精品解析：江西省赣州市瑞金市2024—2025学年上学期期末考试九年级数学试题

2024年冬九年级数学期末练习题 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A.不是中心对称图形，不符合题意； B.是中心对称图形，符合题意； C.不是中心对称图形，不符合题意； D.不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. “经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”这个事件是（ ） A. 确定性事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：“经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”这个事件是随机事件． 故选：B． 3. 如图，把四边形绕点O顺时针旋转得到四边形，则下列角中不等于旋转角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握对应边与旋转中心之间的夹角就是旋转角． 两对应边所组成的角都可以作为旋转角，结合图形即可得出答案． 【详解】解：A．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故A不符合题意； B．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故B不符合题意； C．旋转后的对应边为，故不可以作为旋转角，故C符合题意； D．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故D不符合题意； 故选C． 4. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、，解得：，故本选项符合题意； C、，，解得，故本选项不符合题意； D、，，解得，故本选项不符合题意． 故选：B． 5. 如图，密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，即（k为常数且），其图象如图所示．当时，气体的密度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，通过待定系数法求解，将V=10代入函数解析式求解． 【详解】解：∵密度与体积V是反比例函数关系为， 将代入，得， 解得， ∴， 将代入，得， ∴该气体的密度为． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 6. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标变换规律，即如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数． 根据原点对称的点的坐标变换规律，得到点关于原点对称的点的坐标为． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，故坐标为， 故答案为：． 7. 一元二次方程的两根之和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系知， 若方程的两根为，，则， 一元二次方程为， 两根之和为：， 故答案为：． 8. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是___________. 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点和代入，求得和，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故答案为：0． 9. 如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接OA，OB，证明△AOB是等边三角形，继而求得AB的长，然后利用弧长公式可以计算出的长度，再根据扇形围成圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长即可作答． 【详解】连接OA，OB， 则∠BAO=∠BAC==60°， 又∵OA=OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB=OA=1， ∵∠BAC=120°， ∴的长为：， 设圆锥底面圆的半径为r 故答案为． 【点睛】本题主要考查了弧长公式以及扇形弧长与底面圆周长相等的知识点，借助等量关系即可算出底面圆的半径． 10. 已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】将点代入函数解析式求解即可． 【详解】解：点在上， ∴， ， 解得：(舍去) 故答案为：2． 【点睛】题目主要考查二次函数图象上的点的特点，理解题意正确求解是解题关键． 11. 在正方形中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．若是等腰三角形，则______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定和性质等知识，正确分类、熟练掌握上述知识是解题的关键． 分三种情况：若；若，且时，若，且时；若；分别画出图形，结合正方形的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：若，如图，连接， 则点在的垂直平分线上， ∵四边形是正方形， ∴点也在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即； 若，且时，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即； 若，且时，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即； 若， 此时点重合， 不符合题意； 综上，是等腰三角形，则或或； 故答案为：或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 12. ①解方程：． ②如图，在正方形中，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，求的长． 【答案】①，② 【解析】 【分析】①利用因式分解法解方程即可； ②先由正方形的性质得出，，运用勾股定理列式，结合旋转性质得，，然后结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：， ， ， ，， ，； 四边形正方形， ，， 为的中点， ， ， 又绕点按逆时针方向旋转得到， ，， ． 【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正方形的性质以及勾股定理，旋转性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 13. 象湖里景区举行元旦游园活动，该活动需要小明去领取四个4个灯笼，灯笼上分别写有“欢”“度”“新”“年”（外观完全一样）． （1）小明从四个灯笼中任取一个，取到“欢”的概率是__________． （2）小明从四个灯笼中不放回地先后取出两个灯笼，请用列表或画树状图的方法求小明恰好取到“新”“年”两个灯笼的概率． 【答案】（1） （2）  【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法求概率、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中取到“欢”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）由树状图可得出所有等可能的结果数以及小明恰好取到“新”“年”两个灯笼的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中取到“欢”的结果有1种， ∴取到“欢”的概率为 ， 故答案为： ． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小明恰好取到“新”“年”两个灯笼的结果有：（新，年），（年，新），共2种， ∴小明恰好取到“新”“年”两个灯笼的概率为 ． 14. 如图，二次函数的图象与轴交于点（点在点左侧），点坐标为，对称轴为直线，顶点为，连接． （1）求点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1），； （2）8 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及抛物线与x轴交点，能根据点A坐标及抛物线的对称轴求出抛物线的函数解析式是解题的关键． （1）根据点A坐标和对称轴，可求出抛物线的函数解析式，进而可解决问题． （2）由，，得出，再结合以及面积公式列式计算，即可解决问题． 【小问1详解】 解：将A点坐标代入函数解析式得， ， 又因为抛物线的对称轴为直线， 所以②． 由①②解得， ，． ∴抛物线的解析式为． 令得，， 解得，． ∴B点坐标为． 将代入函数解析式得， ， ∴C点坐标为． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 又因为点C坐标为， ∴． 15. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式． （2）由已知条件求出点C，点B，点D的坐标，过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，利用两点之间的距离公式分别求出，，的值，最后根据即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4． ∴， ∴， ∴ 过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F， ∴，点E的纵坐标为， ∴， 把代入，得， ∴， ∴点， ∴， ∴ 16. 如图，已知是等边三角形，以为直径作，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图（1）中作的角平分线； （2）连接，在图（2）中作的角平分线． 【答案】（1） 解：如图，即为所作； ； （2） 解：如图，射线即为所作． ． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质． （1）设交于点，连接，如图，为的角平分线； （2）连接并延长交于点，连接交于点，作射线，利用三角形的角平分线相交于一点，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 17. 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，且，，都是整数，求的值． 【答案】（1） （2）的值为2 【解析】 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）根据判别式，即可解答； （2）根据（1）中得出的k的取值范围，得出整数的值为2、3，分别求出当时，当时，方程的解，即可解答． 【小问1详解】 解：方程有两个不相等的实数根， ， 即 解得，； 【小问2详解】 解：， ， 为整数， 整数的值为2、3， 当时，方程为， 解得，， 当时，此时方程解不为整数， 综上所述，的值为2． 18. 如图，是一个抛物线形拱桥，以拱顶O为坐标原点建立平面直角坐标系，当拱顶O离水面的高时，水面宽． （1）求该抛物线表示的二次函数解析式； （2）当水面下降到达时，求水面宽度增加多少？ 【答案】（1） （2）水面宽度增加 【解析】 【分析】（1）先求出，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出，进而求出，．得到，由此即可得到答案． 【小问1详解】 解：设该抛物线表示的二次函数解析式为， ∵， ∴抛物线经过点． ∴． ∴． ∴该抛物线表示的二次函数解析式为． 【小问2详解】 解：∵当水面下降到达时， ∴．即． ∴． ∴，． ∴． ∴水面宽度增加． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 19. 某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出件，每件盈利元．经调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元． （1）降价后，每件玩具的利润为_______元，平均每天的销售量为_______件；（用含x的式子表示） （2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利元，那么每件玩具应降价多少元？ 【答案】（1） （2）每件玩具应降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住数量关系正确列出方程是解题关键． （1）根据“玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件”结合玩具降价x元和原利润即可求解． （2）根据总利润等于每件利润乘以数量即可列出方程． 【小问1详解】 解：每件玩具降价x元， 每件玩具的利润为元，销量为件． 故答案为：；． 【小问2详解】 （2）依题意，得：， 整理，得：， 解得：． 为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存， ． 答：每件玩具应降价元． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 20. 如图，是的直径，点和点是上的两点，延长到点，连接，且 （1）求证：为的切线； （2）已知：， ①求的长； ②求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， 为的切线； （2）①，② 【解析】 【分析】（1）连接，由圆的基本性质得，结合等腰三角形的性质得，由直径所对的圆周角是直角得，即可求解； （2）①运用斜边上的中线等于斜边的一半，得，即可作答； ②由勾股定理得，由即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①， ， ， ， ， ②， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，切线的判定，等边三角形的判定与性质，求扇形中不规则图形的阴影部分面积；掌握切线的判定方法“连半径，证垂直”，能将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差是解题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点是． （1）有下列结论，其中正确的是__________．填写序号 ①抛物线的对称轴为直线； ②； ③； ④当时，随的增大而增大． （2）若抛物线的顶点在直线上． ①求抛物线的解析式： ②若直线分别与抛物线，抛物线相交，交点自左向右依次为，求的值 【答案】（1）①③ （2）①抛物线的解析式为 ②， 理由：设点的横坐标分别为， ，， ， ， 如图所示， 令，得，它对应的两个根应为：， ， 令，得，它对应的两个根应为 ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与一元二次方程的联系，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键， （1）根据二次函数的性质逐一判断即可； （2）①运用待定系数法求函数解析式即可；设点的横坐标分别为，则有，令，得，则有，，得，它对应的两个根应为，代入即可解题， 【小问1详解】 解：①抛物线的对称轴为直线，故①正确，符合题意； ②对称轴为直线，则，故②错误，不符合题意； ③把，代入得到，则，故③正确，符合题意； ④开口方向不确定，故增减性无法确定，故错误，不符合题意； 故答案为：①③； 【小问2详解】 解：①由题意知，，即， 当时，，， ，即，解得， ， 抛物线的解析式为， ② 略 六、（本大题共12分） 22. 在中，，，点是斜边上的动点（不与重合），点是直线上的动点（不与重合），连接，将绕点顺时针旋转至，连接． 【特例感知】 如图1，若点为的中点．点在的延长线上，求证： 【拓展延伸】 若点不是中点，点在边上 （1）如图2，三者之间还存在【特例感知】中的等量关系吗？若存在，请证明，若不存在，请说明理由． （2）如图3，作点关于的对称点，连接，已知，，请直接写出的值． 【答案】【特例感知】证明：如图，连接， ，，点为的中点， ，， 由勾股定理得，， 将绕点顺时针旋转至， ，， ， ， ， ； [拓展延伸] （1）解：不存在，理由如下， 如图，过点作，交的延长线于点， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得，， ，， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】[特例感知]证明(SAS)得出； [拓展延伸]（1）过点作，交的延长线于点，证明是等腰直角三角形，得出，，证明得出，则可得出结论； （2）过点作于点，则，由勾股定理及逆定理的推导，即可得出的长． 【详解】[特例感知]略 [拓展延伸] （1） 略 （2）解：如图，过点作于点，则， ， ， ， ， 由（2）知， ， ， ， 如上图，过点作交的延长线于， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理及逆定理，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年冬九年级数学期末练习题 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”这个事件是（ ） A. 确定性事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 3. 如图，把四边形绕点O顺时针旋转得到四边形，则下列角中不等于旋转角的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，即（k为常数且），其图象如图所示．当时，气体的密度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 6. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 7. 一元二次方程的两根之和为__________． 8. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是___________. 9. 如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为_________． 10. 已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则的值为________． 11. 在正方形中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．若是等腰三角形，则______． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 12. ①解方程：． ②如图，在正方形中，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，求的长． 13. 象湖里景区举行元旦游园活动，该活动需要小明去领取四个4个灯笼，灯笼上分别写有“欢”“度”“新”“年”（外观完全一样）． （1）小明从四个灯笼中任取一个，取到“欢”的概率是__________． （2）小明从四个灯笼中不放回地先后取出两个灯笼，请用列表或画树状图的方法求小明恰好取到“新”“年”两个灯笼的概率． 14. 如图，二次函数的图象与轴交于点（点在点左侧），点坐标为，对称轴为直线，顶点为，连接． （1）求点的坐标； （2）求的面积． 15. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 16. 如图，已知是等边三角形，以为直径作，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图（1）中作的角平分线； （2）连接，在图（2）中作的角平分线． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 17. 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，且，，都是整数，求的值． 18. 如图，是一个抛物线形拱桥，以拱顶O为坐标原点建立平面直角坐标系，当拱顶O离水面的高时，水面宽． （1）求该抛物线表示的二次函数解析式； （2）当水面下降到达时，求水面宽度增加多少？ 19. 某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出件，每件盈利元．经调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元． （1）降价后，每件玩具的利润为_______元，平均每天的销售量为_______件；（用含x的式子表示） （2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利元，那么每件玩具应降价多少元？ 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 20. 如图，是的直径，点和点是上的两点，延长到点，连接，且 （1）求证：为的切线； （2）已知：， ①求的长； ②求阴影部分的面积． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点是． （1）有下列结论，其中正确的是__________．填写序号 ①抛物线的对称轴为直线； ②； ③； ④当时，随的增大而增大． （2）若抛物线的顶点在直线上． ①求抛物线的解析式： ②若直线分别与抛物线，抛物线相交，交点自左向右依次为，求的值 六、（本大题共12分） 22. 在中，，，点是斜边上的动点（不与重合），点是直线上的动点（不与重合），连接，将绕点顺时针旋转至，连接． 【特例感知】 如图1，若点为的中点．点在的延长线上，求证： 【拓展延伸】 若点不是中点，点在边上 （1）如图2，三者之间还存在【特例感知】中的等量关系吗？若存在，请证明，若不存在，请说明理由． （2）如图3，作点关于的对称点，连接，已知，，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $