2024-2025学年人教A版2019高一数学必修二第二学期6.4.1平面几何中的向量方法

人教A版高一数学必修二第二学期6.4.1平面几何中的向量方法 6.4平面向量的应用 6.4.1平面几何中的向量方法 核心素养目标 1.数学抽象：能从平面几何问题中抽象出向量关系，用向量语言描述几何元素及其位置关系 。 2.直观想象：借助向量的几何意义，直观理解向量在平面几何图形中的表示，想象向量运算与几何性质的联系。 3.逻辑推理：依据向量的运算法则和性质，合理推导证明平面几何中诸如平行、垂直、角度等相关定理和结论。 4.数学运算：准确进行向量的线性运算、数量积运算，通过运算求解平面几何中的长度、夹角等问题 。 教学目标 教学重点：用向量的知识解决平面几何问题的方法和步骤. 教学难点：选择恰当的方法，将几何问题转化为向量问题. 知识讲解 复习回顾 1.向量加法三角形法则: 特点:首尾相连 2.向量加法平行四边形法则: 特点:同一起点,对角线 3.向量减法三角形法则: 特点：共起点，连终点， 方向减向量指向被减向量 5 知识讲解 4. 平面两向量夹角公式: 5. 求模： 6.共线向量定理： 7、平面向量基本定理： 知识讲解 在四边形ABCD中， 则四边形ABCD是(　　) A．直角梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 C 7 知识讲解 平面几何的许多性质，如平行、长度、夹角可以由向量的线性运算及数量积表示，下表几何性质如何用向量知识来表示？ 几何性质 向量图示 向量及其运算 平行 垂直 长度 夹角 情境导入 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题． 9 知识讲解 我们已经学习三角形中位线定理的证明,你还记得如何证明吗？ 如图，DE是∆ABC的中位线，证明 证明：延长DE到F，使EF=DE 连结CF. ∵DE=EF 、∠AED=∠CEF 、AE=EC ∴△ADE≌△CFE ∴AD=FC、∠A=∠ECF ∴AB∥FC 又∵AD=DB ∴BD∥CF且BD=CF 所以，四边形BCFD是平行四边形∴DF∥BC，DF＝BC即DE∥BC F 知识讲解 如何利用向量法三角形证明中位线定理？ 如图，DE是∆ABC的中位线，用向量方法 证明：DE∥BC, 分析： 知识讲解 知识讲解 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： 1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 3) 把运算结果“翻译”成几何元素． 可简单的表述为： PPT模板：www.1ppt.com/moban/ PPT素材：www.1ppt.com/sucai/ PPT背景：www.1ppt.com/beijing/ PPT图表：www.1ppt.com/tubiao/ PPT下载：www.1ppt.com/xiazai/ PPT教程： www.1ppt.com/powerpoint/ 资料下载：www.1ppt.com/ziliao/ 个人简历：www.1ppt.com/jianli/ 试卷下载：www.1ppt.com/shiti/ 教案下载：www.1ppt.com/jiaoan/ 手抄报：www.1ppt.com/shouchaobao/ PPT课件：www.1ppt.com/kejian/ 语文课件：www.1ppt.com/kejian/yuwen/ 数学课件：www.1ppt.com/kejian/shuxue/ 英语课件：www.1ppt.com/kejian/yingyu/ 美术课件：www.1ppt.com/kejian/meishu/ 科学课件：www.1ppt.com/kejian/kexue/ 物理课件：www.1ppt.com/kejian/wuli/ 化学课件：www.1ppt.com/kejian/huaxue/ 生物课件：www.1ppt.com/kejian/shengwu/ 地理课件：www.1ppt.com/kejian/dili/ 历史课件：www.1ppt.com/kejian/lishi/ 知识讲解 用向量解决平面几何的基本思路和步骤是什么？ 思路： 形到向量 恰当的向量运算 向量到形 步骤： 几何元素向量化 向量运算关系化 结果翻译几何化 14 知识讲解 如图所示，在正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC 的中点，求证：AF⊥DE. 追问1：向量法解决平面几何问题的步骤一是什么？ 追问2：非零向量垂直的充要条件是什么？ 提示：我们把这种方法叫做基底法 追问：还有别的证明方法吗？ 知识讲解 证明：建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，则 A(0,0),D(0,2),E(1,0)F(2,1) =(2,1), =(1,-2) =(2,1)·(1,-2)=2-2=0 所以 于是 提示：我们把这种方法叫做坐标系法 追问：比较基底法和坐标法，它们优、缺点是什么？如何选择？ 16 知识讲解 如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？ 平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍 知识讲解 1、已知圆O半径为2，弦AB=2，点C为圆O上任意一点，则 的最大值是 . A . O C B 方法一：基底法 当OC//AB时，θ=0°，cosθ=1 （ ）max=4+2=6 基底法（基底向量思想） 用已知表示未知 选取：①长度已知 ②夹角已知 ③共起点 6 知识讲解 方法二：投影法 . O A C B C 过点O作AB的平行线MN 易知ADmax=1+2=3 知识讲解 比较基底法和坐标法，它们优、缺点是什么？如何选择？ 优劣 推荐使用 基底法 适用范围广，特殊图形问题计算量比坐标法稍大 一般图形 坐标系法 适用范围小，一般图形可能无法使用，特殊图形问题计算量稍小 特殊图形，如：正方形，矩形 知识讲解 如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？ 向量法解决平面几何问题的步骤一是什么？ 知识讲解 解决线段长度问题常用的向量公式是什么？ 知识讲解 如图△ABC中,点D,E是线段BC上两个动点,且 ,则 的最小值为 。 8 平面几何中的向量方法 $$