17.1勾股定理达标练习2024-2025学年人教版数学八年级下册

17.1勾股定理 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，甲货船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船之间的距离是（    ） A．40海里 B．32海里 C．24海里 D．20海里 2．如图，长方体的长，宽，高，点M在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是（     ）    A． B． C． D． 3．如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（    ）米 A． B． C． D． 4．一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米．宽为16厘米的长方形纸板上．剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其它两个顶点在长方形的边上，剪下的等腰三角形的面积为（　　　） A．50 B．50或40 C．50或40或30 D．50或30或20 5．如图，在四边形ABCD中，，点P是四边形ABCD边上的一个动点．若点P到AC的距离为，则点P的位置有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 6．如图，在中，点D，E分别是边、上的两点，连接，，，已知，，则的最小值是（　　）      A． B．10 C．9.6 D． 7．已知钓鱼杆的长为10米，露在水上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为8米，则的长为（　　）    A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 8．如图，已知正方形A的面积为25，正方形C的面积为169，那么正方形B的面积是（   ） A．144 B．169 C．25 D．194 9．如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（  ）． A． B． C． D．5 10．如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是（   ） A．15 B．25 C．35 D．45 11．如图是一个十字路口，O是两条公路的交点，点A，B，C，D表示的是公路上的四辆车．若OC＝8m，AC＝17m，AB＝5m，BD＝10m，则C，D两辆车之间的距离为(　　) A．5m B．4m C．3m D．2m 12．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度为米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为米，头顶离感应器的距离为米，则这名学生身高为（   ）米． A． B．14 C． D． 二、填空题 13．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为 ． 14．如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了 步路，却踩伤了花草（假设2步为1米）． 15．我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为，可以看作；同时8，6，10也为勾股数组，记为，可以看作．类似的，依次可以得到第三个勾股数组．请根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组： ． 16．如下图以直角三角形三条边为分别向外作三个正方形，其中两个正方形的面积分别为和，则图中正方形字母A所代表的正方形的面积为 ． 17．如图所示，在中，，是斜边的中线，于点E，若，，则的面积为 ． 三、解答题 18．一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了7米到C，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 19．如图，在直角坐标系中，点，，是三角形的三个顶点，求的长． 20．如图，中，，，． (1)的长为 ． (2)把沿着直线翻折，使得点C落在边上E处，求的长． 21．如图，6月5日法制广场一棵大树在离地面3米处被风折断，树的顶端落在离树干底部4米处，求这棵树折断之前的高度． 22．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，，，．线段是一条水渠，且点在边上，已知水渠的造价为130元，问：当水渠的造价最低时，长为多少米？最低造价是多少元？    23．判断以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形，其中． 24．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝12cm，BC＝16cm，求CD的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《17.1勾股定理》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C C A C A B B 题号 11 12 答案 D D 1．A 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程速度时间，得两条船分别走了32海里，24海里．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 两小时后，两艘船分别行驶了(海里)，(海里)， 根据勾股定理得：（海里）． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单． 2．B 【分析】首先将长方体沿剪开，向右翻折，使面和面在同一个平面内，连接；或将长方体沿剪开，向上翻折，使面和面在同一个平面内，连接；或将长方体沿剪开，向下翻折，使面和下面在同一个平面内，连接，然后分别在与与，利用勾股定理求得的长，比较大小即可求得需要爬行的最短路程． 【详解】解：将长方体沿剪开，向右翻折，使面和面在同一个平面内，连接，如图1，    由题意可得：， 在中，根据勾股定理得：； 将长方体沿剪开，向上翻折，使面和面在同一个平面内，连接，如图2， 由题意得：， 在中，根据勾股定理得：， 将长方体沿剪开，向下翻折，使面和下面在同一个平面内，连接，如图3， 由题意得：， 在中，根据勾股定理得：， ∵， 则需要爬行的最短距离是． 故选：B． 【点睛】此题考查了最短路径问题，利用了转化的思想，解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解． 3．C 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程， ∵米，米，点到的距离是米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故选：C． 4．C 【分析】本题中由于等腰三角形的位置不确定，因此要分三种情况进行讨论求解，①如图（1），②如图（2），③如图（3），分别求得三角形的面积． 【详解】解：如图四边形是矩形，cm，cm； 本题可分三种情况： ①如图（1）：中，cm； cm2； ②如图（2）：中，cm； 在中，cm； 根据勾股定理有：cm； cm2； ③如图（3）：中，cm； 在中，cm； 根据勾股定理有cm； cm2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键在于能够进行正确的讨论． 5．C 【分析】根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，可以求得AC、AD、BC和AB的长，然后即可得到点D到AC的距离和点B到AC的距离，从而可以得到满足条件的点P有几处，本题得以解决． 【详解】 解：过点B作于点F，过点D作于点E， ∵∠CAD=30°，CD=2，∠D=90°， ∴AC=4，， ∴在Rt△ADC中，斜边AC上的高， ∵AC=4，∠B=90°，∠BAC=45°， ∴，， ∴AB=BC=， ∴在Rt△ABC中，斜边AC上的高， ∵，点P是四边形ABCD边上的一个动点，点P到AC的距离为， ∴点P的位置在点D处，或者边BC上或者边AB上， 即满足条件的点P有3处． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，解答本题的关键是求出满足条件的点P所在的位置． 6．A 【分析】过点A作，并使得，连接，构造，然后得到，进而得知，连接，即可得知的长度即为的最小值，也就是的最小值，最后利用勾股定理求得的值即可得到答案． 【详解】解：如图，过点A作，并使得，连接，则，      ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 连接，即可得知的长度即为的最小值，也就是的最小值， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，解题的关键是会作常用辅助线构造全等三角形． 7．C 【分析】先根据勾股求出，再根据勾股定理求出，最后根据即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方． 8．A 【分析】结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母C所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差． 【详解】解：根据题意知正方形的C面积为169，正方形A的面积为25， 则字母B所代表的正方形的面积=169-25=144． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积． 9．B 【分析】由翻折易得DB=AD，根据勾股定理即可求得CD长，再在Rt△BDE中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解析：由折叠可知，AD=BD，DE⊥AB， ∴BE=AB 设BD为x，则CD=8-x， ∵∠C=90°，AC=4，BC=8， ∴AC2+BC2=AB2 ∴AB2=42+82=80， ∴AB=， ∴BE=， 在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2 ， ∴42+(8-x)2=x2，解得x=5， 在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2， 即()2+DE2=52， ∴DE=， 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟记翻折前后对应边相等是解题的关键． 10．B 【分析】本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理，关键是知道求那一条线段的长． 根据题意画出图形，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图展开，连接，则线段的长就是小虫爬的最短路线， 在中，，， 由勾股定理得：． 故选：B． 11．D 【分析】在RT△AOC中根据勾股定理求出OA的长，进而可得OB，在RT△BOD中根据勾股定理可得OD的长，可得答案． 【详解】在RT△AOC中，∵OA2+OC2=AC2， ∴OA= = = 15（m）， ∴OB=OA+AB=20m， 在RT△BOD中，∵BD2=OB2+OD2， OD= = 10（m）， ∴CD=OD-OC=2m， 故选D． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理内容并加以运用是根本也是关键． 12．D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点D作于E，得到，米，由勾股定理得出，进而得到米，即可得出答案． 【详解】解：过点D作于E，如图所示： 则，米， 在中，米， 由勾股定理得 （米）， ∴（米）， ∴米． 故选：D． 13．（x+1﹣5）2+102＝x2． 【分析】根据勾股定理列方程即可得出结论． 【详解】解：由题意知： OP'＝x，OC＝x+1﹣5，P'C＝10， 在Rt△OCP'中，由勾股定理得： （x+1﹣5）2+102＝x2． 故答案为：（x+1﹣5）2+102＝x2． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和列方程，读懂题意是解题的关键． 14． 【分析】根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意得，“路”的长度，即步， 是步，是步，共步， ∴少走了步， 故答案为：步． 【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题的关键． 15． 【分析】本题考查数字型规律探究、勾股数，能从数字等式中找到变化规律是解答的关键． 根据给出的3组数以及勾股数的定义即可得出答案． 【详解】解：上述四组勾股数组的规律是：， 即， ∴ 所以第5个勾股数组为， 故答案为：． 16．64 【分析】本题考查勾股定理，正方形的面积，利用数形结合的思想是解题关键．根据勾股定理可直接求得正方形字母A所代表的正方形的边长． 【详解】解：如图， ∵其中两个正方形的面积分别为和， ∴，． ∵为直角三角形， ∴， ∴正方形字母A所代表的正方形的面积为64． 故答案为：64． 17． 【分析】由,，，求出，再求出，利用勾股定理解三角形，求出各边即可求解． 【详解】,，， , 是斜边的中线， , 在中，,， , , , , 故答案为：. 【点睛】本题考查了含的直角三角形的特点、勾股定理和三角形面积公式；灵活运用“角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键. 18．（1）12米；（2）7米 【分析】（1）由题意易得AB=CD=13米，OB=5米，然后根据勾股定理可求解； （2）由题意得CO= 5米，然后根据勾股定理可得求解． 【详解】解：（1）由题意得，AB=CD=13米，OB=5米， 在Rt，由勾股定理得： AO2=AB2-OB2=132-52=169-25=144， 解得AO=12米， 答：这个梯子的顶端距地面有12米高； （2）由题意得，AC=7米， 由（1）得AO=12米， ∴CO=AO-AC=12-7=5米， 在Rt，由勾股定理得： OD2=CD2-CO2=132-52=169-25=144， 解得OD=12米 ∴BD=OD-OB=12-5=7米， 答：梯子的底端在水平方向滑动了7米． 【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 19． 【分析】根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵点，，， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，如果一个直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，那么． 20．(1)20 (2)6 【分析】（1）在中利用勾股定理即可求出的长； （2）首先根据折叠的性质可得，，则，设，则，根据勾股定理得出即可求出． 【详解】（1）解：∵   ∴ ∵， ∴ 故答案为：； （2）根据折叠可得：，    则， 设，则， ∵ ∴    解得：，       ∴ 【点睛】该题主要考查了折叠的性质，勾股定理，掌握翻折变换的性质是解题的关键． 21．8米 【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度． 【详解】∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处， ∴折断的部分长为（米）， ∴折断前高度为（米）． ∴这棵树折断之前的高度是8米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力，解题的关键是构造出直角三角形． 22．长为米，最低造价是6000元 【分析】根据“垂线段最短”可得，当时，最短，用等面积法求解即可．再乘以单价，即可得出造价． 【详解】解：根据题意可得：当时，最短， ∵，，， ∴根据勾股定理可得：， ∵， ∴，即， 解得：， ∴最低造价（元）， 答：长为米，最低造价是6000元． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是掌握“垂线段最短”，勾股定理的内容，会用等面积法求直角三角形斜边上的高． 23．以a，b，c为边长的三角形是直角三角形（其中a为斜边长） 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，根据勾股定理的逆定理，求出两小边的平方和和大边的平方，看看是否相等即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴以a，b，c为边长的三角形是直角三角形（其中a为斜边长）． 24．CD=9.6cm 【分析】首先根据勾股定理求得直角三角形的斜边，再根据直角三角形的面积公式求得斜边上的高． 【详解】∵∠ACB=90°，AC=12cm，BC=16cm， ∴AB=20cm， 根据直角三角形的面积公式，得： ， ∴． 【点睛】此题要熟练运用勾股定理以及直角三角形的面积公式，直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$