2025年中考数学专题训练：线段周长问题（二次函数综合）

2025年中考数学专题训练：线段周长问题（二次函数综合） 1．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，在对称轴上是否存在点，使是以直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点在直线下方的抛物线上，连接交于点，当最大时，请直接写出点的坐标． 2．已知二次函数的解析式为y＝－x2＋4x，该二次函数交x轴于O、B两点，A为抛物线上一点，且横纵坐标相等(原点除外)，P为二次函数上一动点，过P作x轴垂线，垂足为D(a，0)(a>0)，并与直线OA交于点C. (1)求A、B两点的坐标； (2)当点P在线段OA上方时，过P作x轴的平行线与线段OA相交于点E，求△PCE周长的最大值及此时P点的坐标； (3)当PC＝CO时，求P点坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．经过点B的直线与y轴交于点，与抛物线交于点E． (1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)若点P为抛物线的对称轴上的动点，当的周长最小时，求点P的坐标； (3)若点M是直线上的动点，过M作轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M、N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，. （1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标； （3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标. 5．如图，一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达的最高点的坐标为，解答下列问题：    (1)求抛物线的解析式； (2)在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为2，树高为4，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由； (3)过点作轴的垂线，交于点，求的最大值． 6．如图是二次函数y＝（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，﹣4）． （1）求出图象与x轴的交点A、B的坐标； （2）在y轴上存在一点Q，使得△QMB周长最小，求出Q点坐标． 7．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若已知B点的坐标为B（6，0）． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）M为线段BC上方抛物线上一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；   8．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2． （1）求抛物线的解析式； （2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长； （3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N （2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？ 9．已知直线l：y=﹣2，抛物线C：y=ax2﹣1经过点（2，0）    （1）求a的值； （2）如图①，点P是抛物线C上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q．求证：PO=PQ； （3）请你参考（2）中的结论解决下列问题： ①如图②，过原点作直线交抛物线C于A，B两点，过此两点作直线l的垂线，垂足分别为M，N，连接ON，OM，求证：OM⊥ON； ②如图③，点D（1，1），探究在抛物线C上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由． 10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+4ax+4a-4（a≠0）的顶点为A． （1）求顶点A的坐标； （2）过点（0，5）且平行于x轴的直线l，与抛物线y=ax2+4ax+4a-4（a≠0）交于B、C两点. ①当a=1时，求线段BC的长； ②当线段BC的长不小于8时，直接写出a的取值范围. 11．如图，已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数解析式； （2）设点P是直线l上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标； （3）点M也是直线l上的动点，且为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 12．综合与探究： 如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点P为线段BC上一动点，过点P作BC的垂线交抛物线于点Q，请解答下列问题： （1）求抛物线与x轴的交点A和B的坐标及顶点坐标 （2）求线段PQ长度的最大值，并直接写出及此时点P的坐标． 13．如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值； (3)设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出所有符合条件的点N坐标，若不存在，说明理由． 14．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标． 15．如图，抛物线与直线的两个交点，都在坐标轴上，与轴上另一交点坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的一个动点，连接，，记，①求关于的函数解析式；②求出的最小值． 试卷第4页，共7页 试卷第3页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学专题训练：线段周长问题（二次函数综合）》参考答案 1．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，则，，，再分当时，当当时，两种情况利用勾股定理建立方程求解即可； （3）过点A作轴交直线于点E，过P作轴交直线于点F，由， 可得，，设，则，再建立关于t的二次函数即可； 【详解】（1）解：解：∵抛物线过、，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∴，，， 当时，则， ∴， 解得：， ∴； 当时，则 ， 解得， ∴； 综上所述：或； （3）解：如图，过点A作轴交直线于点E，过P作轴交直线于点F， ∴， ∴， ∴ ， 设直线的解析式为， ∴， 解得 ， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时， 有最大值， ∴此时的坐标为． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，涉及待定系数法确定函数关系式、勾股定理、相似三角形的判定和性质、二次函数最值，解题的关键是熟悉二次函数的性质以及分类讨论思想． 2．(1)B (4，0)，A (3，3); （2）△PCE周长的最大值为4＋2，P (1，3)；（3）P点坐标为(3－，1＋2)或(3＋，1－2). 【分析】（1）令y=0,得－x2＋4x＝0，解方程即可得到点B的坐标，设点A坐标为(x，x)，把A(x，x)代入y＝－x2＋4x中得：x＝－x2＋4x，解方程即可得出点A的坐标； （2）根据题意画出图形，设点P的坐标为(x，－x2＋4x)，再求得PC＝－x2＋3x，由等腰三角形的性质得，当PC取最大值时，△PCE周长最大，进而求得当x＝1时，PC最大，PC的最大值为－1＋3＝2，从而得出△PCE周长的最大值及此时P点的坐标； （3）当点P在点C上方时和当点P在点C下方时分别讨论分析. 【详解】解：(1)令y＝0，则－x2＋4x＝0， 解得x1＝0，x2＝4. ∴点B坐标为(4，0)， 设点A坐标为(x，x)，把A(x，x)代入y＝－x2＋4x得， x＝－x2＋4x， 解得x1＝3，x2＝0(舍去)， ∴点A的坐标为(3，3); （2）如图，设点P的坐标为(x，－x2＋4x)， ∵点A坐标为(3，3)； ∴∠AOB＝45°， ∴OD＝CD＝x， ∴PC＝PD－CD＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x， ∵PE∥x轴， ∴△PCE是等腰直角三角形， ∴当PC取最大值时，△PCE周长最大． ∵PE与线段OA相交， ∴0≤x≤1， 由PC＝－x2＋3x＝－(x－)2＋可知，抛物线的对称轴为直线x＝，且在对称轴左侧PC随x的增大而增大， ∴当x＝1时，PC最大，PC的最大值为－1＋3＝2， ∴PE＝2，CE＝2， ∴△PCE的周长为CP＋PE＋CE＝4＋2， ∴△PCE周长的最大值为4＋2， 把x＝1代入y＝－x2＋4x，得y＝－1＋4＝3， ∴点P的坐标为(1，3)； （3）设点P坐标为(x，－x2＋4x)，则点C坐标为(x，x)，如解图， ①当点P在点C上方时，P1C1＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，OC1＝x， ∵P1C1＝OC1， ∴－x2＋3x＝x， 解得x1＝3－，x2＝0(舍去)． 把x＝3－代入y＝－x2＋4x得， y＝－(3－)2＋4(3－)＝1＋2， ∴P1(3－，1＋2)， ②当点P在点C下方时，P2C2＝x－(－x2＋4x)＝x2－3x，OC2＝x， ∵P2C2＝OC2， ∴x2－3x＝x， 解得x1＝3＋，x2＝0(舍去)， 把x＝3＋代入y＝－x2＋4x， 得y＝－(3＋)2＋4(3＋)＝1－2， ∴P2(3＋，1－2)． 综上所述，P点坐标为(3－，1＋2)或(3＋，1－2)． 【点睛】二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积、一元二次方程等知识． 3．(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）用待定系数法求得抛物线的解析式，用解析式可求得点C的坐标 （2）用待定系数法求出一次函数的解析式，由点A和点B关于对称轴对称，可知点P为对称轴与直线的交点时，的周长最小，即可求得点P的坐标 （3）由可知，，设点、，求得，即可求得点M的坐标 【详解】（1）∵点在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴点C的坐标为： （2）∵经过点直线与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立方程组， 解得：或， ∴， ∵抛物线的对称轴为：，且， ∴点A关于对称轴的对称点为点B， ∵， ∴当点P为对称轴与直线的交点时，的周长最小， ∴ （3）存在点M，使以点M、N，C，D为顶点的四边形是平行四边形 ∵，即， ∴要使以点M、N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则， ∵， ∴， ∴， ∵点M在直线上， ∴设点，则点N的坐标为：， ∴，即， 当时，解得：， ∴点M的坐标为：或， 当，解得：（舍去） 综上所述：存在点M，使以点M、N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为：或 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法、轴对称的应用、平行四边形的性质；掌握方程的思想和分类讨论的方法是解决问题的关键 4．（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为.（2）；（3）的坐标为或或或. 【详解】分析：（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式； （2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，此时MA+MC的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标； （3）设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标． 详解：（1）依题意得：，解得：， ∴抛物线的解析式为. ∵对称轴为，且抛物线经过， ∴把、分别代入直线， 得，解之得：， ∴直线的解析式为. （2）直线与对称轴的交点为，则此时的值最小，把代入直线得， ∴.即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为. （注：本题只求坐标没说要求证明为何此时的值最小，所以答案未证明的值最小的原因）. （3）设，又，， ∴，，， ①若点为直角顶点，则，即：解得：， ②若点为直角顶点，则，即：解得：， ③若点为直角顶点，则，即：解得： ，. 综上所述的坐标为或或或. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题． 5．(1) (2)小球能飞过这棵树，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据题意可设抛物线的表达式为，再将代入，求出a的值，从而即可求出抛物线的表达式； （2）将代入，可求出B点坐标，从而可求出树的顶端的坐标为．再将代入，求出此时点M的坐标，再比较和即可得解； （3）联立，并求解，即可求出x的取值范围．过点M作轴于点F，交于点E．设，则，即得出，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵小球到达的最高的点坐标为， ∴可设抛物线的表达式为． 由题意可知该抛物线过原点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：将代入，得：， ∴． ∵树高为4， ∴树的顶端的坐标为． 将代入，得：， ∴此时， ∴， ∴小球M能飞过这棵树； （3）联立， 解得：，． ∴． 如图，过点M作轴于点F，交于点E．    设，则， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴小球M在飞行的过程中离斜坡的最大高度是米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及两函数图象交点的求解方法，利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识，难度适中．利用数形结合与方程的思想是解题的关键． 6．（1）A点和B点坐标为（﹣1，0），（3，0）；（2）满足条件的Q点的坐标为（0，﹣）． 【分析】（1）    已知顶点坐标代入解析式，再求得y=0时的x值即可确定点A、B的坐标. （2）△QMB的周长=QM+QB+MB,而线段MB长度为确定值，所以只需确定QM+QB的和最小即可，做点B关于y轴的对称点C，连接CM与y轴交点即为点Q，求得直线CM与y轴交点坐标即可. 【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为M（1，﹣4）． ∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4， 当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1， ∴A点和B点坐标为（﹣1，0），（3，0）； （2）作B点关于y轴的对称点C，如图，则C（﹣4，0）， 连接MC交y轴于Q， ∵QB＝GC， ∴QM+QB＝QM+QC＝MC， ∴此时QM+QB的值最小，△QMB周长最小， 设直线MC的解析式为y＝ax+b， 把M（1，﹣4），C（﹣3，0）代入得，解得， ∴直线MC的解析式为y＝， 当x＝0时，y＝0＝﹣， ∴满足条件的Q点的坐标为（0，﹣3）． 【点睛】此题是二次函数的综合运用题，在（2）中涉及最短路径问题，找到点B的对称点求得一次函数与y轴交点，正确理解题意是解题关键. 7．（1）抛物线解析式为，抛物线对称轴为直线；（2）当P点坐标为（2，2）时，使得△PAC的周长最小；（3） 【分析】（1）把B（6，0）代入抛物线中求出抛物线解析式，即可求出抛物线对称轴； （2）连接PC，PA，PB，先求出点C的坐标为（0，3），由A、B关于直线对称，得到PA=PB，则△PAC的周长=PC+AC+PA=PC+PA+PB，故要使△PAC周长最小，即要使PC+PB最小，则当P、C、B三点共线时，PC+PB最小，此时P在位置，，求出直线BC的解析式为，令x=2，则，即可得到的坐标为（2，2），则当P点坐标为（2，2）时，使得△PAC的周长最小； （3）设M点坐标为（m，），由MN∥y轴，且N在直线BC上，得到N点坐标为（m，），则，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线经过B（6，0）， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线； （2）如图所示，连接PC，PA，PB， ∵点C是抛物线与y轴的交点， ∴点C的坐标为（0，3）， ∵A、B是抛物线与x轴的交点， ∴A、B关于直线对称， ∴PA=PB， ∴△PAC的周长=PC+AC+PA=PC+PA+PB， ∴要使△PAC周长最小，即要使PC+PB最小， ∴当P、C、B三点共线时，PC+PB最小，此时P在位置， 设直线BC解析式为， ∴， ∴， ∴直线BC的解析式为， 令x=2，则， ∴的坐标为（2，2）， ∴当P点坐标为（2，2）时，使得△PAC的周长最小； （3）如图所示，设M点坐标为（m，）， ∵MN∥y轴，且N在直线BC上， ∴N点坐标为（m，）， ∴ ， ∵， ∴当时，MN有最大值． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数对称性—最短路径问题，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解． 8．（1）；（2）或；（3）是，3NE+NF为定值4 【分析】（1）先将抛物线解析式变形，可得A和B的坐标，从而得AB=1+3=4，根据三角形ABC的面积为2可得OC的长，确定点C的坐标，根据点C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）设点P的纵坐标为m，当y=m时，﹣x2+x+1=m，解方程可得P和Q两点的坐标，从而得G和H的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论； （3）设点D（n，﹣n2+n+1），利用待定系数法求直线AD和BD的解析式，表示FN和OK的长，直接代入计算可得结论． 【详解】（1）如图1，y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x2﹣2x﹣3）=a（x﹣3）（x+1）， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB=4， ∵△ABC的面积为2，即， ∴OC=1， ∴C（0，1）， 将C（0，1）代入y=ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a=1， ∴a=﹣， ∴该二次函数的解析式为y=﹣x2+x+1； （2）如图2，设点P的纵坐标为m，当y=m时，﹣x2+x+1=m， 解得：x1=1+，x2=1﹣， ∴点P的坐标为（1﹣，m），点Q的坐标为（1+，m）， ∴点G的坐标为（1﹣，0），点H的坐标为（1+，0）， ∵矩形PGHQ为正方形， ∴PQ=PG，　 ∴1+﹣（1﹣）=m， 解得：m1=﹣6﹣2，m2=﹣6+2， ∴当四边形PGHQ为正方形时，边长为6+2或2﹣6； （3）如图3，设点D（n，﹣n2+n+1），延长BD交y轴于K， ∵A（﹣1，0）， 设AD的解析式为：y=kx+b， 则，解得：， ∴AD的解析式为：y=（﹣）x﹣， 当x=2时，y=﹣n+2﹣n+1=﹣n+3， ∴F（2，3﹣n）， ∴FN=3﹣n， 同理得直线BD的解析式为：y=（﹣）x+n+1， ∴K（0，n+1）， ∴OK=n+1， ∵N（2，0），B（3，0）， ∴， ∵EN∥OK， ∴， ∴OK=3EN， ∴3EN+FN=OK+FN=n+1+3﹣n=4， ∴在点D运动过程中，3NE+NF为定值4． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式以及平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用正方形的性质，找出关于m的方程；（3）利用AD和BD的解析式确定FN和OK的长，可解决问题． 9．（1）a=；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②3． 【分析】（1）把点（2，0）代入抛物线解析式求出a值即可； （2）由（1）可知抛物线解析式为y=x2﹣1，设点P（m，m2﹣1），利用两点间距离公式可用m表示出PO、PQ的长，即可得结论； （3）①由（2）可得OA=AM，OB=BN，根据等腰三角形的性质可得∠BON=∠BNO，∠AOM=∠AMO，根据AM⊥MN，BN⊥MN可得AM∥BN，根据平行线的性质可得∠ABN+∠BAM=180°，根据三角形内角和即可得出∠MON=90°，即可得结论； ②如图，过点F作EF⊥直线l，由（2）可知OF=EF，可得OF+DF=EF+DF，可得点D，点F，点E三点共线时，OF+DF的值最小，此时DE⊥直线l，根据直线解析式及点D坐标即可得答案． 【详解】（1）∵抛物线C：y=ax2﹣1经过点（2，0） ∴0=4a﹣1， ∴a=． （2）∵a=， ∴抛物线解析式：y=x2﹣1， 设点P（m，m2﹣1）， ∴PO==m2+1，PQ=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1， ∴PO=PQ （3）①由（2）可得OA=AM，OB=BN ∴∠BON=∠BNO，∠AOM=∠AMO ∵AM⊥MN，BN⊥MN ∴AM∥BN ∴∠ABN+∠BAM=180° ∵∠ABN+∠BON+∠BNO=180°，∠AOM+∠AMO+∠BAM=180° ∴∠ABN+∠BON+∠BNO+∠AOM+∠AMO+∠BAM=360° ∴∠BON+∠AOM=90° ∴∠MON=90° ∴OM⊥ON ②如图：过点F作EF⊥直线l， 由（2）可得OF=EF， ∵OF+DF=EF+DF ∴当点D，点F，点E三点共线时，OF+DF的值最小．即此时DE⊥直线l， ∵直线l：y=﹣2， ∴OF+DF的最小值为DE=1+2=3．    【点评】本题考查了二次函数综合题，待定系数法求解析式，两点距离公式，三角形内角和定理，最短路径问题，利用数形思想解决问题是本题的关键． 10．（1）顶点A的坐标为（-2，-4）；（2）①线段BC的长为6；②0<a≤ 【分析】（1）利用配方法或顶点的公式进行求解即可； （2）①将a=1，y=5代入抛物线的解析式，解方程即可得； ②设B、C两点的坐标分别为（x1,5）、（x2，5）,则BC=|x1-x2|≥8，将y=5代入 y=ax2+4ax+4a-4得ax2+4ax+4a-9=0，由根与系数关系则有：x1+x2=-4，x1x2=，利用|x1-x2|=通过计算即可得. 【详解】解：（1）解法一：∵y=ax2+4ax+4a-4=a（x+2）2-4， ∴顶点A的坐标为（-2，-4）； 解法二：∵,=-4， ∴顶点A的坐标为（-2，-4）； （2）①当a=1时，抛物线为y=x2+4x， 令y=5，得x2+4x=5， 解得，x1=-5，x2=1， ∴线段BC的长为6； ②设B、C两点的坐标分别为（x1,5）、（x2，5）,则BC=|x1-x2|≥8， 将y=5代入 y=ax2+4ax+4a-4得：ax2+4ax+4a-4=5，即ax2+4ax+4a-9=0， 由根与系数关系则有：x1+x2=-4，x1x2=， ∵|x1-x2|=， ∴ 8， ∴0<a≤. 11．（1）；（2）（1，﹣2）；（3）（1，﹣）或（1，）或（1，﹣1）或（1，0） 【分析】（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法求解抛物线的函数解析式即可； （2）因为AC为定值，要使的周长最小，只需PA+PC最小即可，根据抛物线的对称性，连接BC交l于点P，此时PA+PC最小为BC的长，由点B、C坐标求出直线BC的函数解析式，利用二次函数的性质和一次函数图像上的点的坐标特征即可求得点P坐标； （3）设点M（1，m），分AM=AC、AM=MC、AC=MC三种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）将点代入中， 得：，解得：， ∴抛物线的函数关系式为； （2）因为AC为定值，要使的周长最小，只需PA+PC最小即可， 连接BC交l于点P，此时PA+PC取得最小值，如图， 设直线AB的函数解析式为y=kx+t（k≠0）， 将代入， 得：，解得：， ∴直线BC的函数解析式为y=x﹣3， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线x=1，即点P的横坐标为1， 将x=1代入y=x﹣3中，得：y=1﹣3=﹣2， ∴点P坐标为（1，﹣2）； （3）设点M(1，m)，则，， ， 分三种情况讨论： ①当AM=AC时，有=10， 解得：， ∴点M的坐标为（1，﹣）或（1，）； ②当AM=MC时，有=， 解得：m=﹣1， ∴点M的坐标为（1，﹣1）； ③当AC=MC时，有10=， 解得：， ∴点M的坐标为（1，0）或（1，﹣6）， 设直线AC的函数解析式为y=px+q， 将代入， 得：，解得：， ∴直线AC的函数解析式为y=﹣3x﹣3， ∵当x=1时，y=﹣3﹣3=﹣6， ∴点M（1，﹣6）在直线AC上，即点A、C、M不能组成三角形， 故满足题意的点M的坐标为（1，﹣）或（1，）或（1，﹣1）或（1，0）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二函数的解析式、求一次函数的解析式、轴对称中的最短路径问题、图像上点的坐标特征、两点间的距离公式以及等腰三角形的性质，解答的关键是认真审题，寻找相关联的信息，利用待定系数法、数形结合和分类讨论的思想方法进行推理、探究和计算． 12．（1）点A的坐标为（－2，0），点B的坐标为（4，0），顶点坐标为（1，）．（2）PQ的最大值=，此时，点P的坐标为（1，3） 【分析】（1）令y=0可求得x的值，可知点A、点B的坐标，运用配方法可求抛物线的顶点坐标； （2）先求出直线BC的表达式，再设点Q的坐标为（m，）则点E的坐标为（m，－m+4），得QE=－（－m+4）=，求出QE的最大值即可解决问题． 【详解】（1）把y=0代入中得： 解得：x1=－2，x2=4 ∴点A的坐标为（－2，0），点B的坐标为（4，0）． ∵ ∴抛物线W的顶点坐标为（1，）． （2）过点Q作QF⊥x轴，垂足为F，交线段BC于点E． 当x=0时，代入得：y=4， ∴点C的坐标为（0，4）， ∵点B的坐标为（4，0）． ∴OC=OB=4， ∴∠OBC=45°． 设QC的表达式为y=kx+b， 把C（0，4），B（4，0）代入解析式得，， 解得，， ∴直线BC的表达式为y=－x+4． ∵QF⊥x轴，PQ⊥BC， ∴∠PQE=45°． 在Rt△PQE中，∠PQE=∠PEQ=45°， ∴当QE最大时，PQ的长也最大． 设点Q的坐标为（m，）则点E的坐标为（m，－m+4）． ∴QE=－（－m+4）=． ∵a=－＜0， ∴QE有最大值为：当m=2时， QE最大值为2． ∴PQ的最大值=QE·． 此时，点P的坐标为（1，3） 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，正确表示出QE的长度是关键． 13．(1) (2)， (3)存在，，，， 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，而，则，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式和列出方程组，即可求解；当或为对角线，同理可解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 又过， 则， 则． 即， 即； （2）解：如图1，过点作轴于点，交于点，作 于点，连接、， 、， 则，， 由点、的坐标得，直线解析式为， ，， ． ， 又， ． ， 则， 当 时，； （3）解：存在，理由： 设点、点， 当为对角线时，由中点坐标公式和得： ，解得：， 即点的坐标为：； 当或为对角线，由中点坐标公式和或得： 或， 解得：或， 即点的坐标为：，或； 综上，或或或． 【点睛】此题主要考查二次函数的综合问题，会运用待定系数法求函数解析式；结合对称点解决线段和最小问题；熟悉等腰直角三角形的性质，并应用于点的存在的研究；熟悉菱形的性质，并运用于菱形顶点的存在性研究是解决此题的关键． 14．（1）y=x2﹣4x+3；（2）存在，抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）△ACE的最大面积，此时E点坐标为（，）． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可． （2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D． （3）方法1：过点E作轴，垂足为G，交直线AC于点F，过点C作，垂足为H．设点E的坐标为，则点F、G的坐标均可表示出来，且可得EF的长，由即可得关于x的二次函数，从而可求得结果； 方法2：过点E作∥x轴，并分别过点A，C作、于点P、Q，设点E的坐标为，则点P、Q的坐标均可表示出来，AP、CQ\、PQ、EP、EQ的长度均可表示出来，由即可得关于x的二次函数，从而可求得结果； 方法3：过点E作轴，垂足为G，交直线AC于点F，过点E作，垂足为M．由已知得AC这定值， 设点E的坐标为，则点F的坐标为，点G的坐标为．可得AG=FG，为等腰直角三角形，从而得为等腰直角三角形，，由三角形面积公式即可得关于x的二次函数，从而可求得结果； 方法4：根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：（1）∵抛物线经过点、，代入得 ，解得． ∴抛物线的表达式为． （2）∵点A，B关于对称轴对称， ∴点D为直线与对称轴的交点时的周长最小． 设直线的解析式为，则，解得． ∴直线的解析式为． ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，当时，， ∴抛物线对称轴上存在点，使的周长最小． （3）方法1： 如图所示，过点E作轴，垂足为G，交直线AC于点F，过点C作，垂足为H． 由（2）得，直线AC的表达式为． 设点E的坐标为，则点F的坐标为，点G的坐标为． ∴． ∴ ， 当，即点E的坐标为时，的最大面积为· 方法2： 如图所示，过点E作∥x轴，并分别过点A，C作、于点P、Q，设点E的坐标为，则点P的坐标为，点Q的坐标为． ∴，，，，． ∴ ． ∴当，即点E的坐标为时，的最大面积为· 方法3： 如图所示，过点E作轴，垂足为G，交直线AC于点F，过点E作，垂足为M． ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴． 由（2）得，直线AC的表达式为． 设点E的坐标为，则点F的坐标为，点G的坐标为． ∴，． ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴ ． ∴当，即点E的坐标为时，的最大面积为· 方法4： 如图，设过点E与直线AC平行的直线为， ∴由，得， 当，即时，点E到AC的距离最大，的面积最大，此时，， ∴点E的坐标为． 设过点E的直线与x轴交点为F，则点F的坐标为． ∴． ∵直线AC的解析式为， ∴． ∴点F到AC的距离为． 又∵， ∴的最大面积为，此时点E的坐标为． 15．(1) (2)①；② 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数最值，二次函数在线段长的应用； （1）由抛物线的解析式可求，将其代入直线的解析式得，由直线解析式可求，将、的坐标分别代入抛物线的解析式，即可求解； （2）由可求得，由在抛物线上得，即可求解；②将化成顶点式即可求解． 掌握待定系数法，会求二次函数的最值是解题的关键． 【详解】（1）解：由得， 当时，， ， ， ， 当时， ， ， ， 解得：， ； （2）解：①由题意得 ， 点是抛物线上的一个动点， ， ； ② ， ． 答案第2页，共31页 答案第1页，共31页 学科网（北京）股份有限公司 $$