2025年高考数学提分系列 专题：函数性质【六大考点】

2025年高考数学提分系列 专题：函数性质【六大考点】 【第一篇】知识清单篇 函数的单调性 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2， 当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数． 若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间． 【解题方法点拨】 判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法． 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结． 设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么 ①⇔f（x）在[a，b]上是增函数； ⇔f（x）在[a，b]上是减函数． ②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数； （x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数． 函数的最值 函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得． 【解题方法点拨】 ①基本不等式法：如当x＞0时，求2x的最小值，有2x28； ②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2； ③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较． 函数的奇偶性 ①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 【解题方法点拨】 ①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解； ④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反． 抽象函数的周期性 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一． 【解题方法点拨】 ①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx； ②可通过赋特殊值法使问题得以解决 例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0 令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0 令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0 ③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性； 函数恒成立问题 函数恒成立问题是指在定义域或某一限定范围内，函数满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程． 【解题方法点拨】 ﹣分析函数的定义域和形式，找出使函数恒成立的条件． ﹣利用恒成立条件，确定函数的行为． 一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量 【第二篇】考点导航篇 【考点一】函数的单调性 【考点二】函数的最值 【考点三】函数的奇偶性 【考点四】函数的周期性 【考点五】函数恒成立问题 【考点六】函数的值 【第三篇】跟踪训练篇 【考点一】函数的单调性 1．（2024秋•长宁区校级期末）设a为实数，已知函数为偶函数； （1）求a的值； （2）判断函数y＝f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明． 2．（2025•扬州校级模拟）已知函数f（x）满足f（x+1）． （1）求f（x）的解析式； （2）用定义法证明f（x）在（1，+∞）上单调递减． 3．（2025•甘谷县开学）已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，． （1）求f（x）的解析式； （2）用定义证明：函数f（x）在（0，+∞）为减函数． 4．（2024秋•砀山县期末）已知函数． （1）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围； （2）若f（x）在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围． 【考点二】函数的最值 5．（2025•宁远县校级开学）已知函数f（x）＝log2． （1）若函数f（x）是R上的奇函数，求a的值； （2）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围． 6．（2024秋•红河州期末）已知函数f（x）和g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且． （1）求g（1）﹣f（1）的值； （2）求f（x）和g（x）的解析式； （3）若函数F（x）＝[f（x）]2+mg（x）+2的最小值为﹣3，求实数m的值． 7．（2025•博望区校级开学）已知函数f（x）＝（log2x）2﹣alog2x2，x∈[，4]． （1）当a＝1时，求函数f（x）的值域； （2）若函数f（x）的最小值为﹣2，求实数a的值． 8．（2024秋•吉安期末）函数，a∈R． （1）记，求t的取值范围． （2）记函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）． （3）求方程g（g（a））＝a的解集． 【考点三】函数的奇偶性 9．（2025•临潼区校级开学）已知函数． （1）判断并证明f（x）的奇偶性； （2）求出使f（2cos2θ﹣3）﹣f（2+sinθ）＜0成立的sinθ的取值范围． 10．（2024秋•福州期末）已知函数． （1）求函数f（x）的定义域； （2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由； （3）若f（m）﹣f（﹣m）＜2，求m的取值范围． 11．（2024秋•台儿庄区期末）设．（a，b为实常数） （1）若f（x）是奇函数，求a与b的值； （2）若f（x）定义域不为R且是奇函数时，求函数f（x）的值域． 12．（2024秋•汉中期末）已知函数f（x）＝loga（2+x）+loga（2﹣x）（a＞0且a≠1）． （Ⅰ）求函数f（x）的定义域； （Ⅱ）判断并证明函数f（x）的奇偶性． 【考点四】函数的周期性 13．（2024秋•洮北区校级期中）定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R，都有f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y），且f（3）＝1012． （1）求f（0），f（6）的值； （2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论； （3）已知当x＞0时，f（x）＞0，解不等式f（2x﹣4）＞2024． 14．（2024秋•渝中区校级期中）已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（1）＝﹣2． （1）判断f（x）的奇偶性； （2）判断f（x）在R上的单调性，并证明你的结论； （3）当时，f（kx2）+f（2x）+2＞0恒成立，求实数k的取值范围． 15．（2024秋•肥城市校级期中）设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）＝﹣f（x），当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣x2． （1）求证：f（x）是周期函数； （2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式； （3）计算f（0）+f（1）+f（2）+⋯+f（2023）． 16．（2024秋•南充校级期中）已知函数f（x）对任意实数a、b，都有f（ab）＝f（a）+f（b）成立． （1）求f（0）与f（1）的值； （2）求证：f（）＝﹣f（x）； （3）若f（2）＝p，f（3）＝q（p，q均为常数），求f（36）的值． 【考点五】函数恒成立问题 17．（2024秋•松江区期末）已知函数是定义域为R的奇函数，且． （1）求函数y＝f（x）的表达式； （2）判断函数y＝f（x）在[﹣2，2]上的单调性，并用定义证明； （3）设函数y＝g（x）＝kx+1﹣4k，若对任意的x1∈[﹣2，2]，存在x2∈[﹣2，2]，使得f（x1）≤g（x2）成立，求实数k的取值范围． 18．（2024秋•南昌县校级期末）已知函数f（x）＝（m+1）x2﹣（m﹣1）x+m﹣1 （1）若不等式f（x）＜1的解集为R，求m的取值范围； （2）解关于x的不等式f（x）≥（m+1）x； （3）若不等式f（x）≥0对一切恒成立，求m的取值范围． 19．（2024秋•甘肃期末）设函数f（x）＝cos2x﹣2asinx+a+3（a∈R）． （1）求函数f（x）在R上的最大值； （2）若不等式f（x）＞0在上恒成立，求a的取值范围； （3）若方程f（x）＝5在（0，2π]上有四个不相等的实数根，求a的取值范围． 20．（2024秋•浦东新区校级期末）已知定义在R上的函数是偶函数． （1）求a的值； （2）解不等式f（x）≥2； （3）设函数g（x）＝2f（x）+x+m•2x+3﹣m，．若对任意x1∈[0，log23]，存在x2∈[1，4]，使得g（x1）≥h（x2），求实数m的取值范围． 【考点六】函数的值 21．（2024秋•清城区校级期中）已知函数f（x）． （1）求函数的定义域； （2）求f（11），f（）的值； （3）当a＞0时，求f（a），f（a﹣1）的值． 22．（2024秋•阿城区校级期中）已知函数 （1）求函数f（x）的定义域； （2）求f（1）+f（﹣3）的值； （3）求f（a+1）的值（其中a＞﹣4且a≠1）． 23．（2024•贵州模拟）已知函数f（x）＝x3﹣ax，x∈R． （1）求f（0）； （2）若f（1）＝0，求a的值． 24．（2024秋•广东校级期中）已知函数． （1）求，的值； （2）探索的值并给出理由； （3）利用（2）的结论求表达式：的值． 2025年高考数学提分系列 专题：函数性质【六大考点】 参考答案与试题解析 1．（2024秋•长宁区校级期末）设a为实数，已知函数为偶函数； （1）求a的值； （2）判断函数y＝f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明． 【解答】解：（1）易知为偶函数， 所以， 因此﹣（a+1）＝a+1， 解得a＝﹣1； （2）函数y＝f（x）在区间（0，+∞）上单调递增； 证明：由（1）可知， 设任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2， 则0， 即f（x1）＜f（x2）， 因此函数y＝f（x）在区间（0，+∞）上单调递增． 2．（2025•扬州校级模拟）已知函数f（x）满足f（x+1）． （1）求f（x）的解析式； （2）用定义法证明f（x）在（1，+∞）上单调递减． 【解答】解：（1）由于x2+2x+2＝（x+1）2+1≥1， 则f（x+1）的定义域为R， 由， 则， 故f（x）的解析式为，x∈R． （2）证明：任取x1，x2∈（1，+∞），令x1＜x2， 则， 因为x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2， 所以x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＜0， 从而f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）， 故f（x）在（1，+∞）上单调递减． 3．（2025•甘谷县开学）已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，． （1）求f（x）的解析式； （2）用定义证明：函数f（x）在（0，+∞）为减函数． 【解答】解：（1）令x＜0，则， 因为函数f（x）是R上的奇函数，所以， 因为函数f（x）是R上的奇函数，所以f（﹣0）＝﹣f（0）所以f（0）＝0， ； （2）证明：设x1，x2为区间（0，+∞）上的任意两个值，且x1＜x2， ， 因为0＜x1＜x2，所以x2﹣x1＞0，x1+1＞0，x2+1＞0， 所以f（x1）﹣f（x2）＞0， 所以f（x1）＞f（x2）， 所以函数f（x）在（0，+∞）为减函数． 4．（2024秋•砀山县期末）已知函数． （1）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围； （2）若f（x）在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围． 【解答】解：（1）根据题意，函数． 若f（x）的定义域为R，则不等式ax2+4x+a﹣3＞0对任意的x∈R恒成立， 当a＝0时，4x﹣3＞0，解得，不符合题意； 当a≠0时，解得a＞4． 综上，a的取值范围是（4，+∞）． （2）当a＝0时，在区间[1，2]上单调递减，符合题意； 当a＞0时，若f（x）在区间[1，2]上单调递减，则 所以a＞0； 当a＜0时，若f（x）在区间[1，2]上单调递减，则 所以． 综上，a的取值范围是． 5．（2025•宁远县校级开学）已知函数f（x）＝log2． （1）若函数f（x）是R上的奇函数，求a的值； （2）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）若函数f （x）是R上的奇函数，则f （0）＝log2（1+a）＝0，所以a＝0． 经检验，当a＝0时，f （x）＝﹣x是R上的奇函数． 所以a＝0． （2）函数f （x）是减函数， 故f （x）在区间[0，1]上的最大值是f （0）＝log2（1+a），最小值是f （1）＝log2． 由题意得log2（1+a）﹣log22， 则log2（1+a）≥log2（4a+2）． 所以， 解得a， 故实数a的取值范围是． 6．（2024秋•红河州期末）已知函数f（x）和g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且． （1）求g（1）﹣f（1）的值； （2）求f（x）和g（x）的解析式； （3）若函数F（x）＝[f（x）]2+mg（x）+2的最小值为﹣3，求实数m的值． 【解答】解：（1）因为函数f（x）和g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数， 则f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x）． 又因为， 则f（﹣1）+g（﹣1）＝2e， 即g（1）﹣f（1）＝g（1）+f（﹣1）＝g（﹣1）+f（﹣1）＝2e； （2）因为f（x）+g（x）＝2e﹣x， 可得f（﹣x）+g（﹣x）＝2ex， 又因为f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x）， 即﹣f（x）+g（x）＝2ex， 联立方程， 解得f（x）＝e﹣x﹣ex，g（x）＝e﹣x+ex； （3）因为F（x）＝[f（x）]2+mg（x）+2＝（e﹣x﹣ex）2+m（e﹣x+ex）+2 ＝e2x+e﹣2x+m（ex+e﹣x）＝（ex+e﹣x）2+m（ex+e﹣x）﹣2， 令，当且仅当ex＝e﹣x， 即x＝0时，等号成立， 令h（t）＝t2+mt﹣2（t≥2）， 若函数F（x）的最小值为﹣3，即h（t）的最小值为﹣3， 又因为h（t）＝t2+mt﹣2（t≥2）的开口向上，对称轴为t， 所以或， 解得． 7．（2025•博望区校级开学）已知函数f（x）＝（log2x）2﹣alog2x2，x∈[，4]． （1）当a＝1时，求函数f（x）的值域； （2）若函数f（x）的最小值为﹣2，求实数a的值． 【解答】解：（1）f（x）＝（log2x）2﹣alog2x2＝（log2x）2﹣2alog2x，x∈[，4]， 令t＝log2x，x∈[，4]，则f（x）化为y＝t2﹣2at，t∈[﹣1，2]， 当a＝1时，y＝t2﹣2t，t∈[﹣1，2]， 对称轴为t＝1，所以y＝t2﹣2t在[﹣1，1]上递减，在[1，2]递增， 则f（x）min＝ymin＝﹣1，f（x）max＝ymax＝3， 所以函数f（x）的值域为[﹣1，3]； （2）由（1），令t＝log2x，x∈[，4]， f（x）化为y＝t2﹣2at，t∈[﹣1，2]，对称轴为t＝a， 若a＜﹣1，则y＝t2﹣2at在[﹣1，2]递增，ymin＝2a+1＝﹣2，得a，符合题意； 若﹣1≤a≤2，则y＝t2﹣2at在[﹣1，a]上递减，在[a，2]递增，ymin＝﹣a2＝﹣2，得a（舍去），符合题意； 若a＞2，则y＝t2﹣2at在[﹣1，2]上递减，ymin＝4﹣4a＝﹣2，得a，与a＞2矛盾，舍去； 综上，a或a． 8．（2024秋•吉安期末）函数，a∈R． （1）记，求t的取值范围． （2）记函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）． （3）求方程g（g（a））＝a的解集． 【解答】解：（1），其中x∈[﹣2，2]，则， 因为x∈[﹣2，2]，所以， 所以t2∈[4，8]，； （2）由得， 所以， 令，，则有： ①当a＝0时，h（t）＝t，g（a）＝h（t）min＝h（2）＝2， ②当a＞0时，h（t）在上单调递增，则g（a）＝h（t）min＝h（2）＝2， ③当时，h（t）是一个开口向下的二次函数， 且对称轴，此时g（a）＝h（t）min＝h（2）＝2， ④当时，h（t）是一个开口向下的二次函数， 且对称轴，此时， 综上：； （3）由（2）可知①当时，g（g（a））＝g（2）＝2，此时解得a＝2， ②当时， 若，即， 则，此时方程g（g（a））＝a无解， 若，即时， ， 此时方程g（g（a））＝a的解为， 综上，方程g（g（a））＝a的解集为． 9．（2025•临潼区校级开学）已知函数． （1）判断并证明f（x）的奇偶性； （2）求出使f（2cos2θ﹣3）﹣f（2+sinθ）＜0成立的sinθ的取值范围． 【解答】解：（1）为偶函数，证明如下： 函数f（x）的定义域为R，且f（﹣x）（﹣x）xx＝f（x）， 故函数f（x）为偶函数． （2）设0＜x1＜x2，则， 又由0＜x1＜x2，则，， 故， 故函数在（0，+∞）上为增函数， 所以函数f（x）在（0，+∞）上为增函数； 又由f（2cos2θ﹣3）﹣f（2+sinθ）＜0⇔f（2cos2θ﹣3）＜f（2+sinθ）⇔f（|2cos2θ﹣3|）＜f（|2+sinθ|）， 则|2cos2θ﹣3|＜|2+sinθ|，即3﹣2cos2θ＜2+sinθ， 变形可得2sin2θ﹣sinθ﹣1＜0，解得， 即sinθ的取值范围是． 10．（2024秋•福州期末）已知函数． （1）求函数f（x）的定义域； （2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由； （3）若f（m）﹣f（﹣m）＜2，求m的取值范围． 【解答】解：（1）根据题意，函数， 有，则（1﹣x）（x﹣1）＜0，解得﹣1＜x＜1， 所以f（x）的定义域为（﹣1，1）． （2）函数f（x）为奇函数，理由如下： 因为定义域为（﹣1，1）， 且， 所以函数f（x）为奇函数． （3）根据题意，因为函数f（x）为奇函数，所以f（m）﹣f（﹣m）＜2，即f（m）+f（m）＜2，得f（m）＜1， 则，故0， 解可得：m＜1，即m的取值范围为（，1）． 11．（2024秋•台儿庄区期末）设．（a，b为实常数） （1）若f（x）是奇函数，求a与b的值； （2）若f（x）定义域不为R且是奇函数时，求函数f（x）的值域． 【解答】解：（1）是奇函数时，f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立， 即， 即（2a﹣b）•22x+（2ab﹣4）•2x+（2a﹣b）＝0． 所以，所以a＝﹣1，b＝﹣2或a＝1，b＝2； （2）当a＝1，b＝2时，，定义域为R，不符合题意； 当a＝﹣1，b＝﹣2时，． 当x＞0时，因为2x＞1，故1﹣2x＜0，则．所以； 当x＜0时，． 综上所述：函数f（x）的值域为． 12．（2024秋•汉中期末）已知函数f（x）＝loga（2+x）+loga（2﹣x）（a＞0且a≠1）． （Ⅰ）求函数f（x）的定义域； （Ⅱ）判断并证明函数f（x）的奇偶性． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝loga（2+x）+loga（2﹣x）， 则有，解可得﹣2＜x＜2， 故函数f（x）的定义域为（﹣2，2）， （Ⅱ）函数f（x）为奇函数， 证明：f（x）的定义域为（﹣2，2），其定义域关于原点对称， f（﹣x）＝loga（2﹣x）﹣loga（2+x）＝﹣[loga（2+x）﹣loga（2﹣x）]＝﹣f（x）， 所以函数f（x）为奇函数． 13．（2024秋•洮北区校级期中）定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R，都有f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y），且f（3）＝1012． （1）求f（0），f（6）的值； （2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论； （3）已知当x＞0时，f（x）＞0，解不等式f（2x﹣4）＞2024． 【解答】解：（1）令x＝y＝0，可得f（0）＝f（0）+f（0），所以f（0）＝0， 令x＝6，y＝3，可得f（6﹣3）＝f（6）﹣f（3）， 所以f（6）＝2f（3）＝2024； （2）函数f（x）为奇函数，证明如下： 令x＝0，可得f（0﹣y）＝f（0）﹣f（y），即f（﹣y）＝﹣f（y）， 所以函数f（x）为奇函数； （3）设x1＞x2，则x1﹣x2＞0， 所以f（x1﹣x2）＞0， 则f（x1）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）＞0， 故函数f（x）在R上单调递增， 不等式f（2x﹣4）＞2024，即f（2x﹣4）＞f（6）， 所以2x﹣4＞6，解得x＞5， 故不等式的解集为（5，+∞）． 14．（2024秋•渝中区校级期中）已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（1）＝﹣2． （1）判断f（x）的奇偶性； （2）判断f（x）在R上的单调性，并证明你的结论； （3）当时，f（kx2）+f（2x）+2＞0恒成立，求实数k的取值范围． 【解答】解：（1）取x＝y＝0，则f（0+0）＝2f（0），∴f（0）＝0． 取y＝﹣x，则f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x）， ∴f（﹣x）＝﹣f（x）对任意x∈R恒成立，∴f（x）为奇函数． …………（3分） （2）证明：任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，f（x2）+f（﹣x1）＝f（x2﹣x1）＜0， f（x2）＜﹣f（﹣x1），又f（x）为奇函数， ∴f（x1）＞f（x2）．∴f（x）是R上的减函数． …………（7分） （3）因f（x）是奇函数，从而不等式f（kx2）+f（2x﹣1）＞0等价于f（kx2）＜﹣f（2x﹣1）＝f（1﹣2x），因f（x）在R上是减函数，由上式得 kx2＜1﹣2x， 即对一切有：恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分） 设，令，则有g（t）＝t2﹣2t，，∴g（x）min＝g（t）min＝g（1）＝﹣1，∴k＜﹣1， 即k的取值范围为（﹣∞，﹣1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分） 15．（2024秋•肥城市校级期中）设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）＝﹣f（x），当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣x2． （1）求证：f（x）是周期函数； （2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式； （3）计算f（0）+f（1）+f（2）+⋯+f（2023）． 【解答】解：（1）证明：∵f（x+2）＝﹣f（x）， ∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）， ∴f（x）是周期为4的周期函数； （2）当x∈[﹣2，0]时，﹣x∈[0，2]， 由已知得f（﹣x）＝2（﹣x）﹣（﹣x）2＝﹣2x﹣x2， 又f（x）是奇函数， ∴f（﹣x）＝﹣f（x）＝﹣2x﹣x2， ∴f（x）＝x2+2x， 又当x∈[2，4]时，x﹣4∈[﹣2，0]， ∴f（x﹣4）＝（x﹣4）2+2（x﹣4）， 又f（x）是周期为4的周期函数， ∴f（x）＝f（x﹣4）＝（x﹣4）2+2（x﹣4）＝x2﹣6x+8， 从而求得x∈[2，4]时，f（x）＝x2﹣6x+8； （3）f（0）＝0，f（1）＝1，f（2）＝0，f（3）＝﹣1， 因为函数f（x）的周期为4， 所以f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2023）＝506×[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]＝0． 16．（2024秋•南充校级期中）已知函数f（x）对任意实数a、b，都有f（ab）＝f（a）+f（b）成立． （1）求f（0）与f（1）的值； （2）求证：f（）＝﹣f（x）； （3）若f（2）＝p，f（3）＝q（p，q均为常数），求f（36）的值． 【解答】解：（1）∵f（ab）＝f（a）+f（b）， ∴令a＝b＝0，则f（0）＝f（0）+f（0）， 即f（0）＝0， 令a＝b＝1， 则f（1）＝f（1）+f（1）， 即f（1）＝0； 证明：（2）∵•x＝1， ∴f（）+f（x）＝f（•x）＝f（1）＝0， 则f（）＝﹣f（x）； （3）若f（2）＝p，f（3）＝q（p，q均为常数）， 则f（2）+f（3）＝f（2×3）＝f（6）， 即f（6）＝p+q， 则f（36）＝f（6×6）＝f（6）+f（6）＝2f（6）＝2p+2q． 17．（2024秋•松江区期末）已知函数是定义域为R的奇函数，且． （1）求函数y＝f（x）的表达式； （2）判断函数y＝f（x）在[﹣2，2]上的单调性，并用定义证明； （3）设函数y＝g（x）＝kx+1﹣4k，若对任意的x1∈[﹣2，2]，存在x2∈[﹣2，2]，使得f（x1）≤g（x2）成立，求实数k的取值范围． 【解答】解：（1）因为y＝f（x）是定义域为R的奇函数，且， 所以，解得， 所以f（x）； （2）函数f（x）在[﹣2，2]上单调递增，证明如下： 任取x1，x2∈[﹣2，2]，且x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2） ， 因为﹣2≤x1＜x2≤2， 所以x1x2﹣4＜0，x2﹣x1＞0， 所以0， 即f（x1）﹣f（x2）＜0， 所以f（x1）＜f（x2）， 所以函数f（x）在[﹣2，2]上单调递增； （3）由（1）得， 若对任意的x1∈[﹣2，2]，存在x2∈[﹣2，2]，使得f（x1）≤g（x2）成立， 则f（x）max≤g（x）max， 由（2）得在[﹣2，2]上单调递增， 所以f（x）max， 存在x2∈[﹣2，2]，成立， 即， 若k＞0，则g（x）＝kx+1﹣4k在[﹣2，2]上为增函数， 所以， 所以； 若k＝0，则，此时k＝0符合题意； 若k＜0，则g（x）＝kx+1﹣4k在[﹣2，2]上为减函数， 所以，所以k＜0符合题意； 综上可知：， 即实数的取值范围是：． 18．（2024秋•南昌县校级期末）已知函数f（x）＝（m+1）x2﹣（m﹣1）x+m﹣1 （1）若不等式f（x）＜1的解集为R，求m的取值范围； （2）解关于x的不等式f（x）≥（m+1）x； （3）若不等式f（x）≥0对一切恒成立，求m的取值范围． 【解答】解：（1）①当m+1＝0即m＝﹣1时，f（x）＝2x﹣3，不合题意； …（1分） ②当m+1≠0即m≠﹣1时，，即，…（3分） ∴， ∴m（5分） （2）f（x）≥（m+1）x即（m+1）x2﹣2mx+m﹣1≥0 即[（m+1）x﹣（m﹣1）]（x﹣1）≥0 ①当m+1＝0即m＝﹣1时，解集为{x|x≥1}…（7分） ②当m+1＞0即m＞﹣1时，（x）（x﹣1）≥0， ∵11， ∴解集为{x|x或x≥1}…（9分） ③当m+1＜0即m＜﹣1时，（x）（x﹣1）≥0， ∵11， ∴解集为{x|}…（…（11分） （3）（m+1）x2﹣（m﹣1）x+m﹣1≥0，即m（x2﹣x+1）≥﹣x2﹣x+1， ∵x2﹣x+1＞0恒成立， ∴m1（13分） 设1﹣x＝t，则t∈[，]，x＝1﹣t， ∴， ∵t2，当且仅当t＝1时取等号， ∴1，当且仅当x＝0时取等号， ∴当x＝0时，1， ∴m≥1…（16分） 19．（2024秋•甘肃期末）设函数f（x）＝cos2x﹣2asinx+a+3（a∈R）． （1）求函数f（x）在R上的最大值； （2）若不等式f（x）＞0在上恒成立，求a的取值范围； （3）若方程f（x）＝5在（0，2π]上有四个不相等的实数根，求a的取值范围． 【解答】解：（1）令sinx＝t，t∈[﹣1，1]， 则f（x）变为g（t）＝﹣t2﹣2at+a+4＝﹣（t+a）2+a2+a+4， ①当﹣a＞1，即a＜﹣1时，f（x）max＝g（1）＝﹣a+3， ②当﹣1≤﹣a≤1，即﹣1≤a≤1时，， ③当﹣a＜﹣1，即a＞1时，f（x）max＝g（﹣1）＝3a+3， 故． （2）若要f（x）＞0，则需f（x）min＞0， 当时，t＝sinx∈[0，1]， 函数y＝f（x）变为g（t）＝﹣t2﹣2at+a+4，t∈[0，1]， 所求问题变为g（t）min＞0恒成立， 则只需， 解得﹣4＜a＜3， 故a的取值范围是（﹣4，3）； （3）令sinx＝t，x∈（0，2π]． 由题意可知，当﹣1＜t＜1时，关于x的方程sinx＝t在x∈（0，2π]时有两个不等实数解， 所以原题可转化为g（t）＝﹣t2﹣2at+a+4＝5在（﹣1，1）内有两个不等实数根， 令h（t）＝﹣t2﹣2at+a﹣1， 则有， 解得， 即a的取值范围是． 20．（2024秋•浦东新区校级期末）已知定义在R上的函数是偶函数． （1）求a的值； （2）解不等式f（x）≥2； （3）设函数g（x）＝2f（x）+x+m•2x+3﹣m，．若对任意x1∈[0，log23]，存在x2∈[1，4]，使得g（x1）≥h（x2），求实数m的取值范围． 【解答】解：（1）根据题意，因为是偶函数． 所以f（x）＝f（﹣x），可得：， 所以，所以， 可得x（log2a﹣2）＝0，又因为x不恒为0，所以log2a＝2，所以a＝4． （2）根据函数，可得， 所以4x+1≥2x+2，整理得：（2x）2﹣4•2x+1≥0，令t＝2x，那么有t2﹣4t+1≥0， 解得或，所以或， 所以原不等式的解集是． （3）函数在上单调递增，在上单调递减， 函数h（x）在[1，4]上的最小值是，只需函数g（x）在x∈[0，log23]时的函数值大于等于3， 因为，那么函数g（x）＝2f（x）+x+m•2x+3﹣m＝4x+m•2x+4﹣m， 根据g（x）≥3，可得m（2x﹣1）≥﹣（4x+1）， 当x＝0时，不等式0≥﹣2恒成立； 当x∈（0，log23]时，，所以， 化简得， 因为，当且仅当，所以时等号成立， 所以，所以m的取值范围是． 21．（2024秋•清城区校级期中）已知函数f（x）． （1）求函数的定义域； （2）求f（11），f（）的值； （3）当a＞0时，求f（a），f（a﹣1）的值． 【解答】解：（1）∵函数f（x）． ∴函数的定义域满足， 解得x≥﹣5且x≠7， ∴函数的定义域{x|x≥﹣5且x≠7}． （2）f（11）4， f（）． （3）∵a＞0，则f（a）， f（a﹣1）． 22．（2024秋•阿城区校级期中）已知函数 （1）求函数f（x）的定义域； （2）求f（1）+f（﹣3）的值； （3）求f（a+1）的值（其中a＞﹣4且a≠1）． 【解答】解：（1）要使函数有意义 则（2分） 即x≥﹣3且x≠2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） ∴函数f（x）的定义域为{x|x≥﹣3且x≠2}（区间表示也可以）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分） （2）∵函数， ∴（6分） （7分） ∴（8分） （3）∵函数，a＞﹣4且a≠1， ∴f（a+1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） 23．（2024•贵州模拟）已知函数f（x）＝x3﹣ax，x∈R． （1）求f（0）； （2）若f（1）＝0，求a的值． 【解答】解：（1）f（x）＝x3﹣ax，x∈R，则f（0）＝0； （2）f（1）＝0，则13﹣a•1＝0，所以a＝1． 24．（2024秋•广东校级期中）已知函数． （1）求，的值； （2）探索的值并给出理由； （3）利用（2）的结论求表达式：的值． 【解答】解：（1）函数， ． ． （2）． （3）由（2）知，而， ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$