专题2.5 三角形的中位线（分层专项练习）（精选精练）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题2.5 三角形的中位线（分层专项练习）（精选精练） 本专题分为【夯实基础】【培优拓展】【链接中考】三部分，其中【夯实基础】70分，【培优拓展】60分，【链接中考】20分，合计150分. 第一部分：夯实基础 1、 选择题（本大题共8个小题,每小题3分,共24分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，D，E分别是，的中点，若，则B，C两点的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，中，，，，，，则的值为（   ） A．6 B． C．7 D．8 3．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，，，，分别为，的中点，连接，平分，交于点，则的长是（   ） A． B．1 C． D．2 4．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，点在的边上，连接，作交于点，点是的中点，且，若，则的长为（    ）    A．10 B．9 C． D．8 5．（2022·安徽滁州·一模）如图，点O是□ABCD的对角线的交点，，点E，F分别是OC，OD的中点，过点F作交边AB于点P，连接PE．则下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，点E为的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，则为（　　） A．3 B． C．4 D． 7．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（   ）    A． B．3 C． D．4 8．（22-23八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，，点C，D分别是，的中点，P是上一动点，则的最小值是（    ）    A． B．4 C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，小宇注意到跷跷板处于静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（E，F分别为，的中点），若，则点B距离地面的高度为 ． 10．（24-25八年级上·上海·期中）如图，在中，，，，，点为斜边的中点，点在边上，连结，若线段的垂直平分线恰好经过边的中点，则线段 ． 11．（24-25八年级上·重庆垫江·期末）在如图所示的中，点D，E在边上，的平分线于F，的平分线于H，若，，则△ABC的周长为 ． 12．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在△中，、分别是、的中点，的平分线交于点，如果，，那么的长为 ． 13．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，点为直线外一动点，，连接，点分别是的中点，连接交于点，当四边形的面积为6时，线段长度的最小值为 ． 14．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，的周长为1，E、、分别为、、的中点，、、分别为、、的中点．如果、、分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第个三角形的周长是 ． 三、解答题（本大题共4小题，共28分） 15．（本小题满分8分）（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，及分别是的中点，是延长线上的点，且． （1）求证：四边形是平行四边形 （2）求证： 16．（本小题满分8分）（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，E是的中点，相交于点F，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接交于点O，若，则的长为_____________． 17．（本小题满分10分）（22-23八年级下·河南开封·期末）课本再现： （1）如图1，在中，D、E分别是、的中点，则线段与边的数量关系是 ，位置关系是 ； 拓展应用： （2）如图2在中，连接延长至点E．连接并延长至点F，使得，连接．求证：． 18．（本小题满分10分）（24-25九年级上·北京通州·期末）在中，，于点M，D是线段上的动点（不与点B，C，M重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． （1）如图1，如果点E在线段上，求证：； （2）如图2，如果D在线段上，在射线上存在点F满足，连接求证：． 第二部分：培优拓展 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．（2025·上海杨浦·一模）如图，在中，，，中线与高交于点，如果，那么 ． 20．（24-25八年级上·山西太原·期末）如图，中，，，点D为的中点，将一个直角三角板的直角顶点放在点D处，直角边的点E在边上，，连接，则的长为 ． 21．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，，，点分别为的中点，将绕着点顺时针旋转，得到，当在同一直线上时，则的长为 ． 22．（24-25九年级上·重庆·期中）已知中，点D为斜边的中点，连接，将沿翻折，使点B落在点E的位置，交于F，连接．若，，则的长为 ．    23．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在等边中，，E，F分别是边、上的动点，且满足，则的最小值为 ； 五、解答题（本大题共4小题，共40分） 24．（本小题满分8分）（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，已知的中线、相交于点，、分别为、的中点． （1）求证：和互相平分； （2）若，，，求的面积． 25．（本小题满分10分）（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，分别是的中点，延长到点，使．连接． （1）求证：与互相平分； （2）若，求的长． 26．（本小题满分10分）（2025九年级下·浙江温州·学业考试）如图，在中，分别是的中点，与交于点，连接． （1）求证：． （2）求． 27．（本小题满分12分）（23-24九年级上·河南驻马店·期中）[教材呈现] （1）如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明． 如图①，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点． 求证：． [结论应用] （2）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F．求证：． （3）若（2）中的，则的大小为多少？ 第三部分：链接中考 28．（本小题满分5分）（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M﹐连接和交于点N，连接若，则的长为（    ）    A．2 B． C．4 D． 29．（本小题满分5分）（2022·江苏扬州·中考真题）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点；第2次折叠使点落在点处，折痕交于点．若，则 ． 30．（本小题满分10分）（2023·北京·中考真题）在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．     （1）如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点； （2）如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 三角形的中位线（分层专项练习）（精选精练） 本专题分为【夯实基础】【培优拓展】【链接中考】三部分，其中【夯实基础】70分，【培优拓展】60分，【链接中考】20分，合计150分. 第一部分：夯实基础 1、 选择题（本大题共8个小题,每小题3分,共24分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，D，E分别是，的中点，若，则B，C两点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线的实际应用，等式的性质等知识点，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 利用三角形的中位线定理即可直接得出答案． 解：∵D，分别是，的中点， ， ， 故选：． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，中，，，，，，则的值为（   ） A．6 B． C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，延长交于，可证得，得到，可证得是的中位线，从而得出的值，进一步可得出结果． 解：如图，延长交于， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴是的中位线， ， ， 故选：C． 3．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，，，，分别为，的中点，连接，平分，交于点，则的长是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质．用勾股定理可算出，然后根据中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”可得，，易证得，然后计算即可． 解：∵，，， ∴， ∵D，E分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，点在的边上，连接，作交于点，点是的中点，且，若，则的长为（    ）    A．10 B．9 C． D．8 【答案】B 【分析】延长交于点，可推出四边形是平行四边形，得；根据“点是的中点”可得、，设，根据即可求解． 解：延长交于点，如图：    ∵，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∵点是的中点且， ， ∵点是的中点且， ， ， 设， ， 解得：， ∴， 故选：B． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、中位线定理、等腰三角形的性质等，熟记相关知识点是解题关键． 5．（2022·安徽滁州·一模）如图，点O是□ABCD的对角线的交点，，点E，F分别是OC，OD的中点，过点F作交边AB于点P，连接PE．则下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合平行四边形的性质逐项分析即可． 解：如图，连接EF， A、点E、F分别是OC、OD的中点， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴四边形BEFP为平行四边形， ∴， 故A正确； B、在□ABCD中，，，， ∴， 又∵E为OC中点， ∴， ∴， 故B正确； C、在Rt△ABE中，P为斜边AB中点， ∴， 又∵， ∴， 故C正确； D、只有当□ABCD是矩形时，，故D错误． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定以及性质、中位线、斜边中线等于斜边的一半等知识，解题的关键是根据题意结合以上性质分析推理． 6．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，点E为的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，则为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线四边形的性质，三角形中位线定理，关键是证明是的中位线．连接交于O，由平行四边形的性质推出，，证明是的中位线，得到，求出，得到，求出，从而． 解：连接交于O，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（   ）    A． B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线性质，熟练掌握三角形的中位线性质是解答的关键．连接交于O，由平行四边形的性质得到，，进而，利用三角形的中位线性质求解即可． 解：接：连接交于O，    ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故选：D． 8．（22-23八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，，点C，D分别是，的中点，P是上一动点，则的最小值是（    ）    A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】如图，作点C关于y轴的对称点，连接，连接，交y轴于点，由对称知，，由两点之间线段最短，可知当三点共线时，取最小值；由中位线定理，，，中，，． 解：如图，作点C关于y轴的对称点，连接，连接，交y轴于点．由对称知，， ∴，当三点共线时，，取最小值，    ∵C，D分别是，的中点 ∴， ∴ 中， ∴, 故选：C． 【点拨】本题考查轴对称，勾股定理，两点之间线段最短，运用轴对称知识作出辅助线，将求线段和最小值转化为求线段长是解题的关键． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，小宇注意到跷跷板处于静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（E，F分别为，的中点），若，则点B距离地面的高度为 ． 【答案】70 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 本题考查了三角形中位线定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 解：∵E，F分别为，的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：70． 10．（24-25八年级上·上海·期中）如图，在中，，，，，点为斜边的中点，点在边上，连结，若线段的垂直平分线恰好经过边的中点，则线段 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和垂直平分线的性质，分两种情况讨论：当点位于点左侧时和当点位于点右侧时． 解：设线段的垂直平分线为． ∵，分别为，的中点， ∴，． ∵为的垂直平分线， ∴． 当点位于点左侧时，． 当点位于点右侧时，． 综上所述，． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·重庆垫江·期末）在如图所示的中，点D，E在边上，的平分线于F，的平分线于H，若，，则△ABC的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理．证明，推出，，同理，，得到是的中位线，进一步计算即可求解． 解：∵平分，且， ∴，，， ∴， ∴，， 同理可证，， ∴是的中位线， ∴， ∴的周长为， 故答案为：20． 12．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在△中，、分别是、的中点，的平分线交于点，如果，，那么的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形中位线定理，等角对等边，角平分线的定义，等角对等边是解题的关键；由三角形中位线定理得，，由平行线性质及角平分线的定义得，从而，则由可求解． 解：∵、分别是、的中点， ∴，为的中位线， ∴，， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3． 13．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，点为直线外一动点，，连接，点分别是的中点，连接交于点，当四边形的面积为6时，线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质、垂线段最短等知识点，正确作出辅助线、利用中线分析三角形的面积关系是解题的关键． 如图，连接，过点C作于点H，根据三角形中线的性质求得，从而求得，利用垂线段最短求解即可． 解：如图，连接，过点C作于点H，    ∵点D、E分别是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点到直线的距离垂线段最短， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，的周长为1，E、、分别为、、的中点，、、分别为、、的中点．如果、、分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第个三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中位线的性质，规律探索，解题的关键是熟练掌握中位线性质，先根据中位线性质得出的周长是周长的一半，同理，的周长是的周长的一半，即的周长为周长的，以此类推，第个小三角形的周长是第一个三角形周长的，得出答案即可． 解：∵ E、F、G分别为、、的中点， 、、为三角形中位线， ，，， ，即的周长是周长的一半， 同理，的周长是的周长的一半，即的周长为周长的， 以此类推，第个小三角形的周长是第一个三角形周长的， ∵的周长为1， ∴第个小三角形的周长是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共4小题，共28分） 15．（本小题满分8分）（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，及分别是的中点，是延长线上的点，且． （1）求证：四边形是平行四边形 （2）求证： 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． （1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据三角形的中位线的性质即可得证； 解：（1）∵是的中点， ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形 （2）∵及分别是的中点， ∴是的中位线 ∴ 16．（本小题满分8分）（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，E是的中点，相交于点F，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接交于点O，若，则的长为_____________． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）由题意得是的中位线，推出，结合即可求证； （2）由题意得，，，故可求出，，结合即可求解； 解：（1）证明：∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 即：， ∵， ∴四边形为平行四边形 （2）解：∵是的中位线， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 17．（本小题满分10分）（22-23八年级下·河南开封·期末）课本再现： （1）如图1，在中，D、E分别是、的中点，则线段与边的数量关系是 ，位置关系是 ； 拓展应用： （2）如图2在中，连接延长至点E．连接并延长至点F，使得，连接．求证：． 【答案】（1），；（2）见分析 【分析】（1）根据三角形的中位线性质求解即可； （2）连接交于O，根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质即可得出结论 解：（1）解：∵在中，D、E分别是、的中点， ∴，， 故答案为：，； （2）解：如图，连接交于O，    ∵四边形是平行四边形， ∴，又， ∴是的中位线， ∴，即． 【点拨】本题考查三角形的中位线性质、平行四边形的性质，熟练掌握三角形的中位线性质是解答的关键． 18．（本小题满分10分）（24-25九年级上·北京通州·期末）在中，，于点M，D是线段上的动点（不与点B，C，M重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． （1）如图1，如果点E在线段上，求证：； （2）如图2，如果D在线段上，在射线上存在点F满足，连接求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，中位线定理等知识点，掌握相关数学结论即可． （1）由旋转可知：，，进而得；根据，，可得；结合在中， ，即可求证； （2）延长到点N，使，连接可推出，，证 ，即可求证； 解：（1）证明：∵线段绕点D顺时针旋转得到线段． ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 即； （2）证明：如图，延长到点N，使，连接 ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 第二部分：培优拓展 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．（2025·上海杨浦·一模）如图，在中，，，中线与高交于点，如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线及三角形中位线定义，熟知等腰三角形的性质及三角形中位线定理是解题的关键．先根据等腰三角形的性质及为的中线，得出为的中位线，进而可求出的长，进一步可求出的长，再过点作的垂线，构造出直角三角形，利用勾股定理即可解决问题． 解：由题知， ，且为高线，， ． 又是的中线， 是的中位线． ， ． 在中， ． 过点作的垂线，垂足为， ， ， ． 又为中点， ． 在中， ． 故答案为：． 20．（24-25八年级上·山西太原·期末）如图，中，，，点D为的中点，将一个直角三角板的直角顶点放在点D处，直角边的点E在边上，，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，中位线定理．取的中点K，连接，证明，得到，求出的长即可得到． 解：取的中点K，连接， ∵点D为的中点，点K为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，点D为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 21．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，，，点分别为的中点，将绕着点顺时针旋转，得到，当在同一直线上时，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握旋转的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 根据三角形中位线定理得到，再根据旋转的性质得到，再根据在一条直线上结合勾股定理求出的长，即可求解． 解：当，在上方时，如图， ∵点分别是的中点，， ∴， ∴， 由旋转可得，，，， ∵点在同一条直线上， ∴在中，， ∴， 当在下方时，如图， ∵在同一条直线上， ∴， 同理可得， 故答案为： 或． 22．（24-25九年级上·重庆·期中）已知中，点D为斜边的中点，连接，将沿翻折，使点B落在点E的位置，交于F，连接．若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】先求出，过点D作，，垂足分别为M、N，连接交于点G，可将所求的问题进行转化求，由折叠得是的中垂线，借助三角形的面积公式，可以求出，进而求出，由等腰三角形的性质，可得是三角形的中位线，得到等于的一半，求出，在根据勾股定理，求出，进而求出． 解：如图，过点D作，，垂足分别为M、N，连接交于点G，    ∵在中，，， ∴由勾股定理，得， ∵点D为斜边的中点， ∴， 在中，，， ∴， ∴由勾股定理，得， 由折叠得，垂直平分，， 在中，，， ∴， ∴是的中位线， ∴， 在中，由三角形的面积公式得：， 即：， ∴， 在中， 由勾股定理，得， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查翻折变换，直角三角形的性质斜边上的中线，等腰三角形的性质，三角形的中位线以及勾股定理等知识，理解和掌握这些知识是解决问题的前提和关键． 23．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在等边中，，E，F分别是边、上的动点，且满足，则的最小值为 ； 【答案】 【分析】取、的中点、，连接、，则可得，，因此转而求的最小值；过作，且，连接、，可证明，则有，进而转化为求的最小值，当点在线段上时，取得最小值，在中由勾股定理即可求得最小值，从而求得的最小值． 解：如图，取、的中点、，连接、， ∵是等边三角形， ，， 根据三角形中位线可得， ∴， 的最小值转化为求的最小值， 在等边三角形中，， ∴，， ，， ， ， ； 过作，且，连接、， 则， ， ， ， 当点在线段上时，取得最小值， 且最小值为线段的长， ， 在中，由勾股定理得：， 的最小值． 故答案为：． 【点拨】本题考查了求线段和的最小值问题，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，把求的最小值转化为求的最小值，进而转化为求的最小值，是本题的难点与关键所在． 五、解答题（本大题共4小题，共40分） 24．（本小题满分8分）（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，已知的中线、相交于点，、分别为、的中点． （1）求证：和互相平分； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）证明见分析；（2）16 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理、完全平方公式，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键． （1）先根据三角形的中位线定理可得，，，，再证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得证； （2）先求出，再利用勾股定理可得，然后利用完全平方公式变形求值可得的值，最后利用三角形的面积公式计算即可得． 解：（1）证明：如图，连接， ∵是的中线，点是的中点， ∴，， 同理可得：，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴和互相平分． （2）解：由（1）已证：和互相平分， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 25．（本小题满分10分）（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，分别是的中点，延长到点，使．连接． （1）求证：与互相平分； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识； （1）利用三角形中位线定理可得出， ，结合，得出，可证明四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可得证； （2）先证明为等边三角形，可得，再利用平行四边形性质求解即可． 解：（1）证明：连接，．    ∵点E，F分别为、的中点， ∴， ． 又∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴与互相平分． （2）解：在中，，E为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴． 26．（本小题满分10分）（2025九年级下·浙江温州·学业考试）如图，在中，分别是的中点，与交于点，连接． （1）求证：． （2）求． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了中位线的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）连接交于点，根据中位线的性质得，继而得到，证明，得，即为的中点，结合为的中点，即可得证； （2）由得，即可求解． 解：（1）证明：如图，连接交于点， 分别为的中点， ， 为的中点， ， ， ， ， ， 又， ， ，即为的中点， 又为的中点， ； （2）解：由（1）可知，， ． 27．（本小题满分12分）（23-24九年级上·河南驻马店·期中）[教材呈现] （1）如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明． 如图①，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点． 求证：． [结论应用] （2）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F．求证：． （3）若（2）中的，则的大小为多少？ 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析；（3） 【分析】本题考查了三角形中位线定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，熟知三角形中位数定理是解题的关键． （1）可得分别为的中位线，则，则，即可求证； （2）根据三角形中位线定理得到，则，同理，再根据即可证明； （3）先由三角形中位线定理得到，则，由三角形外角的性质得到，再由，得到，，据此求解即可． 解：（1）证明：∵P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点． ∴分别为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：P是的中点，M是中点， 是的中位线， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ； （3）解：， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ． 第三部分：链接中考 28．（本小题满分5分）（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M﹐连接和交于点N，连接若，则的长为（    ）    A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】利用三角形中位线定理以及线段的垂直平分线的性质求解． 解：由作图可知垂直平分线段，垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点拨】本题考查作图-基本作图，三角形中位线定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 29．（本小题满分5分）（2022·江苏扬州·中考真题）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点；第2次折叠使点落在点处，折痕交于点．若，则 ． 【答案】6 【分析】根据第一次折叠的性质求得和，由第二次折叠得到，，进而得到，易得MN是的中位线，最后由三角形的中位线求解． 解：∵已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点， ∴，． ∵第2次折叠使点落在点处，折痕交于点， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴MN是的中位线， ∴，． ∵，， ∴． 故答案为：6． 【点拨】本题主要考查了折叠的性质和三角形中位线的性质，理解折叠的性质，三角形的中位线性质是解答关键． 30．（本小题满分10分）（2023·北京·中考真题）在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．     （1）如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点； （2）如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明． 【答案】（1）见分析；（2），证明见分析 【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可； （2）延长到H使，连接，，可得是的中位线，然后求出，设，，求出，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可． 解：（1）证明：由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即D是的中点； （2）； 证明：如图2，延长到H使，连接，， ∵， ∴是的中位线， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴，是等腰三角形， ∴，， 设，，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即．    【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$