第19章矩形、菱形与正方形单元测试A卷2024—2025学年华东师大版数学八年级下学期

第19章矩形、菱形与正方形单元测试A卷 华东师大版2024—2025学年八年级下册 总分：120分 时间：90分钟 姓名：________ 班级：_____________成绩：___________ 一．单项选择题（每小题5分，满分40分） 题号 1 3 4 5 6 7 8 答案 1．下列说法正确的是（　　） A．平行四边形对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的四个角都相等 D．正方形的对角线互相平分 2．如图，已知菱形ABCD的周长为8，∠A＝60°，则对角线BD的长是（　　） A．1 B． C．2 D．2 3．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　） A．∠ABD＝∠CBD B．∠ABC＝90° C．AC⊥BD D．AB＝BC 5．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG的值为（　　） A． B． C． D． 第5题图 第4题图 第2题图 6．如图，边长为4cm的正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形EFGO的一个顶点，则两个正方形重叠部分的面积是（　　）cm2． A．8 B．4 C．6 D．2 7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．2.4 8．已知：如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论： ①△OEF是等腰直角三角形；②△OEF面积的最小值是； ③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是；④四边形OECF的面积是1． 所有符合题意结论的序号是（　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 第8题图 第6题图 第7题图 二、填空题 9．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的周长是　 　厘米． 10．如图：在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是　 　． 11．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE，CE，若∠BCE＝70°，则∠EAD＝　 　． 12．如图，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝　 　． 第11题图 第12题图 第10题图 三、解答题 13．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE∥BD，BE∥AC． （1）求证：四边形AEBO是菱形； （2）若AB＝2，OB＝3，求AD的长及四边形AEBO的面积． 14．如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB＝AF，连接BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若平行四边形ABCD的周长为24，CE＝2，∠BAD＝120°，求AE的长． 15．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF． （1）求证：四边形BCEF是矩形； （2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长． 16．如图，直线经过矩形ABCD的对角线BD的中点O，分别与矩形的两边相交于点E、F． （1）求证：OE＝OF； （2）若EF⊥BD，则四边形BEDF是 　 　形，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若AD＝8，BD＝10，求△BDE的面积． 17．在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，连接DF，点E为DF中点．连接BE、CE、AE． （1）求证：∠DAE＝∠ADE； （2）求证：△AEB≌△DEC； （3）当EB＝BC时，求∠AFD的度数． 18．如图①正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，连接DE，BE． （1）求证：DE＝BE； （2）当AE＝AB时，求∠BED的度数； （3）如图②，过点E作EF⊥DE交AB于点F，当BE＝BF时，若AB．求AF的长． 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C C B C B A D 1．【解答】解：A、平行四边形对角线互相平分，错误； B、矩形的对角线相等，错误； C、菱形的四条边都相等，错误； D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，正确； 故选：D． 2．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， 又∵∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB， 故选：C． 3．【解答】解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故A不符合题意； 根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形， 故B不符合题意； 一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形， 故C符合题意； 根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故D不符合题意； 故选：C． 4．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠BDC＝∠CBD， ∴BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误，不符合题意； B、∵∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确，符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当AC⊥BD时四边形ABCD是菱形，故本选项错误，不符合题意； D、根据AB＝BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误，不符合题意，不符合题意； 故选：B． 5．【解答】解：作CH⊥BD于点H，连接OE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OC＝OAAC，OB＝ODBD， ∴OC＝OB， ∵∠BCD＝90°，CD＝AB＝5，BC＝AD＝12， ∴BD13， ∴OC＝OB13， ∵BD•CHBC•CD＝S△BCD， ∴13CH12×5， 解得CH， ∵EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，S△COE+S△BOE＝S△BOC， ∴OC•EFOB•EGOB•CH， ∴EFEG， ∴EF+EG， 故选：C． 6．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB，∠OBM＝∠OAH＝45°，∠AOB＝∠BOC＝90°， ∴∠AOH＝∠BOM， 在△AOH与△BOM中， ， ∴△AOH≌△BOM（ASA）， ∴S△AOH＝S△BOM， ∴四边形OHBM的面积等于△AOB的面积，即两个正方形重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的， ∴两个正方形重叠部分的面积是， 故选：B． 7．【解答】解：连接AP，如图所示： ∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC5， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴四边形AFPE是矩形， ∴EF＝AP． ∵M是EF的中点， ∴PMAP， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短， ∴当AP⊥BC时，AP2.4， ∴AP最短时，AP＝2.4， ∴当PM最短时，PMAP＝1.2． 故选：A． 8．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O， ∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°， 在△OBE和△OCF中， ， ∴△OBE≌△OCF（SAS）， ∴OE＝OF， ∵∠BOE＝∠COF， ∴∠EOF＝∠BOC＝90°， ∴△OEF是等腰直角三角形； 故①正确； ②∵当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OFBC＝1， ∴△OEF面积的最小值是1×1， 故②正确； ③∵BE＝CF， ∴CE+CF＝CE+BE＝BC＝2， 假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2， 则EF， 由①得△OEF是等腰直角三角形， ∴OE． ∵OB，OE的最小值是1， ∴存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2． 故③正确； ④由①知：△OBE≌△OCF， ∴S四边形OECF＝S△COE+S△OCF＝S△COE+S△OBE＝S△OBCS正方形ABCD2×2＝1， 故④正确； 故选：D． 二、填空题 9．【解答】解：如图所示： ∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，AC＝6cm，S菱形ABCD＝24cm2， ∴BD＝8cm，AO＝3cm，BO＝4cm， 在Rt△ABO中，AB2＝AO2+BO2， 即有AB2＝32+42， 解得：AB＝5cm， ∴菱形的周长＝4×5＝20cm． 故答案为：20． 10．【解答】解：如图，连接CE， 设DE＝x，则AE＝8﹣x， ∵OE⊥AC，且点O是AC的中点， ∴OE是AC的垂直平分线， ∴CE＝AE＝8﹣x， 在Rt△CDE中， x2+42＝（8﹣x）2 解得x＝3， ∴DE的长是3． 故答案为：3． 11．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADE＝∠CDE＝∠EBC＝45°，AD＝CD， ∵DE＝DE， ∴△AED≌△CED（SAS）， ∴∠EAD＝∠ECD， 又∵∠BCE＝70°， 方法1：∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BCE＝20°． 方法2：∴∠BEC＝65°， ∵∠BEC＝∠CDE+∠ECD， 即65°＝45°+∠ECD， ∴∠ECD＝20°， ∴∠EAD＝20°． 故答案为：20°． 12．【解答】解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a，较短的长度为b，即图中的AE＝a，AH＝b， 则，，， ∵S1+S2+S3＝40， ∴（a+b）2+a2+b2+（a﹣b）2＝40， a2+b2+2ab+a2+b2+a2+b2﹣2ab＝40， 3a2+3b2＝40， ， ∴． 故答案是：． 三、解答题 13．【解答】（1）证明：∵AE∥BD，BE∥AC， ∴四边形AEBO是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∴四边形AEBO是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD， ∴OA＝OB＝OC＝DO， ∵OB＝3， ∴BD＝6， 由勾股定理得：AD4， ∵BO＝DO， ∴S△AOB＝S△AODS△BADAD×AB42＝2， ∵四边形AEBO是菱形， ∴AE＝AO＝BO＝BE＝3， ∴△AEB≌△BOA（SSS）， ∴△AEB的面积＝△AOB的面积＝2， ∴四边形AEBO的面积是22＝4． 14．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AFB＝∠EBF，∠FAE＝∠BEA， ∵O为BF的中点， ∴BO＝FO， 在△AOF和△EOB中， ， ∴△AOF≌△EOB（AAS）， ∴BE＝FA， ∴四边形ABEF是平行四边形， 又AB＝AF， ∴平行四边形ABEF是菱形； （2）解：∵AD＝BC，AF＝BE， ∴DF＝CE＝2， ∵平行四边形ABCD的周长为24， ∴菱形ABEF的周长为：24﹣4＝20， ∴AB＝20÷4＝5， ∵∠BAD＝120°， ∴， 又 AB＝BE， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE＝AB＝5． 15．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵EF＝DA， ∴EF＝BC，EF∥BC， ∴四边形BCEF是平行四边形， 又∵CE⊥AD， ∴∠CEF＝90°， ∴平行四边形BCEF是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝3， ∵CF＝4，DF＝5， ∴CD2+CF2＝DF2， ∴△CDF是直角三角形，∠DCF＝90°， ∴△CDF的面积DF×CECF×CD， ∴CE， 由（1）得：EF＝BC，四边形BCEF是矩形， ∴∠FBC＝90°，BF＝CE， ∴BC， ∴EF． 16．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EDO＝∠FBO， ∵点O是BD的中点， ∴BO＝DO， 在△BOF与△DOE中， ， ∴△BOF≌△DOE（ASA）， ∴OE＝OF； （2）四边形BEDF是菱形，理由： ∵OE＝OF，OB＝OD， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴平行四边形BEDF是菱形； 故答案为：菱； （3）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∵AD＝8，BD＝10， ∴， 设BE＝DE＝x，则AE＝8﹣x， ∵AB2+AE2＝BE2， ∴62+（8﹣x）2＝x2， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴△BDE的面积． 17．【解答】（1）证明：∵ABCD为正方形， ∴∠BAD＝90°， ∵点E为DF中点， ∴AE＝EF＝DEDF， ∴∠EAD＝∠EDA； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°， ∵∠EAD＝∠EDA， ∵∠BAE＝∠BAD﹣∠EAD，∠CDE＝∠ADC﹣∠EDA， ∴∠BAE＝∠CDE， 在△AEB和△DEC中， ， ∴△AEB≌△DEC（SAS）； （3）解：∵△AEB≌△DEC， ∴EB＝EC， ∵EB＝BC， ∴EB＝BC＝EC， ∴△BCE是等边三角形， ∴∠EBC＝60°， ∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°， ∵EB＝BC＝AB， ∴∠BAE（180°﹣30°）＝75°， 又∵AE＝EF， ∴∠AFD＝∠BAE＝75°． 18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAE＝∠BAE， ∵AE＝AE， ∴△DAE≌△BAE（SAS）， ∴DE＝BE； （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC＝∠DAC＝45°， 由（1）知：△DAE≌△BAE， ∴∠AED＝∠AEB（180°﹣45°）135°， ∴∠BED＝2∠AEB＝135°； （3）如图②，过E作EM⊥BF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝CB，∠DCE＝∠BCE， ∵CE＝CE， ∴△DCE≌△BCE（SAS）， ∴∠CDE＝∠CBE， ∵∠ADC＝∠ABC＝90°， ∴∠ADE＝∠ABE， ∵DE⊥EF， ∴∠DEF＝90°， 在四边形ADEF中，∠DAF＝90°， ∴∠ADE+∠AFE＝180°， ∵∠AFE+∠BFE＝180°， ∴∠BFE＝∠EBF， ∴BE＝EF， ∵BE＝BF， ∴△BEF是等边三角形， ∴∠EBF＝60°， 设BM＝x，则MF＝BM＝x，EMx， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAE∠BAD＝45°， ∴AM＝EMx， ∵AM+BM＝AB， ∴xx， 解得，x， ∴BF＝2x＝2， ∴AF＝AB﹣BF2． 学科网（北京）股份有限公司 $$