1.1.1同底数幂的乘法(教学设计）-2024-2025学年北师大版（2024）七年级数学下学期

1.1.1同底数幂的乘法 一、教材分析 本节课是北师大版七年级数学下册第一单元第一节幂的乘除第一课时。它是学生在七年级上册中学习了有理数的乘方和整式的加减运算的基础上要学习的内容。它是对幂的含义的理解、运用和深化，也是后续学习因式分解和分式运算的基础。整式的乘法可以分为单项式乘以单项式、单项式乘以多项式和多项式乘以多项式。后面两类运算最终都将转化为单项式乘以单项式。而在单项式乘以单项式的运算中经常会出现三类幂的乘法运算。其中，同底数幂的乘法是学习幂的乘方和积的乘方的基础，是整式的乘法的逻辑起点，作为单元起始课，承同底数幂的乘法的学习承载着单元知识、学习方法以及研究路径的引领作用。 二、学情分析 学生已经掌握了有理数的基本运算,学习了有理数的乘方、整式和和整式的加减运算并有用字母表示数的思想，为完成本节课的教学任务奠定了知识基础。在学习整式的概念与整式的加减运算的过程中初步感受到了数式通性，但用字母表示幂以及幂的运算，尚属首次，幂的运算抽象程度较高，而且运算结果反映在指数上，较难理解。八年级学生初步具备了分析问题、探究问题的能力，对数学学习热情较高，这些都为这节课的学习奠定了基础。 三、核心素养目标 1.经历整式乘法的建构过程，理解知识的整体性，感受学习同底数幂的乘法的必要性，理解同底数幂乘法的概念，感受知识的内在联系。（数学抽象、逻辑推理） 2.通过推导同底数幂的乘法法则，在计算、观察、归纳和概括的活动中，理解同底数幂的乘法的算理，会用文字和符号语言表述同底数幂的乘法的运算性质。体会从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊的研究问题的方法，发展抽象能力和推理能力。（数学建模、数学运算） 3.完成不同梯度的两组练习题，灵活运用同底数幂的乘法法则进行计算，进一步体会转化思想，提升运算能力。（直观想象、数据分析） 教学重难点： 在单元起始课中整体建构整式乘法的学习内容，由“单项式乘多项式”“多项式乘多项式”都化归为单项式乘积之和”，理解整式的乘法的研究起点是单项式乘单项式，因为单项式是数与幂的乘积，根据乘法的交换律、结合律，单项式乘单项式实质上是数与数、幂与幂的乘法运算，引导发现同底数幂的乘法是学习整式乘法的逻辑起点。从数学学习的内部需要的角度了解学习的必要性。同时，让学生感受到知识之间的来龙去脉以及内在联系，构建整体的研究思路，然后再按照知识的逻辑顺序展开学习（本课重难点）。从具体的例子出发，在观察、发现、归纳和一般化的过程中，经历法则形成的全过程，从中感受从特殊到一般的研究问题的方法，发展学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。这种研究方法也将运用于后续两个幂的乘法运算，乃至更多代数运算的学习中。 四、评价任务 1.评价目标 目标1达成评价：积极参与整式乘法的建构活动，感受到学习的必要性，会用判断一个算式是否属于同底数幂相乘。 目标2达成评价：能根据乘方的意义和运算律解释同底数幂的乘法法则；在探索同底数幂乘法性质的过程中，能用文字语言概括，能用符号语言规范、简洁地表述，感悟到从特殊到一般的思想。 目标3达成评价：能运用法则解决底数是单项式或多项式的两个同底数幂相乘，会用转化的方法计算底数互为相反数的幂的乘法。 2.评价量规 随堂提问、练习反馈、作业反馈。 3.评价策略 坚持“及时评价与激励评价相结合，定量化评价与定性化评价相统一”的原则，最大限度地做到面向全体学生，充分关注学生的个性差异，将学生自评、生生互评和教师激励式点评有机结合。在整体建构的环节注重启发学生回顾知识，建立新旧知识的联系；在探究法的过程中，注重评价学生的参与；在计算两组习题时，既有学生的自评，又有师生、生生之间的互评，力求在评价中帮助学生认识自我、建立自信，使其逐步养成独立思考、自主探索、合作交流的学习习惯。 五、学习活动 学习任务 学生活动 教师组织 活动意图 活动1：我们已经学过整式的加减，你认为接下来研究整式的什么运算？ 活动2：寻找整式乘法的逻辑起点。怎样进行单项式乘多项式和多项式乘多项式？ 1.类比有理数的学习路径得出整式乘法的研究的内容。 2.通过尝试计算： （a+ab） 明确单项式乘多项 式和多项式乘多项 式都化归为单项式 乘积之和。 设计3个追问引导学生理 解为什么学： 追问1：整式包含哪些类型？你认为整式的乘法会有几种情况？ 追问2：根据数式通性，你认为可以如何进行单项式乘多项式和多项式乘多项式？ 追问3：由“单项式乘多项式”“多项式乘多项式”都化归为单项式乘积之和”，你认为我们应从哪里入手 研究整式的乘法？ 1.整体建构整式乘法的学习 内容： 2.理解整式的乘法的研究起 点 活动3： 你认为 (2a16b100)×(3a50b200) 该怎么算？ 思考单项式乘以单 项式运算的的关键 点 教师引导：单项式是数与幂的乘积，根据乘法的交换律、结合律，单项式乘单项式实质上是数与数、 幂与幂的乘法运算，数与数是我们熟悉的，如何进行幂与幂的乘法呢？ 理解同底数幂的乘法是学习整式乘法的逻辑起点。 活动4： 北京时间2016年6月20日，在法兰克福世界超算大会（ISC）上，国家“神威·太湖之光”超级计算机系统登顶榜单之首，成为世界上首台每秒运算速度超过十亿亿() 次的超级计算机.它 工作,秒可进行多少次运算？ 活动5： 计算 （1）a3.a2=___ （2） =___(m、n都是正整数) 活动6： 猜想： am.an=_____。 （m、n为正整数） 并验证你的猜想。 1.先列出算式 再进行尝试计算 2.类比计算 的方法计 算（1）a3.a2=（2）=(m、n都是正整数) 3.比较算式的计算 结果和原式，底数和 指数的规律。猜想 4.证明猜想的正确性am.an=___，得 出同底数幂的乘法 的运算性质：同底数 幂相乘，底数不变， 指数相加。 1.引导学生尝试用乘方的意义进行计算，根据乘方的意义和乘法结合律得出结果，明确计算的算理. 教师总结根据乘方的意义，可以将幂的形式转化为积的形式，反之也可以将积的形式转化为幂的形式。 2.抽取一个小组交流分享得出 (1)=10m+n (2)a3.a2=a5， 引导学生观察、比较、归纳、抽象概括得出：底数不变，指数相加。 3.引导学生通过数学严谨的证明来证实猜想的正确性，得到法则。 1.通过实际问题得到 ，感受学习同底数幂乘法的必要性，为探索同底数幂的乘法的运算性质做好知识和方法的铺垫。 2.从底数和指数都是数字逐步抽象为字母，使学生在 计算过程中深化对算理的理解，为下一步抽象概括出法 则搭建桥梁。 3.利用乘方的义和乘法运算律，从幂的形式到积的 形式，再回归到幂的形式。构建了一条推导法则的思维 主线。从具体的例子出发，通过观察、发现、归纳和一般化，得到同底数幂的乘法法则，这是从特殊到一般的研究问题的方法。 活动7： 1.计算 x2.x6 a.a8 ym.y3m+1 (-2)×(-2)4×(-2)3 独立尝试运用同底数幂乘法法则计算 引导学生总结计算的方法和运用法则时需要注意的问题。 通过计算初步掌握同底数幂的乘法，总结明确：a=a1； 多个同底数幂相乘底数不变，指数相加；多个同底数幂相乘，法则仍然适用。 活动 8： 2.计算 (x-y)2.(x-y)3 10m.×1000 x2.(-x)3 变式： 计算 (x-y)2.(y-x)3 1.观察度数的特点 进行计算。 2.将底数互为相反 数的式子转化为同 底数再进行计算。 1.引导学生认识底数可以是单项式也可以是多项式。 2.引导学生注意观察底数的特点，要转化成同底数幂后再进行计算。 (1)小题体会整体思想； (2)(3)小题需要转化为同底数幂后再进行计算，变式题 目的是掌握底数互为相反数时转化为同底数幂乘法的方法，提升运算能力 活动 9：课堂小结 通过今天的学习，你有什么收获？ 回顾反思本节学习 的知识、思想方法。 引导学生整体回顾，建立知识结构，提炼研究同底数幂乘法的研究方法，引出可以类比研究幂的乘方 和积的乘方。 学生反思总结，教师提炼本节课用到的转化思想、整体 思想及特殊到一般研究问题的方法。 六、作业设计 必做题：P96 页练习题 选做题：如果 xm=2，xn=8，求 xm+n 的值. 预习作业：自主研究幂的的乘方和积的乘方 学科网（北京）股份有限公司 $$