第11讲 空间的垂直问题（春季讲义）-2024-2025学年高一数学春季讲义（人教A版2019必修第二册）

第11讲 空间的垂直问题 【人教A版2019】 模块一 空间直线、平面的垂直（一） 1．异面直线所成的角 (1)两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的 角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<. (3)两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记 作a⊥b. 2．直线与平面垂直 (1)定义 如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫 做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. (2)点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的 长度叫做这个点到该平面的距离. 3．直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. 该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”. 4．直线与平面所成的角 (1)定义 ①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的 斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. ②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的 直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. ③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所 成的角. (2)直线与平面所成的角的范围 ①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是. ②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是. ③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<. ④直线与平面所成的角的取值范围是. 5．直线与平面垂直的性质定理 (1)直线与平面垂直的性质定理 ①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． ②图形语言：如图所示． ③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)性质定理的作用 ①由线面垂直证明线线平行. ②构造平行线. 【题型1 异面直线所成的角】 【例1.1】（23-24高一下·云南曲靖·期末）如图，已知正三棱柱为的中点，则与所成角的余弦值为（    ）    A．1 B． C． D． 【例1.2】（23-24高一下·河北唐山·期末）在正四面体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高一下·安徽·期末）在正四棱台中，，点为底面的中心，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高一下·福建福州·期末）在正三棱柱 中，，，分别是 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【题型2 证明异面直线垂直】 【例2.1】（24-25高一下·全国·课后作业）在直三棱柱中，，求证：． 【例2.2】（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 【变式2.1】（24-25高二上·云南昭通·期中）如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 【变式2.2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知正方体. （1）求与所成角的大小； （2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：. 【题型3 线面垂直的判定】 【例3.1】（24-25高一上·广东揭阳·期末）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是（   ） A．平面DD1C1C B．平面A1DB1 C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB 【例3.2】（2024·全国·模拟预测）如图，四棱锥是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥是正四面体，G为的中点，则下列结论错误的是（ ） A．点共面 B．平面平面 C． D．平面ACD 【变式3.1】（2024高二下·福建·学业考试）如图，四棱锥的底面是正方形，底面.    (1)若，求四棱锥的体积 (2)求证：平面 【变式3.2】（23-24高一下·广东湛江·期末）如图，平面，底面为矩形，于点于点．    (1)求证：平面； (2)设平面交于点，求证：． 【题型4 直线与平面所成的角】 【例4.1】（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图所示，四棱锥中，平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，，M为PD的中点，则CD与平面ACM所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在正方体中，点M，N分别为线段AC和线段的中点，求直线MN与平面所成角为（    ） A．60° B．45° C．30° D．75° 【变式4.1】（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）如图，四边形是矩形，，，平面，，.点为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求和平面所成角的正弦值. 【变式4.2】（23-24高一下·甘肃兰州·期末）如图，在四棱锥中，平面PAB，且在四边形PACQ中，，，二面角的大小为，且． (1)点E为BC的中点，证明：平面PAB； (2)求直线BQ与平面PACQ所成角的正弦值． 模块二 空间直线、平面的垂直（二） 1．二面角 (1) 二面角的定义 ①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面. ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面. (2)二面角的表示 ①棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角-AB-，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角 -l-，如图(1). ②若在，内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这 个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). (3)二面角的平面角 ①自然语言 在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和 OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②图形语言 ③符号语言 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角. (4)二面角大小的度量 ①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面 角是直角的二面角叫做直二面角. ②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是；当二面角的两个半平面合成一个平面时， 规定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范围是. 2．面面垂直的定义及判定定理 (1)平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与垂 直，记作⊥. (2)两个平面互相垂直的画法 如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直. (3)平面与平面垂直的判定定理 ①自然语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”. 3．平面与平面垂直的性质定理 (1)平面与平面垂直的性质定理 ①自然语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . (2)性质定理的作用 ①证明线面垂直、线线垂直； ②构造面的垂线. 4．直线、平面位置关系中的相关结论及其转化 (1)判定直线与直线垂直的方法 ①定义法：两条直线所成的角为，则这两条直线互相垂直. ②利用直线与平面垂直的性质来判定. ③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条. (2)判定直线与平面垂直的方法 ①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直. ②利用直线与平面垂直的判定定理来判定. ③利用平面与平面垂直的性质定理来判定. ④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥b⊥. ⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即∥，a⊥ a⊥. (3)平面与平面垂直的其他性质与结论 ①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. ②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面. ③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内. ④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面. ⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直. (4)线、面垂直位置关系的相互转化 (5)平行关系与垂直关系的相互转化 【题型5 面面垂直的判定】 【例5.1】（24-25高一下·全国·课后作业）对于直线，和平面，，能得出的一个条件是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例5.2】（24-25高一上·山东·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列结论正确的是（　　）    A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC 【变式5.1】（24-25高一上·江西宜春·期末）已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面平面，E为的中点，，． (1)求证：平面平面． (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【变式5.2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为等边三角形．    (1)求证：； (2)若为边上的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 【题型6 求二面角】 【例6.1】（23-24高一下·云南曲靖·期末）正四棱柱中，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例6.2】（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知中，，，，点M为AB中点，连接CM．将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（23-24高一下·河南漯河·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面.，为侧棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正切值. 【变式6.2】（23-24高一下·广东惠州·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等边三角形，平面平面，为的中点. (1)求证：平面. (2)求侧面与底面所成二面角的余弦值. 【题型7 点、线、面的距离问题】 【例7.1】（2024高一下·全国·专题练习）如图直四棱柱的体积为8，底面为平行四边形，的面积为，则点A到平面的距离为（　　） A．1 B． C． D．2 【例7.2】（23-24高一下·贵州贵阳·期末）正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7.1】（23-24高一下·山东泰安·期末）如图，平面，，，F为CE中点． (1)求证：平面； (2)求点C到平面的距离． 【变式7.2】（23-24高一下·山东威海·期末）如图，在平行四边形中，，沿其对角线将折起至，使所在平面与平面垂直.    (1)证明：平面平面； (2)若为上一点，∥平面，，求直线到平面的距离. 【题型8 平行关系与垂直关系的综合应用】 【例8.1】（2022高二下·河北·学业考试）如图，在正方体中，分别为棱，的中点.下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【例8.2】（23-24高一下·福建龙岩·期末）如图，在正方体中，、为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则平面平面 C．若，，则平面 D．若，，则 【变式8.1】（23-24高一下·贵州黔西·期末）如图，在正方体中． (1)求证：∥平面； (2)求证：平面． 【变式8.2】（2024高二下·安徽·学业考试）如图，四棱柱中，底面是菱形，底面，点为的中点.求证： (1)直线平面； (2)平面平面. 【题型9 立体几何中的探索性问题】 【例9.1】（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． (1)判断在梭上是否存在一点使平面，若存在，求；若不存在，说明理由； (2)当点分别是的中点时，求异面直线和的夹角的余弦值． 【例9.2】（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图①所示，已知正三角形与正方形，将沿翻折至所在的位置，连接，，得到如图②所示的四棱锥.已知，，为上一点，且满足. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面.若存在，指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【变式9.1】（23-24高二上·上海·期末）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 【变式9.2】（23-24高一下·天津·期末）如图，在六面体中， 为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为.若存在，求出值；若不存在，请说明理由. 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·单元测试）设为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则下列条件中一定能得到的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河北保定·期末）在正三棱柱中，，则点A到平面的距离为（    ） A． B． C． D．1 3．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知直线a，b与平面，，，下面能使成立的条件是（    ） A．， B．，， C．， D．， 4．（24-25高一下·全国·课后作业）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·全国·课后作业）已知矩形所在的平面（如图），则图中互相垂直的平面有（    ）    A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 6．（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱锥中，平面， ，，为的中点，则下列结论正确的有（    ） ①平面；②；③平面；④平面. A．个 B．个 C．个 D．个 7．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）在二面角中，，，，，且，，若，，，则二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 8．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O.在构成的四面体中，下列说法错误的是（    ） A．平面EOF B．直线AH与平面EOF所成角的正切值为 C．四面体的表面积为2 D．异面直线OH与AE所成角的余弦值为 二、多选题 9．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 10．（23-24高一下·湖南娄底·期末）如图，平面，为正方形，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·山东济南·期中）已知正四棱台的高为，，，则（    ） A．正四棱台的体积为 B．二面角的大小为 C．直线与平面ABCD所成角的正弦值为 D．异面直线与所成角的正切值为2 三、填空题 12．（23-24高一下·江苏·期末）在正方体中，直线和直线所成的角为 . 13．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，三棱柱的底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若，则点到平面的距离为 . 14．（23-24高一下·安徽·期末）如图，已知二面角的平面角为，棱上有不同的两点，，，.若，则直线与平面所成角的正弦值为 . 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，为所在平面外一点，平面，，于点．求证： (1)平面； (2)平面． 16．（23-24高一下·广西玉林·期中）如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 17．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）已知如图甲，在梯形ABCD中，，，，E，F分别是AB，CD上的点，，，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF（如图乙）． (1)证明：平面ABE； (2)当时，求二面角的余弦值． 18．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小． 19．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面底面，底面是直角梯形，，，，，是的中点.    (1)证明：平面； (2)底边上是否存在异于端点的一点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 空间的垂直问题 【人教A版2019】 模块一 空间直线、平面的垂直（一） 1．异面直线所成的角 (1)两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的 角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<. (3)两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记 作a⊥b. 2．直线与平面垂直 (1)定义 如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫 做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. (2)点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的 长度叫做这个点到该平面的距离. 3．直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. 该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”. 4．直线与平面所成的角 (1)定义 ①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的 斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. ②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的 直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. ③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所 成的角. (2)直线与平面所成的角的范围 ①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是. ②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是. ③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<. ④直线与平面所成的角的取值范围是. 5．直线与平面垂直的性质定理 (1)直线与平面垂直的性质定理 ①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． ②图形语言：如图所示． ③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)性质定理的作用 ①由线面垂直证明线线平行. ②构造平行线. 【题型1 异面直线所成的角】 【例1.1】（23-24高一下·云南曲靖·期末）如图，已知正三棱柱为的中点，则与所成角的余弦值为（    ）    A．1 B． C． D． 【解题思路】取的中点，则（或其补角）为异面直线与所成角，解三角形即可求解. 【解答过程】如图，取的中点，连接、，易知，    所以异面直线与所成角就是直线与直线所成的角，即（或其补角）， 由题意可知正三棱柱的所有棱长都相等， 可设三棱柱的棱长都为，则，，， 因为，所以为直角三角形， 所以 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：. 【例1.2】（23-24高一下·河北唐山·期末）在正四面体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】取的中点为，确定异面直线与所成的角，再求出等腰三角形底角的余弦即可. 【解答过程】设正四面体的棱长为2，取的中点，连接， 由是棱的中点，得，则为异面直线与所成的角（或其补角）， 在中，，，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 【变式1.1】（23-24高一下·安徽·期末）在正四棱台中，，点为底面的中心，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由棱台的结构特征可得，则或其补角为异面直线与所成的角，利用正棱台的结构求解即可． 【解答过程】如图所示，连接，则，连接，因为， 所以．易知四边形为平行四边形，则，且， 所以或其补角为异面直线与所成的角， 同理知，又，所以为等边三角形，所以， 故选：C． 【变式1.2】（23-24高一下·福建福州·期末）在正三棱柱 中，，，分别是 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】设，取的中点，的中点，的中点,可得异面直线与 所成角为或其补角，利用余弦定理即可求解. 【解答过程】设，取的中点，的中点，的中点, 易知,, 所以异面直线与 所成角为或其补角. 由正三棱柱的几何特征可得,，. , , ，， , 在中，由余弦定理可得, 所以直线与 所成角的余弦值为. 故选:A. 【题型2 证明异面直线垂直】 【例2.1】（24-25高一下·全国·课后作业）在直三棱柱中，，求证：． 【解题思路】找到异面直线的夹角，利用直三棱柱的性质求出夹角度数，再证明线线垂直即可. 【解答过程】如图，连接，设，，， 由直三棱柱性质得，， 因为，所以由勾股定理得， 因为三棱柱是直三棱柱，所以， 由勾股定理得，， 故，则，即． 由直三棱柱性质得，故就是直线与所成的角， 所以得证． 【例2.2】（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 【解题思路】通过平移后再解三角形即可获得证明. 【解答过程】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH． 因为E是AB的中点，且AD=2， 所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1． 所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角． 因为EF=，所以EH2+FH2=EF2， 所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边， 所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°， 所以AD⊥BC． 【变式2.1】（24-25高二上·云南昭通·期中）如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 【解题思路】（1）根据当两直线所成的角是直角时，两直线垂直即可证明 （2）根据异面直线的定义可得 【解答过程】（1）如图所示，连接，    为正方体， ， 平面为平行四边形， . 为正方形， ， . （2）由面，面，且面面， 又与不平行，与是异面直线. 【变式2.2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知正方体. （1）求与所成角的大小； （2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：. 【解题思路】（1）根据正方体的性质，证出，由此得到就是与所成的角．然后在正三角形中加以计算，可得与所成角的大小； （2）平行四边形中可得， 可证，又即可得证； 【解答过程】解：（1）如图，连接，由几何体是正方体，知四边形为平行四边形，所以， 从而与所成的角为与所成的角， 由，可知. 故与所成的角为. （2）如图，连接，易知四边形为平行四边形，所以， 因为为的中位线， 所以. 又， 所以， 所以. 【题型3 线面垂直的判定】 【例3.1】（24-25高一上·广东揭阳·期末）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是（   ） A．平面DD1C1C B．平面A1DB1 C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB 【解题思路】由正方体的性质可知侧面内两对角线的垂直关系及棱与相应的侧面垂直关系来论证. 【解答过程】 如图：连接A1D，DB1， 由正方形A1 D1DA得，A1D⊥AD1， 又由正方体A1 C得，A1B1⊥AD1， 又因为A1D∩A1B1＝A1，A1D⊂平面A1DB1，A1B1⊂平面A1DB1， 所以AD1⊥平面A1DB1． 故选：B. 【例3.2】（2024·全国·模拟预测）如图，四棱锥是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥是正四面体，G为的中点，则下列结论错误的是（ ） A．点共面 B．平面平面 C． D．平面ACD 【解题思路】A.由题意转化为证明平面和平面，即可证明；B.根据面面平行的判断定理转化为证明平面和平面，即可证明；C.由A选项的证明可证明线线垂直；D.利用反证法，说明不成立. 【解答过程】选项A：如图，取中点，连接,,,， 因为是正四棱锥，是正四面体，为的中点， 所以，,， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 所以四点共面， 由题意知，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为，所以，所以四点共面，故A说法正确； 选项B：由选项A知，又平面，平面，所以平面， 因为，且平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且，所以平面平面，故B说法正确； C选项：由选项A可得平面，又平面，所以，故C说法正确； D选项：假设平面，因为平面，则， 由选项A知四边形是平行四边形，所以四边形是菱形， 与，矛盾，故D说法错误. 故选：D. 【变式3.1】（2024高二下·福建·学业考试）如图，四棱锥的底面是正方形，底面.    (1)若，求四棱锥的体积 (2)求证：平面 【解题思路】（1）根据体积公式可求四棱锥的体积. （2）可证 ，结合可证平面. 【解答过程】（1）因为底面，故四棱锥的高为， 而正方形的面积为，故. （2）因为底面，而平面，故， 由正方形可得，因平面， 故平面. 【变式3.2】（23-24高一下·广东湛江·期末）如图，平面，底面为矩形，于点于点．    (1)求证：平面； (2)设平面交于点，求证：． 【解题思路】（1）由为矩形，得，又平面得，可知平面，从而，得证平面. （2）先证平面,得再证平面，得从而平面证明. 【解答过程】（1）为矩形， 平面平面 ， 又与平面， 平面． 又平面 又与平面， 平面. （2）由（1）知，平面 又与平面 平面；平面，所以； 为矩形 平面是平面内两条相交直线 平面 平面 平面平面， . 【题型4 直线与平面所成的角】 【例4.1】（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图所示，四棱锥中，平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，，M为PD的中点，则CD与平面ACM所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】过点D 作于点N，证明平面，得CD与平面ACM 所成的角为，在中，求的余弦值. 【解答过程】如图，过点D 作于点N， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又四边形ABCD为矩形，，，平面AMD， 所以平面AMD，因为平面AMD，所以， 在中，，M为PD 的中点，所以且， 又，平面CDM，所以平面CDM， 因为平面ACM，所以平面平面， 因为平面平面，，平面， 所以平面，所以CD与平面ACM 所成的角为. 因为平面，平面，所以， 在中，. 故选：B. 【例4.2】（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在正方体中，点M，N分别为线段AC和线段的中点，求直线MN与平面所成角为（    ） A．60° B．45° C．30° D．75° 【解题思路】取的中点,连接，证明平面，即得即直线MN与平面所成角，解三角形即得. 【解答过程】 如图，取的中点,连接,因是的中点，故, 又因正方体中，平面,故平面, 即是在平面上的射影，故即直线MN与平面所成角， 因是的中点,故,易得，, 即直线MN与平面所成角为. 故选：B. 【变式4.1】（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）如图，四边形是矩形，，，平面，，.点为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求和平面所成角的正弦值. 【解题思路】（1）连接交于，证明，根据线面平行判定定理证明结论； （2）根据线面垂直判定定理证明平面，结合线面角定义确定和平面所成的角，解三角形求解即可. 【解答过程】（1）连接交于，连接，因为为、的中点， 所以为的中位线； 所以，而平面，平面， 故平面；                                             （2）因为平面，平面，所以 ， 又由，而，平面， 故平面； 故即为和平面所成的角. 由已知，，， 在直角三角形中，可得， 所以和平面所成角的正弦值为. 【变式4.2】（23-24高一下·甘肃兰州·期末）如图，在四棱锥中，平面PAB，且在四边形PACQ中，，，二面角的大小为，且． (1)点E为BC的中点，证明：平面PAB； (2)求直线BQ与平面PACQ所成角的正弦值． 【解题思路】（1）运用垂直条件找出二面角的平面角，得到，借助中位线证明平行，进而得到四边形PQEF为平行四边形，再运用线面平行的判定定理即可； （2）过B作于点M，得到平面，得到平面平面ABC，运用面面垂直性质得到平面PACQ， 得到即为所求线面角.再结合勾股定理和余弦定理求线段长度，借助锐角三角函数求解角的正弦值即可. 【解答过程】（1）证明：∵平面PAB，平面PAB∴， ∵∴， ∵，∴平面ABC，∵平面ABC，∴． ∵，，∴二面角的平面角即为，∴， ∵平面PAB，平面PAB，∴， ∵，∴， 取AB中点F，连接EF，则， 又，∴， ∴四边形PQEF为平行四边形， ∴，又平面PAB，平面PAB，∴平面PAB； （2）解：过B作于点M，∵平面PACQ，平面， ∴平面平面ABC，交线为AC，则平面PACQ，连接QM， ∴即为所求线面角， ，而， 由勾股定理可得：， 在中，过点Q作于点N，则， 因为，则，是等腰直角三角形，所以，， 由余弦定理得：， 由勾股定理得：， ∴，即BQ与平面PACQ所成角正弦值为． 模块二 空间直线、平面的垂直（二） 1．二面角 (1) 二面角的定义 ①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面. ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面. (2)二面角的表示 ①棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角-AB-，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角 -l-，如图(1). ②若在，内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这 个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). (3)二面角的平面角 ①自然语言 在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和 OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②图形语言 ③符号语言 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角. (4)二面角大小的度量 ①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面 角是直角的二面角叫做直二面角. ②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是；当二面角的两个半平面合成一个平面时， 规定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范围是. 2．面面垂直的定义及判定定理 (1)平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与垂 直，记作⊥. (2)两个平面互相垂直的画法 如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直. (3)平面与平面垂直的判定定理 ①自然语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”. 3．平面与平面垂直的性质定理 (1)平面与平面垂直的性质定理 ①自然语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . (2)性质定理的作用 ①证明线面垂直、线线垂直； ②构造面的垂线. 4．直线、平面位置关系中的相关结论及其转化 (1)判定直线与直线垂直的方法 ①定义法：两条直线所成的角为，则这两条直线互相垂直. ②利用直线与平面垂直的性质来判定. ③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条. (2)判定直线与平面垂直的方法 ①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直. ②利用直线与平面垂直的判定定理来判定. ③利用平面与平面垂直的性质定理来判定. ④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥b⊥. ⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即∥，a⊥ a⊥. (3)平面与平面垂直的其他性质与结论 ①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. ②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面. ③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内. ④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面. ⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直. (4)线、面垂直位置关系的相互转化 (5)平行关系与垂直关系的相互转化 【题型5 面面垂直的判定】 【例5.1】（24-25高一下·全国·课后作业）对于直线，和平面，，能得出的一个条件是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【解题思路】在AB中，可得与β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得；在D中，由面面平行的判定定理得. 【解答过程】在A中，，，，则与β相交或平行，故A错误； 在B中，，，，则与β相交或平行，故B错误； 在C中，，，则， 且，由面面垂直的判定定理得，故C正确； 在D中，，，，由面面平行的判定定理得，故D错误. 故选：C. 【例5.2】（24-25高一上·山东·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列结论正确的是（　　）    A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC 【解题思路】利用面面垂直的判定定理结合题意逐个分析判断. 【解答过程】如图所示：    因为，，，所以四边形为直角梯形. 所以. 又因为，所以，即. 又因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面， 若平面平面，那么平面，显然不成立，故A错误； 因为平面， 又因为平面，所以.又，，平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面，故D正确； 因为平面平面，过点作平面的垂线，垂足落在上，显然垂线不在平面内，所以平面与平面不垂直，故C错误，同理B也错误.    故选：D. 【变式5.1】（24-25高一上·江西宜春·期末）已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面平面，E为的中点，，． (1)求证：平面平面． (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【解题思路】（1）通过证明平面，可得平面平面. （2）先判断出异面直线与所成角，然后求得所成角的余弦值. 【解答过程】（1）由于，所以， 由于平面平面且交线为，平面， 所以平面，由于平面， 所以. 由于平面， 所以平面， 由于平面，所以平面平面． （2）由于，所以是异面直线与所成角（或其补角）， ，， ，， 所以，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【变式5.2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为等边三角形．    (1)求证：； (2)若为边上的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 【解题思路】（1）连接，，由三线合一可得，，因为平面，所以； （2）先证明平面平面，再结合平面，最后应用面面垂直判定定理得证． 【解答过程】（1）设为的中点，连接，，如图．    因为为等边三角形，所以， 在菱形中，，为的中点，所以． 又因为，，平面， 所以平面． 因为平面，所以． （2）当为的中点时，满足平面平面． 证明如下： 如图，设为的中点，连接，，，则在中，， 因为平面，平面， 所以平面，在菱形中，， 因为平面，平面，所以平面， 而，平面，， 所以平面平面． 由（1）得平面，而平面， 所以平面平面． 所以平面平面． 【题型6 求二面角】 【例6.1】（23-24高一下·云南曲靖·期末）正四棱柱中，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】连接交于，连接，可得为二面角的平面角，在中求出的余弦值，从而可求出的余弦值. 【解答过程】连接交于，连接， 因为四棱柱为正四棱柱， 所以平面，， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，， 所以， 所以， 因为，所以. 故选：D. 【例6.2】（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知中，，，，点M为AB中点，连接CM．将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据折叠前后的不变量，再用定义法找出二面角的平面角即可求解. 【解答过程】取的中点，过点作的垂线，垂足为，连接， 则， 因为在中，，，，点M为AB中点， 所以，则为等边三角形， 所以，， 将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，则为等边三角形， ，，，，    因为平面平面，且平面，，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以，则二面角A'-BC-M的平面角为， 在直角三角形中， ， 所以， 故选：B. 【变式6.1】（23-24高一下·河南漯河·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面.，为侧棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正切值. 【解题思路】（1）通过线面垂直证明面面垂直可得结论. （2）通过构造辅助线找到二面角的平面角，在直角三角形中利用锐角三角函数可得结果. 【解答过程】（1）∵平面，平面，∴. ∵,平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2） 取中点，连接，过点作于点，连接. ∵点分别为的中点，∴，， ∴平面， ∵平面，平面，∴， ∵，平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴， ∴为二面角的平面角， 在直角梯形中，. ∵，∴， ∴，即二面角的正切值为. 【变式6.2】（23-24高一下·广东惠州·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等边三角形，平面平面，为的中点. (1)求证：平面. (2)求侧面与底面所成二面角的余弦值. 【解题思路】（1）证明，，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）取的中点，连接.证明是平面与平面所成二面角的平面角.在中，由余弦定理即可求. 【解答过程】（1）在等边中，因为为的中点，所以， 在正方形中，， 又因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以. 因为,平面， 所以平面. （2）取的中点，连接. 则，又正方形中，，所以, 在等边中，因为为的中点，所以. 因为平面平面，平面平面， 所以平面，因为平面，所以. 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，所以是平面与平面所成二面角的平面角. 设，则， 所以. 【题型7 点、线、面的距离问题】 【例7.1】（2024高一下·全国·专题练习）如图直四棱柱的体积为8，底面为平行四边形，的面积为，则点A到平面的距离为（　　） A．1 B． C． D．2 【解题思路】先得到，设点A到平面的距离为h，得到方程，求出答案. 【解答过程】设点A到平面的距离为h，因为直四棱柱的体积为8， 则直三棱柱的体积为4，故， 即， 又因为， 所以，故点A到平面的距离为. 故选：B. 【例7.2】（23-24高一下·贵州贵阳·期末）正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】证明平面，平面，等体积法求点到平面的距离和点到平面的距离，可得平面到平面的距离. 【解答过程】连接，正方体中，平面，平面，则， 正方形中，有， 平面，，所以平面， 平面，则有， 同理有，平面，， 所以平面，同理有平面， 正方体棱长为，则，， 设点到平面的距离为，由，    有，解得， 即点到平面的距离为2，同理点到平面的距离为2， ， 则平面到平面的距离为. 故选：B. 【变式7.1】（23-24高一下·山东泰安·期末）如图，平面，，，F为CE中点． (1)求证：平面； (2)求点C到平面的距离． 【解题思路】（1）取的中点，连接，证明出四边形为平行四边形，得出，即可证明； （2）设点到平面的距离为，根据等体积法，由列出方程求解即可． 【解答过程】（1）取的中点，连接， 因为F为CE中点，所以且， 又，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）因为，，所以， 所以， 又平面，所以， 因为，，所以， 由平面，平面，所以， 又， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，解得， 所以点C到平面的距离为． 【变式7.2】（23-24高一下·山东威海·期末）如图，在平行四边形中，，沿其对角线将折起至，使所在平面与平面垂直.    (1)证明：平面平面； (2)若为上一点，∥平面，，求直线到平面的距离. 【解题思路】（1）证法一：由已知得，再结面面垂直的性质可得平面，而，则平面，然后利用面面垂直的判定定理可证得结论；证法二：由已知面面垂直可证得平面，则，由题意可得，再利用线面垂直的判定定理得平面，然后利用面面垂直的判定定理可证得结论； （2）连接交于点，连接，由线面平行的性质可得∥，∥平面，则将到平面的距离转化为点到平面的距离，可证得为等边三角形，则，由线面垂直的判定可得平面，从而可求得结果. 【解答过程】（1）证法一：因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，                                              因为平行四边形，所以∥， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 证法二：因为，所以，即， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平行四边形，所以∥， 所以，即， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）因为∥平面，所以到平面的距离等于点到平面的距离. 连接交于点，连接， 因为∥平面，平面，平面平面， 所以∥， 因为为中点，所以为的中点， 因为，，所以， 在中，，，所以，且， 所以为等边三角形，所以， 因为，平面， 所以平面， 所以的长即为点到平面的距离，因为， 所以到平面的距离为. 【题型8 平行关系与垂直关系的综合应用】 【例8.1】（2022高二下·河北·学业考试）如图，在正方体中，分别为棱，的中点.下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【解题思路】根据线面平行、线面垂直的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】设，连接，由于是的中点，是的中点， 所以，而， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以，由于平面，平面， 所以平面，所以A选项正确. 由A选项的分析可知，而平面， 所以与平面相交，所以C选项错误. 由于与的夹角为，所以与平面不垂直，D选项错误. 设正方体的边长为，则，不满足勾股定理， 所以与不垂直，而平面，所以与平面不垂直， 所以B选项错误. 故选：A. 【例8.2】（23-24高一下·福建龙岩·期末）如图，在正方体中，、为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则平面平面 C．若，，则平面 D．若，，则 【解题思路】根据正方体的特征及线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定判断AB；利用正方体的特征及面面平行的判定与性质判断CD. 【解答过程】    对于A，，底面，底面，则 ， 又平面，则平面，平面，所以，A正确； 对于B，，则平面，又平面，则平面平面， 而平面与平面重合，平面平面，B正确；    对于C，在正方体中，， 而平面，平面，则平面，同理平面， 又平面，因此平面平面， 由平面，得平面，C正确； 对于D，由于分别为上的动点，则与不一定相等，与不一定平行，D错误. 故选：D. 【变式8.1】（23-24高一下·贵州黔西·期末）如图，在正方体中． (1)求证：∥平面； (2)求证：平面． 【解题思路】（1）根据题意可得∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）连接，可得，，结合线面垂直的判定定理分析证明. 【解答过程】（1）因为为正方体，则∥，且， 可知为平行四边形，则∥， 且平面，平面，所以∥平面. （2）连接， 因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面， 可得平面， 由平面，可得， 同理可得：， 且，平面， 所以平面. 【变式8.2】（2024高二下·安徽·学业考试）如图，四棱柱中，底面是菱形，底面，点为的中点.求证： (1)直线平面； (2)平面平面. 【解题思路】（1）设，连接，可证，故由线面平行的判定定理可得平面. （2）由线面垂直的判定定理可证平面，故可得平面平面. 【解答过程】（1） 设，连接， ∵底面是菱形，∴为的中点， 又∵是的中点，∴， 又平面，平面，∴直线平面. （2）∵底面是菱形，∴. 又平面，平面，∴. 又，平面，平面， ∴平面，∵平面，∴平面平面. 【题型9 立体几何中的探索性问题】 【例9.1】（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． (1)判断在梭上是否存在一点使平面，若存在，求；若不存在，说明理由； (2)当点分别是的中点时，求异面直线和的夹角的余弦值． 【解题思路】（1）利用线面垂直的判定定理以及性质定理，结合三角形相似即可得出结论； （2）易知，结合余弦定理即可求得异面直线和的夹角的余弦值． 【解答过程】（1）作于点，如下图所示： 因为底面为正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 且平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，平面， 所以此时满足平面； 又因为，因此， 因为，所以，所以； 可得 （2）由（1）可知两两垂直， 因为点分别是的中点，所以， 因此异面直线和的夹角即为和的夹角，即（或其补角）； 不妨取，则， 所以， 在中，由余弦定理可得 因此异面直线和的夹角的余弦值为. 【例9.2】（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图①所示，已知正三角形与正方形，将沿翻折至所在的位置，连接，，得到如图②所示的四棱锥.已知，，为上一点，且满足. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面.若存在，指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）根据给定条件，利用勾股定理的逆定理证得，再利用线面垂直的判定推理作答. （2）连接，取的中点，利用线面平行的判定、面面平行的判定性质推理作答. 【解答过程】（1）是正三角形，有，中，，则， 正方形中，，平面，于是平面，而， 所以平面. （2）点为线段的中点，平面， 取的中点，连接，连接，连接，如图， 于是，而平面，平面，因此平面， 依题意，为上一点，且满足，则为中点，又为中点，即有， 而平面，平面，因此平面，又平面， 从而平面平面，又面，则平面， 所以点为线段的中点时，平面. 【变式9.1】（23-24高二上·上海·期末）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 【解题思路】（1）根据线线平行可得异面直线所成的角，根据三角形的边角关系即可求解， （2）根据几何法求解线面角，利用三角形的边角关系即可求解. 【解答过程】（1）因为为正方形，则， 则异面直线与所成的角为与所成的角，即或其补角， 因为三角形是等边三角形，则 平面，平面， ，． 所以异面直线AC与BD所成的角为． （2）作交于点，连接， 平面，平面， 则与平面所成的角为， 设，则， 则. 【变式9.2】（23-24高一下·天津·期末）如图，在六面体中， 为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为.若存在，求出值；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）根据面面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）首先证明为直线与平面所成的角，再由线面角的定义进行求解即可； （3）取中点，利用线面垂直的性质结合即可确定为二面角的平面角，最后结合余弦定理求解即可. 【解答过程】（1）取棱的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面， 又平面，所以平面， 又平面，故， 又已知，，又平面， 所以平面. （2）连接， 由（1）中平面， 可知为直线与平面所成的角， 因为为等边三角形，且为的中点， 所以， 又，在中，， 所以，直线与平面所成角的正弦值为. （3）取中点，连接，， 在中，， 因为平面，又平面， 所以，在中，， 所以，所以，又点为中点， 所以，同理， 所以为二面角的平面角， 设， 在中，， 在中，， 在中，，，， 由余弦定理可得：， 即：， 化简得到：， 所以或（舍去）， 即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为， 此时. 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·单元测试）设为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则下列条件中一定能得到的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对于A，和m可能平行也满足A选项，故可判断；对于B，也满足B选项，故可判断；对于C，可判断两平面关系，垂直一平面也垂直其平行平面，故可判断；对于D，三个面两两垂直也满足D选项，故可判断. 【解答过程】对于A，，则和m可能平行或相交，故A错误； 对于B，，则m与相交或或，故B错误； 对于C，因为，所以，又，所以，故C正确； 对于D，由，不能推出，所以由不能推出，故D错误． 故选：C. 2．（23-24高一下·河北保定·期末）在正三棱柱中，，则点A到平面的距离为（    ） A． B． C． D．1 【解题思路】利用三棱锥的等积性，结合三棱锥的体积公式进行求解即可. 【解答过程】在正三棱柱中，， 所以， 由勾股定理可得， 在等腰三角形中，底边上的高长为， 所以等腰三角形的面积为， 设点A到平面的距离为， . 故选：B. 3．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知直线a，b与平面，，，下面能使成立的条件是（    ） A．， B．，， C．， D．， 【解题思路】由线面、面面的平行与垂直的判定与性质依次判断各个选项即可. 【解答过程】对于A，若，则可能平行，也可能相交，相交也不一定垂直，A错误； 对于B，若，由线面垂直判定定理可知，与不一定垂直， 因此相交，不一定垂直，B错误； 对于C，若，则可能平行，也可能相交，相交也不一定垂直，C错误； 对于D，由，得存在过直线与平面相交的平面，令交线为，则， 又，于是，因此，D正确. 故选：D. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先补充图形，找到异面直线的夹角，将其放在直角三角形内，利用锐角三角函数的定义求解余弦值即可. 【解答过程】如图所示，将直三棱柱补成直四棱柱， 其中四棱柱的底面为平行四边形，连接，， 则，所以（或其补角）为异面直线与所成的角． 因为，，， 且由题意得， 所以，．在中， ，，， 由余弦定理得， 解得(负根舍去)，则， 所以，所以，故C正确. 故选：C. 5．（24-25高一下·全国·课后作业）已知矩形所在的平面（如图），则图中互相垂直的平面有（    ）    A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【解题思路】根据面面垂直的判定定理判断． 【解答过程】因为，，， 且，平面，所以平面， 因为，所以平面， 由题易知平面，且，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面，平面平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面平面，共5对. 故选：C. 6．（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱锥中，平面， ，，为的中点，则下列结论正确的有（    ） ①平面；②；③平面；④平面. A．个 B．个 C．个 D．个 【解题思路】由线面垂直定义和判定定理进行辨析即可. 【解答过程】对于①，∵平面，平面，∴， 又∵ ，，平面，平面， ∴平面，故①正确； 对于②，③，由①，∵平面，平面，∴， 又∵，为的中点，∴， 又∵，平面，平面，∴平面， 又∵平面，∴，故②，③正确； 对于④，假设平面，则∵平面，∴， 又∵为的中点，∴， ∵平面，平面，∴，∴中，， 又∵ ，∴中，，∴，， ∴假设不成立，故④错误. ∴正确的有①②③，共个. 故选：D. 7．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）在二面角中，，，，，且，，若，，，则二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】过A作，过点作，交于点，连接，由题结合图形可知是二面角的平面角，后由题目条件可得答案. 【解答过程】根据题意画出图形：在平面内，过A作，过点作，交于点，连接.，，平面. 又，是二面角的平面角. 由矩形得，.在中，由勾股定理得. 是等边三角形，，. 二面角的余弦值为 故选：.    8．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O.在构成的四面体中，下列说法错误的是（    ） A．平面EOF B．直线AH与平面EOF所成角的正切值为 C．四面体的表面积为2 D．异面直线OH与AE所成角的余弦值为 【解题思路】根据已知图形折叠成立体图形分别证明线面垂直判断A,计算异面直线所成角判断D,计算线面角判断B,计算三棱锥的表面积判断C. 【解答过程】对A,翻折前，，故翻折后，，又平面EOF，平面EOF，故A正确. 对B,连接OH，AH，如图， 则为AH与平面EOF所成的角. 翻折前，，故翻折后，. ，H是EF的中点， . 又，故B正确. 对C,由题知四面体的表面积即为正方形ABCD的面积， ，故C错误. 对D,取AF的中点P，连接OP，HP. 点P是AF的中点，点H是EF的中点，， （或其补角）为异面直线OH与AE所成的角. ， ， 由余弦定理得，故D正确. 故选:C. 二、多选题 9．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【解题思路】对于A：根据线面垂直的性质分析判断；对于B：由线面垂直的性质可得，进而判断面面垂直；对于C：根据面面平行的判定定理分析判断；对于D：作辅助线，分析可得，而判断面面垂直. 【解答过程】对于，若，，，则，故A正确； 对于B，若，，可得， 又，则，故B正确； 对于C，若，，，则，可能平行也可能相交，故C错误； 对于D，，，如图所示，过空间一点作，且， 作，且，则，， 设，与确定的平面交直线于点， 则，，所以，， 又，所以，故四边形为矩形，，， 所以，且，所以，故D正确. 故选：ABD. 10．（23-24高一下·湖南娄底·期末）如图，平面，为正方形，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据线面垂直判定定理证明平面，由此判断A，证明平面，可判断B， 由条件直接证明判断D，证明判断C. 【解答过程】因为平面，平面， 所以，又， ，平面， 平面，平面， ，正确， 因为，平面， 所以平面，又平面， 所以，B正确； 平面，平面， ，故D正确， ，，平面，， 平面，平面， ，所以为等腰三角形，且， 与不垂直，故C不正确． 故选：ABD. 11．（23-24高一下·山东济南·期中）已知正四棱台的高为，，，则（    ） A．正四棱台的体积为 B．二面角的大小为 C．直线与平面ABCD所成角的正弦值为 D．异面直线与所成角的正切值为2 【解题思路】根据棱台的体积公式，即可判断A；设上、下底面的中心分别为，，分别取和的中点，，由二面角的定义知即为所求，再利用三角函数的知识，求解即可判断B；过点作于点，由线面角的定义知即为所求，再由三角函数的知识，求解即可判断C；由知或其补角即为所求，再结合余弦定理，求解即可判断D． 【解答过程】对于A：正四棱台的体积，故A正确； 对于B：设上、下底面的中心分别为，，则， 分别取和的中点，，连接，，，则，， 所以即为二面角的平面角， 过点作于点， 则，， 在中，， 因为，所以， 所以二面角的大小为，故B正确； 对于C：过点作于点，则平面， 所以，，且即为直线与平面所成角， 而， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为，故C错误； 对于D：因为， 所以与所成角就是异面直线与所成角，即或其补角就是所求， 过点作，交于点，则四边形是平行四边形， 所以，， 所以， 在中，， 则，所以， 所以异面直线与所成角的正切值为，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 12．（23-24高一下·江苏·期末）在正方体中，直线和直线所成的角为 . 【解题思路】利用异面直线所成角的定义可知即为所求的角. 【解答过程】如下图所示： 由正方体性质可得， 所以直线和直线所成的角等于， 又易知为等边三角形，所以. 故答案为：. 13．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，三棱柱的底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若，则点到平面的距离为 . 【解题思路】利用勾股定理得到边长相等判断等腰三角形，再作出高线并求出面积，利用等体积法求解即可. 【解答过程】因为侧棱与底面垂直，所以面，平面， 所以，， 而，由勾股定理得， 因为三棱柱的底面为正三角形，所以， 由勾股定理得，所以， 在中，如图，作，所以是中点， 所以，由勾股定理得，故， 设点到平面的距离为，由等体积公式得， 故，解得， 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 14．（23-24高一下·安徽·期末）如图，已知二面角的平面角为，棱上有不同的两点，，，.若，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【解题思路】在平面内过作与平行且相等的线段，过作于，连接，先证明平面平面，根据面面垂直的性质可得平面，则为直线与平面所成角，再解即可. 【解答过程】在平面内过作与平行且相等的线段， 过作于，连接， 则四边形为平行四边形，所以， 因为，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 又平面平面，平面， 所以平面，故为直线与平面所成角， 由， 得二面角的平面角即为， 所以， 又， 所以是等边三角形，可得，， 因为，所以平面， 又平面，所以， 在中，由勾股定理可得， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，为所在平面外一点，平面，，于点．求证： (1)平面； (2)平面． 【解题思路】（1）根据线面垂直的判断定理，即可证明； （2）根据（1）的结论，结合线面垂直的判断定理，即可证明. 【解答过程】（1）平面，平面， ． ，． 又，，平面， 平面． （2）平面，平面， ． ，，，平面， 平面． 16．（23-24高一下·广西玉林·期中）如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【解题思路】（1）根据已知可得，再由线面平行的判定证结论； （2）根据已知是等腰直角三角形，应用线面垂直的判定和性质证 ，并求出相关线段长，应用等体积法有，求点面距离. 【解答过程】（1）由O是的交点，又为正方形，则O为的中点，又D是中点， 在中，又面面，故平面. （2）三棱柱中，，且， 易知是等腰直角三角形，点D是棱的中点， 所以， 四边形为正方形，，则， 又，而，且，则， 由在面内，则面，面， 所以 ，而，在面内， 则面，面，故 ，所以， 由，则，又， 若到平面的距离为d，则，可得. 17．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）已知如图甲，在梯形ABCD中，，，，E，F分别是AB，CD上的点，，，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF（如图乙）． (1)证明：平面ABE； (2)当时，求二面角的余弦值． 【解题思路】（1）由题意得到，，从而得到线面垂直； （2）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，从而，进而证明出故，所以为二面角的平面角，求出各边长，求出，进而求出二面角的余弦值. 【解答过程】（1）证明：在直角梯形ABCD中，因为，故，， 因为，故． 所以在折叠后的几何体中，有，， 而，平面， 故平面ABE． （2）如图，在平面AEFD中，过D作且交EF于G． 在平面DBF中，过D作且交BF于H，连接GH． 因为平面平面EBCF，平面平面，平面AEFD， 故平面EBCF， 因为平面EBCF，故，而，故平面DGH， 又平面DGH，故，所以为二面角的平面角， 在平面AEFD中，因为，，故， 又在直角梯形ABCD中，且， 故，故四边形AEGD为平行四边形，故，， 在直角中，， 因为为三角形内角，所以为锐角， ，，解得， 故，故， 因为三角形内角，故为锐角， ，，解得， 所以二面角的平面角的余弦值为． 18．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小． 【解题思路】（1）取中点，连接，证明四边形为平行四边形，得出，从而证明平面. （2）利用线面垂直的判定证得平面，进而得为直线与平面所成角并求出，利用勾股定理求出，再由余弦定理求出，利用二面角的定义即可得答案. 【解答过程】（1）在三棱柱中，取中点，连接， 由分别为和的中点，得且， 由O为BC中点，得且，则且， 即四边形为平行四边形，于是，又平面，平面， 所以平面. （2）由三棱柱所有棱长都为2，，得都是正三角形， 而O为BC中点，则，，平面，， 于是平面，又，则平面， 为直线与平面所成角， 因此，，而平面，则， 又为中点，则， 在中，，，则， 由，，得是二面角的平面角， 所以二面角的大小. 19．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面底面，底面是直角梯形，，，，，是的中点.    (1)证明：平面； (2)底边上是否存在异于端点的一点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）根据面面垂直的性质可知平面，即可得，由题意可得，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）做辅助线，分析可知，由垂直关系可得，设，利用等体积法运算求解. 【解答过程】（1）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面. 由平面，可得， 又因为是的中点，，则， 且，、平面，所以平面. （2）假设在上存在异于端点的点，使得直线与平面所成的角大小为. 过点作平面，垂足为，连结、、，    则，， 设，，则， 由（1）可知：平面，， 可知平面， 由平面，可得， 在中， ， 在中，， 因为底面是直角梯形，，，， 则， ， 可得，， 由得， ， 即，解得， 故存在点，使得直线与平面所成的角大小为，此时. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$