专题19.5 平面直角坐标系（综合压轴题分类专题）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（冀教版）

专题19.5 平面直角坐标系（综合压轴题分类专题） 第一部分【题型目录】 【一】综合篇 【考点1】建立平面直角坐标系求值......................................................1 【考点2】平面直角坐标系中由点的坐标求参数............................................2 【考点3】平面直角坐标系中几何图形综合................................................3 【考点4】平面直角坐标系中点的规律探究................................................3 【考点5】坐标与图形变换中的几何综合..................................................4 【考点6】坐标与图形变换中的点的规律探究..............................................5 【考点7】坐标与图形变换——轴对称....................................................5 【二】压轴篇 【考点8】坐标与图形——平移问题......................................................6 【考点9】坐标与图形——折叠问题......................................................7 【考点10】坐标与图形——旋转问题.....................................................8 【考点11】坐标与图形——最值问题....................................................10 【考点12】坐标与图形——动点问题....................................................11 【考点13】坐标与图形——存在性问题..................................................13 第二部分【题型展示与考点点拨】 【考点1】建立平面直角坐标系求值 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图是A，B，C，D四点所在位置． （1）若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点C的坐标为，则点B，D的坐标分别为 ， ； （2）若点B的坐标为，点D的坐标为，请在图中建立平面直角坐标系，并写出此时点A，C的坐标． 2．（24-25八年级上·北京·阶段练习）如图中的四边形，请建立恰当的平面直角坐标系，在平面直角坐标系中标出这个四边形各顶点的坐标，并计算它的面积．    3．（24-25九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知点． （1）点在第______象限，点在第______象限； （2）点到轴的距离为_______，到轴的距离为_______； （3）下列说法错误的是（    ） A．轴        B．轴        C．        D．轴 （4）三点在网格中的位置如图所示，请在网格中画出合适的平面直角坐标系，并写出点的坐标和的长度． 【考点2】平面直角坐标系中由点的坐标求参数 1．（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（    ） A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 2．（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）点满足，称点为幸福点，若点满足，则称点为师一点，若点既是幸福点又是师一点，则点的坐标为 ：若点既是幸福点又是师一点，且在第二象限内，则当整数a取最大值时，点的坐标为 ． 【考点3】平面直角坐标系中几何图形综合 1．（24-25八年级上·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A作轴于点B，连接，作关于直线的对称图形，得到，交x轴于点F，则点F的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，已知点在第二象限角平分线上，，两边与x轴，y轴分别交P于A点，B点，则的值为 ． 【考点4】平面直角坐标系中点的规律探究 ，，．按照此规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（20-21八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，4），点B（a，0）是x轴正半轴上的点，若△AOB内部（不包括边界）的整点个数为6，则 a的取值范围是 ． 【考点5】坐标与图形变换中的几何综合 1．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，，其中，如果，那么的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，则当 时，是等腰三角形． 【考点6】坐标与图形变换中的点的规律探究 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，三角形都是等边三角形，且点，坐标分别是，依据图形所反映的规律，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，小球起始时位于处，沿图中所示方向击球，小球在球桌上的运动轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来的方向击球，小球第1次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是 ． 【考点7】坐标与图形变换——轴对称 1．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）剪纸是中国最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图，这是一张蝴蝶剪纸，点A与点对称，点与点对称，将其放置在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，过点作轴的垂线为直线上一动点，连接，当的值最小时，的度数为 ． 【二】压轴篇 【考点8】坐标与图形——平移问题 1．（2023·河南商丘·一模）如图，平面直角坐标系中，，，将沿折叠，点O的对应点为点C，将沿x轴正方向平移得到，当经过点B时，点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·浙江台州·期末）在平面直角坐标系中，A（，4），B（，3），C（1，0），． （1）三角形ABC的面积为 ； （2）将线段AB沿AC方向平移得到线段DP，若P点恰好落在x轴上，则D点的坐标为 ． 3．（20-21八年级上·广东·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知、、，平移线段至线段，点在四边形内，满足，，则点的坐标为 ． 4．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，，过点作直线平行于轴． （1）如果线段与轴有公共点，求的取值范围； （2）若线段通过平移能够与线段重合，平移后点A、点C分别对应点B、点M．请分别求出的值； （3）若直线外一点到这条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“密接点”． ①点_____（填写“是”或“不是”）直线的“密接点”； ②将平移到，平移后点、点、点分别对应点、点、点，点F刚好落在直线上，点E落在轴上且纵坐标为，如果的面积为4，过点A作直线平行于轴，点B是否为直线的“密接点”，说明理由． 【考点9】坐标与图形——折叠问题 1．（22-23八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边分别在轴、轴上，，点在边上，将长方形沿折叠，若点的对应点恰好是边的三等分点，则点的坐标是 ． 2．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，轴于点，轴于点，点是轴正半轴上动点，连接，将折叠得到，点与点对应，折痕为． （1）填空：______，______，______． （2）如图，的边与分别与交于点，，． ①求证：； ②求的长． （3）连接，当是以为直角顶点的直角三角形时，直接写出点坐标． 【考点10】坐标与图形——旋转问题 1．（2025九年级下·全国·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形的顶点坐标分别为．y轴上一点绕点A旋转得点，点绕点B旋转得点，点绕点C旋转得点，点绕点D旋转得点，……重复操作依次得到点，，…则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，已知直线与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，且，点C为x轴的正半轴上一点，将线段绕点C按顺时针方向旋转得线段，连接，若，则 ． 2．（23-24九年级上·天津南开·期末）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形的顶点坐标为，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为．的延长线交轴于点，与轴交于点． （1）如图2，当时，求点的坐标； （2）如图3，在旋转过程中，连接，，交于点，与轴交于点，连接．设，的面积为． ①求的度数； ②求关于的函数表达式，并直接写出的取值范围； （3）在（2）的情况下，设，的面积为，．请直接写出关于的函数表达式（无需写出的取值范围）． 【考点11】坐标与图形——最值问题 1．（24-25九年级上·天津南开·期中）如图，平面直角坐标系中，点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（   ） A． B．8 C．5 D． 2．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴负半轴，轴正半轴分别交于点，，在轴上取点，点是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等边三角形，使得点落在第一象限，连接．若，则的最小值为（    ） A．6 B． C．8 D． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点在y轴上，点在轴正半轴上，已知点，以为直角边在左侧作等腰直角，，当点在x轴上运动时，连接，则的最小值为 ． 4．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，边长为2的等边三角形，点C在x轴上，轴．P为x轴上一点，Q为直线上一点，满足，则的最小值是 ． 【考点12】坐标与图形——动点问题 1．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，平面直角坐标系中， 射线 与 x 轴的夹角为 ，在 上取一点 A，点 B 是x 轴正半轴上一动点，连接，以为边在第一象限内作等边三角形，设，则点 C 的横坐标是 ．（用含 m 的式子表示） 2．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，直线与x轴，y轴分别交于点和，点P是直线上的一个动点，点P的横坐标为，以线段为边，点O为直角顶点在y轴右侧作等腰直角与x轴交于点C．在点P的运动过程中，当t的值 时，△OCP为等腰三角形． 3．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．点P到的距离定义如下：点Q为三边上的动点，当最小时，我们称此时的长度为点P到的距离，记为．已知矩形的四个顶点依次是，若点P在矩形的四条边上，则满足的点P有 个．    4．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，已知，且满足． （1）求出两点的坐标； （2）如图1，为轴上两动点，且始终满足，过点作的垂线交的延长线于点，连接，求证：； （3）如图2，点在轴的正半轴上，点关于轴的对称点为点，点分别是边和上的动点，且满足，连接的垂直平分线交轴于点，连接，试判断和之间的关系，并给出证明． 4．（24-25八年级上·河南开封·期中）如图，，，以A点为顶点、为腰在第三象限作等腰直角三角形． （1）点C的坐标为______． （2）如图②，，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为直角顶点，为腰向右作等腰直角三角形，过D作轴于E点，求的值． 【考点13】坐标与图形——存在性问题 1．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图①，在等腰直角中，，，在轴上，，点是轴上一动点，当从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴的正方向运动，点为轴上一点，连接、、，设运动时间为秒． （1）点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______）； （2）当秒时，的面积是11，求此时点的坐标； （3）如图②，当点运动到轴的正半轴时，是否存在以点、、为顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，等腰直角中，，，现将该三角形放置在平面直角坐标系中： （1）若点B坐标为，点C坐标为，求点A的坐标； （2）若点B坐标为，点C坐标为，连接，若P为坐标平面内异于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与全等，请求出满足条件的点P的坐标（用含m，n的式子表示）； （3）已知，，在x轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰三角形，直接写出点Q的坐标_____． 3．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在等腰直角三角形中，，，，点D为上一点，过点D作于点E，点P为x轴上一动点，点P关于的对称点为点Q，连接、、． （1）点B的坐标为 ； （2）若点P的坐标为，延长交于点F．当时，求点D的坐标； （3）若点M为y轴上一动点，是否存在以A、P、M为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19.5 平面直角坐标系（综合压轴题分类专题） 第一部分【题型目录】 【一】综合篇 【考点1】建立平面直角坐标系求值......................................................1 【考点2】平面直角坐标系中由点的坐标求参数............................................5 【考点3】平面直角坐标系中几何图形综合................................................7 【考点4】平面直角坐标系中点的规律探究................................................9 【考点5】坐标与图形变换中的几何综合.................................................11 【考点6】坐标与图形变换中的点的规律探究.............................................13 【考点7】坐标与图形变换——轴对称...................................................16 【二】压轴篇 【考点8】坐标与图形——平移问题.....................................................17 【考点9】坐标与图形——折叠问题.....................................................24 【考点10】坐标与图形——旋转问题....................................................29 【考点11】坐标与图形——最值问题....................................................35 【考点12】坐标与图形——动点问题....................................................42 【考点13】坐标与图形——存在性问题..................................................54 第二部分【题型展示与考点点拨】 【考点1】建立平面直角坐标系求值 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图是A，B，C，D四点所在位置． （1）若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点C的坐标为，则点B，D的坐标分别为 ， ； （2）若点B的坐标为，点D的坐标为，请在图中建立平面直角坐标系，并写出此时点A，C的坐标． 【答案】（1）；（2）图见分析， 【分析】本题考查了坐标确定位置，熟练掌握在平面直角坐标系中由原点找出点的坐标，由点的坐标找原点，是解题的关键． （1）以A为坐标原点建立平面直角坐标系，然后根据平面直角坐标系写出点B、D的坐标即可． （2）由B的坐标为，点D的坐标为，确定原点坐标即可． （1）解：建立平面直角坐标系如图， 点． 故答案为：． （2）解：建立平面直角坐标系如图， 点． 2．（24-25八年级上·北京·阶段练习）如图中的四边形，请建立恰当的平面直角坐标系，在平面直角坐标系中标出这个四边形各顶点的坐标，并计算它的面积．    【答案】见分析， 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系及面积计算，取点为坐标原点，使在 轴上，建立平面直角坐标系，连接，则四边形 的面积为， 和的面积之和，最后代入求解即可，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 解：取点为坐标原点，使在 轴上，建立平面直角坐标系如图，    则可得，，，的坐标分别为，，，， 连接，则四边形 的面积为， 和的面积之和， 即． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知点． （1）点在第______象限，点在第______象限； （2）点到轴的距离为_______，到轴的距离为_______； （3）下列说法错误的是（    ） A．轴        B．轴        C．        D．轴 （4）三点在网格中的位置如图所示，请在网格中画出合适的平面直角坐标系，并写出点的坐标和的长度． 【答案】（1）一，四；（2）2，1；（3）A；（4）见详解，点的坐标为，的长度为 【分析】本题主要考查了坐标与图形、点到坐标轴的距离、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据各象限内点的坐标特征，即可获得答案； （2）根据“点到轴的距离为纵坐标的绝对值，点到轴的距离为横坐标的绝对值”，即可获得答案； （3）根据点的坐标，即可获得答案； （4）根据点的坐标画出平面直角坐标系，进而确定点坐标；结合点坐标，由勾股定理即可获得答案． 解：（1）解：对于点， ∵， ∴点在第一象限； 对于点， ∵， ∴点在第四象限． 故答案为：一，四； （2）对于点， ∵，， ∴点到轴的距离为2，到轴的距离为1． 故答案为：2，1； （3）∵， 则轴，故选项A错误，选项B、D正确； ，故选项C正确． 故选：A； （4）画出平面直角坐标系如下图所示， 由图形可知，点的坐标为， ∵， ∴， ∴的长度为． 【考点2】平面直角坐标系中由点的坐标求参数 1．（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（    ） A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断选项C，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D． 解：∵点在第二象限， ∴， ∴，故选项A错误； ∵点为“整点”， ， ∴整数a为，，0，1， ∴点P的个数为4个，故选项B错误； ∴“整点”P为，，，， ∵，，， ∴“超整点”P为，故选项C正确； ∵点为“超整点”， ∴点P坐标为， ∴点P到两坐标轴的距离之和，故选项D错误， 故选：C． 2．（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）点满足，称点为幸福点，若点满足，则称点为师一点，若点既是幸福点又是师一点，则点的坐标为 ：若点既是幸福点又是师一点，且在第二象限内，则当整数a取最大值时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据幸福点和师一点的定义得到，据此求解即可；根据幸福点和师一点的定义得到则，再根据第二象限内点的坐标特点求出a的值即可得到答案． 解：若点既是幸福点又是师一点，则， ∴， ∴点的坐标为； 若点既是幸福点又是师一点，则， ∴， ∵在第二象限内， ∴， ∴， ∴满足题意的a的值为3， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为：；． 【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，根据点所在的象限求参数，求不等式的整数解等等，正确理解题意得到二元一次方程组是解题的关键． 【考点3】平面直角坐标系中几何图形综合 1．（24-25八年级上·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A作轴于点B，连接，作关于直线的对称图形，得到，交x轴于点F，则点F的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形与坐标，勾股定理，轴对称的性质，由对称可知，，，，，得，则，设，在中，，列出方程求解即可． 解：点A的坐标为，过点A作轴于点B， ∴，，轴，则， 由对称可知，，，，， ∴，则， 设，则， 在中，，即：， 解得：， ∴点的坐标为， 故选：B． 2．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，已知点在第二象限角平分线上，，两边与x轴，y轴分别交P于A点，B点，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握角平分线上的点的坐标特征及构造两个三角形全等是解题的关键． 根据角平分线的性质定理可得关于m的方程，解方程即可求得点P的坐标，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，证明，利用全等三角的性质即可解答． 解：∵点在第二象限角平分线上， ∴， 解得：， 则点P的坐标为， 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图， 则， ， ， ， ， 由点的坐标知，， ， ， ， 故答案为：2． 【考点4】平面直角坐标系中点的规律探究 ，，．按照此规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给点的坐标结合图形发现点坐标的变化规律是解题的关键．根据所给的点的坐标，发现的横纵坐标的排列规律，即可解决问题． 解：由题知，点，，，，，， ， 当时，， 根据点的安排规律知． 故选：D． 2．（20-21八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，4），点B（a，0）是x轴正半轴上的点，若△AOB内部（不包括边界）的整点个数为6，则 a的取值范围是 ． 【答案】4＜a＜. 【分析】通过实验法，当a=4时，得到直线y= -x+4，此时三角形内部有3个格点，当直线经过（4，1）时，三角形内部有6个格点，此时是a的临界值，求出这个值即可. 解：画图如下，当直线y=-x+4时，三角形内部有3个格点，直线有3个格点，令y=0，得x=4，因此当a＞4时，满足了形内有6个格点； 当直线经过（4，1）时，三角形内部有6个格点，此时直线为y= x +4，令y=0，得x=，因此当a＜时，满足了形内有6个格点； 所以a满足的条件是4＜ a＜. 故应填4＜ a＜. 【点拨】本题考查了坐标系中的格点问题，学会利用数形结合思想，通过画图的方式，判断满足条件的直线的界点位置是解题的关键. 【考点5】坐标与图形变换中的几何综合 1．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，，其中，如果，那么的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，坐标与图形，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．作轴于C，轴于，证明，得出，，根据，得出，，即可求出结果． 解：∵，， ∴． 作轴于，轴于， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，则当 时，是等腰三角形． 【答案】4或5或6或16 【分析】本题主要查了等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．分四种情况解答，即可求解． 解：∵，， ∴， 如图，过点P作轴于点C，则，， 当时，， ∴， 此时； 当时， ， 此时； 当时， 若为锐角三角形，， 此时； 若为钝角三角形， 在中，， ∴； 综上所述，当4或5或6或16时，是等腰三角形． 故答案为：4或5或6或16 【考点6】坐标与图形变换中的点的规律探究 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，三角形都是等边三角形，且点，坐标分别是，依据图形所反映的规律，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了规律型：点的坐标，观察图形可以得到，每4个为一组，据此可以得到在x轴正半轴上，纵坐标为0，根据，……得到横坐标为，据此即可求解． 解：观察图形可以看出，…，每4个为一组， ∵， ∴在x轴负半轴上，纵坐标为0， ∵， ……， ∴当时，的横坐标为4， 当时，的横坐标为5， 当时，的横坐标为6， ……， 当时，横坐标为, ∵， ∴， 则， ∴的坐标是． 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，小球起始时位于处，沿图中所示方向击球，小球在球桌上的运动轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来的方向击球，小球第1次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标位置，根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在的位置变化特点，即可得到小球第2023次碰到球桌边时，小球的位置．解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答． 解：如图，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是 小球第二次碰到球桌边时，小球的位置是 小球第三次碰到球桌边时，小球的位置是 小球第四次碰到球桌边时，小球的位置是 小球第五次碰到球桌边时，小球的位置是 小球第六次碰到球桌边时，小球的位置是 …… ∵ ∴小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是 故答案为：． 【考点7】坐标与图形变换——轴对称 1．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）剪纸是中国最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图，这是一张蝴蝶剪纸，点A与点对称，点与点对称，将其放置在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质．熟练掌握轴对称性质，找出对称轴，是解题的关键． 由点A与点B对称，求得对称轴为直线，再根据点D与点C对称，即可求解． 解：∵与对称， ∴对称轴为直线， ∵与点C关于直线对称， ∴点C的坐标为． 故选：A． 2．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，过点作轴的垂线为直线上一动点，连接，当的值最小时，的度数为 ． 【答案】45 【分析】本题考查坐标与轴对称，作点关于直线的对称点，连接，易得与直线的交点即为点，证明为等腰直角三角形，进而求出的度数即可． 解：∵， ∴， 作点关于直线的对称点，连接，则， ∵轴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故答案为：45． 【二】压轴篇 【考点8】坐标与图形——平移问题 1．（2023·河南商丘·一模）如图，平面直角坐标系中，，，将沿折叠，点O的对应点为点C，将沿x轴正方向平移得到，当经过点B时，点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，过C点作于点M，根据平移有：，根据翻转可知：，即证明，则有，即，在中，，即可求出，即，根据对称有：，即有，可得，根据， ，可得，即，则有，根据平移可知：点C向右平移得到点F，即可求解． 解：连接，过C点作于点M，如图， 根据平移有：， ∴， 根据翻转，可知：，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴，，，， ∵在中，， ∴， ∴，即， 根据对称，点O的对应点为点C，有：， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴解得：，即， ∴， ∵， ∴根据平移可知：点C向右平移得到点F， ∴， ∴， 故选：A． 【点拨】本题考查了三角形的翻转与平移，勾股定理，图形与坐标等知识，掌握翻转与平移的性质是解答本题的关键． 2．（21-22七年级下·浙江台州·期末）在平面直角坐标系中，A（，4），B（，3），C（1，0），． （1）三角形ABC的面积为 ； （2）将线段AB沿AC方向平移得到线段DP，若P点恰好落在x轴上，则D点的坐标为 ． 【答案】 5 / 【分析】（1）过分别作轴的垂线，过点作轴的垂线，交点，根据题意分别求得的坐标，然后根据，即可求解． （2）设，则，根据平移可得向下移动个单位，向右移动个单位，得到，即，求得，根据三角形面积求得，即可求解． 解：（1）过分别作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，如图， ∵A（，4），B（，3），C（1，0）， ∴ ， ，， ∴， ， ， 故答案为：5； （2），设，则， ∵将线段AB沿AC方向平移得到线段DP，若P点恰好落在x轴上， ∴向下移动了个单位，向右移动了个单位， ∴向下移动个单位，向右移动个单位，得到，即， 如图，过点作轴，于点，则， 过点作轴交于点， ∵， ∴， ∴， 根据题意是沿方向平移得到的， ∴， ∵， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了坐标与图形，平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键． 3．（20-21八年级上·广东·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知、、，平移线段至线段，点在四边形内，满足，，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据题意画出图形，设，利用平移的性质及已知点的坐标可求出，，，的长，利用三角形的面积公式分别求出，，的面积，再根据，可求出与的关系式，从而可得到点的坐标，再根据，建立关于的方程组，解方程组求出的值，即可得到点的坐标． 解：如图， 设， ∵在第一象限或第四象限内， ∴，， ∵，，， ∵平移线段至线段， ∴，，， ∴， ∵， ， ∵， ∴ ∴， ∴点或 ∵， ∴ 当解之： ∴点， 当解之： ∴点， 故答案为：或． 【点拨】本题主要考查了坐标与图形性质，平行线的性质，三角形的面积，坐标与图形变化-平移，根据题意画出图形是解题的关键． 4．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，，过点作直线平行于轴． （1）如果线段与轴有公共点，求的取值范围； （2）若线段通过平移能够与线段重合，平移后点A、点C分别对应点B、点M．请分别求出的值； （3）若直线外一点到这条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“密接点”． ①点_____（填写“是”或“不是”）直线的“密接点”； ②将平移到，平移后点、点、点分别对应点、点、点，点F刚好落在直线上，点E落在轴上且纵坐标为，如果的面积为4，过点A作直线平行于轴，点B是否为直线的“密接点”，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）①是；②不是，理由见分析． 【分析】本题考查了坐标与图形变化（平移），三角形的面积，“密接点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识进行求解． （1）根据线段与轴有公共点，得到点B在轴下方，点C在轴上方，据此列不等式求解即可； （2）根据线段通过平移能够与线段重合，得到，据此列式求解即可； （3）①根据“密接点”的定义求解；②根据平移变换的定值分别求出的值，可得结论． 解：（1）解：如果线段与轴有公共点，则点B在轴下方， ∴， 点C在轴上方， ∴，即， ∴； （2）解：∵线段通过平移能够与线段重合， ∴，即， 解得； （3）解：①∵点到直线的距离为 ∴点是直线的“密接点” 故答案为：是； ②点不是的“密接点”，理由如下： ∵点刚好落在直线上， ∴向右平移的距离为1， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， 由题意可得：，解得， 点的纵坐标为： ∵的面积为， ∴ 解得或 当，时，，，此时点到的距离为，则点不是的“密接点”； 当，时，，，此时点到的距离为，则点不是的“密接点”； 综上，点不是的“密接点”． 【考点9】坐标与图形——折叠问题 1．（22-23八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边分别在轴、轴上，，点在边上，将长方形沿折叠，若点的对应点恰好是边的三等分点，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，由折叠的性质可得，，，再分当点F靠近点C时，，当点F靠近点O时，则，两种情况利用勾股定理先求出的长，进而得到的长，设出的长，进而得到的长，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 解：在长方形中，，， 由折叠的性质可得，，， 恰好是边的三等分点， ∴当点F靠近点C时，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得到， ∴， 解得， ∴点的坐标是； 当点F靠近点O时，则， 在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得到， ∴， 解得， ∴点的坐标是； 综上所述，点的坐标是或， 故答案为：或． 2．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，轴于点，轴于点，点是轴正半轴上动点，连接，将折叠得到，点与点对应，折痕为． （1）填空：______，______，______． （2）如图，的边与分别与交于点，，． ①求证：； ②求的长． （3）连接，当是以为直角顶点的直角三角形时，直接写出点坐标． 【答案】（1），，；（2）①证明见分析；②；（3）点坐标为或 【分析】（1）根据题意，结合点的坐标，求解即可； （2）①连接，根据等边对等角，得出，再根据折叠的性质，得出，，，再根据角之间的数量关系，得出，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，即可得出结论； ②设，则，再根据线段之间的数量关系，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，再根据勾股定理，得出，解出即可得出结果； （3）分两种情况：当点在线段时和当点在线段的延长线上时，根据折叠的性质和勾股定理求解即可． 解：（1）解：∵点，轴于点，轴于点， ∴，，， ∴， 故答案为：，，； （2）①证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵将折叠得到， ∴，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴； ②解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵是以为直角顶点的直角三角形， ∴点在直线上， 如图，当点在线段时， ∵将折叠得到， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， 当点在线段的延长线上时，同理可求， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， 综上所述：点坐标为或． 【点拨】本题是几何变换综合题，考查了坐标与图形、等边对等角、全等三角形的判定和性质、勾股定理、折叠的性质，利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解本题的关键． 【考点10】坐标与图形——旋转问题 1．（2025九年级下·全国·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形的顶点坐标分别为．y轴上一点绕点A旋转得点，点绕点B旋转得点，点绕点C旋转得点，点绕点D旋转得点，……重复操作依次得到点，，…则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形的变化-旋转，规律型-点的坐标，解题的关键是从一般到特殊探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． 由P、A两点坐标可知，点P绕点A旋转得点，即为点P关于A的对称点，以此类推，点为关于B的对称点，由此发现一般规律． 解：由题意，得 , , … 由此发现序号是4的倍数的点的横坐标与序号相同，纵坐标为2． ， 的坐标为． 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，已知直线与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，且，点C为x轴的正半轴上一点，将线段绕点C按顺时针方向旋转得线段，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】如图，过点作，使得，连接．证明，推出，在中，求出，再求出，可得结论． 解：如图，过点B作，使得，连接． ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 2．（23-24九年级上·天津南开·期末）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形的顶点坐标为，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为．的延长线交轴于点，与轴交于点． （1）如图2，当时，求点的坐标； （2）如图3，在旋转过程中，连接，，交于点，与轴交于点，连接．设，的面积为． ①求的度数； ②求关于的函数表达式，并直接写出的取值范围； （3）在（2）的情况下，设，的面积为，．请直接写出关于的函数表达式（无需写出的取值范围）． 【答案】（1）；（2）①，②；（3） 【分析】（1）根据题意，得到，故，在中，利用勾股定理，得到，由此得到答案． （2）①过点作交于点，通过证明，得到，又，故，即点为等腰直角斜边的中点，由此得到答案． ②通过证明，得到，，在中，由勾股定理得：，即，由此得到． （3）由（2）得到，，在等腰中，由勾股定理得：，又，，故，把代入得到答案． 解：（1）解：根据题意得： 点坐标为，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为， 得到如图正方形， 由旋转的性质得： ， 四边形是正方形， ，， 在中， ， 由勾股定理， 得：， ， 解得：，， 点的坐标为． （2）根据题意，由旋转的性质， 得：， 在和中， ， ， ，， 是等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得： ， ， 如图，过点作交于点， 则，即， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 又， ， 即点为等腰直角斜边的中点， 综上：①； ② （3）根据题意，如图所示， 由（2）得： ，， 在等腰中，由勾股定理得： ， 即， ， ， 又的面积为， ， ， ， 把代入得： ． 【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关性质和定理，利用已知条件，作正确的辅助线，构造全等的三角形，是解答本题的关键． 【考点11】坐标与图形——最值问题 1．（24-25九年级上·天津南开·期中）如图，平面直角坐标系中，点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（   ） A． B．8 C．5 D． 【答案】B 【分析】过点B作轴于点C，过点作轴于点D，证明，得出，根据，，得出，说明点在直线上，根据为定值，得出当最小时，的周长最小，作点O关于直线的对称点，连接交直线于点E，连接，根据两点之间线段最短，得出当在点E处时，最小，且最小值为的长度，根据勾股定理求出结果即可． 解：过点B作轴于点C，过点作轴于点D，如图所示： 则， 根据旋转可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点在直线上， ∵为定值， ∴当最小时，的周长最小， 如图，作点O关于直线的对称点，连接交直线于点E，连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当在点E处时，最小，且最小值为的长度， ∴最小值为：， ∴的周长最小值为． 故选：B． 【点拨】本题主要考查了轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，两点之间线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定和性质． 2．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴负半轴，轴正半轴分别交于点，，在轴上取点，点是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等边三角形，使得点落在第一象限，连接．若，则的最小值为（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】在直线上取点M，使，连接，过点M作轴于点G，连接并延长，交y轴于点E，证明，得出，证明轴，说明点F在过点M且平行于x轴的直线上，作点O关于的对称点N，连接，交于点H，连接，说明当点F在点H处时，最小，且最小值为，求出最小值即可． 解：在直线上取点M，使，连接，过点M作轴于点G，连接并延长，交y轴于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即轴， ∴点F在过点M且平行于x轴的直线上， ∴轴， ∴， 作点O关于的对称点N，连接，交于点H，连接， 则，， ∴， ∴， ∵两点之间相等最短， ∴当点F在点H处时，最小，且最小值为， 根据勾股定理得：， 即最小值为． 故选：B． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，找出使最小时，点F的位置． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点在y轴上，点在轴正半轴上，已知点，以为直角边在左侧作等腰直角，，当点在x轴上运动时，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】证明得，点在直线上运动，作点关于直线的对称点，所以，则的最小值为的长． 解：∵， ∴， 过点作轴的平行线，分别过点、作轴的平行线，交于、，交轴于点，如图， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， 又∵， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 点在直线上运动，作点关于直线的对称点，如图， ∴， ∴， ∴， 当，，三点在一条直线上时，的值最小，最小值为的长， 此时， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查轴对称—最短路线问题，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识点．通过作辅助线构造全等三角形找到点的运动路径是解题的关键． 4．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，边长为2的等边三角形，点C在x轴上，轴．P为x轴上一点，Q为直线上一点，满足，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是平面直角坐标系的含义，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，四边形的内角和定理的应用，熟练的解析线段的转换是解本题的关键；过P作，，过O作，交延长线于R，过R作轴．证明为等边三角形，可得，再证明，进行线段的转化，从而可得答案． 解：过P作，，过O作，交延长线于R，过R作轴． ∵等边， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 利用角平分线上的点到角两边的距离相等得：， ∵， 利用四边形内角和为得：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴的最小值为3． 故答案为：3． 【考点12】坐标与图形——动点问题 1．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，平面直角坐标系中， 射线 与 x 轴的夹角为 ，在 上取一点 A，点 B 是x 轴正半轴上一动点，连接，以为边在第一象限内作等边三角形，设，则点 C 的横坐标是 ．（用含 m 的式子表示） 【答案】 【分析】分别过点作轴，设交于点E，交于点D，利用等边三角形的性质证明，推出，再根据含30度角的直角三角形求出，得到，即可解答． 解：分别过点作轴，设交于点E，交于点D， ∵是等边三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点 C 的横坐标是， 故答案为：． 【点拨】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，作出辅助线，没构造三角形全等是解题的关键． 2．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，直线与x轴，y轴分别交于点和，点P是直线上的一个动点，点P的横坐标为，以线段为边，点O为直角顶点在y轴右侧作等腰直角与x轴交于点C．在点P的运动过程中，当t的值 时，△OCP为等腰三角形． 【答案】0或或 【分析】先由点A和B的坐标，得是等腰直角三角形，然后结合图象以及等腰三角形的定义，进行分类讨论，根据勾股定理列式，计算，即可作答． 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 如图，当点P与点B重合时，点Q与点A重合，此时交x轴于点A，即点C与点A重合， ∴， ∴为等腰三角形， ∴此时； 如图，当时， ∵为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 过点P作于点G，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； 如图，当时， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， 综上所述，t的值为0或或． 故答案为：0或或． 【点拨】本题考查了三角形内角和公式、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的定义、勾股定理、坐标与图形，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理和分类讨论思想． 3．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．点P到的距离定义如下：点Q为三边上的动点，当最小时，我们称此时的长度为点P到的距离，记为．已知矩形的四个顶点依次是，若点P在矩形的四条边上，则满足的点P有 个．    【答案】5 【分析】分点在，，，上，四种情况进行求解即可． 解：如图：    ∵，， ∴轴，， ∴，， ①当点在线段上，点与点重合时，， ∵， ∴，满足题意； 当点往下移动至点时，逐渐变小至，不存在； 当点继续往下移动至点时，，当时，； ②当点在上时，，不存在； ③当点在上时，当，，存在两个点，使； ④当点在上时，作交于点，此时，符合题意； 综上，满足的点P有5个； 故答案为：5． 【点拨】本题考考查坐标与图形，勾股定理，解题的关键是掌握点P到的距离的定义． 4．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，已知，且满足． （1）求出两点的坐标； （2）如图1，为轴上两动点，且始终满足，过点作的垂线交的延长线于点，连接，求证：； （3）如图2，点在轴的正半轴上，点关于轴的对称点为点，点分别是边和上的动点，且满足，连接的垂直平分线交轴于点，连接，试判断和之间的关系，并给出证明． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为；（2）证明见分析；（3），证明见分析 【分析】（1）利用因式分解的知识将变形为，再利用完全平方的非负性求出的值，即可解答； （2）过点作轴交的延长线于点，利用判定推出，得到，进而利用判定推出，再利用全等三角形对应边相等的性质和线段和差关系即可得证； （3）在上截取，则，连接、，过点分别作，，垂足分别为，利用角平分线的性质得到，利用垂直平分线的性质得到，推出，得到，再利用角的和差关系即可解答． 解：（1）解：， ， ， ， 解得：， 点的坐标为，点的坐标为； （2）证明：如图1，过点作轴交的延长线于点，则． 由（1）得：， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 在和中， ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ； （3）解：，证明如下： 如图2，在上截取，则，连接、，过点分别作，，垂足分别为． 点关于轴的对称点为点， ， ． 又， ． ， ． 又， ． 点在的垂直平分线上， ． 在Rt和Rt中， ， ， ， ， ． ， ， ． ， ， ， 即． 【点拨】本题主要考查了平面直角坐标系、因式分解、全等三角形的性质与判定、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于全等三角形综合题，需要较强的辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 4．（24-25八年级上·河南开封·期中）如图，，，以A点为顶点、为腰在第三象限作等腰直角三角形． （1）点C的坐标为______． （2）如图②，，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为直角顶点，为腰向右作等腰直角三角形，过D作轴于E点，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，，进而可得，据此即可得出点的坐标； （2）过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，由轴可得，根据题意可知，再结合，进而可得，则，于是得解． 解：（1）解：如图，过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 轴， ， ∴； 根据题意可知：， 又， ∴， ， ， 即：的值为． 【点拨】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的定义，等式的性质，全等三角形的判定与性质，已知两点坐标求两点距离，线段的和与差，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【考点13】坐标与图形——存在性问题 1．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图①，在等腰直角中，，，在轴上，，点是轴上一动点，当从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴的正方向运动，点为轴上一点，连接、、，设运动时间为秒． （1）点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______）； （2）当秒时，的面积是11，求此时点的坐标； （3）如图②，当点运动到轴的正半轴时，是否存在以点、、为顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）点的坐标为；（3）存在，，点的坐标为或，点的坐标为或，点的坐标为 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解本题的关键是熟练掌握分类讨论思想的运用． （1）如图1，过点作于，由等腰直角三角形的性质得出，则可得出答案； （2）分两种情况：①当点在轴的正半轴时，如图 2，②当点在轴的负半轴时，如图3，根据三角形的面积差列方程可解答； （3）分三种情况：如图4和图5和图6，作辅助线构建全等三角形即可解答． 解：（1）解：如图1，过点作于， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：； （2）解：当时，， ， 连接， 分两种情况：①当点在轴的正半轴时，如图 2 ， ∵， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为； ②当点在轴的负半轴时，如图3， ∵， ∴， ∴， ∴（不符合题意，舍）； 综上，点的坐标为； （3）解：存在， 分三种情况：①如图4，， 过点作轴于，过点作于，过点作于，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 此时点； ②如图5，， 过点作轴于，过点作于，过点作于，则， 同理得：， ， ， ， ， ， ； ③如图6，， 过点作轴于，过点作于，过点作于，则， 同理得：， ， ， ， ， ， ； 综上，，点的坐标为或，点的坐标为或，点的坐标为． 2．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，等腰直角中，，，现将该三角形放置在平面直角坐标系中： （1）若点B坐标为，点C坐标为，求点A的坐标； （2）若点B坐标为，点C坐标为，连接，若P为坐标平面内异于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与全等，请求出满足条件的点P的坐标（用含m，n的式子表示）； （3）已知，，在x轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰三角形，直接写出点Q的坐标_____． 【答案】（1）；（2）点的坐标为或或；（3）点的坐标为或或 【分析】（1）先根据证明，然后根据全等三角形的性质得出、的长即可得出点A的坐标； （2）结合（1）求解点A的坐标为，作关于轴的对称图形得到；作关于的轴对称图形得到；作关于轴的对称图形得到，根据对称图形的性质即可知道所作的图形全等，即可写出点的坐标； （3）当以点A为顶点时有一个点符合，当以点为顶点时分钝角三角形和锐角三角形即可求解． 解：（1）解：如图，过作轴于， ∵点B坐标为，点C坐标为， ∴，． ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∴点A的坐标为； （2）解：如图，点B坐标为，点C坐标为， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴点A的坐标为； ①作关于轴的对称图形得到， ∴≌， ∴点的坐标为； ②∵点和点关于对称， ∴作关于轴的对称图形得到， ∴， ∴点的坐标为； ③作关于轴的对称图形得到， ∴≌， ∴≌， ∴点的坐标为， ∴综上所述点的坐标为或或； （3）解：如图， ①当以点A为顶点时，且是腰，，， ∵轴， ∴可以作点关于的对称点， ∴点的坐标为， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴是以为腰的等腰三角形； ②当以点为顶点时，且是腰，形成锐角三角形时， 即， ∴点的坐标为； ②当以点为顶点时，且是腰，形成钝角三角形时， 即， ∴点的坐标为， ∴综上所述点的坐标为或或． 【点拨】此题考查了全等三角形的判定及性质，轴对称图形的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形，解题的关键是数形结合，进行分类讨论，不漏解． 3．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在等腰直角三角形中，，，，点D为上一点，过点D作于点E，点P为x轴上一动点，点P关于的对称点为点Q，连接、、． （1）点B的坐标为 ； （2）若点P的坐标为，延长交于点F．当时，求点D的坐标； （3）若点M为y轴上一动点，是否存在以A、P、M为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的坐标为或 【分析】（1）求出，从而可得，由此即可得； （2）设与交于点，先证出，从而得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后求出，最后证出为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （3）分两种情况：①点在轴的正半轴上；②点在轴的负半轴上；过点作轴于点，证出，根据全等三角形的性质可得，，由此即可得． 解：（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． （2）解：如图1，设与交于点， ∵，， ∵，，， ∴， ∵点关于对称， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴点的坐标为． （3）解：存在，求解过程如下： ∵点在轴上， ∴分以下两种情况： ①当点在轴的正半轴上时， 如图2，过点作轴于点， ∵， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴点的坐标为． ②当点在轴的负半轴上时， 如图3，过点作轴于点， 同理可证：，， ∴， ∴点的坐标为． 综上，存在以为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形，此时点的坐标为或． 【点拨】本题主要考查了点的坐标、轴对称的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$