精品解析：四川省渠县中学2025届高三下学期二模数学适应测试试题

2025年四川省达州市渠县中学高2022级高三二模适应测试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项: 1．答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法、除法运算法则可得，计算可得. 【详解】由可得，即， 所以，所以. 故选：B 2. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据韦恩图，可得阴影部分表示的集合为；分别求出集合，利用交并补运算即可求得结论. 【详解】由图可得阴影部分表示的集合为. 由可得，即， 由可得，即, 则， 故. 故选：C. 3. 圆和圆的公切线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】根据两圆的位置关系即可求解. 【详解】由题意，两圆的方程可化为和， 两圆的圆心距为5，半径分别为3和2，则圆心距等于等于两圆半径之和， 因此两圆外切，有3条公切线. 故选：C. 4. 已知为的一个内角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两角和正切公式求出的值，进而得出为钝角，再结合常数“1”的代换和齐次式弦化切即可计算求解. 【详解】由题意得，因此为钝角， 所以. 故选：D. 5. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，可得出，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值；利用数量积得出，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】设，则 ， 所以，，解得. ，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，的最小值为. 故选：A. 6. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ） A. 1.25 B. 1.75 C. 2.25 D. 2.55 【答案】C 【解析】 【分析】利用经验公式将数据代入构造方程组，再由对数运算法则可解得常数. 【详解】根据题意由可得， 两式相除可得，即可得， 两边同时取对数可得，即可得； 即. 故选：C 7. 已知双曲线的左、右两个焦点为，，若是双曲线左支上的一点，且，则此双曲线离心率的最大值是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据双曲线的定义以及性质可得，再利用离心率的式子即可求解． 【详解】作图，设， 则有 解得，因为是双曲线左支上的一点， 所以， 即，解得， 故选：． 8. 已知函数，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意构造函数，得到，表示出，再借助导数求出的最小值即可. 【详解】∵，， ∴， 令， ∴在上单调递增， ∴，即， ∴， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ∴， ∴的最小值为， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 存在，使得 C. 若为奇函数，则的最小值为 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简，利用正弦型函数的周期公式，最值性质与奇偶性可判断ABC，取特殊值作为反例判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为 ， 因此的最小正周期等于，故A正确； 对于B，因为，所以，故B不正确； 对于C，因为为奇函数， 所以，则， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，取，， 则， 但，故D不正确. 故选：AC. 10. 如图，在直三棱柱中，点，，分别是棱，，的中点，直线平面，直线与平面所成角为45°，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 五面体的体积为 D. 三棱柱的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，设出直三棱柱的高，建立空间直角坐标系并表达各点坐标，求出面的法向量，即可得出结论；B项，利用等体积法即可求出点到平面的距离；C项， 利用作差法即可求出五面体的体积；D项，求出外接球的位置和半径，即可得出三棱柱的外接球的表面积. 【详解】由题意， 在直三棱柱中，面，面， 面，面， 直线与平面所成角为45°， ∴，，，， 在中，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，，， 建立空间直角坐标系如下图所示，设直三棱柱高为， ， ， ∴ 在面中，设其一个法向量为， ，即，解得：， 当时，， ∴，解得：， 故A正确； B项，连接，，， 由几何知识得，，， ，， 在中，， 由勾股定理得，， 在中，同理可得，， 在中，过点作于点， 则是的中点，也是矩形对角线交点，连接， 在中，， 由勾股定理得，， 设点到平面的距离为， 点到平面的距离为， ∴， ， ， ， ∵， 解得：， 故B错误； C项，五面体的体积为：， 故C正确； D项，由几何知识得，，， ∴四边形为正方形，设正方形中心， 是的中点，也是矩形对角线的交点， 所以是的中点， 是的中点，所以, 因为平面，所以平面 所以点在过正方形中心，平面的垂线上， ∴点到正方形的四个顶点距离都相等，有， 在矩形中，由几何知识得，点到矩形的四个顶点距离都相等，有， 所以点为球心，点到各顶点的距离都等于球的半径， 即， ∴三棱柱的外接球的半径为， ∴三棱柱的外接球的表面积为：， 故D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量，等体积法，外接球的表面积，考查学生计算的能力，作图的能力，具有很强的综合性. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 在处切线斜率不小于2 B. 时，有3个零点且三个零点的积为1 C. 时，有两个极值点且两极值点的和不小于4 D. 曲线上总存在两点，，对任意使得曲线在、两点处的切线互相平行，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】求的导数，取，可判断A；令，可得函数极值以及单调性，判断C；从而判断出函数有3个零点，且若，则，从而判定B；由题意可得，，，且，化为，因此对都成立，利用导数研究其最值即可判断D. 【详解】对于A：函数，导数， 所以在处切线斜率为， 当时，，A错误； 对于C：由已知，， 由，即 ， 则成立，设方程两根为，，且， 所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 又，所以， 所以和时，，函数单调递减， 时，，函数单调递增， 所以为函数极小值点，为函数极大值点， 所以时，有两个极值点且两极值点的和不小于4，C正确； 对于B：先证， 令，则， ，令，得， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以在单调递增， 所以，即. 当时，， 令，因为，所以，当且仅当时取等号， 则，因为， ， 又因为，， 和时，函数单调递减；时，函数单调递增， 所以极小值，极大值. 所以存在唯一的时，使得， 即， 则， 因为，所以，又因为， 即时，，和为的三个零点，且积，B正确； 对于D：由题意可得，，，且， 即有， 化为，而， 所以，化为对都成立， 令，在单调递增， 所以，当且仅当取得等号，所以 ， 所以，即的取值范围是，D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：利用导数可得函数的极值以及单调性，从而判断出函数有3个零点，且若，发现，从而判定B. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用二倍角公式和诱导公式直接求解即可. 【详解】， . 故答案为：. 13. 若等比数列的前项和，则数列的前项和_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据，求出，进而可得的通项，再利用等差数列前n项和公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，，所以， 所以等比数列的公比为，所以，解得， 所以，记，则， 所以， 故答案为： 14. 椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，，，从而得，结合椭圆的定义及离心率公式求解即可. 【详解】解：由题意可知，，， 从而， 所以， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的面积． （1）求证：； （2）设为的中点，且，求的值． 【答案】（1） 记角，的对边分别为，，， 由题意可知， 由正弦定理得 因为， 所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及三角形面积公式边化角即可证明； （2）利用余弦定理解与得出，再利用正弦定理解计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，由余弦定理得，① 同理，在中，② ①-②得，． 在中，由正弦定理得，， 所以，即， 所以． 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数在上的极值. 【答案】（1） （2）极小值，无极大值 【解析】 【分析】（1）对求导，利用导数的几何意义，求出切线的斜率，再求出切点坐标，利用点斜式，即可求解； （2）对求导，得到，构造函数，利用导数与函数单调间的关系，得在区间上单调递增，从而可得时，，时，，再利用极值的定义，即可求解. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，，故所求切线方程为， 即. 【小问2详解】 当时，，所以， 令，则， 当时，，又，所以当时，， 当时，由，知，又， 所以当时，，即， 故知在区间上单调递增，即在区间上单调递增， 又，所以时，，单调递减；时，， 单调递增， 又因为，故在处取得极小值0，无极大值. 17. 如图，在斜三棱柱中，侧面底面，侧棱与底面成的角，，底面是边长为2的正三角形，其重心为，是线段上一点，且平面. （1）求的值； （2）求平面与底面所成的二面角的正切值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由面面平行得出，从而； （2）添加辅助线用三垂线定理构造二面角的平面角，解三角形解得即可. 【小问1详解】 如图，作交于点，连接，则， 因为平面，平面，故平面， 而平面，平面， 故平面平面， 而平面平面，平面平面， 所以，从而. 【小问2详解】 如图，延长交于点，由（1）可知为中点，从而，，三点共线， 过点作于点，则平面，且， .过点作于点，则为所求二面角的平面角. 由于，所以，所以， 即平面与底面所成的二面角的正切值为. 18. 如果数列满足：存在，，使得任意，都成立，则称数列是数列． （1）设，判断数列是否是数列，请说明理由； （2）证明：对任意，公差为2的等差数列都是数列； （3）若数列既是数列，又是数列，证明：数列是等差数列，并求出的值． 【答案】（1） 因为， 则， 所以数列是数列． （2） 因为是公差为2的等差数列， 则 ， 所以对任意，公差为2的等差数列都是数列． （3） 因为数列是数列， 则①， ②， ②-①得，， 所以③， 由①，③得，， 所以． 由①得，④， ④-①得，， 即， 所以， 所以，即， 在③中，分别令，得： ⑤， ⑥， ⑦， ⑧， 则⑥-⑤得，， ⑦-⑥得，， ⑧-⑦得，， 所以， 所以； 另一方面，由⑧-⑦得，， ⑦-⑥得，， ⑥-⑤得，， 所以， 所以数列是公差为2的等差数列． 由⑤得， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，即可得结果； （2）根据等差数列性质可得，即可得结果； （3）根据题意可得，，两式作差，进而可得，即可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：本题考查新定义背景下的与等差数列相关的数学问题，对于给定的数列是否满足新定义，只需按定义检验即可，对于若干子数列为等差数列，要证明整个数列为等差数列，需证明子数列的公差满足一定的条件且前若干项也满足一定的条件. 19. 设动点 到点的距离与到直线的距离之积等于4，动点 的轨迹为曲线 . （1）求曲线 与 轴的交点的坐标. （2）过点作不与坐标轴垂直的直线. （i）判断直线与曲线 的交点的个数，并证明你的结论； （ii）定义平面上 个点的重心为满足的点，若直线与曲线 的所有交点的重心到点的距离等于，求点的横坐标. （注：关于 的一元 次方程有 个复数根，且，.） 【答案】（1）与 （2）（i）交点个数为4，证明如下： 设直线的方程为， 由，消去得， 即， 记，则至多有4个不相等的实数根， 函数在R上的图象连续不断， 且，，， ，， 从而在，，，上各有一个实数根， 因此有4个不相等的实数根，所以直线与曲线 有4个不同的交点. （ii） 【解析】 【分析】（1）设点，列式求出曲线 的方程，进而求出该曲线与x轴交点坐标. （2）（i）设出直线的方程并与曲线 的方程联立，再构造函数，结合零点存在性定理推理判断即可；（ii）由（i）的信息求出重心的坐标表示式，再与已知结合求出其横坐标. 【小问1详解】 设，则，即， 令，得，解得或， 所以曲线 与 轴交于与三点. 【小问2详解】 （i）略 （ii）设直线与曲线 交于点，它们的重心为， 依题意，，则， ， 显然，而，则，即， 整理得，又，即， 因此， 即， 解得，所以点的横坐标为. 【点睛】思路点睛：本题第2问，求直线与曲线交点个数，消元构造函数，转化为零点存在性判断零点个数求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年四川省达州市渠县中学高2022级高三二模适应测试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项: 1．答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 圆和圆的公切线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 4. 已知为的一个内角，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 6. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ） A. 1.25 B. 1.75 C. 2.25 D. 2.55 7. 已知双曲线的左、右两个焦点为，，若是双曲线左支上的一点，且，则此双曲线离心率的最大值是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知函数，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 存在，使得 C. 若为奇函数，则的最小值为 D. 若，则 10. 如图，在直三棱柱中，点，，分别是棱，，的中点，直线平面，直线与平面所成角为45°，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 五面体的体积为 D. 三棱柱的外接球的表面积为 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 在处切线斜率不小于2 B. 时，有3个零点且三个零点的积为1 C. 时，有两个极值点且两极值点的和不小于4 D. 曲线上总存在两点，，对任意使得曲线在、两点处的切线互相平行，则的取值范围为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________. 13. 若等比数列的前项和，则数列的前项和_______________. 14. 椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的面积． （1）求证：； （2）设为的中点，且，求的值． 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数在上的极值. 17. 如图，在斜三棱柱中，侧面底面，侧棱与底面成的角，，底面是边长为2的正三角形，其重心为，是线段上一点，且平面. （1）求的值； （2）求平面与底面所成的二面角的正切值. 18. 如果数列满足：存在，，使得任意，都成立，则称数列是数列． （1）设，判断数列是否是数列，请说明理由； （2）证明：对任意，公差为2的等差数列都是数列； （3）若数列既是数列，又是数列，证明：数列是等差数列，并求出的值． 19. 设动点 到点的距离与到直线的距离之积等于4，动点 的轨迹为曲线 . （1）求曲线 与 轴的交点的坐标. （2）过点作不与坐标轴垂直的直线. （i）判断直线与曲线 的交点的个数，并证明你的结论； （ii）定义平面上 个点的重心为满足的点，若直线与曲线 的所有交点的重心到点的距离等于，求点的横坐标. （注：关于 的一元 次方程有 个复数根，且，.） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $