专题2.4 三角形的中位线（2大知识点4大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题2.4 三角形的中位线（2大知识点4大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】三角形中位线的定义 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 【知识点2】三角形中位线的定理 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 【要点提示】 （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【知识点1】利用三角形中位线求解 【题型1】利用三角形的中位线求线段长............................................2 【题型2】利用三角形的中位线求角度..............................................4 【题型3】利用三角形的中位线求面积..............................................8 【知识点2】利用三角形中位线证明 【题型4】中点四边形...........................................................11 【题型5】利用三角形中位线进行证明.............................................14 【题型6】利用三角形解决三角形的中位线和斜边上中线.............................17 【知识点3】三角形的中位线的应用 【题型7】三角形中位线的应用...................................................20 【知识点4】链接中考与拓展延伸 【题型8】直通中考.............................................................23 【题型9】拓展延伸.............................................................26 第二部分【题型展示与方法点拨】 【知识点1】利用三角形中位线求解 【题型1】利用三角形的中位线求线段长 【例1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点E，P是的中点，若，，求的长．    【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，平行四边形的判定与性质，先证明，可得，再结合三角形的中位线的性质可得答案． 解：在中，，，，， ． 平分， ， ， ， ． 是的中点，是的中点， ． 【变式1】（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图所示，在四边形中，，，，，，分别是，边的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理，设的中点为，连接、，从而可得是的中位线，为的中位线，由三角形中位线定理可得，，求出，最后由勾股定理计算即可得解． 解：如图，设的中点为，连接、， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，平分，于点D，点E为的中点．若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，延长，交于点，证明，利用性质求出，最后用中位线定理即可求解． 解：如图，延长，交于点，    ∵平分， ∴ ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点为中点，点为中点， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：2． 【题型2】利用三角形的中位线求角度 【例2】（24-25八年级上·重庆开州·期末）在中，，将沿折叠得到，连接、、，平分，过点作于点． （1）求证：； （2）若，为的中点，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2）的度数为 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键； （1）首先推导出，进而利用证得，进而得证； 首先推导出，进而推导出，，由折 叠的性质得出，进而得到． 解：（1）证明：∵平分， ∴， 在和中 ， ∴； （2）∵，， ∴， ∵，为的中点， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵是沿折叠得到， ∴， ∴； 【变式1】（23-24九年级上·四川资阳·期末）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点分别是边的中点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由题意可得是的中位线，是的中位线，得到，，即得，进而得到，据此即可求解，掌握了三角形中位线的性质是解题的关键． 解：∵点是对角线的中点，点分别是边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【变式2】（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线相交于O点，，E是边的中点，G、F为上的点，连接和，若，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】120 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中线有关面积计算，不规则图形面积的计算，熟知上述图形的判定与性质是解题的基础，将不规则图形拆分成规则图形是解题的关键． 连接，先证明四边形是平行四边形，得到，根据，得到，从而得到，由此求解即可． 解：如图所示，连接，过点作， ∵平行四边形中，对角线相交于点， ∴是边的中点， 又∵是边的中点， ∴是的中位线， ， 又∵， ， ∴四边形是平行四边形． ∴， 又∵， ， ， ， ， ∴等腰中边上的高为， ， ∵是边的中点， ， ∴阴影部分的面积为120． 故答案为：120． 【题型3】利用三角形的中位线求面积 【例3】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，D、E分别是的中点，F是延长线上的点，且． （1）图中的平行四边形有哪几个？请选择其中一个说明理由； （2）若是等边三角形，且边长3，求四边形的面积． 【答案】（1）图中平行四边形有平行四边形，平行四边形，理由见分析；（2） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质，三角形中位线定理等等： （1）先由三角形中位线定理得到，再证明，即可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形；再由对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形； （2）过点C作于H，由三线合一定理得到，则，进而得到，由平行四边形的性质得到，则． 解：（1）解：图中平行四边形有平行四边形，平行四边形，理由如下： ∵在中，D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 由线段中点的定义可得， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，过点C作于H， ∵是边长为3的等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【变式1】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，点D在边上，，点E是内部一点，，延长交于点F，连接，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，由三角形内角和定理可求，由，可得，由，可求，则，即为的中点，，由勾股定理得，，由为的中点，可得，可求，则，根据求解作答即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即为的中点， ∴， 由勾股定理得，， 又∵为的中点， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故选：C． 【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，中位线等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，中位线是解题的关键． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，M、N分别是的中点，且，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质及三角形内角和定理．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；三角形内角和是． 由三角形内角和定理可得度数，得出是的中位线，可知，从而得出． 解：∵， ∴， ∵M，N分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 故答案为：． 【知识点2】利用三角形中位线证明 【题型4】中点四边形 【例4】（23-24八年级下·江西景德镇·期末）（1）如图①，在四边形中，点E、F、G、H分别为边的中点，求证：四边形为平行四边形． （2） 如图②，已知的中线交于点O（点O即为的重心）．若点F、G分别为的中点，，连接，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理： （1）连接，由三角形中位线定理得到，，进而得到，则可证明四边形为平行四边形． （2）由三角形中位线定理得到，，则，进而证明四边形是平行四边形，得到，则． 解：（1）如图所示，连接， ∵分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2）∵是的两条中线， ∴是的中位线， ∴， ∵F、G分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【变式1】（22-23八年级下·山东滨州·期中）如图所示，任意四边形，点，，，分别为、、、的中点，若四边形的面积为，那么四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的面积计算，连接，过点作于，交于，根据三角形中位线定理得到，，得到，根据三角形的面积公式计算即可． 解：如图，连接，过点作于，交于， 点，分别为、的中点， 是的中位线， ，， ， 点为的中点，， ， ， 同理可得：，， ， 故选：A． 【变式2】（2023·广东佛山·三模）如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形为 形． 【答案】平行四边 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定，根据三角形中位线定理推出且，则可证明四边形为平行四边形． 解：、分别是、的中点，、分别是、的中点， ，且， 且， 四边形为平行四边形， 故答案为：平行四边． 【题型5】利用三角形中位线进行证明 【例5】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，，E、F分别是、的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点M、N，证明：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．连接，取的中点，连接，，根据三角形的中位线的性质得到，，，，根据平行线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，等量代换即可得到结论． 解：证明：连接，取的中点，连接，， ∵、分别是、的中点， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（23-24九年级上·辽宁盘锦·开学考试）如图已知四边形是平行四边形，对角线，交于点O，E是的中点，以下说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质，可得，，由此可判定B正确，不符合题意；进而得到是的中位线，是的中位线，利用中位线性质以及平行线性质，可得，，由此判定A、C正确，不符合题意；由已知条件，无法判定，故D错误，符合题意． 解： 四边形是平行四边形， ，， E是的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，即， ， ． 综上，故A、B、C正确，不符合题意， 由已知条件，不能得到，故不能判定，故D错误，符合题意． 故选：D． 【变式2】（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，把矩形沿直线折叠，点B落在点E处，连接，则顺次连接四边形各边中点，得到的四边形的形状一定是 ． 【答案】菱形 【分析】此题主要考查了矩形的性质，三角形的中位线定理和菱形的判定．用到的知识点：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；四边相等的四边形是菱形．根据矩形的性质及中位线定理和菱形的判定，可推出四边形为菱形． 解：∵把矩形沿直线折叠，点B落在E处， ∴， ∵顺次连接四边形各边中点， ∴H、F分别是的中点， ∴． 同理， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形． ∴得到的四边形的形状一定是：菱形． 故答案为：菱形． 【题型6】利用三角形解决三角形的中位线和斜边上中线 【例6】（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）如图，在钝角中，（，且），于点是的中点． （1）求证：． （2）若的三边长是连续整数（是最短边），求的值． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）取的中点，连接，根据已知可得，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而得出，根据等角对等边得出，即可得证； （2）根据题意设的长为，则的长为的长为．根据勾股定理建立方程，解方程，进而可得，根据（1）可得，求得，根据正切的定义，即可求解． 解：（1）解：证明：如图，取的中点，连接． ， ， ． 是斜边上的中线， ， ． ， ， ， ． （2）设的长为，则的长为的长为． 根据勾股定理，得， 解得． ， ， ， ． 由（1）知， ． 是的中点， ， ， ． 【点拨】本题考查了中位线的性质与判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，解一元二次方程，求正切，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，，线段绕点逆时针旋转到，连，为的中点，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的中位线定理、旋转的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线定理是解题关键．取的中点，连接，先根据含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据旋转的性质可得，然后根据三角形的中位线定理可得，最后根据当点共线时，取得最大值，由此即可得． 解：如图，取的中点，连接， ∵在中，，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转到， ∴， ∵点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵（当点共线时，等号成立）， ∴的最大值为， 故答案为：． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，D，E，F分别是的中点．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、三角形中位线的性质等知识点，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形中位线的性质即可解答． 解：∵，D是的中点， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴． 故答案为2． 【知识点3】三角形的中位线的应用 【题型7】三角形中位线的应用 【例7】（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图，矩形中，点为的中点，且．请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图（1）中，作线段，使得； （2）在图（2）中，作，使得． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了用无刻度线的直尺作图、中位线定理，全等三角形的判定等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）连接，延长和交于点，由题意得，，所以，所以； （2）连接对角线和交于，连接，因为为的中点，为中点，所以，，又因为，所以，，，即． 解：（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， 【变式1】（22-23八年级下·广东珠海·期中）如图，的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形，再以的三边中点为顶点，组成第2个三角形，…，则第个三角形的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，即可得到答案． 解：的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形， ，，， 的周长为， 的周长为， … 以此类推，第个三角形的周长为， 故选：A． 【点拨】本题考查了找规律-图形的变化类，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【变式2】（2022·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，点，分别从点，同时出发，沿，方向以相同的速度运动（分别运动到点，即停止），与相交于点，与相交于点．则在此运动过程中，线段的长始终等于 ． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质得出，，得出四边形和四边形都是平行四边形，则，，由三角形中位线定理可得出答案． 解：四边形是平行四边形， ，， 点，分别从点A，同时出发，沿，方向以相同的速度运动， ， ， 四边形和四边形都是平行四边形， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，证明四边形和四边形是平行四边形是解题的关键． 【知识点4】链接中考与拓展延伸 【题型8】直通中考 【例1】（2023·湖南·中考真题）如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点． （1）求证：四边形为平行四边形 （2），求线段的长度． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）由三角形中位线定理得到，，得到，即可证明四边形为平行四边形； （2）由四边形为平行四边形得到，由得到，由勾股定理即可得到线段的长度． 解：（1）解：∵点D、E分别为的中点， ∴， ∵点G、F分别为、的中点． ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴． 【点拨】此题考查了中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形为平行四边形和利用勾股定理计算是解题的关键． 【例2】（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． （1）求证：，； （2）将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________； ②求证：． 【答案】（1）见分析；（2）①；②见分析 【分析】（1）先证明得到，，根据直角三角形斜边中线性质得到，根据等边对等角证明，进而可证明； （2）①延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．先证明，得到，，进而，．证明得到，然后利用三角形的中位线性质得到，则，进而证明即可得到结论； ②根据得到即可得到结论． 解：（1）证明：在和中， ，，， ， ，． 是斜边的中点， ， ， ， ． ， ， ． ； （2）解：①； 理由如下：延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点． ，，， ， ，， ， ， ， ， ． ， ． 在和中， ，，， ， ． 是中点，是中点， 是中位线， ． ， ， ． ， ． 故答案为：； ②证明： ∵， ， ， ． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、平行线的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 【题型9】拓展延伸 【例1】（2022·江苏扬州·中考真题）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点；第2次折叠使点落在点处，折痕交于点．若，则 ． 【答案】6 【分析】根据第一次折叠的性质求得和，由第二次折叠得到，，进而得到，易得MN是的中位线，最后由三角形的中位线求解． 解：∵已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点， ∴，． ∵第2次折叠使点落在点处，折痕交于点， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴MN是的中位线， ∴，． ∵，， ∴． 故答案为：6． 【点拨】本题主要考查了折叠的性质和三角形中位线的性质，理解折叠的性质，三角形的中位线性质是解答关键． 【例2】（24-25九年级上·湖北咸宁·阶段练习）如图，在中，，，，点D，E分别是，的中点，点G，F在边上（均不与端点重合），．将绕点D顺时针旋转，将绕点E逆时针旋转，拼成四边形，则四边形周长l的取值范围是 ． 【答案】 【分析】如图，连接，作于，首先证明，要求四边形周长的取值范围，只要求的最大值和最小值即可． 解：如图，连接，作于． 在中， ， ， ， ， 根据旋转可得， ∴，是的中位线， ，三点共线， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ， 根据题意， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长， ∴当时，可得四边形周长取得最小值，最小值， 当与重合时可得周长取得最大值，最大值， ∵不与重合， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了旋转变换，勾股定理，平行四边形的性质和判定，三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会取特殊点解决问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 三角形的中位线（2大知识点4大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】三角形中位线的定义 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 【知识点2】三角形中位线的定理 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 【要点提示】 （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【知识点1】利用三角形中位线求解 【题型1】利用三角形的中位线求线段长............................................2 【题型2】利用三角形的中位线求角度..............................................2 【题型3】利用三角形的中位线求面积..............................................3 【知识点2】利用三角形中位线证明 【题型4】中点四边形............................................................4 【题型5】利用三角形中位线进行证明..............................................5 【题型6】利用三角形解决三角形的中位线和斜边上中线..............................6 【知识点3】三角形的中位线的应用 【题型7】三角形中位线的应用....................................................6 【知识点4】链接中考与拓展延伸 【题型8】直通中考..............................................................7 【题型9】拓展延伸..............................................................8 第二部分【题型展示与方法点拨】 【知识点1】利用三角形中位线求解 【题型1】利用三角形的中位线求线段长 【例1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点E，P是的中点，若，，求的长．    【变式1】（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图所示，在四边形中，，，，，，分别是，边的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，平分，于点D，点E为的中点．若，，则的长为 ． 【题型2】利用三角形的中位线求角度 【例2】（24-25八年级上·重庆开州·期末）在中，，将沿折叠得到，连接、、，平分，过点作于点． （1）求证：； （2）若，为的中点，求的度数． 【变式1】（23-24九年级上·四川资阳·期末）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点分别是边的中点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线相交于O点，，E是边的中点，G、F为上的点，连接和，若，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【题型3】利用三角形的中位线求面积 【例3】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，D、E分别是的中点，F是延长线上的点，且． （1）图中的平行四边形有哪几个？请选择其中一个说明理由； （2）若是等边三角形，且边长3，求四边形的面积． 【变式1】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，点D在边上，，点E是内部一点，，延长交于点F，连接，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，M、N分别是的中点，且，则 ．    【知识点2】利用三角形中位线证明 【题型4】中点四边形 【例4】（23-24八年级下·江西景德镇·期末）（1）如图①，在四边形中，点E、F、G、H分别为边的中点，求证：四边形为平行四边形． （2） 如图②，已知的中线交于点O（点O即为的重心）．若点F、G分别为的中点，，连接，求的长． 【变式1】（22-23八年级下·山东滨州·期中）如图所示，任意四边形，点，，，分别为、、、的中点，若四边形的面积为，那么四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·广东佛山·三模）如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形为 形． 【题型5】利用三角形中位线进行证明 【例5】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，，E、F分别是、的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点M、N，证明：． 【变式1】（23-24九年级上·辽宁盘锦·开学考试）如图已知四边形是平行四边形，对角线，交于点O，E是的中点，以下说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，把矩形沿直线折叠，点B落在点E处，连接，则顺次连接四边形各边中点，得到的四边形的形状一定是 ． 【题型6】利用三角形解决三角形的中位线和斜边上中线 【例6】（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）如图，在钝角中，（，且），于点是的中点． （1）求证：． （2）若的三边长是连续整数（是最短边），求的值． 【变式1】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，，线段绕点逆时针旋转到，连，为的中点，连接，则的最大值为 ． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，D，E，F分别是的中点．若，则 ． 【知识点3】三角形的中位线的应用 【题型7】三角形中位线的应用 【例7】（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图，矩形中，点为的中点，且．请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图（1）中，作线段，使得； （2）在图（2）中，作，使得． 【变式1】（22-23八年级下·广东珠海·期中）如图，的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形，再以的三边中点为顶点，组成第2个三角形，…，则第个三角形的周长为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（2022·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，点，分别从点，同时出发，沿，方向以相同的速度运动（分别运动到点，即停止），与相交于点，与相交于点．则在此运动过程中，线段的长始终等于 ． 【知识点4】链接中考与拓展延伸 【题型8】直通中考 【例1】（2023·湖南·中考真题）如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点． （1）求证：四边形为平行四边形 （2），求线段的长度． 【例2】（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． （1）求证：，； （2）将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________； ②求证：． 【题型9】拓展延伸 【例1】（2022·江苏扬州·中考真题）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点；第2次折叠使点落在点处，折痕交于点．若，则 ． 【例2】（24-25九年级上·湖北咸宁·阶段练习）如图，在中，，，，点D，E分别是，的中点，点G，F在边上（均不与端点重合），．将绕点D顺时针旋转，将绕点E逆时针旋转，拼成四边形，则四边形周长l的取值范围是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$