精品解析：山东省潍坊市2024-2025学年高一下学期2月月考数学试题

2025年高一第一次调研监测考试 数 学 时量：120分钟 满分：150分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. ★祝你考试顺利★ 第I卷 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 8 5. 对任意实数，，，给出下列命题： ①“”是“”充要条件； ②“是无理数”是“是无理数”的充要条件； ③“”是“”的充分条件； ④“”是“”的必要条件． 其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 在如图所示锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 A. [15,20] B. [12,25] C. [10,30] D. [20,30] 7. 函数在区间上的图象可能是（ ） A B. C. D. 8. 在资源有限的情况下，种群数量随时间（单位：天）的变化满足逻辑斯蒂模型：，其中常数为环境容纳量，为种群初始数量，为比增长率生态学家高斯（）曾经做过单独培养大草履虫的实验：初始时，在培养液中放入个草履虫，观察到时，种群数量为；时，种群数量为.根据逻辑斯蒂模型，可估算大草履虫种群的比增长率为（ ） 参考数据： A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，在四边形ABCD中，为BC边上一点，且为AE的中点，则（ ） A. B. C. D. 11. 函数，下列四个选项正确是（ ） A. 是以为周期的函数 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间，上单调递减 D. 的值域为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. ，集合，则________. 13. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为______． 14. 已知函数的部分图像如图所示，则_______________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设全集，集合，集合 （1）当时，求和； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 16. 计算以下的值： （1）； （2）； （3）化简：已知，求. 17. 长江存储是我国唯一一家能够独立生产3DNAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking®技术使得3DNAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装x万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当x不超过120万片时，；当x超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完． （1）求公司获得的利润的函数解析式； （2）封装多少万片时，公司可获得最大利润？ 18. 已知函数满足对一切实数都有成立，且，当时有． （1）求，； （2）判断并证明在上的单调性； （3）解不等式． 19. 对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”． （1）已知函数，试问否为“伪奇函数”？说明理由； （2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高一第一次调研监测考试 数 学 时量：120分钟 满分：150分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. ★祝你考试顺利★ 第I卷 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平方法去绝对值符号，再求解不等式作答. 【详解】不等式化为：，即，有，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 3. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况解方程即可求解. 【详解】由题意可知， 当时，，所以由得； 当时，，所以由得，无解 综上，. 故选：C. 4. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式中“1”的应用计算可得当时，的最小值为8. 【详解】由可得： ； 当且仅当，即当时，等号成立. 即的最小值为8. 故选：D. 5. 对任意实数，，，给出下列命题： ①“”是“”充要条件； ②“是无理数”是“是无理数”的充要条件； ③“”是“”的充分条件； ④“”是“”的必要条件． 其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义一一判断即可. 【详解】解：①中“” “”为真命题， 但当时，“” “”为假命题， 故“”是“”的充分不必要条件，故①为假命题； ②中“是无理数” “是无理数”为真命题， “是无理数” “是无理数”也为真命题， 故“是无理数”是“是无理数”的充要条件，故②为真命题； ③中“” “”为假命题，如、满足，但是， “” “”也为假命题，如、满足，但是， 故“”是“”的即充分也不必要条件，故③为假命题； ④中，故“”是“”的必要条件，故④为真命题． 故真命题的个数为2 故选：B． 6. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 A. [15,20] B. [12,25] C. [10,30] D. [20,30] 【答案】C 【解析】 【详解】 如图△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为y，则，所以，又，所以，即，解得. 【考点定位】本题考查平面几何知识和一元二次不等式的解法，对考生的阅读理解能力、分析问题和解决问题的能力以及探究创新能力都有一定的要求.属于中档题. 7. 函数在区间上的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，再根据判断即可. 【详解】因为的定义域为R，关于原点对称，且 ， 所以为偶函数，其函数图象关于y轴对称，故排除A，C. 因为，故排除B. 故选：D. 8. 在资源有限的情况下，种群数量随时间（单位：天）的变化满足逻辑斯蒂模型：，其中常数为环境容纳量，为种群初始数量，为比增长率生态学家高斯（）曾经做过单独培养大草履虫的实验：初始时，在培养液中放入个草履虫，观察到时，种群数量为；时，种群数量为.根据逻辑斯蒂模型，可估算大草履虫种群的比增长率为（ ） 参考数据： A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将已知数据代入函数模型，求出的值，再利用指对互化以及对数运算求解即可. 【详解】由题意，，，则， 因此，整理得， 解得或（舍）， 因此，解得. 所以大草履虫种群的比增长率约为. 故选：C. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举出反例即可判断A，由不等式的性质代入计算即可判断BD，由作差法即可判断C. 【详解】对于A，取，满足，但是，故A错误； 对于B，因为，不等式两边同时乘以负数，不等式方向改变，所以， 不等式两边同时乘以负数，不等式方向改变，所以， 所以，故B正确； 对于C，因为，， 又因为，所以，而，即，， 所以，故C正确； 对于D，设，即， 则，解得，所以， 又，则，且， 所以，所以，故D正确； 故选：BCD 10. 如图，在四边形ABCD中，为BC边上一点，且为AE的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题 【详解】由， 由向量加法的三角形法则得 ， 又F为AE的中点，则，故A正确； ，故B正确； ，故D正确； ，故C错误. 故选：ABD 11. 函数，下列四个选项正确的是（ ） A. 是以为周期的函数 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间，上单调递减 D. 的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知解析式得，，特殊值法判断是否相等判断A；根据所得解析式判断关系判断B；根据正余弦函数的性质判断C、D. 【详解】由解析式得，，（注意函数是连续的）， 显然，显然不是的周期，A错； 当时，，。 所以，结合上述解析式知， 当时，，。 所以，结合上述解析式知， 所以的图象关于直线对称，B对； 由，， 又在上单调递减，C对； 当，时，， 当，时，， 所以的值域为，D对. 故选：BCD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. ，集合，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据集合的相等含义，易得，又由推得，即可代入求值. 【详解】由题意知，所以，则，又，所以，. 故. 故答案为：2. 13. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得在上单调递增，结合奇函数的性质可求得不等式的解集. 【详解】因为对任意的，当时，都有成立， 所以在上单调递增，当，又， 所以由，可得， 又函数是定义在上的奇函数，当时， 由，可得，又由奇函数的性质可得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14. 已知函数的部分图像如图所示，则_______________. 【答案】 【解析】 【分析】首先确定函数的解析式，然后求解的值即可. 【详解】由题意可得：， 当时，， 令可得：， 据此有：. 故答案为：. 【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设全集，集合，集合 （1）当时，求和； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的基本运算可得结果. （2）把条件转化为⫋，利用集合间的基本关系可求参数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，或， ∴，或. 【小问2详解】 ∵“”是“”的充分不必要条件， ∴⫋， ∴（等号不同时成立），解得， ∴实数a的取值范围为. 16. 计算以下的值： （1）； （2）； （3）化简：已知，求. 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）利用指数运算法则计算可得结果； （2）根据对数运算法则直接计算即可； （3）利用诱导公式化简可得，再将其代入计算可得结果. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 原式. 【小问3详解】 由，得， 即， 所以. 17. 长江存储是我国唯一一家能够独立生产3DNAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking®技术使得3DNAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装x万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当x不超过120万片时，；当x超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完． （1）求公司获得的利润的函数解析式； （2）封装多少万片时，公司可获得最大利润？ 【答案】（1） （2）160 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合利润公式，分类讨论即可求解； （2）结合（1）的结论，利用二次函数的性质及基本不等式求出最大值即可求解. 【小问1详解】 当时， ， 当时， ， 故 【小问2详解】 当时， 开口向下，对称轴为， 故的最大值为（万元）； 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为（万元）， 因为， 所以封装160万片时，公司可获得最大利润. 18. 已知函数满足对一切实数都有成立，且，当时有． （1）求，； （2）判断并证明在上的单调性； （3）解不等式． 【答案】（1）， （2）在上单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）令，可得出的值，令可得出的值； （2）判断出函数为上的减函数，利用函数单调性的定义可证得函数为上的减函数； （3）分析可得出，将所求不等式变形为，解得，计算得出，则，再利用函数的单调性可得出关于实数的不等式（组），即得出原不等式的解集. 【小问1详解】 因为函数满足对一切实数、都有成立， 令可得，可得， 令可得 【小问2详解】 函数在上单调递减，证明如下： 设，则，又， 所以，可得， 所以当时，， 任取、且，则，， 则 ，即， 因此，函数在上单调递减. 【小问3详解】 由（2）可知，函数在上为单调递减函数， 令，可得，所以， 因为， 令， 由 得，即，解得， 可得， 因为，， 所以不等式等价于， 因为函数在上单调递减，则， 对于不等式，即显然成立， 对于不等式，即，解得， 因此，原不等式的解集为. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性化归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 19. 对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”． （1）已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由； （2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先假设为“伪奇函数”，然后推导出矛盾的结论即可得证； （2）由幂函数定义求得解析式，然后将问题转化为“在上有解”，根据指数函数值域以及对勾函数的单调性求解出的取值范围； （3）将问题转化为“”在R上有解，然后通过换元法，结合二次函数的零点分布知识求解． 【小问1详解】 假设为“伪奇函数”，∴存在满足， ∴有解，化为，无解， 不是“伪奇函数”； 【小问2详解】 为幂函数，∴，∴． ∴， ∵为定义在“伪奇函数”， ∴在上有解， ∴在上有解， 令，∴在上有解， 又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，且时，，时，， ∴，，∴的值域为， ∴，∴； 【小问3详解】 设存在满足，即在上有解， ∴在上有解， ∴在上有解， 令，取等号时， ∴在上有解， ∴在上有解（*）， ∵，解得， 记，且对称轴， 当时，在上递增， 若（*）有解，则，∴， 当时，在上递减，在上递增， 若（*）有解，则，即，此式恒成立，∴， 综上可知，． 【点睛】方法点睛：本题考查新定义问题，有判断与新定义有关的问题时可能用反证法，这样可能通过新定义进行转化，然后证得结论．本题(2)(3)小题都是通过新定义转化为方程在某个区间有解问题，再利用已知函数知识求解即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$