10.2 事件的相互独立性 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第十章　概率 10.2　事件的相互独立性 事件的相互独立是事件之间一种重要的关系,它不同于事件的包含、相等、互斥和对立等关系. 本学习单元结合具体的随机试验(古典概型),根据实际问题背景,先直观判断两个事件是否独立,即如果事件A和事件B的发生互相不受影响,那么事件A和事件B是相互独立的,否则不独立.然后计算P(A),P(B)和P(AB),发现共性,进而给出两个事件相互独立的一般定义.另外,在解决实际问题时,我们通常是直观判断事件的独立性,然后利用P(AB)=P(A)P(B)来求积事件AB的概率.这是本学习单元的知识明线,具体内容结构如下所示. 本学习单元的最终目标是理解相互独立事件的直观意义及定义,能利用事件的独立性解决实际问题,能在实际问题情境中判断事件的独立性.在本单元的学习过程中,通过探究、实践、验证等方法,得出两个事件独立的判断方法,培养数学运算、数学抽象的核心素养. 学习目标 1.理解相互独立事件的意义,弄清事件“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念.(数学抽象) 2.掌握两个相互独立事件同时发生的概率乘法公式.(数学运算) 3.能够综合运用相互独立事件的概率乘法公式解决一些较简单的相关概率计算问题.(数学运算) 4.培养分析问题、解决问题的能力,提高数学转化与化归的能力.(逻辑推理) 基础落实·必备知识一遍过 知识点一:两个事件相互独立 对任意两个事件A与B,如果　　 　　　　　成立,则称事件A与事件B 　　　 　,简称为　　　　.  名师点睛 2.必然事件Ω、不可能事件⌀都与任意事件相互独立.因为必然事件Ω总会发生,不会受任何事件是否发生的影响,不可能事件⌀总不会发生,也不受任何事件是否发生的影响.当然,它们也不影响其他事件是否发生. 3.对于n个事件A1,A2,…,An,如果其中任意一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响,则称n个事件A1,A2,…,An相互独立. P(AB)=P(A)P(B) 相互独立 独立 思考辨析 分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A=“第一枚硬币正面朝上”,事件B =“第二枚硬币反面朝上”.你觉得事件A发生与否会影响事件B的发生吗? P(A),P(B)与P(AB)有怎样的关系? 提示 因为分别抛掷两枚硬币,故事件A发生与否不会影响事件B的发生. 知识点二:两个相互独立事件同时发生的概率乘法公式 若A,B是　　　　　　　　　　　　,则有P(AB)=P(A)P(B)成立.  名师点睛 1.三个事件A,B,C两两互斥,则P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)成立.但三个事件A,B,C两两独立时,等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立. 2.A,B,C相互独立的充要条件是:P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C), P(CA)=P(C)P(A),P(ABC)=P(A)P(B)·P(C),4个条件每个都必不可少. 两个相互独立事件 思考辨析 如果连续10次掷一枚骰子,结果都是出现1点,你认为这枚骰子的质地均匀吗?为什么? 提示 可以推测这枚骰子的质地不均匀,并且很有可能是标有6点的那面比较重,使得出现1点的概率最大,才会连续10次都出现1点. 重难探究·能力素养速提升 问题1 如何判断两个事件相互独立? 问题2 如何判断三个事件相互独立?能否通过语言直观判断?若不能,该如何判断? 探究点一 相互独立事件的判断 问题3 能否用两种方式判断以下事件的关系? 【例1】 抛掷一枚均匀的骰子一次,记事件A=“出现偶数点”,B=“出现3点或6点”,则事件A与B的关系是(　　) A.互斥 B.相互独立 C.既互斥又相互独立 D.既不互斥又不相互独立 B 规律方法　判断两个事件A,B是否相互独立,一般有两种思路:第一种是直接法,即从是否相互影响其发生(偏感性认识)判断;第二种是定义法,即利用定义P(AB)=P(A)P(B)进行理性判断. 探究点二 相互独立事件的概率 问题4 相互独立事件的积事件有怎样的概率关系?如何计算? 【例2】 本着健康、低碳的生活,租共享电动自行车出行的人越来越多,某共享电动自行车租车点的收费标准是起步价2元(20分钟及以内),超过20分钟每10分钟收费1元(不足10分钟的部分按10分钟计算).现有甲、乙、丙三人来该租车点租车,已知三人租车是相互独立的(各租一车一次),设甲、乙、 (1)求甲、乙、丙三人超过30分钟还车的概率; (2)求甲、乙、丙三人的租车费用完全相同的概率. 规律方法　解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义,若A,B相互独立,则 也是相互独立的,代入相互独立事件的概率公式求解. 探究点三 相互独立事件概率的综合应用 问题5 如何解决相互独立事件概率的综合问题? 【例3】 小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求: (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率; (2)这三列火车恰有一列正点到达的概率. 解 用A,B,C分别表示这三列火车正点到达的事件, 则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9, 延伸探究 在例3中条件不变,试求这三列火车至少有一列正点到达的概率. 规律方法　明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.一般地,已知两个事件A,B,它们的概率分别为P(A),P(B),那么: (1)A,B中至少有一个发生为事件A+B. (2)A,B都发生为事件AB. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 1.(例1对点题)袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,记A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”,则A与B(　　) A.互斥 B.相互独立 C.对立 D.不相互独立 D 1 2 3 2.(例2对点题)已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为 ,若他们3人分别向目标各发1枪,则三枪中至少命中2次的概率为　　　.  1 2 3 3.(例3对点题)某机械厂制造一种汽车零件,已知甲机床的正品率是0.96,乙机床的次品率是0.05,现从它们制造的产品中各任意抽取一件,试求: (1)两件产品都是正品的概率; (2)恰有一件是正品的概率; (3)至少有一件是正品的概率. 解 用A表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”,用B表示“从乙机床生产的产品中抽得正品”,用C表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”,用D表示“抽得的两件产品中至少有一件正品”, 1 2 3 (3)由于事件AB与C互斥, 所以P(D)=P(AB∪C)=P(AB)+P(C)=0.912+0.086=0.998. 1.如果A与B相互独立,那么A与与B,也都相互独立. P(A)=,P(B)=,事件AB指第一枚硬币正面朝上且第二枚硬币反面朝上, 列出样本空间为{(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},共4种情况, 而AB为(正,反),1种情况. 故P(AB)=.所以P(AB)=P(A)P(B). 如果这枚骰子的质地均匀,那么抛掷一次出现1点的概率为, 连续10次都出现1点的概率为10≈0.000 000 016 538, 这是一个小概率事件,几乎不可能发生. 解析 因为A={2,4,6},B={3,6},A∩B={6}, 所以P(A)=,P(B)=,P(AB)=,所以A与B相互独立. 丙不超过20分钟还车的概率分别为,20分钟以上且不超过30分钟还车的概率分别为,三人租车时间都不会超过40分钟. 解 (1)由题意可得,甲、乙、丙30分钟以上且不超过40分钟还车的概率 分别为. (2)甲、乙、丙三人的租车费用完全相同的概率为 P=. 与B,A与 所以P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1. (1)由题意得A,B,C之间互相独立, 所以恰好有两列正点到达的概率为 P1=P(BC)+P(AC)+P(AB) =P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P() =0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1 =0.398. (2)恰有一列火车正点到达的概率为 P3=P(A)+P()+P(C) =P(A)P()P()+P()P(B)P()+P()P()P(C) =0.8×0.3×0.1+0.2×0.7×0.1+0.2×0.3×0.9 =0.092. 解 三列火车至少有一列正点到达的概率为 P2=1-P() =1-P()P()P() =1-0.2×0.3×0.1 =0.994. (3)A,B都不发生为事件. (4)A,B恰有一个发生为事件AB. (5)A,B中至多有一个发生为事件AB+. 解析 设A=“甲命中”,B=“乙命中”,C=“丙命中”, 则P(A)=,P(B)=,P(C)=, ∴他们3人分别向目标各发1枪,则三枪中至少命中2次的概率为p=P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC) =. 则C=AB,D=C∪AB. (1)由题意知,A与B是相互独立事件,P(B)=1-P()=1-0.05=0.95,P(A)=0.96, 所以两件都是正品的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.96×0.95=0.912. (2)由于事件AB互斥, 所以恰有一件是正品的概率为P(C)=P(AB) =P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.96×0.05+0.04×0.95=0.086. $$