平面直角坐标系中的直线 讲义-2025届高三数学一轮复习

平面直角坐标系中的直线 章节框架： 知识点 1：倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）☆ 倾斜角的取值范围 2、直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）☆ 越大，直线越陡峭 （5）☆ 倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大； 3、过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，，则 ☆ 若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4、三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在． 题型一：倾斜角和斜率的直接运用 【典例1-1】直线的倾斜角为 . 【变式1-1】已知直线的倾斜角为，则的值是 ． 【典例1-2】经过两点的直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】过两点，的直线的倾斜角是135°，则y等于（    ） A．1 B．5 C． D． 题型二：求倾斜角和斜率的范围 （正切函数图像的运用） 【典例2-1】直线l经过，两点，那么直线l的斜率的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【变式2-1】函数的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若直线的倾斜角的取值范围是 . 题型三：过定点的直线和线段相交 【典例3-1】已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 . 【变式3-1】已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 【变式3-2】已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是 ． 题型四：三点共线 【典例4-1】若点、、在同一直线上，则实数k的值为 ． 知识点 2：直线的方程 名称 方程 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 点法式 已知直线过点，一个法向量为， 则直线的点法向式方程为：； 题型一、求直线方程 【典例1-1】已知点，直线与轴相交于点，则中，边上的高所在直线的方程是 . 【典例1-2】直线l：绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是 . 【典例1-3】已知直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则此直线的方程为 ． 【典例1-4】已知直线在轴上的截距为，且的一个法向量是；则直线的方程是 . 【变式1-1】若直线l的方程中，，，则此直线必不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-2】已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型二、三角形问题 【典例2-1】已知直线l过点，与x轴正半轴交于点A､与y轴正半轴交于点B. （1）求面积最小时直线l的方程（其中O为坐标原点）； （2）求的最小值及取得最小值时l的直线方程. 【变式2-1】在平面直角坐标系中，直线过定点，且与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点. （1）当取得最小值时，求直线的方程； （2）求面积的最小值. 【变式2-2】已知直线过定点，且交轴负半轴于点､交轴正半轴于点．点为坐标原点． （1）若的面积为4，求直线的方程； （2）求的最小值，并求此时直线的方程； （3）求的最小值，并求此时直线的方程． 知识点 3：两条直线的位置关系 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)， l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1与l2垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2平行的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1与l2相交的充分条件 ≠(A2B2≠0) l1与l2重合的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0) 题型一：垂直关系和平行关系的判定 【典例1-1】已知两条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例1-2】设直线，，则是的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A．存在，使得 B．当时， C．当时， D．对任意的，都有 【变式1-2】设直线（、不同时为零），（、不同时为零），则“、相交”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 题型二：垂直和平行关系的应用 【典例2-1】若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2-1】已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为 A． B． C． D． 题型三：直线系方程 与已知直线平行的直线系方程（为参数）． 与已知直线垂直的直线系方程（为参数）． 过直线与的交点的直线系方程：（为参数）． 【典例3-1】过点且与直线平行的直线方程是 ． 【典例3-2】已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为 . 【变式3-1】过点且与直线垂直的直线方程为 ． 知识点 4：直线的夹角和对称问题 ① 在平面直角坐标系中，已知两条直线方程为： 若夹角为；所以，； ② 若直线与直线的夹角为，则. 对称问题： ① 点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． ② 直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 ③ 常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 题型一：求直线夹角 【典例1-1】直线与直线的夹角大小为 ． 【典例1-2】如果直线与的斜率分别是一元二次方程的两个根，那么两直线的夹角为 . 【变式1-1】直线与直线所成夹角的余弦值等于 题型二：对称问题 【典例2-1】一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】直线：关于直线：的对称直线方程为 ．知识点 5：距离问题 1、两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2、点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 4、双根式 双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解． 题型一：距离公式的直接应用 【典例1-1】已知点，，，则的面积为 ． 【典例1-2】过直线与直线的交点，且到点的距离为1的直线l的方程为 ． 【典例1-3】若两条直线与平行，则与间的距离是 . 【变式1-1】若恰有两组的实数对满足关系式，则符合题意的的值为 . 【变式1-2】点，到直线l的距离分别为1和4，写出一个满足条件的直线l的方程： . 题型二：有关距离的最值问题 【典例2-1】已知点在直线上，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2-2】已知直线，则点到直线的距离的最大值为 . 【典例2-3】已知实数，满足，，，则的最小值是 ． 题型三：双根式问题 【典例3-1】已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】设，其中.则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平面直角坐标系中的直线 章节框架： 知识点 1：倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）☆ 倾斜角的取值范围 2、直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）☆ 越大，直线越陡峭 （5）☆ 倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大； 3、过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，，则 ☆ 若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4、三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在． 题型一：倾斜角和斜率的直接运用 【典例1-1】直线的倾斜角为 . 【答案】 【解析】由题意可将原直线方程变形， 则直线的斜率为， 由倾斜角的取值范围，所以倾斜角为. 故答案为：. 【变式1-1】已知直线的倾斜角为，则的值是 ． 【答案】 【解析】由直线方程，得直线斜率， 所以. 故答案为： 【典例1-2】经过两点的直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】经过两点的直线的斜率为， 因为直线的倾斜角大于等于小于， 故经过两点的直线的倾斜角是， 故选：D 【变式1-2】过两点，的直线的倾斜角是135°，则y等于（    ） A．1 B．5 C． D． 【答案】D 【解析】由斜率公式得，且直线的倾斜角是135°， 所以，即，解得． 故选：D. 题型二：求倾斜角和斜率的范围 （正切函数图像的运用） 【典例2-1】直线l经过，两点，那么直线l的斜率的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故那么直线l的斜率的取值范围为. 故选：B 【变式2-1】函数的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设切线的倾斜角为，则，∵， ∴切线的斜率，则. 故选：B 【变式2-2】若直线的倾斜角的取值范围是 . 【答案】 【解析】设直线倾斜角为，当时直线斜率不存在，此时倾斜角为； 当时，斜率为，直线 化为斜截式为， ，因为且， 所以， 即，所以； 综上有：. 题型三：过定点的直线和线段相交 【典例3-1】已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】直线，过定点， 则， 直线和以为端点的线段相交， 由图可知，或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式3-1】已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】设，则，， 点是线段上的任意一点， 的取值范围是，， 故答案为：， 【变式3-2】已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是 ． 【答案】 【解析】如下图，由题意， 直线方程可化为， 由解得， 则直线过定点， 又， 则由直线与连接两点的线段总有公共点知: 直线的斜率满足或， 又当直线的斜率存在时，， 所以或， 则直线的倾斜角为或， 又也符合题意， 则直线的倾斜角范围是. 故答案为：. 题型四：三点共线 【典例4-1】若点、、在同一直线上，则实数k的值为 ． 【答案】 【解析】因为三点、、在同一直线上， ∴的斜率和的斜率相等， 即， ∴. 知识点 2：直线的方程 名称 方程 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 点法式 已知直线过点，一个法向量为， 则直线的点法向式方程为：； 题型一、求直线方程 【典例1-1】已知点，直线与轴相交于点，则中，边上的高所在直线的方程是 . 【答案】 【解析】直线与轴交点的斜率， 所以边上的高的斜率， 所以所在直线方程为. 故答案为： 【典例1-2】直线l：绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是 . 【答案】 【分析】先找到直线的斜率，再由直线过点求出直线方程. 【解析】设直线l的倾斜角为，则，则， 所以直线， 故答案为：. 【典例1-3】已知直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则此直线的方程为 ． 【答案】或 【解析】当直线经过原点时，直线方程为：． 当直线不经过原点时，设直线方程为：， 把点代入，解得． 直线方程为． 综上可得直线方程为：或， 故答案是：或． 【典例1-4】已知直线在轴上的截距为，且的一个法向量是；则直线的方程是 . 【答案】 【分析】直线的一个法向量，可得直线的斜率为，结合已知条件利用斜截式即可得出直线方程. 【解析】因为直线的一个法向量是，所以直线的斜率为， 又因为直线在轴上的截距为，所以直线的方程为. 故答案为： 【变式1-1】若直线l的方程中，，，则此直线必不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由，，， 知直线斜率，在轴上截距为， 所以此直线必不经过第三象限. 故选：C 【变式1-2】已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线可变为，所以过定点，又因为直线在两坐标轴上的截距都是正值，可知， 令，所以直线与轴的交点为， 令，所以直线与轴的交点为， 所以， 当且仅当即时取等，所以此时直线为：. 故选：C. 题型二、三角形问题 【典例2-1】已知直线l过点，与x轴正半轴交于点A､与y轴正半轴交于点B. （1）求面积最小时直线l的方程（其中O为坐标原点）； （2）求的最小值及取得最小值时l的直线方程. 【解析】（1）设l的方程为，由直线过点知，即，由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立， 又知，所以时等号成立， 此时l直线的方程为， 即面积最小时直线l的方程为. （方法 2 可参考【变式2-1】第二问） （2）易知直线l的斜率存在，所以可设直线l的方程为，所以得，，所以，得，等号成立时有k，得， 此时直线的方程为，即. 故的最小值是24，取最小值时直线l的方程是. （方法 2 可参考【变式2-1】第一问，方法 3 可参考【变式2-2】第三问） 【变式2-1】在平面直角坐标系中，直线过定点，且与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点. （1）当取得最小值时，求直线的方程； （2）求面积的最小值. 【解析】（1）设直线的倾斜角为（为锐角）， 由P点做x轴，y轴垂线，垂足分别为E，F，则PE=2，PF=3, ， 则， 所以当时，取得最小值， 此时直线的方程为； （2）矩形OFPE面积为3×2=6，， ， 当且仅当时取等号， 所以面积的最小值为12. 【变式2-2】已知直线过定点，且交轴负半轴于点､交轴正半轴于点．点为坐标原点． （1）若的面积为4，求直线的方程； （2）求的最小值，并求此时直线的方程； （3）求的最小值，并求此时直线的方程． 【解析】设，. （1）设，因为过点，所以， 所以，由解得， 所以直线的方程为，即； （2）， 所以， 当且仅当，时取等号，所以直线的方程为； （3）依题意可知三点共线，在线段上（且与不重合）， 所以 ， 当且仅当，时取等号，所以直线的方程为． 知识点 3：两条直线的位置关系 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)， l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1与l2垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2平行的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1与l2相交的充分条件 ≠(A2B2≠0) l1与l2重合的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0) 题型一：垂直关系和平行关系的判定 【典例1-1】已知两条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【典例1-2】设直线，，则是的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，直线，， 此时，则，所以，故充分性成立； 当时，，解得或，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：C. 【变式1-1】已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A．存在，使得 B．当时， C．当时， D．对任意的，都有 【答案】D 【解析】对于A，表示过定点，且斜率不为的直线， 集合表示直线上所有的点，，A错误； 对于B，当时，，， 由得：，，B错误； 对于C，当时，，满足； 当，即时，直线与平行， ，解得：； 综上所述：当时，或，C错误； 对于D，若，则且直线与重合， ，方程组无解，，D正确. 故选：D. 【变式1-2】设直线（、不同时为零），（、不同时为零），则“、相交”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】分均不为0和有且只有一个为0两种情况讨论，分别证得充分性和必要性即可得出结论. 【解析】当直线斜率都存在即均不为0时，若“、相交”，则两直线的斜率不相等，得，即，当直线斜率有一个不存在即有且只有一个为0时，也成立，故充分性成立； 反之，均不为0时，若“”，则，则两直线的斜率不相等，即、相交，有且只有一个为0时，、也相交，故必要性成立；综上，则“、相交”是“”的充要条件， 故选：C. 题型二：垂直和平行关系的应用 【典例2-1】若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】三条直线不能构成三角形 至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点. 若∥，则；若∥，则； 若∥，则的值不存在； 若三条直线相交于同一点， 直线和联立：，直线和交点为; 直线和联立：，直线和交点为; 三条直线相交于同一点两点重合或. 故实数的取值最多有个. 故选:C 【变式2-1】已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】为的垂心    ， 又， 直线斜率存在且， 设，则，解得：     本题正确选项： 题型三：直线系方程 与已知直线平行的直线系方程（为参数）． 与已知直线垂直的直线系方程（为参数）． 过直线与的交点的直线系方程：（为参数）． 【典例3-1】过点且与直线平行的直线方程是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，设出所求直线的方程，利用待定系数法求解作答. 【解析】设与直线平行的直线方程是， 依题意，，解得， 所以所求直线方程是. 故答案为： 【典例3-2】已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为 . 【答案】 【解析】依题意两直线和的交点为， 所以在直线上， 所以过两点所在直线方程为. 故答案为： 【变式3-1】过点且与直线垂直的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，以及直线的点斜式方程，即可求解． 【解析】直线的斜率为2，则所求直线的斜率为，而所求直线过点， 所以所求直线的方程为，即. 知识点 4：直线的夹角和对称问题 ① 在平面直角坐标系中，已知两条直线方程为： 则与的法向量为： ，；若夹角为； 所以，； ② 若直线与直线的夹角为，则. 对称问题： ① 点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． ② 直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 ③ 常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 题型一：求直线夹角 【典例1-1】直线与直线的夹角大小为 ． 【答案】/ 【解析】设直线与直线的倾斜角分别为， 则，且， 所以， 因为， 所以，即两条直线的夹角为， 故答案为：. 【典例1-2】如果直线与的斜率分别是一元二次方程的两个根，那么两直线的夹角为 . 【答案】/60° 【解析】设直线与的斜率分别为， ，与夹角为. ∵直线的斜率分别为二次方程的两个根 且 ∴， ∴ ∵ ∴ 【变式1-1】直线与直线所成夹角的余弦值等于 【答案】 【解析】直线，即，则其斜率为，倾斜角为； 直线，即，则其斜率， 设直线的倾斜角为，则， 又，所以， 所以，，而， 所以两直线的夹角为， 又因为， 则 所以， 故所求夹角的余弦值为. 方法 2：直接利用夹角公式 题型二：对称问题 【典例2-1】一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线的对称点为， 则，化简得，解得， 故反射光线过点， 则反射光线所在直线的方程为. 故选：B. 【典例2-2】直线：关于直线：的对称直线方程为 ． 【答案】 【解析】设直线关于直线对称的直线为，由，解得， 则点在直线上； 在直线上取一点，设其关于直线对称的点为， 则，解得，即， 所以直线的方程为，即． 故答案为： 知识点 5：距离问题 1、两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2、点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 4、双根式 双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解． 题型一：距离公式的直接应用 【典例1-1】已知点，，，则的面积为 ． 【答案】5 【解析】设边上的高为，则就是点C到AB所在直线的距离． 易知． 由两点式可得边所在直线的方程为，即． 点到直线的距离， 所以的面积为． 故答案为：5 【典例1-2】过直线与直线的交点，且到点的距离为1的直线l的方程为 ． 【答案】或 【解析】解析：由解得 所以l1，l2的交点为. 显然，直线满足条件； 当直线斜率存在时，设直线方程为， 即， 依题意有，解得. 所以所求直线方程为或． 故答案为：或． 【典例1-3】若两条直线与平行，则与间的距离是 . 【答案】/ 【解析】两条直线与平行, 解得， 经检验时，,两直线不重合； 所以， 则与间的距离, 故答案为：. 【变式1-1】若恰有两组的实数对满足关系式，则符合题意的的值为 . 【答案】/ 【解析】可以看成点到直线：的距离， 可以看成点到直线：的距离， 由已知可得，，：不过原点， 又由恰有两组的实数对满足关系式， 所以可以看成有且仅有两条直线满足，直线方程：， 所以满足题意的直线： 第一条是线段的垂直平分线，当：是的垂直平分线时， 因为，所以，符合题意； 第二条只能取自与直线平行的两条直线中的一条，且此时另一条直线过原点， 此时第二条直线的方程为， 所以此时，即，符合题意； 所以. 故答案为：. 【变式1-2】点，到直线l的距离分别为1和4，写出一个满足条件的直线l的方程： . 【答案】或或（填其中一个即可） 【解析】设，，连接MN，则. 以M为圆心，1为半径作圆M，以N为圆心4为半径作圆N，则两圆外切， 所以两圆有3条公切线，即符合条件的直线l有3条. 当公切线的斜率不存在时，显然公切线的方程为. 当公切线的斜率存在时，设公切线的方程为，则有， 由①②得，所以或. 由①及得，由①及得， 所以公切线方程为或. 综上，直线l的方程为或或. 故答案为：或或 题型二：有关距离的最值问题 【典例2-1】已知点在直线上，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】就是到原点距离， 到原点距离的最小值为 则的最小值为2， 故选：B. 【典例2-2】已知直线，则点到直线的距离的最大值为 . 【答案】 【解析】直线，即， 由,解得，，所以直线恒过定点， 当直线l与直线AP垂直时，点到直线的距离的最大， 最大值为， 所以点到直线的距离的最大值为， 故答案为： 【典例2-3】已知实数，满足，，，则的最小值是 ． 【答案】/ 【解析】依题意，方程、分别表示以原点为圆心，2、3为半径的圆， 令，即点分别在、上，如图， 显然，，即有， ，取线段中点，连接，则， 因此点在以原点为圆心，为半径的圆上， 而， 即表示点到直线的距离和的倍， 过分别作直线的垂线，垂足分别为，过作垂直于直线于点， 于是，， ，原点到直线的距离， 显然，当且仅当点共线，且点在线段上时取等号， 所以. 故答案为： 题型三：双根式问题 【典例3-1】已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点为直线上的动点， 由可看作与的距离和与的距离之和， 设点则点为点关于直线的对称点， 故，且， 所以， 当且仅当三点共线时，取等号， 所以的最小值为. 故选：C 【变式3-1】设，其中.则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【答案】B 【解析】设，则表示：， ，则直线的方程为，令，则， 所以直线与轴相交于点， 所以， 所以，当点P为时，等号成立，故的最小值为9. 故选：B. 学科网（北京）股份有限公司 $$