计划购进甲、乙两种商品共30件，且销售完所有商品后获利不低于785元，求甲商品最多能购进多少件？并求全部售完后的总利润．（利润售价进价） 【答案】（1）甲、乙两种商品分别购进20件，10件； （2）甲商品最多能购进7件，全部售完后总利润795元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用． （1）根据商店计划购进甲、乙两种商品共30件，正好用去3900元得出方程组解答即可； （2）根据商店计划购进甲、乙两种商品共30件，且销售完所有商品后获利不低于785元，得出不等式解答即可，最后根据利润公式求得获得的利润． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种商品分别购进件，件，根据题意可得： ， 解得：， 答：甲、乙两种商品分别购进20件，10件； 【小问2详解】 解：设甲商品购进件，根据题意可得： ， 解得：， 因为取整数， 所以甲商品最多能购进7件， 全部售完后总利润：（元)， 答：甲商品最多能购进7件，全部售完后总利润为795元． 20. 如图，甲楼和乙楼高度相等，甲楼顶部有一竖直广告牌．从乙楼顶部处测得的仰角为，从与点相距的处测得，的仰角分别为，．求广告牌的高度．（参考数据：，，） 【答案】广告牌的高度约为米 【解析】 【分析】依题意，，设，在，中分别表示出，则，进而在中，，建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：依题意，， 设， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， 即， 解得：， 答：广告牌的高度约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 21. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，过点C作⊙O的切线与AD的延长线相交于点E，，交BC的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，，求CF的长． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）运用直径所对的圆周角是直角，切线的性质，圆的内接四边形的在计算即可． （2）运用直径所对的圆周角是直角，切线的性质，三角形相似，勾股定理，三角函数计算即可． 【小问1详解】 证明：如答图1，（方法一） ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝∠DAC＋∠DCA＝90°， ∵CE是⊙O切线， ∴∠ACE＝∠DCE＋∠DCA＝90°， ∴∠DAC＝∠DCE， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠DAB＋∠BCD＝180°， ∵∠DCF＋∠BCD＝180°， ∴∠DAB＝∠DCF， ∴∠BAC＝∠ECF． （方法二）如答图2，作EC的延长线EG， ∵AC为⊙O的直径 ∴∠ABC＝∠BAC＋∠BCA＝90°， ∵CE是⊙O切线， ∴∠ACG＝∠BCG＋∠BCA＝90°， ∴∠BAC＝∠BCG， ∵∠ECF＝∠BCG， ∴∠BAC＝∠ECF． 【小问2详解】 解：如答图1，∵AC为⊙O的直径 ∴∠ADC＝∠CDE＝90°， 由（1）知∠DAC＝∠DCE， ∴△ACD∽△CED， ∴ ∵AD＝4，CD＝2， ∴， ∴DE＝1， ∴CE＝＝ 由（1）知∠BAC＝∠ECF ∴， ∵EF⊥BC， ∴∠CFE＝90°， ∴在Rt△CEF中，， ∴． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，切线的性质，三角形相似，勾股定理，三角函数，圆的内接四边形性质，熟练掌握切线的性质，三角形相似，勾股定理，三角函数是解题的关键． 22. 如图为从游乐场的过山车抽象出来的函数图象，线段是一段平行于轴的水平滑道，，滑道是一段抛物线，最低点，且，滑道是与滑道的形状完全相同，开口方向相反的一段抛物线，其最高点为，点在轴上，． （1）求抛物线的解析式及线段的长； （2）求抛物线的解析式，当小车（看成点）沿滑道从运动到的过程中，小车距离轴的垂直距离为时，它到出发点的水平距离是多少？ （3）现在需要对滑道部分进行加固，过作支架轴于点，然后建造如图所示的水平支架和竖直支架，求所有支架（虚线部分）长度之和的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1），AB=2 （2）或或 （3）有最大值，此时的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据顶点式设抛物线的解析式为，待定系数法求得抛物线的解析式为，结合题意可得B点纵坐标为，代入求得，即可求解； （2）待定系数法求得抛物线的解析式为，结合题意即可求解； （3）根据顶点式求得顶点坐标，推得，设，则点，推得，，即可求得，根据二次函数的性质即可求得最值． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵轴，， ∴B点纵坐标为，令， 解得：，； ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵抛物线是与抛物线的形状完全相同，开口方向相反， 抛物线的解析式为， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴， 将，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 当小车距离轴的垂直距离为时，即， 解得：， 或， 解得：，（不符题意，舍去） ∴小车到出发点A的水平距离为或或． 【小问3详解】 解：由抛物线，可得顶点， ∴，， 设，则点 则，， ∴所有支架的长度和 化简，得 ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，求二次函数的函数值，二次函数的性质等，熟练掌握二次函数的解析式和性质是解题的关键． 23. 如图1，和均为等边三角形，连接BD，CE． （1）直接写出BD与CE的数量关系为_________，直线BD与CE所夹锐角为__________度； （2）将绕点A逆时针旋转至如图2，取BC，DE的中点M，N，连接MN，试问：的值是否随图形的旋转而变化？若不变，请求出该值；若变化，请说明理由； （3）若，当图形旋转至B，D，E三点在一条直线上时，请画出图形，并直接写出MN的值为_______ 【答案】（1）， （2）不变， （3）图形见解析，或 【解析】 【分析】（1）证明，利用全等三角形对应边相等和对应角相等进行计算． （2）连接，，证明，利用相似三角形的相似比进行求解． （3）根据题意作出，，三点共线的所有情况，借助勾股定理与（2）中的结论进行求解． 【小问1详解】 与是等边三角形， ，，， ，． 在与中， ， ． ，． ， 即， 直线与所夹锐角为． 【小问2详解】 解：不变，理由如下： 连接，． 、分别为、的中点，且与是等边三角形， ，， ，， ， ，， ， ， ． 【小问3详解】 解：分两种情况讨论： 如图所示，连接． 由（2）得，，． ，， ，， ， ， ，即； 如图所示，连接． 由①得，，， ， ，即． 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年辽宁省数学中考预测卷 数学试题 考试时间：100分钟；分数：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 的值是　　 A. B. C. D. 5 2. 某几何体如图所示，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 从水利部长江水利委员会获悉，截至2023年3月30日17时，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计向受水区实施生态补水约90亿立方米．其中9000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，点、分别在边、上，，那么下列条件中能够判断的是（ ） A B. C. D. 6. 如图，是甲、乙两名同学五次数学测试成绩的折线统计图，下列结论正确的是（ ） A. 甲的方差比乙的方差小 B. 甲的方差比乙的方差大 C. 甲、乙的方差相等 D. 不能比较两组数据的方差 7. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为．现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则的值为（　　） A B. C. D. 9. 某市政工程队准备修建一条长1200米的污水处理管道．在修建完400米后，为了能赶在汛期前完成，采用新技术，工作效率比原来提升了．结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天修建管道x米，依题意列方程得（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知抛物线与x轴的交点A，B的横坐标分别为和4，设顶点为D，则下列结论：①；②；③；④若抛物线经过，则关于x的一元二次方程的两个根分别为，6；⑤当时，是等腰直角三角形，其中正确的个数是（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 计算：___________． 12. 有两把不同的锁（记为A，B），四把不同的钥匙（记为a，b，c，d），其中钥匙a只能打开锁A，钥匙b只能打开锁B，钥匙c和d都不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁，一次就能打开锁的概率是__________． 13. 已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则的取值范围是________． 14. 如图，在中，，，观察尺规作图的痕迹，则的度数为___________． 15. 如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接，若，则________． 三、解答题（8道大题，共75分） 16. （1）计算： ； （2）计算： 17. 甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．“五一”假期，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案：游客进园不需购买门票，采摘的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为 (元），在乙采摘园所需总费用为 (元），图中折线表示与x之间的函数关系． （1）求与x之间的函数关系式、与x（只求时直线）的函数关系式； （2）当游客采摘15千克的草莓时，你认为他在哪家草莓园采摘更划算？ 18. 为庆祝中国共产党成立102周年，某中学举行党史知识竞赛，团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩得分x（满分100分）按四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图． 竞赛成绩/分 等级 不合格 合格 良好 优秀 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽查的学生人数是　 　人，圆心角　 　°； （2）补全条形统计图，并指出成绩的中位数落在哪个等级； （3）学校计划给参加党史竞赛获得良好、优秀两个等级的同学每人分别奖励价值3元、5元的学习用品，该校共有1000名学生参加党史竞赛，试估计此次竞赛该校用于奖励学生的费用． 19. 某商店需要购进甲、乙两种商品（两种商品均购进），其进价和销售价如表所示： 甲 乙 进价（元/件） 120 150 售价（元/件） 135 180 （1）若商店计划购进甲、乙两种商品共30件，正好用去3900元，甲、乙两种商品分别购进多少件？ （2）若商店计划购进甲、乙两种商品共30件，且销售完所有商品后获利不低于785元，求甲商品最多能购进多少件？并求全部售完后总利润．（利润售价进价） 20. 如图，甲楼和乙楼高度相等，甲楼顶部有一竖直广告牌．从乙楼顶部处测得的仰角为，从与点相距的处测得，的仰角分别为，．求广告牌的高度．（参考数据：，，） 21. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，过点C作⊙O的切线与AD的延长线相交于点E，，交BC的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，，求CF的长． 22. 如图为从游乐场的过山车抽象出来的函数图象，线段是一段平行于轴的水平滑道，，滑道是一段抛物线，最低点，且，滑道是与滑道的形状完全相同，开口方向相反的一段抛物线，其最高点为，点在轴上，． （1）求抛物线的解析式及线段的长； （2）求抛物线解析式，当小车（看成点）沿滑道从运动到的过程中，小车距离轴的垂直距离为时，它到出发点的水平距离是多少？ （3）现在需要对滑道部分进行加固，过作支架轴于点，然后建造如图所示的水平支架和竖直支架，求所有支架（虚线部分）长度之和的最大值及此时点的坐标． 23. 如图1，和均为等边三角形，连接BD，CE． （1）直接写出BD与CE的数量关系为_________，直线BD与CE所夹锐角为__________度； （2）将绕点A逆时针旋转至如图2，取BC，DE的中点M，N，连接MN，试问：的值是否随图形的旋转而变化？若不变，请求出该值；若变化，请说明理由； （3）若，当图形旋转至B，D，E三点在一条直线上时，请画出图形，并直接写出MN的值为_______ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$