第10讲 空间的平行问题（春季讲义）-2024-2025学年高一数学春季讲义（人教A版2019必修第二册）

第10讲 空间的平行问题 【人教A版2019】 模块一 空间中的平行关系 1．直线与直线平行 (1)基本事实4 ①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c. ③作用：判断或证明空间中两条直线平行. (2)空间等角定理 ①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B' 或∠AOB+∠A'O'B'=. 2．直线与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”. (2)性质定理 ①自然语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”. (3)性质定理的作用 ①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行. ②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线. 3．平面与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语售 . 该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”. (2)判定定理的推论 ①自然语言 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . (3)性质定理 ①自然语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”. (4)两个平面平行的其他性质 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面. ②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等. ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. ④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例. ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 【题型1 直线与直线平行的判定】 【例1.1】（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知三条不同的直线l，m，n，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例1.2】（24-25高一·全国·课后作业）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（   ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 【变式1.1】（24-25高一·全国·课后作业）如图，分别为正方体的棱的中点．求证：． 【变式1.2】（24-25高一·全国·课后作业）如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行． 【题型2 直线与平面平行的判定】 【例2.1】（2025高一·全国·专题练习）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2025·全国·模拟预测）已知三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，有以下四个结论： ①直线平面；    ②直线平面； ③直线平面；    ④直线平面CDE. 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2.1】（23-24高一下·贵州·期中）如图，在四棱锥中，，底面为矩形，对角线与相交于点，点到平面的距离为为的中点． (1)求证： 平面． (2)求三棱锥的体积． 【变式2.2】（23-24高一下·陕西·期末）如图所示，四边形为空间四边形的一个截面，且截面为平行四边形． (1)求证：平面． (2)若，且，，求四边形的面积． 【题型3 平面与平面平行的判定】 【例3.1】（24-25高一·全国·课后作业）如图，在正方体中，下列四对截面彼此平行的一对是（    ） A．平面与平面 B．平面与平面 C．平面与平面 D．平面与平面 【例3.2】（2024高一下·全国·专题练习）在下列四个正方体中，、、为所在棱的中点，则能得出平面平面的是（　　） A． B． C． D． 【变式3.1】（2025高三·全国·专题练习）如图，直棱柱中，底面为梯形，，且分别是棱，的中点.证明：平面平面； 【变式3.2】（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）正方体如图所示 (1)求证:平面. (2)平面平面. 模块二 平行关系的相互转化及综合应用 1．平行关系的相互转化及综合应用 (1)证明线线平行的常用方法 ①利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线. ②利用基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行. ③利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半. ④利用平行线分线段成比例定理. ⑤利用线面平行的性质定理. ⑥利用面面平行的性质定理. ⑦利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是平行的. (2)证明线面平行的常用方法 ①利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点. ②利用直线与平面平行的判定定理：a，a∥b，b，则a∥.使用定理时，一定要说明“平面外 一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明a∥，则必须在平面内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可. ③利用面面平行的性质：若平面∥平面，直线a，则a∥. ④利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视. (3)平面与平面平行的判定方法 ①根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难. ②根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行 于另一个平面，则这两个平面平行. ③根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行， 则这两个平面平行. ④根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行. ⑤利用反证法. (4)平行关系的相互转化 常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转 化的，如图所示. 【题型4 由线面平行的性质判定线线平行】 【例4.1】（23-24高一下·福建龙岩·期中）设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例4.2】（23-24高一下·广东广州·期中）已知平面平面，直线，则直线a与l的位置关系是（    ） A．平行或异面 B．相交 C．平行 D．异面 【变式4.1】（23-24高一下·北京顺义·期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形，设平面与平面的交线为m，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【变式4.2】（23-24高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），E，F分别是PD，AC的中点. (1)证明：平面. (2)若平面平面，证明：. 【题型5 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 【例5.1】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A．3 B．4 C． D． 【例5.2】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点O，E为的中点，F在上，，∥平面，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D．2 【变式5.1】（23-24高一下·浙江·期中）如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点. (1)求证： 平面； (2)已知点在上满足 平面，求的值. 【变式5.2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，点分别在棱上，其中E是的中点，连接．    (1)若M为的中点，求证：平面； (2)若平面，求点M的位置． 【题型6 由线面平行求线段长度】 【例6.1】（24-25高一·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【例6.2】（24-25高三上·湖南湘潭·开学考试）已知直三棱柱 的侧棱和底面边长均为 分别是棱 上的点， 且 ， 当 平面 时， 的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，求EF的长.    【变式6.2】（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 【题型7 面面平行性质定理的应用】 【例7.1】（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知正方体，平面与平面的交线为，则（   ） A． B． C． D． 【例7.2】（24-25高一·全国·课后作业）如图，已知平面平面，点为，外一点，直线，分别与，相交于，和，，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 【变式7.1】（2024高一下·全国·专题练习）如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，．证明：. 【变式7.2】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）如图，在六面体中，，四边形是平行四边形，． (1)证明：平面平面． (2)若G是棱的中点，证明：． 【题型8 平行问题综合】 【例8.1】（23-24高一下·山东·期中）如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论：    ①与是异面直线； ②相交于一点； ③； ④平面. 其中错误的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例8.2】（23-24高一下·重庆荣昌·期中）如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，，分别是，的中点，则下列结论中错误的是（    ） A． B．当E为中点时， C．三棱锥的体积为定值 D．存在点，使得平面平面 【变式8.1】（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．    (1)求证：平面PAB； (2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 【变式8.2】（23-24高一下·山西太原·阶段练习）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为、的中点，平面平面.    (1)证明：； (2)证明：∥平面； (3)在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课前预习）下列说法正确的是（    ） A．若直线平行于平面内的无数条直线，则 B．若直线在平面外，则 C．若直线与直线不相交，直线，则 D．若直线，，那么直线平行于平面内的无数条直线 2．（23-24高一下·广东广州·期中）在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 3．（24-25高一下·全国·课后作业）若，且，与方向相同，则下列结论正确的是（    ） A．且方向相同 B．，方向可能不同 C．与不平行 D．与不一定平行 4．（24-25高一下·全国·课后作业）在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·安徽六安·期末）如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论： ①与是异面直线； ②相交于一点； ③； ④平面. 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 7．（2025高一上·全国·专题练习）已知P为△所在平面外一点，平面∥平，且交线段于点，若，则:（    ） A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶25 8．（23-24高一下·浙江温州·阶段练习）下列四个正方体中，，，为所在棱的中点，，，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（   ） A．   B．     C．   D．   二、多选题 9．（23-24高一下·广东深圳·期中）已知空间中有直线有平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，且，则 D．若，，则 10．（23-24高三上·江西南昌·开学考试）在下列底面为平行四边形的四棱锥中，是四棱锥的顶点或棱的中点，则平面的有（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）图，在正方体中，E，F，G，H分别是棱，BC，CD，的中点，则下列结论正确的是（    ）    A．平面 B．平面 C．，D，E，H四点共面 D．，D，E，四点共面 三、填空题 12．（23-24高一下·青海西宁·阶段练习）已知是两条不同的直线，、是两个不重合的平面，给出下列命题： ①若，，，则； ②若，，，则； ③是两条异面直线，若，，，，则. 上面的命题中，真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号） 13．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点．若平面，则的值为 ． 14．（23-24高一下·浙江嘉兴·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E，F分别为和的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是 ． 四、解答题 15．（23-24高二上·云南大理·期末）如图，在棱长为3的正方体中，分别为棱的中点． (1)证明：； (2)求三棱锥的体积． 16．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，为的中点，侧棱长为3. (1)证明：平面； (2)求该正四棱台的表面积. 17．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．    (1)求证：平面； (2)是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 18．（23-24高一下·吉林通化·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，指出点位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 19．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面． (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 空间的平行问题 【人教A版2019】 模块一 空间中的平行关系 1．直线与直线平行 (1)基本事实4 ①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c. ③作用：判断或证明空间中两条直线平行. (2)空间等角定理 ①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B' 或∠AOB+∠A'O'B'=. 2．直线与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”. (2)性质定理 ①自然语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”. (3)性质定理的作用 ①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行. ②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线. 3．平面与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语售 . 该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”. (2)判定定理的推论 ①自然语言 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . (3)性质定理 ①自然语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”. (4)两个平面平行的其他性质 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面. ②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等. ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. ④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例. ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 【题型1 直线与直线平行的判定】 【例1.1】（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知三条不同的直线l，m，n，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据线与线的位置关系，结合充要条件的定义即可求解. 【解答过程】解：若，又，则，故充分性成立， 反之，若，又，则，故必要性成立. 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 【例1.2】（24-25高一·全国·课后作业）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（   ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 【解题思路】连接AD1，CD1，AC，根据E，F分别为AD1，CD1的中点，由三角形的中位线定理和平行关系的传递性判断. 【解答过程】如图，    连接AD1，CD1，AC， 因为E，F分别为AD1，CD1的中点， 由三角形的中位线定理知EF∥AC，GH∥AC， 所以EF∥GH. 故选：C. 【变式1.1】（24-25高一·全国·课后作业）如图，分别为正方体的棱的中点．求证：． 【解题思路】先根据平行四边形的判定得四边形为平行四边形推得．再根据平行的传递性有，从而得到，，最后根据两角两边同向且平行得证. 【解答过程】连接，根据条件分别为棱的中点可知， 四边形为平行四边形 ． 又， 所以四边形是平行四边形， 所以，同理． 又与∠CEB两边的方向相同， 因此． 【变式1.2】（24-25高一·全国·课后作业）如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行． 【解题思路】根据三角形中位线、平行线等分性质结合平行线的传递性分析证明, 【解答过程】∵E、H分别是AB、AD的中点，则 ， 又∵F、G分别是BC、CD上的点，且，则 ， ∴ ， 故直线EH与直线FG平行． 【题型2 直线与平面平行的判定】 【例2.1】（2025高一·全国·专题练习）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对于A，根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于B,根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于C，根据，结合线面平行的判断定理即可判断；对于D，根据四边形是等腰梯形，与所在的直线相交，即可判断. 【解答过程】对于A,如下图所示， 易得, 则， 又平面,平面, 则平面，故A满足； 对于B，如下图所示， 为所在棱的中点，连接, 易得, 则四边形为平行四边形， 四点共面， 又易知， 又平面,平面, 则平面，故B满足； 对于C,如下图所示， 点为所在棱的中点，连接, 易得四边形为平行四边形，四点共面， 且, 又平面,平面, 则平面，故C满足； 对于D，连接, 由条件及正方体的性质可知四边形是等腰梯形， 所以与所在的直线相交， 故不能推出与平面不平行，故D不满足， 故选：D. 【例2.2】（2025·全国·模拟预测）已知三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，有以下四个结论： ①直线平面；    ②直线平面； ③直线平面；    ④直线平面CDE. 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据题意，由线面平行的判定定理，对选项逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】 对于①：如图1，连接，交于点F，连接DF，则点F是的中点，又D是AB的中点，所以，因为平面，平面，所以直线平面，所以①正确. 对于②：如图2，取BC的中点F，连接DF，，因为D是AB的中点，所以，且，又，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以直线平面，故②正确. 对于③：如图3，取BC的中点F，连接DF，因为D是AB的中点，所以，且，又，，所以，，连接EF，所以四边形是平行四边形，所以，显然EF与平面相交，则与平面相交，故③错误. 对于④：如图4，连接，交EC于点F，连接DF，则平面平面，若直线平面CDE，则，由于D是AB的中点，所以点F是的中点，而显然点F不是的中点，矛盾，故④错误. 故选：B. 【变式2.1】（23-24高一下·贵州·期中）如图，在四棱锥中，，底面为矩形，对角线与相交于点，点到平面的距离为为的中点． (1)求证： 平面． (2)求三棱锥的体积． 【解题思路】（1）根据线面平行判定定理证明即可； （2）根据线面平行得出三棱锥的高，再结合三棱锥的体积公式计算即可. 【解答过程】（1）如图，连接． 点为的中点，且点为的中点 为的中位线，即 ． 又平面平面 平面 （2）为矩形 又平面 平面 点到平面的距离为1，即棱锥的高为1． 又为的中点，且 ． 【变式2.2】（23-24高一下·陕西·期末）如图所示，四边形为空间四边形的一个截面，且截面为平行四边形． (1)求证：平面． (2)若，且，，求四边形的面积． 【解题思路】（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证明. （2）由线面平行的性质定理结合可得平行四边形为矩形，利用相似可得，，则四边形的面积为. 【解答过程】（1）证明：四边形为平行四边形， ，平面，平面， 平面. 平面，平面平面， ，又平面，平面， 平面. （2）四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面 又平面，平面平面， ，又，， ， 平行四边形为矩形， 由（1）知， 与相似， 又，即， ，又， ，解得， ，， 同理， 与相似， ，又，可得， 四边形的面积为. 【题型3 平面与平面平行的判定】 【例3.1】（24-25高一·全国·课后作业）如图，在正方体中，下列四对截面彼此平行的一对是（    ） A．平面与平面 B．平面与平面 C．平面与平面 D．平面与平面 【解题思路】根据面面平行的判定定理进行判断即可. 【解答过程】如图， 对于A：，平面，平面， 平面，又，同理可证平面， 又，，平面， 平面平面，因此A正确; 对于B： 平面，且与相交，又平面，平面， 故平面与平面不可能平行，因此B不正确; 对于C：平面与平面有公共点，故平面与平面不可能平行，因此C不正确; 对于D：平面，且与相交，又平面，平面， 故平面与平面不可能平行，因此D不正确; 故选：A. 【例3.2】（2024高一下·全国·专题练习）在下列四个正方体中，、、为所在棱的中点，则能得出平面平面的是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】利用反证法可判断A选项；利用面面平行的判定定理可判断B选项；利用反证法结合面面平行的性质可判断C选项；利用面面平行的判定和性质定理、结合反证法可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，若平面平面，平面，则平面， 由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件； 对于B选项，如下图所示，连接， 因为、分别为、的中点，则， 在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，， 平面，平面， 平面，同理可证平面， ，面，因此平面平面，B满足条件； 对于C选项，如下图所示： 在正方体中，若平面平面， 又平面平面，则平面平面， 但这与平面与平面相交矛盾， 因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如下图所示： 因为且，则四边形为平行四边形，则， 平面，平面，所以平面，同理可证平面， ，面，所以平面平面， 若平面平面，则平面平面， 这与平面与平面相交矛盾，故平面与平面不平行，D不满足条件. 故选：B. 【变式3.1】（2025高三·全国·专题练习）如图，直棱柱中，底面为梯形，，且分别是棱，的中点.证明：平面平面； 【解题思路】先证明线面平行，再应用面面平行判定定理证明. 【解答过程】在中，分别为的中点，则， 而平面平面，因此平面， 又，而， 于是且，四边形为平行四边形，则， 又平面平面，因此平面. 而为平面中两相交直线，所以平面平面. 【变式3.2】（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）正方体如图所示 (1)求证:平面. (2)平面平面. 【解题思路】（1）先证明平行四边形得出线线平行，再结合线面平行判定定理证明； （2）先证明线面平行，再应用面面平行判定定理证明. 【解答过程】（1）由题设得：，， ∴四边形为平行四边形. ∴. 又∵平面，平面， ∴平面. （2），， ∴四边形为平行四边形. ∴. 又∵平面，平面， ∴平面.平面. 又平面， ∴平面平面. 模块二 平行关系的相互转化及综合应用 1．平行关系的相互转化及综合应用 (1)证明线线平行的常用方法 ①利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线. ②利用基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行. ③利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半. ④利用平行线分线段成比例定理. ⑤利用线面平行的性质定理. ⑥利用面面平行的性质定理. ⑦利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是平行的. (2)证明线面平行的常用方法 ①利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点. ②利用直线与平面平行的判定定理：a，a∥b，b，则a∥.使用定理时，一定要说明“平面外 一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明a∥，则必须在平面内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可. ③利用面面平行的性质：若平面∥平面，直线a，则a∥. ④利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视. (3)平面与平面平行的判定方法 ①根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难. ②根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行 于另一个平面，则这两个平面平行. ③根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行， 则这两个平面平行. ④根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行. ⑤利用反证法. (4)平行关系的相互转化 常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转 化的，如图所示. 【题型4 由线面平行的性质判定线线平行】 【例4.1】（23-24高一下·福建龙岩·期中）设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】利用线面位置关系，逐项判断即得. 【解答过程】对于A，，则或，A错误； 对于B，，则或，B错误； 对于C，，则直线可能相交，可能平行，也可能是异面直线，C错误； 对于D，由线面平行的性质知，D正确. 故选：D. 【例4.2】（23-24高一下·广东广州·期中）已知平面平面，直线，则直线a与l的位置关系是（    ） A．平行或异面 B．相交 C．平行 D．异面 【解题思路】过作平面、，由线面平行的性质得、，即，根据线面平行判定及性质有，最后由平行公理的推论判断直线a与l的位置关系. 【解答过程】过作平面，，则， 过作平面，，则 所以，，，则， 而，平面平面，则， 综上，. 故选：C. 【变式4.1】（23-24高一下·北京顺义·期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形，设平面与平面的交线为m，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【解题思路】（1）取的中点，利用中位线的性质先证明四边形为平行四边形，由线线平行证线面平行即可； （2）利用线线平行先证线面平行，再由线面平行的性质证线线平行即可. 【解答过程】（1） 取的中点，连接， 因为分别为的中点，底面为平行四边形， 则，且， 所以四边形为平行四边形，即， 显然平面，平面， 则平面； （2）易知，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面与平面的交线为m， 所以. 【变式4.2】（23-24高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），E，F分别是PD，AC的中点. (1)证明：平面. (2)若平面平面，证明：. 【解题思路】（1）利用中位线定理及线面平行的判定定理即可证明； （2）由（1）得平面，由线面平行的性质定理即可证明. 【解答过程】（1）连接, 因为底面是正方形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以是的中位线， 所以， 因为平面，平面， 所以平面 （2） 分别是的中点， ， 平面，平面， 平面， 若平面平面， 又平面， 所以. 【题型5 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 【例5.1】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A．3 B．4 C． D． 【解题思路】根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可. 【解答过程】 如图，连接交于点，连接 因为平面平面，平面平面所以， 所以，因为为的三等分点， 则即. 故选：D. 【例5.2】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点O，E为的中点，F在上，，∥平面，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D．2 【解题思路】根据，得到，利用平面，得到，结合比例式的性质，得到，即可求解. 【解答过程】解：设与交于点，连接，如图所示，因为为的中点，则， 由四边形是菱形，可得，则， 所以，所以， 又因为平面，平面，平面平面， 所以，所以. 故选：C. 【变式5.1】（23-24高一下·浙江·期中）如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点. (1)求证： 平面； (2)已知点在上满足 平面，求的值. 【解题思路】（1）连结交于，连结，通过证明PCOF，可证 平面； （2）如图连结交延长线于，连结交于，连结，，，EN. 由 平面，可得N为CD中点，后通过证明ENFDBG，可得，继而可得答案. 【解答过程】（1）证明：连结交于，连结， 因在中，为中点，为中点，则 FO . 又平面，平面，故 平面； （2）如图连结交延长线于，连结交于， 连结，，，EN. 因，则四点共面. 又 平面，平面平面， 则，四边形为平行四边形，可得 为中点. 则为BG中点. 即EN为中位线，则ENPG，. 又 DN，则四边形EFDN为平行四边形，ENFD. 从而FDPG，. 【变式5.2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，点分别在棱上，其中E是的中点，连接．    (1)若M为的中点，求证：平面； (2)若平面，求点M的位置． 【解题思路】（1）取的中点N，连接，先证明四边形为平行四边形，得出，即可证明； （2）设过三点的平面与交于点N，连接，由线面平行的性质证明出四边形为平行四边形，即可证明点M为的中点． 【解答过程】（1）证明：如图，取的中点N，连接， 因为分别为的中点，所以，且CD，    又底面是矩形，且E是的中点， 所以，且 ， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面． （2）设过三点的平面与交于点N，连接， 因为平面平面，平面平面， 所以， 因为底面是矩形，所以， 又平面平面，所以平面， 同理得，所以四边形为平行四边形， 所以， 又，且 ，所以， 且，所以点M为的中点． 【题型6 由线面平行求线段长度】 【例6.1】（24-25高一·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用线面平行的性质定理及三角形的中位线定理，结合勾股定理即可求解. 【解答过程】连接，，则过点.如图所示 ∵平面，平面平面，平面， ∴，∵， ∴. 故选：B. 【例6.2】（24-25高三上·湖南湘潭·开学考试）已知直三棱柱 的侧棱和底面边长均为 分别是棱 上的点， 且 ， 当 平面 时， 的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】过作交于，利用线面平行的性质可得 ，进而可得四边形为平行四边形，，即得. 【解答过程】过作交于，连接， 因为，∴，故共面, 因为 平面 ，平面平面 ，平面， 所以 ，又, ∴四边形为平行四边形， 又， ∴， 所以. 故选：B． 【变式6.1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，求EF的长.    【解题思路】连接与交于点，连接，在棱上取，连接，，由平面PBD，证得四边形QEFC是平行四边形，在直角中，即可求解. 【解答过程】因为长方体的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为的正方形，所以，， 如图所示，连接与交于点，连接， 在棱上取，连接，，则，且， 因为平面PBD，且平面，平面平面， 所以，所以， 又因为，所以四边形QEFC是平行四边形，所以， 在直角中，，，所以， 所以. 【变式6.2】（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 【解题思路】（1）连接，依题意可得为的中点，从而得到，再由正方体的性质得到，从而得到，即可得证； （2）求出和时的长度，即可得到的取值范围. 【解答过程】（1）连接， 因为为的中点，当时， 所以为的中点，所以， 又且，所以四边形为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面，所以平面； （2）当时为的中点，连接交于点，连接， 连接交于点，取的中点，连接、， 因为分别为的中点，所以， 则为的中点，所以， 又且，所以为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面平面，平面， 所以，所以和重合， 又，此时， 当时与点重合，在上取点使得，连接， 由前述说明可知为的中点，则， 又，所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以， 综上可得当时，求长度的取值范围为. 【题型7 面面平行性质定理的应用】 【例7.1】（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知正方体，平面与平面的交线为，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用面面平行的性质定理可得，再逐项分析求解即可. 【解答过程】正方体中，平面平面， 平面平面，平面平面，所以， 正方体中，且，四边形为平行四边形， 则有，所以，C选项正确； 都与相交，则与都不平行，ABD选项都错误. 故选：C. 【例7.2】（24-25高一·全国·课后作业）如图，已知平面平面，点为，外一点，直线，分别与，相交于，和，，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 【解题思路】由题设知，，，，共面，根据面面平行的性质，可证与的位置关系. 【解答过程】解：由题意知，，，，在同一平面内，且平面平面，平面平面，且，∴， 故选：A． 【变式7.1】（2024高一下·全国·专题练习）如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，．证明：. 【解题思路】由面面平行的性质定理可证明，再由平行的传递性即可证明. 【解答过程】在直四棱柱中，平面平面， 平面，平面，则， 而且，又，因此且， 则四边形是平行四边形，所以， 又，，所以． 【变式7.2】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）如图，在六面体中，，四边形是平行四边形，． (1)证明：平面平面． (2)若G是棱的中点，证明：． 【解题思路】（1）根据给定条件，结合平行四边形性质，利用线面平行、面面平行的判定推理即得. （2）证明的延长线与的延长线交点重合，再利用面面平行的性质推理即得. 【解答过程】（1）由，得，而平面，平面平面，则平面， 由，平面，平面，得平面， 又平面，所以平面平面. （2）延长与的延长线分别交于点， 由，，得，由，G是棱的中点，得， 因此点重合，记为，显然平面平面，平面平面， 由（1）知，平面平面，所以. 【题型8 平行问题综合】 【例8.1】（23-24高一下·山东·期中）如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论：    ①与是异面直线； ②相交于一点； ③； ④平面. 其中错误的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据两平行线可确定一个平面判断①；根据两条直线的交点在第三条直线上判断②；由题意可证为平行四边形，可知，可判断③；由③的线线平行可证线面平行，判断④. 【解答过程】    对于①，连接，在正方体中，因为，且， 所以，四边形为平行四边形， 所以， 又因为分别是的中点， 所以，所以， 所以与是相交直线，故①错误；    对于②，因为与是相交直线，设交点为， 因为面，所以面， 又面，所以面， 又因为平面平面， 所以 ，所以相交于一点，故②错误， 对于③，令，故为中点，    因为，分别是，的中点， 所以，又， 则为平行四边形， 所以，而，所以与异面，故③错误； 对于④，由③知，， 又因为平面，平面， 所以平面，即平面，故④正确. 故选：C. 【例8.2】（23-24高一下·重庆荣昌·期中）如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，，分别是，的中点，则下列结论中错误的是（    ） A． B．当E为中点时， C．三棱锥的体积为定值 D．存在点，使得平面平面 【解题思路】由三角形的中位线和正方体的性质证明判断选项A；由等腰三角形的性质证明判断选项B；等体积法研究三棱锥底面积和高判断选项C；面面平行的定义判断选项D. 【解答过程】连接，正方体中，且， 四边形为平行四边形，则， 因为、分别是、的中点，所以，故A选项正确； 连接，正方体中，，当E为中点时，，所以，故B选项正确； ，三棱锥，底面积为定值，棱锥的高等于是定值， 三棱锥的体积为定值，则三棱锥体积为定值，故C选项正确； 直线与平面有交点，所以不存在点，使得平面平面，故D选项错误． 故选：D． 【变式8.1】（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．    (1)求证：平面PAB； (2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）应用线面平行判定定理证明即可； （2）先取点，再应用面面平行判定定理证明即可； 【解答过程】（1）取AP的中点Q，连接MQ，BQ，    因为M，Q分别为PD，PA的中点， 所以，， 又因为N为BC的中点， 所以，． 所以，， 所以四边形MNBQ为平行四边形，所以， 又因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB． （2）存在点E，当E为PC中点时，平面平面PAB． 证明如下：由图（1）因为A是PD中点，，， 所以且， 所以四边形ABCD是平行四边形，所以． 因为E，M分别为PC，PD中点，所以， 所以， 因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB， 同理可知平面PAB，又因为平面平面， 所以平面平面PAB．   【变式8.2】（23-24高一下·山西太原·阶段练习）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为、的中点，平面平面.    (1)证明：； (2)证明：∥平面； (3)在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）根据题意可证∥平面，结合线面平行的性质即可得结果； （2）根据平行关系可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （3）取中点，连接，，可证平面∥平面，根据面面平行的性质可得，再结合平行线的性质运算求解. 【解答过程】（1）因为为平行四边形，则， 且平面，平面，可知∥平面， 又因为平面平面，平面， 所以. （2）取中点，连接，，    则，且， 可知，则四边形为平行四边形，可得， 且平面，平面， 所以∥平面. （3）存在，使平面，，理由如下： 取中点，连接，，    则∥，且平面，平面， 所以∥平面， 又因为∥平面，且，，平面， 所以平面∥平面， 平面平面，平面平面， 可得， 因为为中点，且为中点，可得， 又因为，所以. 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课前预习）下列说法正确的是（    ） A．若直线平行于平面内的无数条直线，则 B．若直线在平面外，则 C．若直线与直线不相交，直线，则 D．若直线，，那么直线平行于平面内的无数条直线 【解题思路】结合线面平行的判定定理，逐个分析即可． 【解答过程】A错误，直线还可以在平面内，同时存在无数条直线与之平行； B错误，直线在平面外，包括平行和相交； C错误，还可以与平面相交或在平面内； D正确，直线，，那么直线平行于平面内的无数条直线. 故选：D． 2．（23-24高一下·广东广州·期中）在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【解题思路】根据给定条件，利用面面平行、线面平行的关系，逐项判断即可. 【解答过程】对于A，由，，，得或是异面直线，A错误； 对于B，由，，得或，B错误； 对于C，由，，得与相交或，C错误； 对于D，由，得存在过的平面与相交，令交线为，则， 而，，于是，又，，则，因此，D正确. 故选：D. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）若，且，与方向相同，则下列结论正确的是（    ） A．且方向相同 B．，方向可能不同 C．与不平行 D．与不一定平行 【解题思路】依题意画出图形，即可判断. 【解答过程】如图， ，，与的方向相同， 但是与不平行， 如图，，，与的方向相同， 此时且方向相同， 故与不一定平行，故D正确. 故选：D. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据线线平行证明线面平行. 【解答过程】A选项： 如图所示，由中位线性质可知，且平面，则与平面不平行，A选项满足题意； B选项：由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知B不满足题意； C选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知C不满足题意； D选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知D不满足题意， 故选：A． 5．（23-24高一下·安徽六安·期末）如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论： ①与是异面直线； ②相交于一点； ③； ④平面. 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】①，作出辅助线，得到四点共面，故①错误；②，在①基础上得到交于一点，故②错误；③，作出辅助线，得到为平行四边形，，③错误；④，作出辅助线，得到面面平行，进而得到线面平行. 【解答过程】①，连接， 因为分别是的中点， 所以， 因为，所以， 故四点共面，故与是共面直线，①错误； ②，由①可知，与是共面直线，延长相交于一点， 故平面，平面， 所以平面与平面的交线， 即， 故交于一点，所以不相交于一点，②错误； ③，取的中点，连接，则且， 又且， 故且， 故四边形为平行四边形， 故，故不平行，③错误； ④，取的中点，连接，， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面，④正确 故选：A. 6．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 【解题思路】连接CD，交PE于点G，连接FG，由线面平行性质证明，再利用重心性质求解即可. 【解答过程】如图，连接CD，交PE于点G，连接FG，    因为平面PEF，平面ADC，平面平面，所以， 因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是的重心，所以. 故选：C. 7．（2025高一上·全国·专题练习）已知P为△所在平面外一点，平面∥平，且交线段于点，若，则:（    ） A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶25 【解题思路】根据平行平面的性质得出线线平行，再由面积比等于相似比的平方计算. 【解答过程】∵平面∥平面，平面 平面，平面 平面， ，同理可得， ∴:， 又，∴， ∴:. 故选：D. 8．（23-24高一下·浙江温州·阶段练习）下列四个正方体中，，，为所在棱的中点，，，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（   ） A．   B．     C．   D．   【解题思路】利用反证法可判断A选项；利用面面平行的判定定理可判断B选项；利用反证法结合面面平行的性质可判断C选项；利用面面平行的判定和性质定理、结合反证法可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，若平面平面，平面，则平面， 由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件； 对于B选项，如下图所示，连接，    因为、分别为、的中点，则， 在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，，， 平面，平面，平面， 同理可证平面，，因此，平面平面，B满足条件； 对于C选项，如下图所示：    在正方体中，若平面平面，且平面平面， 则平面平面，但这与平面与平面相交矛盾， 因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如下图所示：    因为且，则四边形为平行四边形，则， 平面，平面，所以，平面， 同理可证平面，，所以，平面平面， 若平面平面，则平面平面， 这与平面与平面相交矛盾，故平面与平面不平行，D不满足条件. 故选：B. 二、多选题 9．（23-24高一下·广东深圳·期中）已知空间中有直线有平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，且，则 D．若，，则 【解题思路】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【解答过程】对于A：若，，则或与异面或与相交，故A错误； 对于B：若，，则或与异面或与相交，故B错误； 对于C：，. ， ， ， ，故C正确； 对于D：若，，则，故D正确. 故选：CD. 10．（23-24高三上·江西南昌·开学考试）在下列底面为平行四边形的四棱锥中，是四棱锥的顶点或棱的中点，则平面的有（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用线面平行的性质定理结合平面内过一点有且仅有一条直线和已知直线平行可判断A，D；根据线面平行的判定定理可判断B，C； 【解答过程】对于A，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 设交于点，连接， 则， 又, 故，即四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 平面平面， 假设平面，则， 即在平面内过点有两条直线和都平行， 这是不可能的，因此与平面不平行，故A错误； 对于B，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 则， 又，, 故，即四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 故平面，故B正确； 对于C，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 则， 又，， 故，即四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 故平面，故C正确； 对于D，设底面为平行四边形， 连接交于点，交于点， 则为的中点，连接， 由于为的中点，故； 又平面，平面，平面平面， 假设平面，则， 即在平面内过点有两条直线和都平行，这是不可能的， 因此与平面不平行，故D错误； 故选：BC. 11．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）图，在正方体中，E，F，G，H分别是棱，BC，CD，的中点，则下列结论正确的是（    ）    A．平面 B．平面 C．，D，E，H四点共面 D．，D，E，四点共面 【解题思路】取的中点M，连接AM，EF，ME，利用线面平行的判定定理可判断A，取的中点，连接，延长与交与点，连接，可得，由直线与平面相交，可判断B；连接EH，由可判断C；若，D，E，四点共面，则，显然不成立可判断D. 【解答过程】    如上图，取的中点M，连接AM，EF，ME，因为，，，，所以，，则四边形AFEM为平行四边形， 因为平面，平面，所以平面，A正确，    如上图，取的中点，连接，延长与交与点，连接， 因为，所以四边形是平行四边形，可得， 因为平面，平面，所以直线与平面相交， 所以与平面相交，故B错误； 如下图，连接EH，则，，所以，可得，D，E，H四点共面，故C正确；    若，D，E，四点共面，则，显然不成立，所以D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（23-24高一下·青海西宁·阶段练习）已知是两条不同的直线，、是两个不重合的平面，给出下列命题： ①若，，，则； ②若，，，则； ③是两条异面直线，若，，，，则. 上面的命题中，真命题的序号是 ③ .（写出所有真命题的序号） 【解题思路】由空间中平面平行的性质定理，面面平行的判定定理，逐一分析可得结论． 【解答过程】若，，，则与平行或异面，故①错误； ，，，但与不一定相交，不一定成立，故②错误； ，是两条异面直线，若，，，， 则过的平面与平面相交于直线，有，过的平面与平面相交于直线， 有，，异面，，一定相交，，，，， 如图所示，由面面平行的判定可知，故③正确. 故答案为：③. 13．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点．若平面，则的值为 2 ． 【解题思路】连接相交于，根据线面平行的性质、可得答案. 【解答过程】连接相交于点，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以，即， 可得. 故答案为：. 14．（23-24高一下·浙江嘉兴·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E，F分别为和的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是 ． 【解题思路】取的中点，连接，，，即可证明平面平面，从而得到点的轨迹为线段，求出，，即可求出的取值范围. 【解答过程】 如图所示，分别取的中点，连接，，， 因为为所在棱的中点， 所以，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 因为 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 又因为，且平面，平面, 所以平面平面， 因为是侧面内一点，且平面，则点必在线段上， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 又， 在中，由余弦定理得 ， 所以为钝角，所以当在线段运动时，最短为，最长为， 所以线段长度的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高二上·云南大理·期末）如图，在棱长为3的正方体中，分别为棱的中点． (1)证明：； (2)求三棱锥的体积． 【解题思路】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，结合中位线证明出结论； （2）求出底面积和高，利用锥体体积公式求出答案. 【解答过程】（1）连接， 因为分别为棱的中点， 所以， 因为正方体的棱长为3， 所以，， 故四边形为平行四边形， 所以， 故； （2）由题意得，正方形的面积为， ，， 故， 又⊥平面，故⊥平面， 三棱锥的体积为. 16．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，为的中点，侧棱长为3. (1)证明：平面； (2)求该正四棱台的表面积. 【解题思路】（1）利用中位线性质以及线面平行的判定定理即可证明出结论； （2）由正四棱台的上、下底面边长分别求得上下底面面积以及侧面面积即可得出表面积. 【解答过程】（1）连结，交于点，连结.    在正四棱台中，底面为正方形，所以为中点，    又为的中点， 又平面，平面，    平面. （2）由已知，梯形中，，，， 过作，交于点，    ，， 所以梯形的面积为 正四棱台的表面积为： . 17．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．    (1)求证：平面； (2)是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 【解题思路】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理得证. 【解答过程】（1）因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）连接，交于，连接    因为四边形是平行四边形， 所以是的中点，又因为M是的中点，所以 又因为平面，平面， 所以，平面 又因为平面，平面平面， 所以， 18．（23-24高一下·吉林通化·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，指出点位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 【解题思路】（1）连交于，证 即可证明平面. （2）先明确线段上存在一点为线段的中点，再通过证明且得，进而得平面即可得解. 【解答过程】（1）证明：连交于，因为为中点， 所以是中位线， 所以 ，又因为平面平面， 所以平面.    （2）线段上存在一点为线段的中点，使得平面，    连接，由于为中点， 则且，即且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面平面， 所以平面. 19．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面． (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）利用线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明即可. （2）利用线面平行的判定定理证明即可. （3）利用面面平行的判定定理证明即可. 【解答过程】（1）. 依题意，，平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. （2）取中点，连接，在中， 在中，，则，即四边形为平行四边形， 因此，平面，平面， 所以平面. （3）当为中点时，平面平面 证明如下： 取的中点为，连接， 在中，，平面，平面， 则平面，同理可证，平面， 又平面，， 所以平面平面. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$