专题06 实数72道压轴题型专训（9大题型）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题06 实数72道压轴题型专训（9大题型） 【题型目录】 题型一 平方根相关压轴题 题型二 立方根相关压轴题 题型三 平方根、立方根的规律探究 题型四 无理数整数部分的有关计算 题型五 实数的混合运算 题型六 新定义的实数运算 题型七 与实数运算相关的规律题 题型八 算术平方根和立方根的综合应用 题型九 实数运算的实际应用 【经典例题一 平方根相关压轴题】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知且，求的平方根； （2）已知的平方根是的立方根是3，求的算术平方根． 【答案】（1）0；（2）12 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根、绝对值： （1）先根据已知条件判断出与y的数量关系，进而求出的平方根； （2）先根据平方根、立方根的定义得出，解方程组求出x，y的值，进而求出的值，再根据算术平方根的定义求解． 【详解】解：（1） 或． 且， ， ， ， 的平方根是0． （2）由题意可知，， 解得， ． ， 的算术平方根是12． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）求的算术平方根． 解：因为，所以的算术平方根是． 上面的解答正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】不正确，见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．利用算术平方根的意义解答即可． 【详解】解：不正确．正确的解答过程如下： 因为，所以的算术平方根为， 所以的算术平方根为． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果一个正数的正的平方根是，且的平方根是． (1)求的值； (2)求这个正数的值及的平方根． 【答案】(1) (2)，的平方根是 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义． （1）由题意得：，求出，进而得到，推出即可求解； （2）根据求出的值，再根据平方根的定义即可求的平方根． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ， ， ； （2）， 的平方根是， ，的平方根是． 4．（24-25七年级下·山东青岛·期末）小林在学习了估算以后，做了进一步的思考：若一个正数的算术平方根在两个相邻整数之间，且这个正数与这两个相邻整数的平方同样接近，则这个正数的算术平方根会与其中哪个整数更接近呢? 要研究这个问题，我们可以先从特例入手，得出猜想，再用字母进行一般验证． (1)2.5的算术平方根在整数1和2之间，且2.5与1和4同样接近，则2.5的算术平方根与整数1和2中的 更接近； (2)请判断56.5的算术平方根在哪两个相邻整数之间，与其中哪个整数更接近？写出你的判断过程． (3)通过特例的研究，请写出你的猜想，并进行验证． 【答案】(1)2 (2)56.5的算术平方根在7和8之间，更接近8 (3)见解析 【分析】本题主要考查了无理数的估算、算术平方根等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）比较1.5的平方和2.5的大小即可得解； （2）观察56.5在哪两个连续整数之间，再计算这两个连续整数的中间值的平方和56.5的大小即可得解； （3）由前述两问可猜想若一个正数的算术平方根在相邻的两个整数之间，且这个正数与这两个相邻整数的平方同样接近，则这个正数的算术平方根与较大数更接近，再根据前面思路证明即可． 【详解】（1）解：，， ， 的算术平方根与整数2更接近， 故答案为：2； （2）解：，，且， 的算术平方根在整数7和8之间， ，，且， ， 的算术平方根与整数8更接近； （3）解：猜想：若一个正数的算术平方根在相邻的两个整数之间，且这个正数与这两个相邻整数的平方同样接近，则这个正数的算术平方根与较大数更接近； 证明：设、均大于，且， ， 的算术平方根与更接近． 5．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）【数学中的阅读理解】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． 【阅读理解】仿照以上方法计算：________，________； 【解决问题】若，写出满足题意的的整数值________； 【扩展探究】①如果我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，几次之后结果是1； ②试求出只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中最大的数． 【答案】【阅读理解】：4，6；【解决问题】：1或2或3；【扩展探究】①3次；②255 【分析】本题考查新定义运算，涉及开方运算中的算术平方根，读懂题意，掌握新定义的根整数运算是解决问题的关键． 【阅读理解】由根整数的定义，结合及即可得到答案； 【解决问题】由根整数的定义，根据得到，再结合与即可确定，从而得到答案； 【扩展探究】①由根整数的定义，逐次求解即可得到答案；②由前面求解过程，结合根整数的定义，逐次分析倒推即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ，即， ，， 故答案为：4，6； 【解决问题】解：， ， ，， ∴， 或或， 故答案为：1或2或3； 【扩展探究】解：①第一次：， 第二次：， 第三次：， 第3次之后结果为1， 故答案为：3次； ②由上述求解过程可知，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ，， 进行2次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15， ，， 进行3次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255， 只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255， 故答案为：255． 6．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：； …… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______________________； ②_________________． (2)用含n（n为正整数）的代数式表示出第n个等式：__________． (3)根据上述规律计算：． 【答案】(1)①4；②100 (2) (3) 【分析】本题考查了算术平方根、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知算式得出规律，即可得出答案；②根据已知算式得出规律，即可得出答案； （2）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （3）根据，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①由题意得：； ②； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 第个等式：； （3）解： ． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请直接判断3，12，16是不是“和谐组合”，_________； (2)请证明2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (3)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 【答案】(1)不是 (2)证明见解析，， (3)a的值为或． 【分析】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是理解并掌握新定义的运算法则． （1）根据“和谐组合”的定义，分别求解算术平方根进行判断即可； （2）根据“和谐组合”的定义分别求解算术平方根即可； （3）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∵，不是整数， ∴3，12，32不是“和谐组合”； （2）证明：∵，， ∴2，18，8这三个数是“和谐组合” ∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （3）解：分三种情况：①当时，得：（舍去）， ②当时，，得：，经检验符合题意， ③当时，．得：，经检验符合题意． 综上所述，a的值为或． 8．（24-25七年级下·湖南常德·期末）解答题，在学习第二章第4节《估算》后，某数学爱好小组探究的近似值的过程如下： 面积为110的正方形的边长是 设，其中， 画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积为 ， 又， ， 当时，可忽略，得，解得， ． (1)求的整数部分； (2)仿照该数学爱好小组的探究过程，求的近似值（结果保留1位小数）．（要求：画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了估计无理数的大小，理解示例并合理解答是解题关键． （1）判断出即可解答； （2）仿造示例画出图形，可得，据此即可解答． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为3． （2）解：根据题意画出示意图，标注数据如下： 面积为13.8的正方形的边长是，且， 设，其中， 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又， ， 当时，可忽略，得，解得， ． 【经典例题二 立方根相关压轴题】 9．（24-25七年级下·湖南株洲·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)0 (4) 【分析】（1）首先计算立方根，绝对值和算术平方根，然后计算加减； （2）首先计算有理数的乘方，立方根和算术平方根，进而求解即可； （3）首先计算同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，然后计算加减； （4）根据多项式乘以多项式运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】此题考查了有理数的乘方，立方根和算术平方根，同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，多项式乘以多项式运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 10．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知是的算术平方根，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查立方根，平方根以及算术平方根的定义； （1）根据算术平方根的定义求出，再根据立方根的定义求出，即可解答； （2）将，代入求出的值，再根据立方根的定义解答． 【详解】（1）解：是的算术平方根， ， 解得：， 的立方根是， ∴，即 解得：； （2），， ， 的立方根是． 11．（24-25七年级下·湖南张家界·期中）已知满足以下条件： ①正数的两个不相等的平方根分别是和； ②． (1)分别求的值； (2)若，其中为整数，，求的值． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（）根据平方根的性质可求出的值，进而求出，再根据立方根的定义可求出的值； （）由（）可得，再根据夹逼法和已知条件即可求解； 本题考查了平方根，立方根及无理数的估算，掌握平方根的性质、立方根的定义及无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵正数的两个不相等的平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，为整数，， ∴， ∴． 12．（24-25七年级下·湖南湘潭·阶段练习）新定义：若无理数被开方数（为正整数）满足 （其中正整数），则，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数“青一区间”为例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是 ；的“青一区间”是 ； (2)若无理数 （为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】本题主要考查了无理数的估算，立方根的计算，理解新定义，掌握无理数估算的方法，立方根的计算是解题的关键． （）根据材料提示方法计算即可； （）根据材料提示方法得到，根据为正整数，得到或，再根据立方根的计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴的“青一区间”是，的“青一区间”是， 故答案为：，； （2）解：∵无理数的青一区间为， ∴， ∴ 即， ∵的青一区间为， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为或． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）先阅读材料，再解答问题． ，， ． ，， ． ，， ． ， ， ， ． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ． (2)计算的值． 【答案】(1)；；； ，相反数 (2) 【分析】（1）观察各式，填写即可；猜测得到互为相反数的两个数的立方根互为相反数； （2）利用得出的结论化简，计算即可得到结果． 此题考查了立方根，相反数，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 【详解】（1）解：，， ； ∴互为相反数的两个数的立方根互为相反数； 故答案为：；；； ，相反数 （2）解： ． 14．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）如何快速求解四位数的算术平方根呢？已知1764的算术平方根是一个整数，下面是嘉嘉同学求解的探究过程： ①由，，可以确定是一个_________位数； ②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是_________或_________； ③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则_________． (1)补全上述探究过程． (2)已知3249的算术平方根也是一个整数，仿照上述探究方法计算． (3)我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，参照求解算术平方根的过程，计算59319的立方根为_________． 【答案】(1)两；2；8；42 (2) (3)39 【分析】本题考查了算术平方根、立方根，理解题意，能够仿照题意的方法求算术平方根和立方根是解题的关键． （1）根据题意提供的思路和方法，进行推理验证得出答案即可； （2）根据（1）的方法、步骤，类推出相应的结果即可； （3）参照（1）的方法、步骤，计算立方根即可． 【详解】（1）解：①由，，可以确定是一个两位数； ②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是2或8； ③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则． 故答案为：两；2；8；42． （2）①由，，可以确定是一个两位数； ②由3249的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是3或7； ③如果划去3249后面的两位49得到数32，而，，可以确定的十位上的数是5，因为，而，所以选择较大的个位数字，则． 综上所述，． （3）①由，，可以确定是一个两位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，可以确定的十位上的数是3，则． 故答案为：39． 15．（24-25七年级下·湖南娄底·阶段练习）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中a、b为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中a、b为有理数，那么 ， ； (2)如果，其中a、b为有理数，求的值； (3)若a、b都是有理数，且，试求的立方根． 【答案】(1)，3 (2)9 (3)1或 【分析】本题主要考查了实数运算． （1）根据任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，可得，，进而得出答案； （2）由题意得：，，进而得出答案； （3）根据题意列方程，解出可得a和b的值，计算并求其立方根． 【详解】（1）解：∵，其中a、b为有理数， ∴，， ∴，， 故答案为：，3； （2）解：∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴，， 当，时，，1的立方根为1； 当，时，，的立方根为． ∴的立方根为1或． 16．（2025七年级下·全国·专题练习）观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【答案】(1)0.01，100 (2) (3)当或时，；当或或时，；当或时， 【分析】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳． （1）根据立方根的概念进行求解、归纳； （2）运用（1）题规律进行求解； （3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳． 【详解】（1）解：（1）；； 按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位， 故答案为：0.01、100； （2）已知，若，用含的代数式表示，则， 故答案为：； （3），，，，， 与的大小情况为： 当或时，； 当或或时，； 当或时，． 【经典例题三 平方根、立方根的规律探究】 17．（23-24七年级下·湖南常德·期中）阅读下列解题过程， ；；；… (1)______，______； (2)观察上面的解题过程，则： ①______（n为自然数）； ②利用这一规律计算：． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据所给前几个等式的变化规律即可求解； （2）①根据所给等式的变化规律即可得出结论；②根据所得结论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， ， 故答案为：，； （2）解：①由题意，， 故答案为：； ② ． 【点睛】本题考查数字类规律探究、算术平方根、有理数的乘法运算，找到等式中数字的变化与序号之间的关系是解答的关键． 18．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）按要求填空： （1）填表： a 0.0004 0.04   4 400 （2）根据你发现规律填空： 已知：=2.638，则=__，=__； 已知：=0.06164，=61.64，则x=__． 【答案】（1）0.02，0.2，2，20； （2）26.38,0.02638； 3800． 【分析】（1）分别用计算器将0.0004、0.04、4、400开方即可得出答案． （2）将720化为7.2×100，将0.00072化为7.2×10-4，继而可得出答案；再根据61.64化为0.06164×10-3可得答案． 【详解】（1）=0.02，=0.2， =2，=20； （2） ==2.638×10=26.38， ==2.638×10﹣2=0.02638； ∵ =0.06164， =61.64，61.64=0.06164×103 ∴x=3800． 故答案为0.02、0.2、2、20；26.38、0.02638；3800． 19．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1），，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位． （2）已知，，则_____；______． （3），，，…… 小数点的变化规律是_______________________． （4）已知，，则______． 【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01 【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可； （2）利用得出的规律计算即可得到结果； （3）归纳总结得到规律，写出即可； （4）利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】解：（1），，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位． 故答案为：两；右；一； （2）已知，，则；； 故答案为：12.25；0.3873； （3），，，…… 小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位； （4）∵，， ∴， ∴， ∴y=-0.01． 【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键． 20．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离．若点A表示的数a为最大的负整数，点B表示的数b在原点右侧，且绝对值为6，则 (1)点A表示的数a为______，点B表示的数b为______，数轴上A，B两点之间的距离为______； (2)满足的实数x的值为______； (3)的最小值为______； (4)满足的实数x的值为______； (5)若正实数c满足，则当x的值为______时，取到最小值______． 【答案】(1)；6；7 (2)7或 (3) (4)2或3 (5)；7 【分析】（1）由最大的负整数与绝对值的含义可得，的值，再求解两点之间的距离即可； （2）由，再分三种情况讨论即可； （3）由，再分三种情况讨论即可； （4）由，可得或；再结合（2）可得结论； （5）先求解，再结合绝对值的含义可得答案． 【详解】（1）解：∵点A表示的数a为最大的负整数，点B表示的数b在原点右侧，且绝对值为6， ∴，， ∴数轴上A，B两点之间的距离为； （2）∵， ∴， 当时，， ∴， 当时， ∴， 方程无解； 当时， ∴， 解得：； （3）∵， 当时，原式， 当时， ∴原式， 当时取得最小值； 当时， ∴原式； 综上：的最小值为； （4）∵， ∴， ∴或； 当时， 结合（2）得：此时， ∴， 解得：， 当，结合（2）得：此时， ∴， 解得：， 综上：或； （5）∵正实数c满足， ∴， ∴， ∵， ∴结合绝对值的含义可得当时，取得最小值， 最小值为：． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值的应用，一元一次方程的应用，利用平方根的含义解方程，二次根式的加减运算，掌握绝对值的几何意义是解本题的关键． 21．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）用“◇”和“☆”分别代表甲种植物和乙种植物，为了美化环境，采用如图所示的方案种植． （1）观察图形，寻找规律，并填写下表： （2）求出第个图形中甲种植物和乙种植物的株数； （3）是否存在一种种植方案，使得乙种植物的株数是甲种植物的株数的2倍？若存在，请你写出是第几个方案，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）16，25，36；25，36，49；（2）甲种植物的株数：n2，乙种植物的株数：(n+1)2；（3）不存在，理由见解析． 【分析】（1）通过观察图形总结规律即可得到答案； （2）通过观察图形，总结可以得到第n个图形中甲种植物和乙种植物的株数； （3）据总结得到的规律代入数值计算即可． 【详解】解：（1）第一行：16，25，36；第二行：25，36，49； （2）甲种植物的株数：n2，乙种植物的株数：(n+1)2； （3）不存在方案，使得乙种植物的株数是甲种植物的株数的2倍． 由(n+1)2=2 n2，两边同时开平方，得n+1=，这个方程的正整数解不存在． 【点睛】此题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和空间想象能力． 22．（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）【发现】 ① ② ③ ④…… （1）根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：______． 【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题： 对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： （2）若与的值互为相反数，则______； （3）若与的值互为相反数，且，求a的值． 【答案】（1）（答案不唯一），互为相反数；（2）6；（3） 【分析】（1）根据题目给出的规律解答即可； （2）根据题意可得，解方程求出x的值，再根据算术平方根的定义求解即可； （3）先根据题意得到，求出，再由，得到，即可求出． 【详解】解：（1），符合上述规律； 由题意得等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：对于任意两个有理数a，b，若互为相反数，则；反之也成立． 故答案为：（答案不唯一），互为相反数； （2）∵与的值互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6； （3）∵与的值互为相反数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质，求一个数的算术平方根，利用求平方根的方法解方程等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． 23．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）探究发散： (1)完成下列填空 ①______，②______，③______， ④______，⑤______，⑥______； (2)计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________ (3)利用你总结的规律，计算：若，则______； (4)有理数在数轴上的位置如图．    化简：． 【答案】(1)3，0.5，6，0，， (2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 (3) (4) 【分析】（1）根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值； （2）结合（1）中计算可知不一定等于，并发现其中规律． （3）运用（2）得出的规律进行运算即可； （4）结合数轴可知，且，然后根据算术平方根的性质、相反数的性质以及绝对值的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：①，②，③， ④，⑤，⑥． 故答案为：3，0.5，6,0，，； （2）由（1）可知，不一定等于，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 故答案为：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数； （3）若，则， 所以． 故答案为：； （4）由在数轴上的位置可知， ，且， 所以 ． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、有理数与数轴、相反数以及绝对值等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键． 24．（23-24七年级下·重庆·期中）【发现】 ①； ②； ③； ④；    ； 根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：________． 【归纳】 等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：对于任意两个有理数，，若，则； 【应用】 根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】[发现]；[应用]-4 【分析】[发现]根据题目给出的规律解答； [应用]根据题意列出方程，解方程求出x，根据算术平方根的概念解答即可． 【详解】解：[发现]，符合上述规律， 故答案为：； [应用]由题意得，， 解得，， 则． 【点睛】本题考查的是立方根和算术平方根的概念，根据题意正确找出规律是解题的关键． 【经典例题四 无理数整数部分的有关计算】 25．（24-25七年级下·湖南常德·阶段练习）（1）与成正比例，且当时，，求与之间的函数表达式． （2）已知的立方根是3，的算术平方根是，是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】（1）；（2）6 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，立方根、算术平方根以及无理数的估算，理解立方根、算术平方根的定义及熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据y与成正比例，设出一次函数关系式，在将时，，代入求出k值即可解答； （2）根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求出a、b、c的值，再代入中求出结果，再根据算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解： ∵y与成正比例， ∴设 将，代入得 ， 解得， 则， 与x之间的函数表达式为； （2）解：由题意得： ，， ，， 又，即，       的整数部分， 当，，时， ， 的算术平方根为6． 26．（24-25七年级下·湖南永州·期中）已知的平方根是的立方根是3，整数满足． (1)求的值． (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2)11 【分析】本题考查的是平方根与立方根的综合应用； （1）根据平方根和立方根的性质可得，可求出a，b，再根据无理数的估算，可得c的值，即可； （2）把代入，进而求算术平方根即可求解． 【详解】（1）解：的平方根是的立方根是3， ， 解得． ， ． （2）解：， ， ， 的算术平方根是11． 27．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）实数a在数轴上的对应点A的位置如图所示，， (1)求b的值； (2)已知的小数部分是m，的算术平方根是2，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据坐标轴可知，根据绝对值的性质进行求解即可； （2）先分别求出，的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：， ， ， ， ， ； （2）， 的小数部分是， 的算术平方根是2， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了实数与数轴，化简绝对值，无理数的整数部分和小数部分，掌握以上基础知识是解本题的关键． 28．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）大家知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，，则的小数部分为． (1)如果的整数部分为的整数部分为，求的立方根； (2)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查无理数的估算及立方根的定义，利用算术平方根正确的估算无理数在哪两个连续整数之间，进而确定整数部分和小数部分是解题的关键． （1）先根据的整数部分为的整数部分为，求出，，然后求出，最后求出结果即可； （2）根据整数部分是3，得出，再根据，是整数，且，求出，，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， ∴整数部分是3，即， 同理的整数部分是6，， ， 的立方根为． （2）解：∵整数部分是3， ，是整数，且， ，， ∴． 29．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）阅读下列材料： 通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是 (1)的整数部分是______． (2)已知，其中x是一个整数，，求的值． 【答案】(1)1 (2)17 【分析】本题考查的是无理数的估算，无理数的整数部分的理解，熟练的确定无理数的范围是解本题的关键． （1）仿照材料估算即可得到答案； （2）结合（1）求出x，y的值，再代入计算即可． 【详解】（1）∵，即， ∴的整数部分为1， 故答案为：1； （2）， ， ， ， ， ， ， 30．（24-25七年级下·江苏南京·期中）先阅读下面的文字，然后解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，因为的整数部分是1，差就是小数部分． 由此我们还可以得到一个真命题：如果，其中x是整数，那么， 请解答下列问题： (1)如果，其中是整数， 且，那么 ， ； (2)已知，其中是整数， 且，求的值． 【答案】(1)3， (2) 【分析】此题考查了估算无理数的大小， 解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题 ． （1） 估算出，可得，依此即可确定出，的值； （2） 根据题意确定出与的值， 代入求出即可 ． 【详解】（1）解：，其中是整数， 且， ， ， ，， 则； （2）解：，其中是整数， 且， ，， 则． 31．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）根据下表回答下列问题： 17 18 (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2) ；（保留一位小数） (3) ， ； (4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； (5)若这个数的整数部分为m，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)， (4) (5) 【分析】（1）可得，，由算术平方根和平方根的定义即可求解； （2）可得，由，，即可求解； （3）开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；据此即可求解； （4）可得，从而可求，即可求解； （5）由可求，代值计算即可求解． 【详解】（1）解：由表格得 ， ， 的算术平方根是， ， 的平方根为， 故答案：，． （2）解：， ，， ， 故答案：． （3）解：开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；， ， ， ； 故答案：，． （4）解：介于17．6与17．7之间， ， ， 可取、、、， 整数n有个， 故答案：． （5）解：，， 的整数部分是， ， ． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，逐步逼近法，无理数的估算，理解定义，掌握解法是解题的关键． 32．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）阅读下面的文字，解答问题 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：＜＜，即2＜＜3， ∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2） 请解答： （1）整数部分是　 　，小数部分是　 　． （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求|a﹣b|+的值． （3）已知：9+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数． 【答案】（1）7；-7；（2）5；（3）． 【分析】（1）估算出的范围，即可得出答案； （2）分别确定出a、b的值，代入原式计算即可求出值； （3）根据题意确定出等式左边的整数部分得出y的值，进而求出y的值，即可求出所求． 【详解】解：（1）∵7﹤﹤8， ∴的整数部分是7，小数部分是-7． 故答案为：7；-7． （2）∵3﹤﹤4， ∴， ∵2﹤﹤3， ∴b＝2 ∴|a-b|+ =|-3-2|+ =5-+ =5 （3）∵2﹤﹤3 ∴11＜9+＜12， ∵9+=x+y，其中x是整数，且0﹤y＜1， ∴x＝11，y＝-11+9+＝-2， ∴x-y＝11-(-2)＝13- ∴x-y的相反数为 【点睛】本题考查的是无理数的小数部分和整数部分及其运算．估算无理数的整数部分是解题关键． 【经典例题五 实数的混合运算】 33．（24-25七年级下·河南周口·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）4；（2）；10 【分析】本题考查实数的运算和整式的化简求值，按照运算顺序计算并熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键． （1）先计算立方根和平方根，最后加减运算即可； （2）先利用完全平方公式、平方差公式和多项式乘多项式将整式展开，再合并同类项得化简结果，最后代值计算即得． 【详解】解：（1） ； （2） ； 当时，原式． 34．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）计算与求值： (1)解方程： (2) (3) 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）先化简方程为，然后根据平方根的定义解方程即可求解； （2）根据算术平方根和立方根定义进行求解即可； （3）先计算算术平方根、零次幂、绝对值及负整数指数幂的运算，然后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ∴ 即 ∴ 解得：或 （2）解： ； （3） ． 35．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2)4 (3) (4)5 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂运算法则和负整数指数幂运算法则，准确计算． （1）原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减即可求出值． （2）根据有理数的乘方、零指数幂的性质计算即可． （3）直接根据乘方、零指数幂的运算法则进行计算即可； （4）根据负整数指数幂法则，绝对值的性质，有理数的加减混合运算法则、有理数的乘方法则和零指数幂法则进行解题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 36．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）计算（1）()－1＋(1＋)(1－)－； （2）（2016﹣）0+|3﹣|﹣； （3）； （4）9. 【答案】(1) 3－2；(2) ﹣2；（3）；（4） 【详解】试题分析：（1）根据负整数幂的性质和平方差公式化简，再合并同类二次根式即可； （2）根据零指数幂和绝对值、二次根式的化简计算即可； （3）先化简各个二次根式，再合并同类二次根式即可； （4）根据二次根式的性质化简二次根式，然后根据乘法运算先算乘法，再算加减即可. 试题解析：（1） ()－1＋(1＋)(1－)－ ＝5＋(1－3)－ ＝5－2－2 ＝3－2. （2）（2016﹣）0+|3﹣|﹣ =（2016﹣）0+|3﹣|﹣ =1+2﹣3﹣2 =﹣2 （3） ＝－－2＋ ＝ （4）9 = = 37．（2025七年级下·全国·专题练习）已知任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得如果，其中为有理数，为无理数，那么且． 运用上述知识，解决下列问题： (1)如果，其中为有理数，那么______，______； (2)如果，其中为有理数，求的值． 【答案】(1)2， (2)的值为的值为． 【分析】此题考查了实数的运算及二元一次方程组的解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）结合已知可得关于、的方程，解方程即可； （2）先将已知变形为，进而可得关于、的方程组，解方程组求得、的值． 【详解】（1）解：，是有理数， ，都是有理数． 根据如果，其中、为有理数，为无理数，那么且， 可得，， ，． 故答案为：2，； （2）解：首先把已知的式子化成（其中、为有理数，为无理数）的形式：． 、为有理数， ， 解得， 的值为的值为．． 38．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为．设点B表示的数为m． (1)实数m的值为_______； (2)在数轴上还有两点分别表示实数c和d，且与互为相反数．请计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数与数轴、平方根、非负数的性质，正确理解题意是解题关键． （1）根据向右爬了2个单位长度则在起点基础上加，即可得到m的值； （2）根据非负数的性质得到c，d的值，代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为， ∴， 故答案为：； （2）解：因为与互为相反数， 所以， 因为与均为非负数， 所以， 所以， 所以原式． 39．（24-25七年级下·广东深圳·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小欣用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【答案】(1)5， (2)1 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的减法运算，找到无理数的整数部分是解题的关键． （1）因为，从而知道的整数部分为，用减去得到其小数部分； （2）先求得和的整数部分，再得到的小数部分，再代入求值即可． 【详解】（1）解： 的整数部分是5，小数部分是 故答案为：5，， （2）解：∵ ∴的小数部分为： ∵ ∴的整数部分为： ∴ 40．（23-24七年级下·湖南永州·期末）已知、在数轴上对应的数分别用、表示，且，点是数轴上的一个动点． （1）求出、之间的距离； （2）若到点和点的距离相等，求出此时点所对应的数； （3）数轴上一点距点个单位长度，其对应的数满足．当点满足时，求点对应的数． 【答案】（1）12；（2）-4；（3）或 【分析】（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方与绝对值同时为0，可得a、b的值，根据两点间的距离，可得答案； （2）根据A和B所对应的数，可得AB中点所表示的数，即为点P所表示的数； （3）根据题意可以得到c的值，然后利用分类讨论的方法即可求得点P对应的数. 【详解】解：（1）∵， ∴，， 解得：a=2，b=-10， ∴A、B之间的距离为：2-（-10）=12； （2）∵P到A和B的距离相等， ∴此时点P所对应的数为：； （3）∵|ac|=-ac，a=2＞0， ∴c＜0，又|AC|=， ∴c=，BC=12-， ∵， ①P在BC之间时，点P表示， ②P在C点右边时，点P表示， ∴点P表示的数为：或. 【点睛】本题主要考查数轴上的点与绝对值的关系和平方与绝对值的非负性，另外此题有一个易错点，第（3）题中，要注意距离与数轴上的点的区别． 41．（24-25七年级下·贵州铜仁·期末）对于任意实数x、y，定义新运算：，其中a、b为常数，等号右边为通常的加法、减法和乘法运算，例如．若，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，新定义，根据新定义可得方程组，解方程组求出a、b的值，再根据新定义代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 42．（2025七年级下·全国·专题练习）已知a，b，m都是实数，若，则称a与b是关于1的“平衡数”． (1)4与 是关于1的“平衡数”，与 是关于1的“平衡数”； (2)若，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由． 【答案】(1)， (2)不是，见解析 【分析】本题考查了新定义运算，实数混合运算的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“平衡数”的定义，即得答案； （2）若与是关于1的“平衡数”，则，求得，但是当时，，即可判断答案． 【详解】（1）解：， 4与是关于1的“平衡数”， ， 与是关于1的“平衡数”； 故答案为：，； （2）解：与不是关于1的“平衡数”． 理由：若与是关于1的“平衡数”， 则， ， 当时，， 故与不是关于1的“平衡数”． 【经典例题六 新定义的实数运算】 43．（2025七年级·全国·专题练习）定义：对于任意实数表示不大于x的最大整数．如：． (1)_______； (2)对数65进行如下运算：①；②；③．这样对数65运算3次后的值就为1，一个正整数总可以经过若干次这样的运算后值为1，则数255经过_______次这样的运算后值为1． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟记1至25的平方，在初中阶段非常重要，在解决本题时可提高效率． （1）根据表示不超过的最大整数计算，可得答案． （2）先估算要被开方的数的取值在那两个整数之间，根据表示不超过的最大整数对，255进行此类运算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 故答案为：． （2）解：∵，，， ∴，，即对255经过了3次运算后结果为1， 故答案为：3． 44．（24-25七年级下·全国·周测）新定义：若无理数（T为正整数）的被开方数满足（n为正整数），则称无理数的“青一区间”为，同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为的“青一区间”为． (1)的“青一区间”为_______，的“青一区间”为_______； (2)实数满足关系式，求的“青一区间”． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查无理数的估算，理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． （1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）利用非负性求出x，y的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）解：因为， 所以， 即， 所以，所以． 因为，所以的“青一区间”为． 45．（24-25七年级下·湖南怀化·期中）对于任意实数a，b，定义一种新运算，例如：． (1)_______． (2)求的平方根． (3)我们知道，实数的加法运算和乘法运算都满足交换律，试问实数a，b的这种新运算⊕是否也满足交换律？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)实数a，b的这种新运算满足交换律； 【分析】此题主要考查了新定义下的实数运算，利用代入法求代数式的值，求平方根（1）运用运算公式，计算即可； （2）先求得，再计算平方根，即可求解． （3）是否满足关键是利用公式计算一下和的结果，再利用乘法交换律和加法交换律看看是否相等． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解： 的平方根为 （3）解：满足交换律 ∵， ， ∴， ∴实数a，b的这种新运算满足交换律． 46．（24-25七年级下·贵州铜仁·期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，． (1)根据定义计算： ①，； ②，． (2)根据（1）中的计算结果，请直接判断该运算是否满足交换律． (3)已知，求a的值． 【答案】(1)①，；②， (2)满足，理由见解析 (3)5或 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，利用平方根的含义解方程； （1）根据新定义直接列式计算即可； （2）根据（1）中的计算结果可得该运算满足交换律； （3）由，可得，再利用平方根的含义解方程即可． 【详解】（1）解：① ．     ．     ② ．     ． （2）解：由（1）可得：；， ∴该运算满足交换律． （3）解：∵是一个非负数， ∴， ∴，     ∴     ， ∴，     ∴， ∴， ∴或． 47．（23-24七年级下·全国·课后作业）我们发现：＝3，＝3，＝3，…，，一般地，对于正整数a、b，如果满足，那么称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对．下面4个结论：①是完美方根数对；②是完美方根数对；③若是完美方根数对，则；④若是完美方根数对，则x、y满足．其中正确的结论有几个，说明理由． 【答案】3个，理由见解析 【分析】本题属于新定义类问题，主要考查算术平方根的性质与定义，理解完美方根数对的定义对是解题关键．将，代入验证即可判断①②；将代入公式，建立方程可得出结论；若是完美方根数对，则满足给出公式，化简可得出结论． 【详解】解：3个，理由如下： 解：将代入，，，， 是完美方根数对；故①正确； 将代入，， 不是完美方根数对，故②错误； ③是完美方根数对， 将代入公式，， 即.所以，故③正确； 若是完美方根数对，则. ∴，即，故④正确. 48．（2024七年级下·湖南株洲·阶段练习）阅读下列材料，并回答问题： 任意两个有理数进行加，减，乘，除运算（除数不为零），结果还是有理数，我们称这种性质为有理数的四则运算封闭性： 例如：，，， ，运算结果5，，6，都是有理数，但是整数就不具有四则运算封闭性．由此可见，并不是所有的数都具有封闭性； 小陈在学习无理数时发现，无理数也不具有四则运算封闭性，并且还发现： ①任意一个有理数与无理数的和为无理数； ②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数； ③零与无理数的积为零； 由此可得： 如果，其中a，b为有理数，x为无理数，那么且． 运用上述知识解决下列问题： (1)实数是否具有封闭性？ (2)如果，其中a，b为有理数，那么 ． (3)如果，其中a，b为有理数，求的值． 【答案】(1)有 (2)9 (3) 【分析】本题主要考查了实数新定义运算，理解新定义，是解题的关键． （1）根据封闭性的定义进行求解即可； （2）根据，其中a，b为有理数，得出，，求出，，代入求出结果即可； （3）将等式整理得：，由有理数的四则运算封闭性得出结果即可． 【详解】（1）解：因为任意两个实数进行加，减，乘，除运算（除数不为零），结果还是实数，所以实数具有封闭性． （2）解：∵，其中a，b为有理数， ∴，， 解得：，， ∴； （3）解：已知等式整理得：， ∴由有理数的四则运算封闭性可得： ， ∴． 【经典例题七 与实数运算相关的规律题】 49．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）请观察下列算式： (1)，，， 则第8个算式为______=______． 第个算式为______=______． (2)运用以上规律计算： 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）根据题意推导一般性规律即可； （2）根据：，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，第8个算式为； 第个算式为， 故答案为：，，，． （2）解： ． 【点睛】本题考查了与实数运算相关的规律题．解题的关键在于根据题意推导一般性规律． 50．（23-24七年级下·湖南怀化·阶段练习）我们规定关于任意正整数x，y的一种新运算：，例如：若，则 ．请根据这种新运算填空： (1)若，则________； (2)若，则 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据所给新定义进行求解即可； （2）先求出，进而求出，，即可推出，再根据同底数幂乘法的计算法则求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， …… ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，数字类的规律探索，同底数幂乘法，正确理解题意找到规律是解题的关键． 51．（24-25七年级下·湖南湘潭·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象： (1)具体运算，发现规律， ①； ②； ③； ④_________； (2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律； (3)证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了化简二次根式，数字类的规律探索： （1）仿照①化简求解即可； （2）根据（1）中式子可得一个大于等于2的正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数再加上这个正整数的和的算术平方根等于这个正整数乘以这个正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数的算术平方根，据此求解即可； （3）仿照①中化简二次根式的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①； ②； ③； ④； ……．， 以此类推，可知； （3）证明： ． 52．（23-24七年级下·四川成都·期中）观察算式：①；②； ③；④． 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第5个算式：　 　； (2)写出第n个算式：　 　； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意找出规律：等式左边第一个数为一系列正整数，第二个数比第一个数大2，再加上1，等式右边是左边积中两个因数和的一半的平方，从而可得答案； （2）根据（1）中的规律，写出第n个算式即可； （3）利用（1）中的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：第5个算式为：； （2）解：由题意得：第n个算式为： ； （3）解： ； 【点睛】题考查的是有理数的运算规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法，再总结规律并运用规律解题”是关键． 53．（2024·湖南娄底·三模）观察下列关于自然数的等式：      ①     ②    ③    ④ …… 根据上述规律解决下列问题： (1)写出第五个等式：________________； (2)猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）根据题目中前三个等式的规律特征，可写出第五个等式； （2）根据题目所给等式的规律，左边为两个相间1的整数的积与1的好，右边是一个完全平方数，可得出第n个等式，再对所得等式进行化简，可证明其正确性． 【详解】（1）解：由题知， 第五个等式为：， 故答案为：； （2）解：第n个等式为:． 证明：左边： ， 右边， 左边=右边． ∴． 【点睛】观察并发现本题实数计算中存在的规律是解题的关键． 54．（23-24七年级下·湖南张家界·阶段练习）阅读下文，寻找规律： 已知 ，观察下列各式： ，，   (1)填空： (2)观察上式，并猜想： ① ． ② ． (3)根据你的猜想，计算： ① ． ② ． 【答案】(1) (2)①；② (3)① ；② 【分析】归纳概括规律：等号左边为两个因式的乘积，第一个为，第二个为连续指数的和；等号的右边为两个数的差，被减数为1，减数为的幂，指数比等号前面第二个因式中，最大指数多1，然后将下面式子分别代入即可． 【详解】（1）解：中，指数为8， 故前面应该加到 答案为： （2）解：①根据规律可得： ② （3）解：①中， 让得： ② 【点睛】本题考查了归纳概括能力，以及类比思想，准确找出规律是解题关键． 55．（23-24七年级下·全国·单元测试）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设，求不超过的最大整数是多少？ 【答案】(1) (2)2023 【分析】（1）由①②③的规律写出式子即可； （2）根据题目中的规律计算即可得到结论． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律． 【详解】（1）解：① ； ② ； ③ ， 故． （2）解：① ； ② ； ③ ， ，…… ， 故． 故不超过的最大整数是2023． 56．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数的比等于同一个非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列（Geometric Sequences）．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）． （1）观察一个等比数列1，，…，它的公比q＝　 　；如果an（n为正整数）表示这个等比数列的第n项，那么a18＝　 　，an＝　 　； （2）如果欲求1+2+4+8+16+…+230的值，可以按照如下步骤进行： 令S＝1+2+4+8+16+…+230…① 等式两边同时乘以2，得2S＝2+4+8+16++32+…+231…② 由② ﹣ ①式，得2S﹣S＝231﹣1 即（2﹣1）S＝231﹣1 所以 请根据以上的解答过程，求3+32+33+…+323的值； （3）用由特殊到一般的方法探索：若数列a1，a2，a3，…，an，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，请用含a1，q，n的代数式表示an；如果这个常数q≠1，请用含a1，q，n的代数式表示a1+a2+a3+…+an． 【答案】（1） ， ， ；（2）；（3） 【分析】（1）÷1即可求出q，根据已知数的特点求出a18和an即可； （2）根据已知先求出3S，再相减，即可得出答案； （3）根据（1）（2）的结果得出规律即可． 【详解】解：（1）÷1＝， a18＝1×（）17＝，an＝1×（）n﹣1＝， 故答案为：，，；     （2）设S＝3+32+33+…+323， 则3S＝32+33+…+323+324， ∴2S＝324﹣3， ∴S＝ （3）an＝a1•qn﹣1，a1+a2+a3+…+an＝． 【点睛】本题考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的理解能力和阅读能力，题目是一道比较好的题目，有一定的难度． 【经典例题八 算术平方根和立方根的综合应用】 57．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）（1）计算： ① ②   （2）求方程中的的值 ① ② 【答案】（1）①；②（2）①或；② 【分析】（1）根据算术平方根以及立方根进行计算即可； （2）根据算术平方根以及立方根解方程即可． 【详解】（1）①解：原式＝ ②解：原式＝ （2）① 解得或 ② 解得 【点睛】本题考查了算术平方根以及立方根，掌握算术平方根以及立方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根． 58．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 【答案】(1)，， (2)． 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根的定义、无理数的估算等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义即可求出a，b的值； （2）根据无理数的估算求出c的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，解得：． （2）解：∵， ， 由（1）得，， ． ，即的平方根是． 59．（24-25七年级下·全国·期中）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间（）可以用公式：来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径．（参考数据：，，，） (1)如果雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到） (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到） 【答案】(1)这场雷雨大约能持续 (2)这场雷雨区域的直径大约是 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的应用； （1）根据，其中是雷雨区域的直径，开平方的意义，可得答案； （2）根据，其中是雷雨区域的直径，开立方的意义，可得答案． 【详解】（1）解：当时，则， 因此； 答：这场雷雨大约能持续. （2）当时，由可得（） 答：这场雷雨区域的直径大约是 60．（24-25七年级下·湖南常德·阶段练习）小明和小红各制作了一个正方体盒子，制作完后，小明对小红说：“我制作的盒子的表面积是，你的呢？”小红低头想了一下说：“先不告诉你我制作的盒子表面积是多少，我制作的盒子比你的盒子的体积大，你能算出它的表面积吗？”小明思考一会儿，顺利得到了答案，同学们，你能算出来吗？ 【答案】能， 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的运算．解答本题的关键是要掌握好正方体的体积公式． 首先利用正方体的表面积公式求出体积，再利用立方根的定义求出棱长进而求出表面积即可． 【详解】解：小明制作的盒子棱长为， 所以其体积为， 则小红制作的盒子的体积为， 其棱长为， 所以其表面积为． 61．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．    (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点A与重合，那么点D在数轴上表示的数为_____． 【答案】(1)这个魔方的棱长为2； (2)阴影部分的面积为，边长为 (3) 【分析】本题考查了实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）设这个魔方的棱长为，根据正方体的体积公式列方程，利用立方根解方程即可； （2）根据魔方的棱长，得到每个小立方体的棱长，进而得到每个小正方形的面积，再由魔方的一面的面积的一半，求出阴影部分的面积，再结合正方形面积公式，即可求出边长； （3）由（2）可知正方形边长为，用点表示的数减去边长求解即可． 【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为， 则， 解得：， 即这个魔方的棱长为2； （2）解：魔方的棱长为2，则每个小立方体的棱长都为， 每个小正方形的面积都为， 魔方的一面的面积为， 阴影部分的面积， 正方形的面积为， 它的边长为； （3）解：由（2）可知正方形边长为， , 点A与重合， 点D在数轴上表示的数为, 故答案为：． 62．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）（1）利用求平方根、立方根解方程： ①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0． （2）观察下列计算过程，猜想立方根． 13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729 （ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　，验证得19683的立方根是　 （ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空： ①=　； ②=　；③=　． 【答案】（1）①x=±3；②x=﹣1；（2）（ⅰ）7，2，27；（ⅱ）①49，②﹣72，③0.81． 【分析】（1）直接利用解方程的基本步骤求解； （2）分别根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据阅读知识求出个位数和十位数即可． 【详解】（1）①3x2=27,∴x2=9，∴x=±3; ②∵2（x﹣1）3+16=0，∴（x﹣1）3=﹣8， ∴x﹣1=﹣2，∴x=﹣1． （2）（ⅰ）先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由，猜想19683的立方根十位数为2，验证得19683的立方根是27 （ⅱ）①； ②；③． 故答案为：（1）7，2，27；（2）①49，②﹣72，③0.81． 【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度． 63．（23-24七年级下·湖南怀化·阶段练习）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … (1)表格中的______，______． (2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________． (3)若，求的值． （参考数据：） 【答案】(1)80； (2)被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位 (3) 【分析】（1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）仿照算术平方根的规律探索即可． （3）根据发现的规律计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故． ∵， ∴， 故 故答案为：80，． （2）发现规律如下：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． 故答案为：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． （3）根据平方根的变化规律得： ， ， ． 根据立方根的变化规律得： ， ， ， ． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． 64．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）本学期第六章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写下表 1 16 81 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：_________． （2）探究性质：①1的四次方根是_________；②16的四次方根是_________；③0的四次方根是________；④________（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_________； 【拓展应用】（1）__________（2）比较大小：_________． 【答案】类比探索：（1），，；一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 拓展应用：（1）；（2） 【分析】本题考查类比探究类问题．类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键． 【类比探索】（1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义，并进行计算填表； （2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可； 【拓展应用】（1）根据定义求一个数的四次方根； （2）通过将数进行四次方以后进行比较大小即可． 【类比探索】（1），，；表格中数据依次为：，，； 类比平方根和立方根的定义可得：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①1的四次方根是：；②16的四次方根：；③0的四次方根是：0；④没有四次方根； 类比平方根和立方根的性质可得：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 故答案为为：①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 【拓展应用】（1）； 故答案为： （2）∵，∴． 故答案为： 【经典例题九 实数运算的实际应用】 65．（23-24七年级下·河北保定·期中）阿里巴巴电商扶贫，对某贫困地区的一种特色农产品是行网上销售，如果按原价每件400元出售，那么一个月可卖出100件，通过市场调查发现，每件农产品的售价每降低10元，月销售件数增加20件． (1)当标价为350元时，月销售量为多少件？ (2)已知该农产品的成本是每件200元，若月销售利润为3万元，并要尽快销售完毕，则售价应定为多少元？ 【答案】(1)当标价为350元时，月销售量为200件 (2)售价应定为300元 【分析】（1）利用月销售量=100+20×降低的价格÷10，即可求出当标价为350元时的月销售量； （2）设售价应定为x元，则每件的销售利润为（x-200）元，月销售量为（900-2x）件，利用月销售利润=每件的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽快销售完毕，即可得出售价应定为300元． 【详解】（1）， ＝100+20× ＝100+100 ＝200（件）． 答：当标价为350元时，月销售量为200件． （2）设售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣200）元，月销售量为100+20×＝（900﹣2x）件， 依题意得：（x﹣200）（900﹣2x）＝30000， 整理得：x2﹣650x+105000＝0， 解得：x1＝300，x2＝350． 又∵要尽快销售完毕， ∴x＝300． 答：售价应定为300元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 66．（23-24七年级下·湖北宜昌·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4． (1)求该长方形的长宽各为多少？ (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？ 【答案】(1)该长方形的长为35米，宽为20米 (2)能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用 【分析】（1）设该长方形的长为米，则宽为米，再根据面积为700平方米建立方程，利用平方根解方程即可得； （2）设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米，根据面积之和为600平方米建立方程，解方程可得，再根据无理数的估算进行分析判断即可得． 【详解】（1）解：设该长方形的长为米，则宽为米， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 则， 答：该长方形的长为35米，宽为20米． （2）解：设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 则较大的小正方形的边长为米，较小的小正方形的边长为米， ， ，， 能改造出这样的两块不相连的正方形试验田， 改造出这样的两块不相连的正方形试验田所需铁栅栏围墙长为（米）， 原来长方形空地的铁栅栏围墙长为米， ， ， 原来的铁栅栏围墙不够用， 答：能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用、利用平方根解方程、无理数的估算、实数运算的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 67．（23-24七年级下·重庆·期中）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”． 定义：对于一个自然数，如果这个数除以余数为，且除以余数为，则称这个数为“差一数”． 例如：，，所以是“差一数”； ，但，所以不是“差一数”． （1）判断和是否为“差一数”？并说明理由； （2）求大于且小于的所有“差一数”． 【答案】（1）54是“差一数”，64不是“差一数”；（2）614，629，644，659，674，689． 【分析】（1）直接利用“差一数”的定义解答即可； （2）直接利用“差一数”的定义解答即可． 【详解】解：（1）∵59÷5=11…… 4，59÷3=19……2； 64÷5=12…… 4，64÷3=21……1； ∴54是“差一数”，64不是“差一数”； （2）∵大于600且小于700的数除以5余数为4的有604，609，614，619，624，629，634，639，644，649，654，659，664，669，674，679，684，689，694，699，其中除以3余数为2的有614，629，644，659，674，689. ∴大于600且小于700的所有“差一数”有614，629，644，659，674，689． 【点睛】本题主要考查了整数问题的综合运用以及新定义题的理解，灵活运用新定义的特征是解答本题的关键． 68．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）阅读材料：若点，在数轴上分别表示实数，，那么，之间的距离可表示为．例如，即表示3，1在数轴上对应的两点之间的距离；同样：表示5，在数轴上对应的两点之间的距离．根据以上信息，完成下列题目： (1)已知，，为数轴上三点，点对应的数为，点对应的数为1． ①若点对应的数为，则，两点之间的距离为　　； ②若点到点的距离与点到点的距离相等，则点对应的数是　　． (2)对于这个代数式． ①它的最小值为　　； ②若，则的最大值为　　． 【答案】(1)①3；② (2)①7；②4 【分析】（1）①根据两点间的距离公式解答即可；②根据两点间的距离公式解答即可； （2）①根据两点间的距离的几何意义解答；②根据两点间的距离公式填空． 【详解】（1）解：①，两点之间的距离为； 故答案为：3； ②设点对应的数是， 则有， 解得或1（舍去）， 故答案为：； （2）解：①根据数轴的几何意义可得和3之间的任何一点均能使取得的值最小， 当时，的最小值为7． 故答案为：7； ②， ，， ， 的最大值为4． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了绝对值的意义，实数与数轴，解题的关键是了解两点间的距离公式和两点间距离的几何意义． 69．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ∵a，b都是有理数， ∴也是有理数， ∵是无理数， ∴， ∴， ∴ 解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值． 【答案】8或0 【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值． 【详解】解：∵， ∴（x2-2y-8）+（y-4）=0， ∴x2-2y-8=0，y-4=0， 解得，x=±4，y=4， 当x=4，y=4时，x+y=4+4=8， 当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0， 即x+y的值是8或0． 【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求式子的值． 70．（23-24七年级下·江苏南京·期中）【知识重现】我们知道，在axN中，已知底数a，指数x，求幂N的运算叫做乘方运算．例如23=8：已知幂N，指数x，求底数a的运算叫做开方运算，例如=2． 【学习新知】 现定义：如果ax=N（a0且a1），即a的x次方等于N（a0且a1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=logaN．其中a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做以a为底N的对数，例如log28=3，零没有对数；在实数范围内，负数没有对数． 【应用新知】 （1）选择题：在式子log5125中，真数是_______． （2）①计算以下各对数的值：log39=_______；log327=_______． ②根据①中计算结果，请你直接写出logaM，logaN，loga（MN）之间的关系，（其中a0且a1，M0，N0）． 【答案】（1）125；（2）①2，3；②logaMlogaNlogaMN 【分析】（1）根据材料，由真数的定义，即可得到答案； （2）①根据阅读材料中的方法将各式计算，即可得到答案； ②根据①的计算方法，找出关系即可． 【详解】解：（1）∵在中，其中叫做对数的底数，N叫做真数， ∴的真数是125； 故答案为：125； （2）①； ； 故答案为：2；3. ②由①可知，，， ∴， ∴，（其中a0且a1，M0，N0）． 【点睛】此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 71．（23-24七年级下·浙江·期末）阅读材料，回答问题： （1）对于任意实数x，符号表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，就是x，当x不是整数时，是点x左侧的第一个整数点，如，，，，则________，________． （2）2015年11月24日，杭州地铁1号线下沙延伸段开通运营，极大的方便了下沙江滨居住区居民的出行，杭州地铁收费采用里程分段计价，起步价为2元/人次，最高价为8元/人次，不足1元按1元计算，具体收费标准如下： 里程范围 4公里以内（含4公里） 4-12公里以内（含12公里） 12-24公里以内（含24公里） 24公里以上 收费标准 2元 4公里/元 6公里/元 8公里/元 ①若从下沙江滨站到文海南路站的里程是3.07公里，车费________元，下沙江滨站到金沙湖站里程是7.93公里，车费________元，下沙江滨站到杭州火东站里程是19.17公里，车费________元； ②若某人乘地铁花了7元，则他乘地铁行驶的路程范围（不考虑实际站点下车里程情况）？ 【答案】（1）；；（2）①2；3；6．②这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于公里小于等于32公里． 【分析】（1）根据题意，确定实数左侧第一个整数点所对应的数即得； （2）①根据表格确定乘坐里程的对应段，然后将乘坐里程分段计费并累加即得； ②根据表格将每段的费用从左至右依次累加直至费用为7元，进而确定7元乘坐的具体里程即得． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：；． （2）①∵ ∴3.07公里需要2元 ∵ ∴7.93公里所需费用分为两段即：前4公里2元 ，后3.93公里1元 ∴7.93公里所需费用为：（元） ∵ ∴公里所需费用分为三段计费即：    前4公里2元，4至12公里2元，12公里至19.17公里2元； ∴公里所需费用为：（元） 故答案为：2；3；6． ②由题意得：乘坐24公里所需费用分为三段：前4公里2元，4至12公里2元，12公里至24公里2元； ∴乘坐24公里所需费用为：（元） ∵由表格可知：乘坐24公里以上的部分，每一元可以坐8公里 ∴7元可以乘坐的地铁最大里程为：（公里） ∴这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于公里小于等于32公里 答：这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于公里小于等于32公里． 【点睛】本题是阅读材料题，考查了实数的实际应用，根据材料中的新定义举一反三并挖掘材料中深层次含义是解题关键． 72．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得______． 因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 【答案】(1)，，，； (2)见解析 【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可； （2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可． 【详解】（1）由面积公式，可得 ∵值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到0.001），即． 故答案为：，，，； （2）小敏同学的做法，如图： 排列形式如图（3），如图： 画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 实数72道压轴题型专训（9大题型） 【题型目录】 题型一 平方根相关压轴题 题型二 立方根相关压轴题 题型三 平方根、立方根的规律探究 题型四 无理数整数部分的有关计算 题型五 实数的混合运算 题型六 新定义的实数运算 题型七 与实数运算相关的规律题 题型八 算术平方根和立方根的综合应用 题型九 实数运算的实际应用 【经典例题一 平方根相关压轴题】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知且，求的平方根； （2）已知的平方根是的立方根是3，求的算术平方根． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）求的算术平方根． 解：因为，所以的算术平方根是． 上面的解答正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果一个正数的正的平方根是，且的平方根是． (1)求的值； (2)求这个正数的值及的平方根． 4．（24-25七年级下·山东青岛·期末）小林在学习了估算以后，做了进一步的思考：若一个正数的算术平方根在两个相邻整数之间，且这个正数与这两个相邻整数的平方同样接近，则这个正数的算术平方根会与其中哪个整数更接近呢? 要研究这个问题，我们可以先从特例入手，得出猜想，再用字母进行一般验证． (1)2.5的算术平方根在整数1和2之间，且2.5与1和4同样接近，则2.5的算术平方根与整数1和2中的 更接近； (2)请判断56.5的算术平方根在哪两个相邻整数之间，与其中哪个整数更接近？写出你的判断过程． (3)通过特例的研究，请写出你的猜想，并进行验证． 5．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）【数学中的阅读理解】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． 【阅读理解】仿照以上方法计算：________，________； 【解决问题】若，写出满足题意的的整数值________； 【扩展探究】①如果我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，几次之后结果是1； ②试求出只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中最大的数． 6．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：； …… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______________________； ②_________________． (2)用含n（n为正整数）的代数式表示出第n个等式：__________． (3)根据上述规律计算：． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请直接判断3，12，16是不是“和谐组合”，_________； (2)请证明2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (3)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 8．（24-25七年级下·湖南常德·期末）解答题，在学习第二章第4节《估算》后，某数学爱好小组探究的近似值的过程如下： 面积为110的正方形的边长是 设，其中， 画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积为 ， 又， ， 当时，可忽略，得，解得， ． (1)求的整数部分； (2)仿照该数学爱好小组的探究过程，求的近似值（结果保留1位小数）．（要求：画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 【经典例题二 立方根相关压轴题】 9．（24-25七年级下·湖南株洲·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 10．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知是的算术平方根，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的立方根． 11．（24-25七年级下·湖南张家界·期中）已知满足以下条件： ①正数的两个不相等的平方根分别是和； ②． (1)分别求的值； (2)若，其中为整数，，求的值． 12．（24-25七年级下·湖南湘潭·阶段练习）新定义：若无理数被开方数（为正整数）满足 （其中正整数），则，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数“青一区间”为例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是 ；的“青一区间”是 ； (2)若无理数 （为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）先阅读材料，再解答问题． ，， ． ，， ． ，， ． ， ， ， ． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ． (2)计算的值． 14．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）如何快速求解四位数的算术平方根呢？已知1764的算术平方根是一个整数，下面是嘉嘉同学求解的探究过程： ①由，，可以确定是一个_________位数； ②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是_________或_________； ③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则_________． (1)补全上述探究过程． (2)已知3249的算术平方根也是一个整数，仿照上述探究方法计算． (3)我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，参照求解算术平方根的过程，计算59319的立方根为_________． 15．（24-25七年级下·湖南娄底·阶段练习）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中a、b为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中a、b为有理数，那么 ， ； (2)如果，其中a、b为有理数，求的值； (3)若a、b都是有理数，且，试求的立方根． 16．（2025七年级下·全国·专题练习）观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【经典例题三 平方根、立方根的规律探究】 17．（23-24七年级下·湖南常德·期中）阅读下列解题过程， ；；；… (1)______，______； (2)观察上面的解题过程，则： ①______（n为自然数）； ②利用这一规律计算：． 18．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）按要求填空： （1）填表： a 0.0004 0.04   4 400 （2）根据你发现规律填空： 已知：=2.638，则=__，=__； 已知：=0.06164，=61.64，则x=__． 19．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1），，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位． （2）已知，，则_____；______． （3），，，…… 小数点的变化规律是_______________________． （4）已知，，则______． 20．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离．若点A表示的数a为最大的负整数，点B表示的数b在原点右侧，且绝对值为6，则 (1)点A表示的数a为______，点B表示的数b为______，数轴上A，B两点之间的距离为______； (2)满足的实数x的值为______； (3)的最小值为______； (4)满足的实数x的值为______； (5)若正实数c满足，则当x的值为______时，取到最小值______． 21．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）用“◇”和“☆”分别代表甲种植物和乙种植物，为了美化环境，采用如图所示的方案种植． （1）观察图形，寻找规律，并填写下表： （2）求出第个图形中甲种植物和乙种植物的株数； （3）是否存在一种种植方案，使得乙种植物的株数是甲种植物的株数的2倍？若存在，请你写出是第几个方案，若不存在，请说明理由． 22．（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）【发现】 ① ② ③ ④…… （1）根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：______． 【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题： 对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： （2）若与的值互为相反数，则______； （3）若与的值互为相反数，且，求a的值． 23．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）探究发散： (1)完成下列填空 ①______，②______，③______， ④______，⑤______，⑥______； (2)计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________ (3)利用你总结的规律，计算：若，则______； (4)有理数在数轴上的位置如图．    化简：． 24．（23-24七年级下·重庆·期中）【发现】 ①； ②； ③； ④；    ； 根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：________． 【归纳】 等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：对于任意两个有理数，，若，则； 【应用】 根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：若与的值互为相反数，求的值． 【经典例题四 无理数整数部分的有关计算】 25．（24-25七年级下·湖南常德·阶段练习）（1）与成正比例，且当时，，求与之间的函数表达式． （2）已知的立方根是3，的算术平方根是，是的整数部分，求的算术平方根．     26．（24-25七年级下·湖南永州·期中）已知的平方根是的立方根是3，整数满足． (1)求的值． (2)求的算术平方根． 27．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）实数a在数轴上的对应点A的位置如图所示，， (1)求b的值； (2)已知的小数部分是m，的算术平方根是2，求的平方根． 28．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）大家知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，，则的小数部分为． (1)如果的整数部分为的整数部分为，求的立方根； (2)已知，其中是整数，且，求的值． 29．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）阅读下列材料： 通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是 (1)的整数部分是______． (2)已知，其中x是一个整数，，求的值． 30．（24-25七年级下·江苏南京·期中）先阅读下面的文字，然后解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，因为的整数部分是1，差就是小数部分． 由此我们还可以得到一个真命题：如果，其中x是整数，那么， 请解答下列问题： (1)如果，其中是整数， 且，那么 ， ； (2)已知，其中是整数， 且，求的值． 31．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）根据下表回答下列问题： 17 18 (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2) ；（保留一位小数） (3) ， ； (4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； (5)若这个数的整数部分为m，求的值． 32．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）阅读下面的文字，解答问题 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：＜＜，即2＜＜3， ∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2） 请解答： （1）整数部分是　 　，小数部分是　 　． （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求|a﹣b|+的值． （3）已知：9+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数． 【经典例题五 实数的混合运算】 33．（24-25七年级下·河南周口·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 34．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）计算与求值： (1)解方程： (2) (3) 35．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 36．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）计算（1）()－1＋(1＋)(1－)－； （2）（2016﹣）0+|3﹣|﹣； （3）； （4）9. 37．（2025七年级下·全国·专题练习）已知任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得如果，其中为有理数，为无理数，那么且． 运用上述知识，解决下列问题： (1)如果，其中为有理数，那么______，______； (2)如果，其中为有理数，求的值． 38．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为．设点B表示的数为m． (1)实数m的值为_______； (2)在数轴上还有两点分别表示实数c和d，且与互为相反数．请计算的值． 39．（24-25七年级下·广东深圳·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小欣用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 40．（23-24七年级下·湖南永州·期末）已知、在数轴上对应的数分别用、表示，且，点是数轴上的一个动点． （1）求出、之间的距离； （2）若到点和点的距离相等，求出此时点所对应的数； （3）数轴上一点距点个单位长度，其对应的数满足．当点满足时，求点对应的数． 41．（24-25七年级下·贵州铜仁·期末）对于任意实数x、y，定义新运算：，其中a、b为常数，等号右边为通常的加法、减法和乘法运算，例如．若，，求的值． 42．（2025七年级下·全国·专题练习）已知a，b，m都是实数，若，则称a与b是关于1的“平衡数”． (1)4与 是关于1的“平衡数”，与 是关于1的“平衡数”； (2)若，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由． 【经典例题六 新定义的实数运算】 43．（2025七年级·全国·专题练习）定义：对于任意实数表示不大于x的最大整数．如：． (1)_______； (2)对数65进行如下运算：①；②；③．这样对数65运算3次后的值就为1，一个正整数总可以经过若干次这样的运算后值为1，则数255经过_______次这样的运算后值为1． 44．（24-25七年级下·全国·周测）新定义：若无理数（T为正整数）的被开方数满足（n为正整数），则称无理数的“青一区间”为，同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为的“青一区间”为． (1)的“青一区间”为_______，的“青一区间”为_______； (2)实数满足关系式，求的“青一区间”． 45．（24-25七年级下·湖南怀化·期中）对于任意实数a，b，定义一种新运算，例如：． (1)_______． (2)求的平方根． (3)我们知道，实数的加法运算和乘法运算都满足交换律，试问实数a，b的这种新运算⊕是否也满足交换律？请说明理由． 46．（24-25七年级下·贵州铜仁·期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，． (1)根据定义计算： ①，； ②，． (2)根据（1）中的计算结果，请直接判断该运算是否满足交换律． (3)已知，求a的值．              47．（23-24七年级下·全国·课后作业）我们发现：＝3，＝3，＝3，…，，一般地，对于正整数a、b，如果满足，那么称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对．下面4个结论：①是完美方根数对；②是完美方根数对；③若是完美方根数对，则；④若是完美方根数对，则x、y满足．其中正确的结论有几个，说明理由． 48．（2024七年级下·湖南株洲·阶段练习）阅读下列材料，并回答问题： 任意两个有理数进行加，减，乘，除运算（除数不为零），结果还是有理数，我们称这种性质为有理数的四则运算封闭性： 例如：，，， ，运算结果5，，6，都是有理数，但是整数就不具有四则运算封闭性．由此可见，并不是所有的数都具有封闭性； 小陈在学习无理数时发现，无理数也不具有四则运算封闭性，并且还发现： ①任意一个有理数与无理数的和为无理数； ②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数； ③零与无理数的积为零； 由此可得： 如果，其中a，b为有理数，x为无理数，那么且． 运用上述知识解决下列问题： (1)实数是否具有封闭性？ (2)如果，其中a，b为有理数，那么 ． (3)如果，其中a，b为有理数，求的值． 【经典例题七 与实数运算相关的规律题】 49．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）请观察下列算式： (1)，，， 则第8个算式为______=______． 第个算式为______=______． (2)运用以上规律计算： 50．（23-24七年级下·湖南怀化·阶段练习）我们规定关于任意正整数x，y的一种新运算：，例如：若，则 ．请根据这种新运算填空： (1)若，则________； (2)若，则 ． 51．（24-25七年级下·湖南湘潭·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象： (1)具体运算，发现规律， ①； ②； ③； ④_________； (2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律； (3)证明你的猜想． 52．（23-24七年级下·四川成都·期中）观察算式：①；②； ③；④． 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第5个算式：　 　； (2)写出第n个算式：　 　； (3)计算：． 53．（2024·湖南娄底·三模）观察下列关于自然数的等式：      ①     ②    ③    ④ …… 根据上述规律解决下列问题： (1)写出第五个等式：________________； (2)猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性． 54．（23-24七年级下·湖南张家界·阶段练习）阅读下文，寻找规律： 已知 ，观察下列各式： ，，   (1)填空： (2)观察上式，并猜想： ① ． ② ． (3)根据你的猜想，计算： ① ． ② ． 55．（23-24七年级下·全国·单元测试）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设，求不超过的最大整数是多少？ 56．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数的比等于同一个非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列（Geometric Sequences）．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）． （1）观察一个等比数列1，，…，它的公比q＝　 　；如果an（n为正整数）表示这个等比数列的第n项，那么a18＝　 　，an＝　 　； （2）如果欲求1+2+4+8+16+…+230的值，可以按照如下步骤进行： 令S＝1+2+4+8+16+…+230…① 等式两边同时乘以2，得2S＝2+4+8+16++32+…+231…② 由② ﹣ ①式，得2S﹣S＝231﹣1 即（2﹣1）S＝231﹣1 所以 请根据以上的解答过程，求3+32+33+…+323的值； （3）用由特殊到一般的方法探索：若数列a1，a2，a3，…，an，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，请用含a1，q，n的代数式表示an；如果这个常数q≠1，请用含a1，q，n的代数式表示a1+a2+a3+…+an． 【经典例题八 算术平方根和立方根的综合应用】 57．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）（1）计算： ① ②   （2）求方程中的的值 ① ② 58．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 59．（24-25七年级下·全国·期中）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间（）可以用公式：来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径．（参考数据：，，，） (1)如果雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到） (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到） 60．（24-25七年级下·湖南常德·阶段练习）小明和小红各制作了一个正方体盒子，制作完后，小明对小红说：“我制作的盒子的表面积是，你的呢？”小红低头想了一下说：“先不告诉你我制作的盒子表面积是多少，我制作的盒子比你的盒子的体积大，你能算出它的表面积吗？”小明思考一会儿，顺利得到了答案，同学们，你能算出来吗？ 61．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．    (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点A与重合，那么点D在数轴上表示的数为_____． 62．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）（1）利用求平方根、立方根解方程： ①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0． （2）观察下列计算过程，猜想立方根． 13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729 （ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　，验证得19683的立方根是　 （ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空： ①=　； ②=　；③=　． 63．（23-24七年级下·湖南怀化·阶段练习）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … (1)表格中的______，______． (2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________． (3)若，求的值． （参考数据：） 64．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）本学期第六章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写下表 1 16 81 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：_________． （2）探究性质：①1的四次方根是_________；②16的四次方根是_________；③0的四次方根是________；④________（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_________； 【拓展应用】（1）__________（2）比较大小：_________． 【经典例题九 实数运算的实际应用】 65．（23-24七年级下·河北保定·期中）阿里巴巴电商扶贫，对某贫困地区的一种特色农产品是行网上销售，如果按原价每件400元出售，那么一个月可卖出100件，通过市场调查发现，每件农产品的售价每降低10元，月销售件数增加20件． (1)当标价为350元时，月销售量为多少件？ (2)已知该农产品的成本是每件200元，若月销售利润为3万元，并要尽快销售完毕，则售价应定为多少元？ 66．（23-24七年级下·湖北宜昌·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4． (1)求该长方形的长宽各为多少？ (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？ 67．（23-24七年级下·重庆·期中）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”． 定义：对于一个自然数，如果这个数除以余数为，且除以余数为，则称这个数为“差一数”． 例如：，，所以是“差一数”； ，但，所以不是“差一数”． （1）判断和是否为“差一数”？并说明理由； （2）求大于且小于的所有“差一数”． 68．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）阅读材料：若点，在数轴上分别表示实数，，那么，之间的距离可表示为．例如，即表示3，1在数轴上对应的两点之间的距离；同样：表示5，在数轴上对应的两点之间的距离．根据以上信息，完成下列题目： (1)已知，，为数轴上三点，点对应的数为，点对应的数为1． ①若点对应的数为，则，两点之间的距离为　　； ②若点到点的距离与点到点的距离相等，则点对应的数是　　． (2)对于这个代数式． ①它的最小值为　　； ②若，则的最大值为　　． 69．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ∵a，b都是有理数， ∴也是有理数， ∵是无理数， ∴， ∴， ∴ 解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值． 70．（23-24七年级下·江苏南京·期中）【知识重现】我们知道，在axN中，已知底数a，指数x，求幂N的运算叫做乘方运算．例如23=8：已知幂N，指数x，求底数a的运算叫做开方运算，例如=2． 【学习新知】 现定义：如果ax=N（a0且a1），即a的x次方等于N（a0且a1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=logaN．其中a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做以a为底N的对数，例如log28=3，零没有对数；在实数范围内，负数没有对数． 【应用新知】 （1）选择题：在式子log5125中，真数是_______． （2）①计算以下各对数的值：log39=_______；log327=_______． ②根据①中计算结果，请你直接写出logaM，logaN，loga（MN）之间的关系，（其中a0且a1，M0，N0）． 71．（23-24七年级下·浙江·期末）阅读材料，回答问题： （1）对于任意实数x，符号表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，就是x，当x不是整数时，是点x左侧的第一个整数点，如，，，，则________，________． （2）2015年11月24日，杭州地铁1号线下沙延伸段开通运营，极大的方便了下沙江滨居住区居民的出行，杭州地铁收费采用里程分段计价，起步价为2元/人次，最高价为8元/人次，不足1元按1元计算，具体收费标准如下： 里程范围 4公里以内（含4公里） 4-12公里以内（含12公里） 12-24公里以内（含24公里） 24公里以上 收费标准 2元 4公里/元 6公里/元 8公里/元 ①若从下沙江滨站到文海南路站的里程是3.07公里，车费________元，下沙江滨站到金沙湖站里程是7.93公里，车费________元，下沙江滨站到杭州火东站里程是19.17公里，车费________元； ②若某人乘地铁花了7元，则他乘地铁行驶的路程范围（不考虑实际站点下车里程情况）？ 72．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得______． 因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 学科网（北京）股份有限公司 $$