2025年浙江省中考数学二轮复习专题突破课件：数学方法

数学方法 　　当第一个问题已经成功解决，需解决第二个条件、结论与之类似的问题时，我们可以借鉴第一个问题的解法，从而解决第二个问题，这样的思想方法叫做类比. 本专题中的同步练习都要与典例分析中的例题进行类比，这样可以加快我们的解题速度. 降次法是一种数学解题技巧，通过将高次幂的整式替换为低次幂的整式，从而降低问题的复杂度，达到简化问题的目的. 例1　已知m2－m－1＝0，则2m3－3m2－m＋2026的值为(　C　) A． 2023 B． 2024 C． 2025 D． 2026 C (1)将已知条件变形，得到降次关系式，再代入即可达到降次的目的. 1． 已知x2＋3x－12＝0，则代数式x3－21x＋5的值为(　B　) A． 31 B． －31 C． 41 D． －41 B 若已知条件有完全平方式，则可以通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果. 例2　已知a＋b＋c＋3＝2 ＋4 ＋2 ，则a＋b＋c的值是 　9　 .  9 (2)将已知条件配方成几个平方和等于0的形式是解决问题的关键. 2． 已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足a2－4b＝1，b2－4c＝－4，c2－6a＝－14，则此三角形的形状是(　A　) A． 等腰三角形 B． 等边三角形 C． 直角三角形 D． 锐角三角形 A 特殊值法，又叫特值法，是通过设题中某个未知量为特殊值，然后通过简单的运算得出最终答案的一种方法. 例3　已知(x＋1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a4＋a2的值为(　D　) A． 32 B． 31 C． 16 D． 15 D (3)根据所求式子的特征，可在恒等式中给其中一个未知量赋予特定的值.如令x＝0或x＝±1或x＝±2等. 3． 若(x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，那么a0＋a2＋a4＋a6的值为(　B　) A． 0 B． 32 C． －32 D． 64 B 为了解题的需要，常常需要构造出我们熟悉的模型，营造出有利于解题的情景，使得数量关系更加明朗. 例4　已知△ABC三边的长分别为 a，2 a， a(a＞0)，求△ABC的面积.(用含a的式子表示) 解:如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为a， ∵AB＝ a， BC＝ ＝2 a， AC＝ a， ∴△ABC即为满足条件的三角形， ∴S△ABC＝2a×4a－ ×a×2a－ ×2a×2a－ ×a×4a＝8a2－a2－2a2－2a2＝3a2. (4)形如 (a＞0，b＞0)的代数式，通常可以构造以a，b为直角边的直角三角形，其斜边即为 . 4． 已知，在四边形ABCD中，AB＝ ，BC＝ ，CD＝ ，AD＝ ，对角线AC＝3，求这个四边形的面积. 解:如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长 都为1，四边形ABCD即为满足条件的四边形， 则四边形ABCD的面积为 ×3×1＋ ×3×3＝6. 利用面积计算或利用面积的关系来解决非面积问题，这种方法称为面积法. 例5　如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为斜边AC的中点，点P在AB上，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，若AB＝6，BC＝3，则PE＋PF＝(　A　) A A． C． (5)结论: ①等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高； ②等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于这个三角形一边上的高. 5． 等边△ABC内有一点P，P点到三边的距离分别为1，2，3，则S△ABC＝ 　12  　 .  12  6． 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＋∠D＝180°，点N，M分别在边BC，CD上，∠MAN＝60°，请探索线段BN，DM，MN之间的等量关系. 解:如图，将△ABN绕点A逆时针旋转120°得到△ADE，∴∠B＝∠ADE，AN＝AE，BN＝DE，∠NAE＝120°.∵∠B＋∠ADC＝180°，∴∠ADE＋∠ADC＝180°，∴E，D，C三点共线.∵∠MAN＝60°，∴∠EAM＝∠EAN－∠MAN＝60°＝∠NAM. 又∵AM＝AM，∴△EAM≌△NAM(SAS)，∴EM＝MN. ∵EM＝DM＋DE，∴MN＝DM＋BN. 强化练习 1． 已知ab＝1，a＋b＝－3，则代数式(a－1)(b－1)的值为(　B　) A． 3 B． 5 C． －3 D． －1 2． 已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，则a＋b＝(　A　) A． 1 B． －1 C． 5 D． 2 3． 已知x＝a2－ab，y＝ab－b2，x与y的大小关系是(　A　) A． x≥y B． x≤y C． x<y D． x＞y B A A 4． 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离为(　A　) A． 1 B． 3 C． 4 D． 5 5． 若实数a，b，c满足4a－2b＋c＝0，则(　B　) A． b2－4ac＞0 B． b2－4ac≥0 C． b2－4ac<0 D． b2－4ac≤0 A B 6． 已知3x－y＝3a2－6a＋9，x＋y＝a2＋6a－9，若x≤y，则实数a的值为(　C　) A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 7． 已知a＋b＝6，ab－c2＝9，则a＋b＋c＝ 　6　 . 8． 已知a，b，c均为常数，若(x－1)2＋bx＋c＝x2－ax＋8，则a＋b＋c的值为 　9　 . 9． 已知一次函数y＝ x－2的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于点P(a，b)，则 的值是 　－ 　 . C 6 9 － 10． 已知(a－5)(a－2)＝3，则(a－5)2＋(a－2)2的值为 　15　 . 11． 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为点F，则OE＋EF的值为  　 　 . 第11题图 15 12． 如图，☉P过坐标原点O，与x轴，y轴相交于点A，B，且OA＝OB＝4，反比例函数的图象经过圆心P，作射线OP，则图中阴影部分的面积为  　4＋2π　 . 第12题图 4＋2π 13． 已知m为方程x2＋x－3＝0的一个根，求代数式m3＋2m2－2m＋6的值. 解:∵m为方程x2＋x－3＝0的一个根， ∴m2＋m－3＝0，∴m2＝3－m， ∴m3＋2m2－2m＋6＝m·m2＋2m2－2m＋6＝m(3－m)＋2m2－2m＋6＝m2＋m＋6＝3－m＋m＋6＝9. 14． 已知a＋b＋4＝2 ＋4 ，求a＋b的值. 解:∵a＋b＋4＝2 ＋4 ， ∴(a－2 ＋1)＋(b－1－4 ＋4)＝0，∴ ＝0， ∴ －1＝0， －2＝0， 解得a＝1，b＝5， ∴a＋b＝6. 15． 已知M＝(x＋2)(x－2)，N＝4(x－ ). (1)先化简，再求值:M－N，其中x＝－1； 解:M－N＝(x＋2)(x－2)－4(x－ )＝x2－4x＋6， 当x＝－1时，M－N＝1＋4＋6＝11. (2)试比较M，N的大小. 解:∵M－N＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2＞0， ∴M＞N． 16． 若W＝5x2－4xy＋y2－2y＋8x＋3(x，y为实数)，求W的最小值. 解:W＝y2－2(2x＋1)y＋5x2＋8x＋3＝[y2－2(2x＋1)y＋(2x＋1)2]＋5x2＋8x＋3－(2x＋1)2 ＝[y－(2x＋1)]2＋(x＋2)2－2， 当y－(2x＋1)＝0且x＋2＝0，即x＝－2，y＝－3时，W有最小值，最小值为－2. 17． 已知(x＋1)5＝ax5＋bx4＋cx3＋dx2＋ex＋f． 当x＝1时，(1＋1)5＝a×15＋b×14＋c×13＋d×12＋e×1＋f＝a＋b＋c＋d＋e＋f， ∴a＋b＋c＋d＋e＋f＝25＝32. 这种给x取一个特殊数的方法叫赋值法.请你巧用赋值法，尝试解答下列问题. (1)求当x为多少时，可求出f，f为多少? 解:令x＝0，则f＝1. (2)求－a＋b－c＋d－e＋f的值. 解:令x＝－1，则－a＋b－c＋d－e＋f＝0. (3)求b＋d＋f的值. 解:令x＝1，则a＋b＋c＋d＋e＋f＝32①， ∵－a＋b－c＋d－e＋f＝0②， ①＋②，得2(b＋d＋f)＝32， ∴b＋d＋f＝16. 18． 问题背景:在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 ，求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图所示.这样不求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法. (1)请求出△ABC的面积； 解:S△ABC＝3×3－ ×1×2－ ×2×3－ ×1×3＝ . (2)若△ABC三边的长分别为 ，2 (m＞0，n＞0，且m≠n)，请你用构图法求出△ABC的面积.(用含m，n的式子表示) 解:如图是长方形网格，每个小长方形的边长分别为m，n， 则AC＝ ，BC＝ ，AB＝2 ， ∴△ABC即为满足条件的三角形， ∴S△ABC＝3m×4n－ ×m×4n－ ×3m×2n－ ×2m×2n＝5mn． $$