广东省深圳市高级中学高中园2025届高三下学期第一次模拟测试数学试卷

深圳市高级中学高中园2025届高三下学期第一次模拟考试 （数学） 注意事项： 1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上. 3、考试结束，监考人员将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 3. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 4. （ ） A. B. C. D. 5. 已知直线分别在两个不同的平面内，则“直线和直线平行”是“平面和平面平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在等差数列中，，．记，则数列（ ）． A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 7. 椭圆的左顶点为，点均在上，且关于原点对称，若直线的斜率之积为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（ ） A. 若点在圆上，则直线与圆相切 B. 若点在圆内，则直线与圆相离 C. 若点在圆外，则直线与圆相离 D. 若点在直线上，则直线与圆相切 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ） A. 越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B. 该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C. 该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D. 该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 10. 已知，下列说法中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 当时，的取值范围为 D. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 11. 已知正方体，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面ABCD所成的角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式的展开式中的常数项是______. 13. 已知双曲线，左、右焦点分别为、，过作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则的周长为______． 14. 学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选4名不同的裁判员（一名主裁判，两名不同的助理裁判，一名第四裁判），其中高一共13个班，每个班各一名体育委员，共4个女生，9个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为,其中 （1）求; （2）求边上的高， 16. 已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于两点，且． （1）求抛物线的方程； （2）试探究：抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 17. 如图，在三棱锥中，已知． （1）若，求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数，其中． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，证明：曲线是轴对称图形； （3）若在R上恒成立，求的取值范围. 19. 若数列满足.定义广义规范数列如下：中共有项，其中项为项为1，且对任意项，中的－1的个数不少于1的个数．当时，满足上述定义的数列称为规范数列．记表示“广义规范数列”的个数. （1）若既为等比数列，又为规范数列，求符合条件的所有的通项公式； （2）求；进一步证明：当时，； （3）当且时，记表示项数列中符合广义规范数列的概率，求证：． （提示：） 深圳市高级中学高中园2025届高三下学期第一次模拟考试 （数学） 注意事项： 1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上. 3、考试结束，监考人员将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】12 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）；（2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）存在，和 【17题答案】 【答案】（1）证明：取的中点，连接， 因为， 所以，又为平面内两条相交直线， 所以平面，又在平面内， 所以， 由 因为，所以, 所以， 又， 所以， 所以； （2） 【18题答案】 【答案】（1）在上单调递增. （2）证明：当时，函数 ， 为偶函数，关于 轴对称； 所以当时，曲线是轴对称图形. （3）. 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明：当时，若第一个位置为-1， 则剩余个-1和2个1，此时广义规范数列的数目为， 若第一个位置为1，则剩余个-1和1个1，且从第二个位置开始的所有前缀必须满足-1的个数不少于1的个数， 这种情况等价于的广义规范数列，其数目为， 因此，递推关系为， 当时，数列中有个-1和1个1， 且每个前缀中-1的个数不少于1的个数， 此时1必须放在第2到第位中的任意一个位置， 共有种选择，因此， 初始条件为（规范数列情况）， 因为， 所以， 若第一个位置为-1，则剩余个-1和个1， 对应数目为，若第一个位置为1， 则剩余个-1和个1，且从第二个位置开始的所有前缀必须满足-1的个数不少于1的个数， 这种情况等价于的广义规范数列， 对应数目为，由于， 上述两种情况互斥且穷尽所有可能，故递推式成立， 综上，当时，广义规范数列的个数为， 且递推关系（当）得证； （3）证明：当时，广义规范数列的个数满足递推式， ， 其中， ，， ，， ， 因此概率为， 广义规范数列的数目可表示为， ， ，因为， 所以 此不等式恒不成立，说明随增大而递增， 因此，最大概率出现在最小时， ， 当时，， 当时，通过数值验证严格递减， 故命题成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $