第十章二元一次方程组（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（人教版2024，山东专用）

第十章二元一次方程组（单元重点综合测试） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25八年级上·四川甘孜·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，能熟记二元一次方程组的定义的内容是解此题的关键．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，不是二元一次方程组，故不符合题意； B、是二元一次方程组，故符合题意； C、未知数的最高次数是2次，不是二元一次方程组，故不符合题意； D、未知数的最高次数是2次，不是二元一次方程组，故不符合题意； 故选：B． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（　　） A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键：、定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是的方程叫做二元一次方程．如：方程，，等都是二元一次方程；、注意：①在方程中“元”是指未知数，“二元”是指方程中有且只有两个未知数；②“含未知数的项的次数是”是指含有未知数的项（单项式）的次数是，如的次数是，所以方程不是二元一次方程；③二元一次方程的左边和右边都必须是整式，例如方程的左边不是整式，所以它不是二元一次方程． 根据二元一次方程的定义可得且，解方程或不等式即可求出m的值． 【详解】解：由题意得： 且， 且， 解得：， 故选：． 3．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）用代入消元法解二元一次方程组时，由①变形可得到（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键．利用代入消元法变形即可得到结果． 【详解】解：代入消元法解二元一次方程组时，由①变形可得到， 故选：B． 4．（2025七年级下·浙江·专题练习）已知是方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程的解求字母的值，将方程的解代入原方程计算即可求解． 【详解】解： 是方程的一个解， ， 解得：， 故选：A． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）解为的方程组是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，将代入各个选项中的二元一次方程组验证等式是否成立即可得到答案，熟记二元一次方程组解的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、将代入，两个方程都成立，符合题意； B、将代入，其中，不符合题意； C、将代入，其中，不符合题意； D、将代入，其中，不符合题意； 故选：A． 6．（23-24七年级上·山东滨州·期末）在解关于，的方程组时甲看错①中的，解得，，乙看错②中的，解得，，则和的正确值应是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，正确理解题意是解题的关键．甲看错了，则甲的结果满足方程②，乙看错了，则乙的结果满足方程①，由此建立关于、的方程求解即可． 【详解】解：∵解关于，的方程组时甲看错①中的，解得，，乙看错②中的，解得，， ∴把，代入②式，得， 解得：； 把，代入①式，得， 解得：； 故选：D． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）甲和乙两人玩“打弹珠”游戏，甲对乙说：“把你一半的弹珠给我，我就有35颗弹珠．”乙说：“把你弹珠的给我，我就有40颗弹珠．”若设乙有颗弹珠，甲有颗弹珠，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列二元一次方程组（根据实际问题列二元一次方程组），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程组是解题的关键． 根据题意即可直接得出答案． 【详解】解：由题意，可列方程组为： ， 故选：． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，用合作的方式完成该方程组的解题过程．过程如图所示，合作中，出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查了用代入消元法解二元一次方程组．解二元一次方程组的关键思想是消元，把二元一次方程转化为一元一次方程，解决本题的关键是注意在去分线、移项、合并同类项的、系数化为的过程中是否出现错误． 【详解】解：由， 移项可得：， 方程两边同时乘以可得：， 故甲计算正确， A选项不符合题意； 把代入得：， 故乙计算正确， B选项不符合题意； 去分母可得：， 去括号可得：， 故丙计算错误， C选项符合题意； 丁看到的是， 移项可得：， 合并同类项得：， 解得：， 把代入可得：， 故丁计算正确， D选项不符合题意． 故应选：C． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为7 十位数字与个位数字相比时看到的刚好颠倒 比看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是（   ） A．15 B．16 C．25 D．34 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据十位与个位数字之和为7且车行驶的速度不变，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y， 依题意得：， 解得：， ∴． 故选：B． 10．（24-25八年级上·重庆大足·期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，则结论正确的个数为（    ） ；若，、取整数，则或或或； 若对任意有理数都成立（这里和均有意义），则． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，解决本题的关键是根据新定义运算得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，然后再根据新定义运算的规则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 解方程组， 得到：， 故正确； 由可知， ， ， 又 、取整数， 有或或或， 故正确； 对任意有理数都成立， ， ， ， ， 故正确． 正确的有三个． 故选：D ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法解二元一次方程组即可得解． 【详解】解：， 由可得：， 解得：， 将代入①可得：， 解得：， ∴此方程组的解为， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）已知，若用含的代数式表示，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数，y看作未知数． 将x看作已知数，y看作未知数，求出y即可． 【详解】∵ ∴ ∴． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知关于，的方程组的解满足，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组的应用能力，关键是能用合适的方法准确求解．先求得此方程组的解为，再代入求解的值． 【详解】解：解方程组得，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 14．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的错解问题，熟练掌握消元法是解题关键． 将与代入可得，然后解方程组可得的值，然后求出，然后代入计算即可得． 【详解】解：把与代入得：， 得， 将代入①得， 把代入得：， 解得：， 则． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）小刚去距县城的景点游玩，先乘车，后步行，全程共用了．已知汽车的速度为，小刚步行的速度为，则小刚乘车的路程为 ，步行的路程为 ． 【答案】 27 1 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．设小刚乘车路程为千米，步行路程千米，根据题意可得等量关系：①步行路程＋乘车路程＝28千米；②汽车行驶千米时间＋步行千米的时间＝1小时，根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设小刚乘车路程为千米，步行路程千米， 由题意得：， 解得：． 故答案为：27，1． 16．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）对于任意实数a、b，定义关于“@”的一种运算：，例如．若，，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查新定义运算，解二元一次方程组，根据新运算的法则，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故答案为：1． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）按要求解下列方程组． (1)（用代入法解） (2)（用加减法解） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）根据代入消元法求解的步骤计算可得； （2）根据加减消元法求解的步骤计算可得． 【详解】（1）， 由①，得③， 将③代入②，得， 解这个方程，得：， 将代入③，得， 所以原方程组的解是； （2）， 得，③， ①+③，得， 解得， 将代入②，得， 所以原方程组的解是 18．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，每条边上两端◯里的两个数的和都等于中间◯里的数，请你通过计算确定三个◯里应填入的数． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组，解题的关键是正确列出方程组．根据题意列出三元一次方程组即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 19．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 【答案】(1)小长方形的长为，宽为； (2)． 【分析】（）设小长方形的长为，宽为，观察图形即可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值， （）根据阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】（1）设小长方形的长为，宽为， 根据图形可知：， 解得：， 答：小长方形的长为，宽为； （2）由（）得：小长方形的长为，宽为， ∴长方形的宽为， 则阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积， ， ， 答：阴影部分的面积为． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于、的二元一次方程组是解题的关键． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）有一段长为180m的河道整治任务由甲，乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治8m，乙工程队每天整治12m，共用20天．甲，乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明，小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设甲工程队整治河道，乙工程队整治河道．根据题意，得；小华同学：设表示________，表示________．根据题意，得．请你补全小明，小华两位同学的解题思路； (2)请从（1）中任选一个解题思路写出完整的解答过程． 【答案】(1)180，，，甲工程队整治河道的天数，乙工程队整治河道的天数； (2)见解析． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．根据甲、乙两队共完成120米的整治河道任务且共同时20天，即可得出关于x，y的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出m，n表示的意义； （2）根据题意，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）解：小明同学： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 ； 小华同学： 设整治任务完成后，m表示甲工程队工作的时间，n表示乙工程队工作的时间． 根据题意，得： ． 故答案为：180；；甲工程队工作的时间；乙工程队工作的时间． （2）选择小明同学的解题思路： 设甲工程队整治河道，乙工程队整治河道， 根据题意，得， 解得， 故甲工程队整治河道120m，乙工程队整治河道60m． （或选择小华同学的解题思路）： 设甲工程队整治河道天，乙工程队整治河道天． 根据题意，得，， 解得， ． 故甲工程队整治河道120m，乙工程队整治河道60m． 21．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)，； (2) (3)或3或或5 【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握求方程组的解是本题的关键． （1）用含的代数式表示，即可确定出方程的正整数解； （2）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （3）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：方程， ， 当时，； 当时，， 方程的所有正整数解为：． （2）解：， ， 当时，， 即固定的解为：． （3）解：， 得：， ， ， 恰为整数，也为整数， 是3的约数， 或，或3，或． 故或3或，或5. 22．（24-25七年级上·安徽六安·期末）在中国进出口商品交易会上，某陶瓷企业出售了A，B两种产品．已知出售1件A产品和2件B产品共收入700元，出售2件A产品和3件B产品共收入1200元． (1)求A产品和B产品的单价； (2)若出售A，B两种产品（均有销售）共收入1800元，则出售A，B两种产品各几件？ 【答案】(1)A产品的售价300元，B产品的售价200元 (2)出售A产品2件，B产品6件或A产品出售4件，B产品出售3件 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． （1）设A产品的售价x元，B产品的售价y元，根据出售1件A产品和2件B产品共收入700元，出售2件A产品和3件B产品共收入1200元，列出方程组进行求解即可； （2）设出售A产品a件，则出售B产品b件，根据题意列出二元一次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设A产品的售价x元，B产品的售价y元，由题意得， 解得， 答：A产品的售价300元，B产品的售价200元； （2）解：设出售A产品a件，则出售B产品b件，由题意得， ， 化简得，， ∵a，b为正整数， ∴或， 答：出售A产品2件，B产品6件或A产品出售4件，B产品出售3件． 23．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）阅读材料，回答问题． 解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可化为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为 ； (2)用材料中的方法解二元一次方程组； (3)关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，结合题目给出的示例，合理换元是解题的关键． （1）设，，则原方程组可化为，根据的解为，即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解得，即，即可求解； （3）原方程组可化为，设，，则原方程组可化为，根据的解为，得，即可求解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 根据题意，得，即， 解得． 故答案为：． （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得，即， 解得． （3）解：原方程组可化为， 设，，则原方程组可化为， 根据题意，得，即， 解得． 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章二元一次方程组（单元重点综合测试） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25七年级下·四川甘孜·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（　　） A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 3．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）用代入消元法解二元一次方程组时，由①变形可得到（   ） A． B． C． D． 4．（2025七年级下·浙江·专题练习）已知是方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）解为的方程组是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·山东滨州·期末）在解关于，的方程组时甲看错①中的，解得，，乙看错②中的，解得，，则和的正确值应是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）甲和乙两人玩“打弹珠”游戏，甲对乙说：“把你一半的弹珠给我，我就有35颗弹珠．”乙说：“把你弹珠的给我，我就有40颗弹珠．”若设乙有颗弹珠，甲有颗弹珠，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，用合作的方式完成该方程组的解题过程．过程如图所示，合作中，出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为7 十位数字与个位数字相比时看到的刚好颠倒 比看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是（   ） A．15 B．16 C．25 D．34 10．（24-25七年级下·重庆大足·期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，则结论正确的个数为（    ） ；若，、取整数，则或或或； 若对任意有理数都成立（这里和均有意义），则． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 ． 12．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）已知，若用含的代数式表示，则 ． 13．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知关于，的方程组的解满足，则 ． 14．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则 ． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）小刚去距县城的景点游玩，先乘车，后步行，全程共用了．已知汽车的速度为，小刚步行的速度为，则小刚乘车的路程为 ，步行的路程为 ． 16．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）对于任意实数a、b，定义关于“@”的一种运算：，例如．若，，则的值为 ． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）按要求解下列方程组． (1)（用代入法解） (2)（用加减法解） 18．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，每条边上两端◯里的两个数的和都等于中间◯里的数，请你通过计算确定三个◯里应填入的数． 19．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）有一段长为180m的河道整治任务由甲，乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治8m，乙工程队每天整治12m，共用20天．甲，乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明，小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设甲工程队整治河道，乙工程队整治河道．根据题意，得；小华同学：设表示________，表示________．根据题意，得．请你补全小明，小华两位同学的解题思路； (2)请从（1）中任选一个解题思路写出完整的解答过程． 21．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 22．（24-25七年级上·安徽六安·期末）在中国进出口商品交易会上，某陶瓷企业出售了A，B两种产品．已知出售1件A产品和2件B产品共收入700元，出售2件A产品和3件B产品共收入1200元． (1)求A产品和B产品的单价； (2)若出售A，B两种产品（均有销售）共收入1800元，则出售A，B两种产品各几件？ 23．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）阅读材料，回答问题． 解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可化为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为 ； (2)用材料中的方法解二元一次方程组； (3)关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的方程组的解． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$