湖南省常德市临澧县2024-2025学年七年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年湖南省常德市临澧县七年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．（3分）液体沸腾时的温度叫作沸点，如表是几种物质在1标准大气压下的沸点： 物质 液态一氧化碳 液态甲醛 酒精 食用油 沸点/℃ ﹣191.5 ﹣19.5 78.3 250 则沸点最低的物质是（　　） A．液态一氧化碳 B．液态甲醛 C．酒精 D．食用油 2．（3分）地球绕太阳公转的速度用科学记数法表示为1.1×105km/h，把1.1×105写成原数是（　　） A．1100000 B．110000 C．11000 D．0.00001 3．（3分）下列各式中，运算正确的是（　　） A．2a+3b＝5ab B．4÷（﹣4）＝﹣1 C．﹣2（a﹣4）＝﹣2a+4 D．（﹣4）2＝8 4．（3分）斗笠，又名箬笠，即以竹皮编织的用来遮光遮雨的帽子，可以看作一个圆锥，下列平面展开图中能围成一个圆锥的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）已知x，y满足方程组，则（x+y）2025的值为（　　） A．2025 B．﹣1 C．1 D．﹣2025 6．（3分）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过20立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+2）元．该地区某家庭上月用水量为25立方米，则应缴水费（　　） A．25a元 B．（25a+10）元 C．（25a+50）元 D．（20a+10）元 7．（3分）如图所示，已知线段m＞n，求作一线段m﹣n．作法：画射线AM，在射线AM上截取AB＝m，在线段AB上截取BC＝n，那么所求的线段是（　　） A．AC B．BC C．AB D．BM 8．（3分）《算法统宗》是中国古代数学名著，内有“以碗知僧”的题目为：巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共进一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？大意是说：山上有一座古寺叫都来寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗．请问都来寺里有多少个和尚？若设有x个和尚，则可列方程为（　　） A．3x+4x＝364 B． C． D． 9．（3分）数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简|a+b|﹣|c﹣b|的结果（　　） A．a+c B．c﹣a C．﹣c﹣a D．a+2b﹣c 10．（3分）如图所示，每个三角形中的三个数字之间存在某种规律，三角形间也存在着某种规律，请问在第n个三角形中，a﹣b﹣c的值是（　　） A．（﹣2）n﹣1﹣2 B．（﹣2）n+2 C．（﹣2）n﹣2 D．（﹣2）n+1 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．（3分）写出一个绝对值小于1的数　 　．（写出一个即可） 12．（3分）将方程x﹣2y＝6变形为用含x的代数式表示y的形式是y＝　 　． 13．（3分）已知一个角等于62°15′，则它的补角等于　 　． 14．（3分）手机移动支付给生活带来便捷，如图是小明的爸爸在2024年国庆节期间某天的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小明的爸爸当天微信收支的最终结果是 　 　． 15．（3分）已知点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示的数分别为﹣3，1，若BC＝2，则AC＝　 　． 16．（3分）如图，现有5张写着不同数字的卡片，请你从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的积最小，则积最小是 　 　． 17．（3分）若关于m，n的二元一次方程组的解是，那么关于x，y的二元一次方程组的解是　 　． 18．（3分）李文跟朋友说：“你随便想一个数，按我说的计算，我都知道计算结果．”王婷说：“别吹牛，我来试试！”于是李文说：“你想好一个数了吗？开始！把你想的数加6，再把和乘以3，再用你得到的积减去你想的数的3倍，最后用你得到的差除以2．你计算完了吗？”请你也算一算，这个计算结果是 　 　． 三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（6分）计算：﹣12024﹣8÷（﹣2）+4×|﹣5|． 20．（6分）解方程：． 21．（8分）先化简，再求值：3（a2﹣4a）﹣（2a2+a﹣1），其中a＝﹣2． 22．（8分）某中学新建了一个音乐喷泉（图1），如图2，喷泉的水从出水管喷出形成漂亮的水柱，当出水量达到最大时，喷泉会响起优美的音乐，此时水柱的高度比出水管的高度的2倍还高10cm，设出水管的高度为x cm． （1）直接用含x的代数式表示水柱的高度为 　 　cm． （2）当喷泉响起优美的音乐时，出水管和水柱的总高度为130cm，求出水管的高度． 23．（9分）如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°． （1）若∠AOC＝50°，求∠BOD的度数； （2）试判断∠BOE和∠COE有怎样的数量关系，说说你的理由． 24．（9分）【教材呈现】以下是湘教版七年级上册数学教材126页的部分内容． 例1已知a+b＝5，求（a+b）2﹣4（a+b）的值． 分析：将a+b看作一个整体，则问题就可迎刃而解了． 解：（a+b）2﹣4（a+b）＝52﹣4×5＝5． “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在数与式、方程与不等式等方面都有广泛的应用． 【解决问题】（1）已知（x﹣y）2＝5，求2（x﹣y）2﹣5（x﹣y）2+（x﹣y）2的值； （2）已知a2﹣2b＝4，求3a2﹣6b﹣21的值； （3）当x＝1时，代数式mx2+nx+1的值是2025，当x＝﹣1时，求代数式﹣mx2+nx+1的值． 25．（10分）根据如下素材，探索完成任务． 背景 数学兴趣小组对某奶茶店中A、B两种款式的奶茶进行研究． 素材1 买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元． 素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． 解决问题 任务1 求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？ 任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的，B款加料的奶茶3杯．则一共买了多少杯奶茶？ 26．（10分）定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． （1）如图1，点M是线段AB的一个三等分点，满足BM＝2AM，若AB＝9cm，则AM＝ 　 　cm； （2）如图2，已知AB＝9cm，点C从点A出发，点D从点B出发，两点同时出发，都以每秒cm的速度沿射线AB方向运动t秒． ①当t为何值时，点C是线段AD的三等分点； ②在点C，点D开始出发的同时，点E也从点B出发，以某一速度沿射线BA方向运动，在运动过程中，当点C是线段AE的三等分点时，点E也是线段AD的三等分点，请直接写此时出线段EB的长度． 2024-2025学年湖南省常德市临澧县七年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B D B B A C C A 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．（3分）液体沸腾时的温度叫作沸点，如表是几种物质在1标准大气压下的沸点： 物质 液态一氧化碳 液态甲醛 酒精 食用油 沸点/℃ ﹣191.5 ﹣19.5 78.3 250 则沸点最低的物质是（　　） A．液态一氧化碳 B．液态甲醛 C．酒精 D．食用油 【分析】比较出各数的大小即可判断求解． 【解答】解：各数的大小如下排列：﹣191.5＜﹣19.5＜78.3＜250， ∴沸点最低的是液态一氧化碳． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较法则是解题的关键． 2．（3分）地球绕太阳公转的速度用科学记数法表示为1.1×105km/h，把1.1×105写成原数是（　　） A．1100000 B．110000 C．11000 D．0.00001 【分析】根据科学记数法表示的数还原成原数时，n＞0时，n是几，小数点就向右移几位，可得答案． 【解答】解：1.1×105 ＝110000， 故选：B． 【点评】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示的数还原成原数时，n＞0时，n是几，小数点就向后移几位． 3．（3分）下列各式中，运算正确的是（　　） A．2a+3b＝5ab B．4÷（﹣4）＝﹣1 C．﹣2（a﹣4）＝﹣2a+4 D．（﹣4）2＝8 【分析】利用有理数的相关运算法则及整式的加减法则逐项判断即可． 【解答】解：2a与3b不是同类项，无法合并，则A不符合题意， 4÷（﹣4）＝﹣1，则B符合题意， ﹣2（a﹣4）＝﹣2a+8，则C不符合题意， （﹣4）2＝16，则D不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查有理数的混合运算，整式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4．（3分）斗笠，又名箬笠，即以竹皮编织的用来遮光遮雨的帽子，可以看作一个圆锥，下列平面展开图中能围成一个圆锥的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据圆锥的展开图可直接得到答案． 【解答】解：圆锥的展开图是扇形和圆，且圆在扇形的弧线上． 故选：D． 【点评】此题主要考查了简单几何体的展开图，掌握圆锥的特点是解答本题的关键． 5．（3分）已知x，y满足方程组，则（x+y）2025的值为（　　） A．2025 B．﹣1 C．1 D．﹣2025 【分析】方程组中的两个方程直接相加即可求出x+y的值，再代入计算即可． 【解答】解：， ①+②，得3x+3y＝﹣3， ∴x+y＝﹣1， ∴（x+y）2025＝（﹣1）2025＝﹣1， 故选：B． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值，正确求出x+y的值是解题的关键． 6．（3分）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过20立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+2）元．该地区某家庭上月用水量为25立方米，则应缴水费（　　） A．25a元 B．（25a+10）元 C．（25a+50）元 D．（20a+10）元 【分析】分别求出前20方和超过20方部分的水费，再求和就能表示出总的水费了． 【解答】解：20a+（a+2）（25﹣20） ＝20a+5a+10 ＝（25a+10）（元）， 故选：B． 【点评】此题考查了列代数式解决分段消费实际问题的能力，关键是能根据题意分别表示出各段的水费． 7．（3分）如图所示，已知线段m＞n，求作一线段m﹣n．作法：画射线AM，在射线AM上截取AB＝m，在线段AB上截取BC＝n，那么所求的线段是（　　） A．AC B．BC C．AB D．BM 【分析】根据线段的和差定义即可判断． 【解答】解：∵AB＝m，BC＝n， ∴AC＝AB﹣BC＝m﹣n， ∴所求线段是AC． 故选：A． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，属于基础题． 8．（3分）《算法统宗》是中国古代数学名著，内有“以碗知僧”的题目为：巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共进一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？大意是说：山上有一座古寺叫都来寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗．请问都来寺里有多少个和尚？若设有x个和尚，则可列方程为（　　） A．3x+4x＝364 B． C． D． 【分析】设有x个和尚，根据“3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗”，即可得出关于x的一元一次方程． 【解答】解：依题意得：＝364． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 9．（3分）数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简|a+b|﹣|c﹣b|的结果（　　） A．a+c B．c﹣a C．﹣c﹣a D．a+2b﹣c 【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：b＜a＜0＜c， ∴a+b＜0，c﹣b＞0， 则原式＝﹣a﹣b﹣c+b＝﹣a﹣c， 故选：C． 【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10．（3分）如图所示，每个三角形中的三个数字之间存在某种规律，三角形间也存在着某种规律，请问在第n个三角形中，a﹣b﹣c的值是（　　） A．（﹣2）n﹣1﹣2 B．（﹣2）n+2 C．（﹣2）n﹣2 D．（﹣2）n+1 【分析】根据题意，观察所给三角形中的数字，发现数字的变化规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为左上角的数依次为﹣2，4，﹣8，16，…， 所以第n个三角形中左上角的数字可表示为（﹣2）n； 观察右上角的数可知， 同一个三角形中右上角的数比左上角的数大2， 所以第n个三角形中右上角的数字可表示为（﹣2）n+2； 因为下方的数字依次为﹣1，2，﹣4，8，…， 所以第n个三角形中下方的数字可表示为﹣（﹣2）n﹣1， 所以a﹣b﹣c＝（﹣2）n﹣（﹣2）n﹣2+（﹣2）n﹣1＝（﹣2）n﹣1﹣2． 故选：A． 【点评】本题主要考查了数字变化的规律，能发现三角形中数字的变化规律是解题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．（3分）写出一个绝对值小于1的数　0.5（答案不唯一）　．（写出一个即可） 【分析】根据绝对值的性质作答． 【解答】解：∵﹣1的绝对值为1，1的绝对值为1， ∴﹣1到1的数的绝对值都小于1． 故答案为：0.5（答案不唯一）． 【点评】本题考查了绝对值的性质，且是开放性试题，较简单． 12．（3分）将方程x﹣2y＝6变形为用含x的代数式表示y的形式是y＝　　． 【分析】把x看作已知数求出y即可． 【解答】解：方程x﹣2y＝6， 2y＝x﹣6， 解得：y＝， 故答案为：． 【点评】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13．（3分）已知一个角等于62°15′，则它的补角等于　117°45′　． 【分析】根据补角的定义“若两个角的和等于180°，则这两个角互补”进行计算即可． 【解答】解：它的补角等于：180°﹣62°15′＝117°45′， 故答案为：117°45′． 【点评】本题考查求一个角的补角，熟练掌握该知识点是关键． 14．（3分）手机移动支付给生活带来便捷，如图是小明的爸爸在2024年国庆节期间某天的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小明的爸爸当天微信收支的最终结果是 　收入4元　． 【分析】列出算式+50.00+（﹣28.00）+（﹣18.00），计算即可求解． 【解答】解：+50.00+（﹣28.00）+（﹣18.00） ＝50.00﹣28.00﹣18.00 ＝4.00（元）， 故答案为：收入4元． 【点评】本题考查正负数的应用，有理数加法的应用，熟练掌握有理数加法运算法则是解题的关键． 15．（3分）已知点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示的数分别为﹣3，1，若BC＝2，则AC＝　6或2　． 【分析】分点C在点B的右侧和点C在点B的左侧两种情况计算． 【解答】解：∵B表示的数1，BC＝2， ∴1+2＝3，1﹣2＝﹣1， ∴点C表示的数为3或﹣1， ∵A表示的数为﹣3， ∴AC＝3﹣（﹣3）＝6或AC＝﹣1﹣（﹣3）＝2． 故答案为：6或2． 【点评】本题考查了数轴的知识，灵活运用分情况讨论思想，掌握在数轴上表示两点之间的距离是解题的关键． 16．（3分）如图，现有5张写着不同数字的卡片，请你从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的积最小，则积最小是 　﹣48　． 【分析】根据题意选出3张卡片，使它们的积最小即可． 【解答】解：由题意可得选出3张卡片，使它们的积最小， 那么积一定为负数， 则这3张卡片上的数都为负数或一个负数，两个正数， 即（﹣6）×（﹣5）×（﹣1）＝﹣30或﹣6×2×4＝﹣48或﹣5×2×4＝﹣40或﹣1×2×4＝﹣8， 那么积最小是﹣48， 故答案为：﹣48． 【点评】本题考查有理数的乘法，根据题意得出这3张卡片上的数都为负数或一个负数，两个正数是解题的关键． 17．（3分）若关于m，n的二元一次方程组的解是，那么关于x，y的二元一次方程组的解是　　． 【分析】根据方程组的解是可求出a与b的值，然后将a、b的值代入二元一次方程组即可求出x与y 的值 【解答】解：方法一： ∵的解是， ∴， 解得： 把代入， ∴化简可得： 解得：， 故答案为： 方法二： ∵二元一次方程组的解是， ∴关于x，y的二元一次方程组中， 解得， 故答案为： 【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用方程组的解法，本题属于基础题型． 18．（3分）李文跟朋友说：“你随便想一个数，按我说的计算，我都知道计算结果．”王婷说：“别吹牛，我来试试！”于是李文说：“你想好一个数了吗？开始！把你想的数加6，再把和乘以3，再用你得到的积减去你想的数的3倍，最后用你得到的差除以2．你计算完了吗？”请你也算一算，这个计算结果是 　9　． 【分析】设王婷想的数为x，根据题意列出算式计算即可． 【解答】解：设王婷想的数为x， 根据题意有：[（x+6）×3﹣3x]÷2 ＝[3x+18﹣3x]÷2 ＝18÷2 ＝9． 故答案为：9． 【点评】本题主要考查列代数式和整式的化简，正确理解题意列出代数式是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（6分）计算：﹣12024﹣8÷（﹣2）+4×|﹣5|． 【分析】先算乘方及绝对值，再算乘除，最后算加减即可． 【解答】解：原式＝﹣1+4+4×5 ＝﹣1+4+20 ＝23． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 20．（6分）解方程：． 【分析】通过去分母、去括号、移项、合并同类项即可求解． 【解答】解：， 2（x﹣1）﹣（x﹣1）＝6， 2x﹣2﹣x+1＝6， 2x﹣x＝6+2﹣1， x＝7． 【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 21．（8分）先化简，再求值：3（a2﹣4a）﹣（2a2+a﹣1），其中a＝﹣2． 【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【解答】解：3（a2﹣4a）﹣（2a2+a﹣1） ＝3a2﹣12a﹣2a2﹣a+1 ＝a2﹣13a+1， 当a＝﹣2时， 原式＝22﹣13×（﹣2）+1＝4+26+1＝31． 【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，掌握整式的加减﹣化简求值的方法是关键． 22．（8分）某中学新建了一个音乐喷泉（图1），如图2，喷泉的水从出水管喷出形成漂亮的水柱，当出水量达到最大时，喷泉会响起优美的音乐，此时水柱的高度比出水管的高度的2倍还高10cm，设出水管的高度为x cm． （1）直接用含x的代数式表示水柱的高度为 　（2x+10）　cm． （2）当喷泉响起优美的音乐时，出水管和水柱的总高度为130cm，求出水管的高度． 【分析】（1）根据水柱高度与出水管高度的关系即可解决问题． （2）根据题意，建立方程即可解决问题． 【解答】解：（1）因为水柱的高度比出水管的高度的2倍还高10cm，且出水管的高度为x cm， 所以水柱的高度可表示为：（2x+10）cm． 故答案为：（2x+10）． （2）由题知， x+（2x+10）＝130， 解得x＝40， 答：出水管的高度为40cm． 【点评】本题考查列代数式，熟知题中各个量之间的关系是解题的关键． 23．（9分）如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°． （1）若∠AOC＝50°，求∠BOD的度数； （2）试判断∠BOE和∠COE有怎样的数量关系，说说你的理由． 【分析】（1）根据角平分线的定义，邻补角的定义，可得答案； （2）利用等角的余角相等证明． 【解答】解：（1）由角平分线的定义，得， ∠AOD＝∠COD＝∠AOC＝×50°＝25°． 由邻补角的定义，得， ∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣25°＝155°； （2）∠BOE＝∠COE，理由如下： ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD＝∠COD， ∵∠DOE＝90°， ∴∠COD+∠COE＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°， ∴∠BOE＝∠COE． 【点评】本题考查了角的计算，利用角的和差是解题关键． 24．（9分）【教材呈现】以下是湘教版七年级上册数学教材126页的部分内容． 例1已知a+b＝5，求（a+b）2﹣4（a+b）的值． 分析：将a+b看作一个整体，则问题就可迎刃而解了． 解：（a+b）2﹣4（a+b）＝52﹣4×5＝5． “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在数与式、方程与不等式等方面都有广泛的应用． 【解决问题】（1）已知（x﹣y）2＝5，求2（x﹣y）2﹣5（x﹣y）2+（x﹣y）2的值； （2）已知a2﹣2b＝4，求3a2﹣6b﹣21的值； （3）当x＝1时，代数式mx2+nx+1的值是2025，当x＝﹣1时，求代数式﹣mx2+nx+1的值． 【分析】（1）将（x﹣y）2看作一个整体，再合并同类项，代入求值． （2）将a2﹣2b看作一个整体，将所求的代数式3a2﹣6b﹣21变形为3（a2﹣2b）+21． （3）将x＝1代入代数式中，求出m+n的值，将m+n看作一个整体，代入要求的式子中． 【解答】解：（1）因为2（x﹣y）2﹣5（x﹣y）2+（x﹣y）2＝（2﹣5+1）（x﹣y）2＝﹣2（x﹣y）2，（x﹣y）2＝5， 所以原式＝﹣2×5＝﹣10． （2）因为3a2﹣6b﹣21＝3（a2﹣2b）﹣21，a2﹣2b＝4， 所以原式＝3×4﹣21＝﹣9． （3）当x＝1时，mx2+nx+1＝m+n+1， 所以m+n+1＝2025， 所以m+n＝2024． 当x＝﹣1时，﹣mx2+nx+1＝﹣m﹣n+1＝﹣（m+n）+1＝﹣2024+1＝﹣2023． 【点评】本题主要考查了在代数式求值中的整体思想的运用，善于将代数式变形成可以用整体代入的形式是解题的思想． 25．（10分）根据如下素材，探索完成任务． 背景 数学兴趣小组对某奶茶店中A、B两种款式的奶茶进行研究． 素材1 买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元． 素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． 解决问题 任务1 求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？ 任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的，B款加料的奶茶3杯．则一共买了多少杯奶茶？ 【分析】（任务1）设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据“买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （任务2）设在不加料的情况下，购买a杯A款奶茶，b杯B款奶茶，利用总价＝单价×数量，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出共有3种购买方案； （任务3）设购买A款不加料的奶茶m杯，A款加料和B款不加料的奶茶共n杯，则购买B款加料的奶茶（3m﹣m﹣n）杯，利用总价＝单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n，（3m﹣m﹣n）均为正整数，即可得出m，n的值，再将其代入3m中，即可求出结论． 【解答】解：（任务1）设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元； （任务2）设在不加料的情况下，购买a杯A款奶茶，b杯B款奶茶， 根据题意得：10a+12b＝220， ∴a＝22﹣b， 又∵a，b均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案； （任务3）∵10+2＝12（元）， ∴A款加料的奶茶的单价与B款不加料的奶茶的单价相同． 设购买A款不加料的奶茶m杯，A款加料和B款不加料的奶茶共n杯，则购买B款加料的奶茶（3m﹣m﹣n）杯， 根据题意得：10m+12n+（12+2）（3m﹣m﹣n）＝380， ∴m＝10+n， 又∵m，n，（3m﹣m﹣n）均为正整数， ∴， ∴3m＝3×11＝33（杯）． 答：一共买了33杯奶茶． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（二元一次方程）是解题的关键． 26．（10分）定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． （1）如图1，点M是线段AB的一个三等分点，满足BM＝2AM，若AB＝9cm，则AM＝ 　3　cm； （2）如图2，已知AB＝9cm，点C从点A出发，点D从点B出发，两点同时出发，都以每秒cm的速度沿射线AB方向运动t秒． ①当t为何值时，点C是线段AD的三等分点； ②在点C，点D开始出发的同时，点E也从点B出发，以某一速度沿射线BA方向运动，在运动过程中，当点C是线段AE的三等分点时，点E也是线段AD的三等分点，请直接写此时出线段EB的长度． 【分析】（1）根据BM＝2AM，AB＝AM+BM，进行计算即可； （2）①分CD＝2AC和AC＝2CD两种情况进行计算即可；②点C，点E分别是AE，AD的三等分点，可以分四种情况讨论求解即可． 【解答】解：（1）∵BM＝2AM，AB＝AM+BM， ∴3AM＝9， ∴AM＝3cm； （2）①由题意，得：，， AD＝（9+t）cm，AC＝t cm， 当CD＝2AC时，则：3AC＝AD， ∴ ∴； 当AC＝2DC时，则：3AC＝2AD， ∴， ∴t＝27； 综上：或t＝27； ②设点E的速度为每秒x cm，由题意可得：BE＝x cm，则AE＝（9﹣x）cm，， 由题意可得：可以分四种情况讨论： 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：（舍去）； 综上：BE的长为或或． 【点评】本题考查线段的和与差，线段的数量关系，找准线段之间的数量关系，和差关系，是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$