专题2.4 一元二次方程的应用（八大题型总结）（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题2.4 一元二次方程的应用（八大题型总结） 【题型一：传播问题】 1．（23-24九年级上·山西长治·阶段练习）小区篮球球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，兰亭小区以全胜成绩卫冕世界杯冠军，则兰亭小区队在本次比赛中连胜 场． 2．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有121个人患了流感． （1）每轮传染中，平均一个人传染了几个人； （2）按此速度传染下去，第三轮患流感人数会不会突破1300人？ 3．（24-25九年级上·山东临沂·期中）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ （2）若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 4．（2024九年级上·全国·专题练习）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次． （1）若参加聚会的人数为3，则共握手____________次；若参加聚会的人数为5，则共握手____________次；若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手____________次； （2）若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数； （3）嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？请直接写出结论； （4）小明想到另一个数学问题：若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n的值． 5．（24-25九年级上·天津河西·期中）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 （2）填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； （3）请继续完成本题的解答： 【题型二：增长率问题】 6．（24-25九年级上·江西赣州·期末）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2022年利润为2亿元，2024年利润为亿元． （1）求该企业从2022年到2024年利润的年平均增长率； （2）若2025年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2025年的利润能否超过亿元？ 7．（24-25九年级上·陕西延安·期末）某公司今年6月份的生产成本是500万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到8月份的生产成本是320万元． （1）求每个月生产成本下降的百分率； （2）该公司9月份的生产成本是否会超过260万元？请说明理由． 8．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）为传承红色文化，弘扬爱国主义精神，某地设立并开放以革命传统，红色文化，党史党规等为主题的教育旅游基地，据统计，基地中的一个纪念馆第一个月进馆1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆6080 人次，已知进馆人次的月平均增长率相同． （1）求该纪念馆进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，该纪念馆每月接纳能力不超过5000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该纪念馆是否有能力接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 9．（23-24九年级上·重庆渝中·自主招生）某科技公司生产销售一种电子产品，该产品总成本包括技术成本、制造成本、销售成本三部分，经核算，2018年该产品各部分成本所占比例约为（a为整数）．且2018年该产品的技术成本为400万元． （1）若2018年产品总成本超过1800万元，但不超过2000万元，确定a的值； （2）在（1）的条件下，为降低总成本，该公司2019年及2020年增加了技术成本投入，确保这两年技术成本都比前一年增加一个相同的百分数，制造成本在这两年里都比前一年减少；同时为了扩大销售量，2020年的销售成本将在2018年的基础上提高，经过以上变革，预计2020年该产品总成本仅为2018年该产品总成本的，求m的值． 【题型三：营销问题】 10．（24-25九年级上·四川成都·期末）2024年成都世界园艺博览会于4月26日至10月28日举行．在盛会期间，某销售商进行市场调查发现：某类盆栽每盆进货价为60元．当销售价为90元时，平均每天能售出24盆；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2盆．现设销售价降低元，解答下列问题． （1）填空：现在平均每天可售出______盆，每盆盈利______元（用含的代数式表示）； （2）试向：当为何值时，平均每天盈利784元？ （3）若该销售商打算平均每天盈利900元，那么他的这种想法能实现吗？请说明理由． 11．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 12．（24-25九年级上·吉林长春·期末）“三折叠，怎么折，都有面．”华为“三折叠”一经上市，便火遍全国，形成一股“折叠风”．9月10日，华为新出的型号为“Mate XT非凡大师”的手机在深圳湾召开发布会，某华为手机专卖网店抓住商机，购进10000台“Mate XT 非凡大师”手机进行销售，每台的成本是20000元，在线同时向国内、国外发售．第一个星期，国内销售每台售价是25000元，共获利1000万元，国外销售也售出相同数量该款手机，但每台成本增加4000元，获得的利润却是国内的6倍． （1）求该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是多少元？ （2）受中美贸易战影响，第二个星期，国内销售每台该款手机售价在第一个星期的基础上降低，销量上涨；国外销售每台售价在第一个星期的基础上上涨，并且在第二个星期将剩下的手机全部卖完，结果第二个星期国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求的值． 13．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）． （1）若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ （2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 【题型四：工程问题】 14．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 15．（24-25八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． （1）求甲工程队每小时修的路面长度； （2）通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 16．（23-24八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． （1）分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； （2）实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 17．（2023·重庆·一模）“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单． （1）求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； （2）两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 【题型五：行程问题】 18．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 19．（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． （1）则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ （3）汽车滑行20米时用了多长时间？ 20．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． （1）甲运动后的路程是多少？ （2）甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 21．（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． （1）求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ （2）乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【题型六：数字问题】 22．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）若一个两位数比它的十位数字与个位数字和的平方少2，且个位数字比十位数字大1，则这个两位数是（  ） A．23 B．34 C．23或34 D．或 23．（24-25九年级上·广西来宾·期中）某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放，若第个图中共有个棋子，则的值是 ． 24．（23-24九年级上·江苏·期中）已知3个连续整数的和是，它们的平方和是，且，求这3个连续整数． 25．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）两个相邻偶数的平方和的平均数为，则一定是偶数．如：，，为偶数． （1）偶数12和14是否满足上述结论，请说明理由； （2）设两个相邻偶数为和，请论证上述结论； （3）若．求符合要求的偶数． 26．（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． （1）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． （2）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【题型七：图形问题】 27．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）《九章算术》中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．”译文：今有门，不知其高、宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽出4尺；竖放，竿比门高出2尺；斜放，竿与门的对角线长恰好相等，则门的对角线长为 尺． 28．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形苗圃，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当苗圃的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的苗圃？ （2）苗圃的面积能达到：吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 29．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）泾阳茯茶是中国传统的黑茶之一，具有消食健胃、降脂减肥、补充维生素和矿物质等功效． （1）如图，某茶庄种植茯茶，由于规模不断扩大，现计划开阔一块面积为平方米的长方形采茶基地，已知该采茶基地的长比宽多米，求采茶基地的长和宽； （2）如图，该茶庄开设了一片观光园区，园区内原有一块长方形空地，该空地与（）中的采茶基地大小、形状均相同，后计划在此区域栽种鲜花（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分）供游客观光，若鲜花的种植面积为平方米，求小路的宽度． 30．（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图（1）是用总长为的木板制作的矩形置物架，抽象为图（2）中的矩形，该置物架上面部分是边长为的正方形，中间部分为矩形，点M，N分别为线段，的中点，且． （1）当时，的长为； （2）置物架的高的长为 （用含x的式子表示）； （3）为了便于放置物品，要求EG的高度不小于，若矩形的面积为，求x的值． 31．（2025·上海浦东新·模拟预测）如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． （1）要使无盖长方体盒子的底面积为，那么剪去的正方形的边长为多少？ （2）你认为折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于吗？请说明理由 （3）当把长方形硬纸板的四周分别剪去个同样大小的正方形和个同样形状、同样大小的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）为时请直接写出结果并画出平面示意图 【题型八：动态几何问题】 32．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（   ） A． B． C． D． 33．（2024七年级·全国·竞赛）如图，已知正方形的边长为10厘米，点在边上，且厘米，、两点分别从、两点出发以1厘米/秒的速度沿正方形的边逆时针移动，当点移到点时，、两点同时停止移动，设移动时间为秒，当时， ．    34．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，线段厘米，O为的中点，射线．动点P从点A出发，以1厘米/秒的速度向点B运动，另一动点Q从点O出发，以2厘米/秒的速度沿射线运动，点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点P，Q都停止运动．设点P的运动时间为t秒，当的面积为8平方厘米时，t的值为 ． 35．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D，E同时停止运动，连接，，设运动时间为，的面积为． （1）用含t的代数式表示 ； ； （2）当为何值时？ （3）在点D运动过程中，的值可能为5吗？通过计算说明． 36．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒． （1）在运动过程中，当_______时，的长度为． （2）在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； （3）取的中点，运动过程中，当时，直接写出的值为________． 37．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知为长方形的四个顶点，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动． （1）求证：在点移动过程中，四边形的面积始终不变； （2）两点从出发开始到几秒时，点和点间的距离是？ （3）两点从出发开始到几秒时，点组成的三角形是等腰三角形？ 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 一元二次方程的应用（八大题型总结） 【题型一：传播问题】 1．（23-24九年级上·山西长治·阶段练习）小区篮球球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，兰亭小区以全胜成绩卫冕世界杯冠军，则兰亭小区队在本次比赛中连胜 场． 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设兰亭小区队在本次比赛中连胜场，则共有支队伍参加比赛，根据一共比赛66场，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解题过程】 解：设兰亭小区队在本次比赛中连胜场，则共有支队伍参加比赛， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：11． 2．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有121个人患了流感． （1）每轮传染中，平均一个人传染了几个人； （2）按此速度传染下去，第三轮患流感人数会不会突破1300人？ 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程的应用，代数式求值，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解． （1）设每轮传染中，平均一个人传染了个人，根据两轮传染后共有121人患了流感，列出方程，即可求解； （2）根据题意，列式求出三轮之后患流感的人数． 【解题过程】 （1）设每轮传染中，平均一个人传染了个人， 根据题意得：， 解得或（不合题意舍去） 所以，每轮传染中，平均一个人传染了10个人； （2）按此速度传染下去，第三轮患流感人数为人， 把代入得． 所以，第三轮患流感人数会突破1300人． 3．（24-25九年级上·山东临沂·期中）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ （2）若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【思路点拨】 题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． （1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有128人患了流感，可求出； （2）用第二轮每轮传染中平均每人传染的人数，可求出第三轮过后，患流感的人数． 【解题过程】 （1）解：设每轮传染中平均一个人传染了人， 由题意得：， 解得：，（不合题意舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7人； （2）解：第三轮感染的人数（人）， 第三轮感染后，患流感的总人数为：（人）， 答：第三轮感染后，患流感的共有1024人． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次． （1）若参加聚会的人数为3，则共握手____________次；若参加聚会的人数为5，则共握手____________次；若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手____________次； （2）若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数； （3）嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？请直接写出结论； （4）小明想到另一个数学问题：若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n的值． 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；根据各数量之间的关系，列出代数式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）将线段数当成人握手次数来解决问题,（4）根据题意列出方程求解即可． （1）由握手总数=参加聚会的人数参加聚会的人数，即可求出结论；由参加聚会的人数为n（n为正整数），可知每人需跟人握手，即可求出握手总数； （2）由（1）的结论结合共握手28次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （3）将线段数当成人握手次数，结合（1）即可得出结论． （4）根据题意列出方程求解即可． 【解题过程】 （1）解：，． 解：∵参加聚会的人数为n（n为正整数）， ∴每人需跟人握手， ∴共握手次． 故答案为：3；10； （2）解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：参加聚会的人数为8人． （3）解：∵线段上共有m个点（不含端点A，B）， ∴可当成共有个人握手， ∴线段总数为． （4）解：根据题意得，， 解得．即边数n的值为10． 5．（24-25九年级上·天津河西·期中）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 （2）填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； （3）请继续完成本题的解答： 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程的应用，还涉及有理数的计算，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）分别求出主干、支干和小分支的总数填表即可； （2）①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：；②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：；③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）由题意得，再解方程即可． 【解题过程】 （1）解：主干长出支干的个数为2时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为3时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为4时，则主干、支干和小分支的总数为； 则填表为： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 7 13 21 （2）解：①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）解：由题意得，， 解得：，（不合题意，舍去） 答：每个支干长出10个小分支． 【题型二：增长率问题】 6．（24-25九年级上·江西赣州·期末）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2022年利润为2亿元，2024年利润为亿元． （1）求该企业从2022年到2024年利润的年平均增长率； （2）若2025年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2025年的利润能否超过亿元？ 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程的应用， （1）可得2024年利润为元，进而可求解； （2）2025年的利润为，求出进行比较，即可求解； 掌握增长率的典型模型（）的解法是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：设企业从2022年到2024年利润的年平均增长率为，由题意得 ， 解得：，（舍去）， 答：企业从2022年到2024年利润的年平均增长率为； （2）解：由题意得 （亿元）， ， 企业2025年的利润能超过亿元． 7．（24-25九年级上·陕西延安·期末）某公司今年6月份的生产成本是500万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到8月份的生产成本是320万元． （1）求每个月生产成本下降的百分率； （2）该公司9月份的生产成本是否会超过260万元？请说明理由． 【思路点拨】 本题主要考查了一元二次方程的应用（增长率问题），有理数四则混合运算的实际应用，有理数大小比较的实际应用等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键． （1）设每个月生产成本的下降率为，根据题意，列出一元二次方程，解方程并取符合题意的值即可； （2）求出该公司9月份的生产成本（预测值），再进行比较即可． 【解题过程】 （1）解：设每个月生产成本的下降率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，故舍去）， 每个月生产成本下降的百分率为； （2）解：该公司9月份的生产成本不会超过260万元，理由如下： 预测9月份的生产成本为： （万元）， ， 该公司9月份的生产成本不会超过260万元， 答：该公司9月份的生产成本不会超过260万元． 8．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）为传承红色文化，弘扬爱国主义精神，某地设立并开放以革命传统，红色文化，党史党规等为主题的教育旅游基地，据统计，基地中的一个纪念馆第一个月进馆1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆6080 人次，已知进馆人次的月平均增长率相同． （1）求该纪念馆进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，该纪念馆每月接纳能力不超过5000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该纪念馆是否有能力接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 【思路点拨】 本题主要考查了一元二次方程的应用，有理数混合运算的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该纪念馆进馆人次的月平均增长率为，则第二个月进馆人次，第三个月进馆人次，根据到第三个月末累计进馆6080人次，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用第四个月的进馆人次数第一个月的进馆人次数，可求出第四个月的进馆人次数，再将其与4000比较后，即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：设该纪念馆进馆人次的月平均增长率为，则第二个月进馆人次，第三个月进馆人次， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该纪念馆进馆人次的月平均增长率为； （2）解：该纪念馆没有能力接纳第四个月的进馆人次，理由如下： 第四个月的进馆人次数为（人次）， ， 该纪念馆没有能力接纳第四个月的进馆人次． 9．（23-24九年级上·重庆渝中·自主招生）某科技公司生产销售一种电子产品，该产品总成本包括技术成本、制造成本、销售成本三部分，经核算，2018年该产品各部分成本所占比例约为（a为整数）．且2018年该产品的技术成本为400万元． （1）若2018年产品总成本超过1800万元，但不超过2000万元，确定a的值； （2）在（1）的条件下，为降低总成本，该公司2019年及2020年增加了技术成本投入，确保这两年技术成本都比前一年增加一个相同的百分数，制造成本在这两年里都比前一年减少；同时为了扩大销售量，2020年的销售成本将在2018年的基础上提高，经过以上变革，预计2020年该产品总成本仅为2018年该产品总成本的，求m的值． 【思路点拨】 本题主要考查了比例的应用，一元一次不等式组的应用，以及一元二次方程的应用，读懂题意是解题的关键． （1）根据比例的应用列出关于一元一次不等式组，即可得出a的取值范围，再根据a为整数即可得出答案． （2）由（1）可得2018年的总成本，根据2020年该产品总成本仅为2018年该产品总成本的，列出关于m的一元二次方程求解即可得出答案． 【解题过程】 （1）由题意得： 解得： ∵a为整数， ∴； （2）由（1）可得：2018年产品总成本为：(万元)， 则2018年的制造成本为（万元），销售成本为（万元）， 由题意得： 令，则 ∴， 整理得： 解得：，， ∴，（舍去） 则． 【题型三：营销问题】 10．（24-25九年级上·四川成都·期末）2024年成都世界园艺博览会于4月26日至10月28日举行．在盛会期间，某销售商进行市场调查发现：某类盆栽每盆进货价为60元．当销售价为90元时，平均每天能售出24盆；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2盆．现设销售价降低元，解答下列问题． （1）填空：现在平均每天可售出______盆，每盆盈利______元（用含的代数式表示）； （2）试向：当为何值时，平均每天盈利784元？ （3）若该销售商打算平均每天盈利900元，那么他的这种想法能实现吗？请说明理由． 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式等知识点，解决此题的关键是正确列出一元二次方程． （1）根据题意分别列出代数式即可； （2）由（1）的结果可得到每天盈利为，再根据题意列出方程即可求解； （3）由（2）的思路可列出方程，再算出方程根的判别式即可判断． 【解题过程】 （1）解：由题意可得现在平均每天售卖盆，每盆盈利为元，即元． 故答案为：，． （2）解：由题意可得：， 整理得：， 解得：， 答：当为2元或16元时，平均每天的盈利为784元． （3）解：不能实现，理由如下： 由题可得方程： 整理得：， ∵ ∴原方程无解， ∴该销售商的这种想法不能实现． 11．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 【思路点拨】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【解题过程】 （1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得： 解得（不合题意，舍去） 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，依题意，得： ， 整理，得 解得 因为尽可能让顾客得到实惠，所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为60元． 12．（24-25九年级上·吉林长春·期末）“三折叠，怎么折，都有面．”华为“三折叠”一经上市，便火遍全国，形成一股“折叠风”．9月10日，华为新出的型号为“Mate XT非凡大师”的手机在深圳湾召开发布会，某华为手机专卖网店抓住商机，购进10000台“Mate XT 非凡大师”手机进行销售，每台的成本是20000元，在线同时向国内、国外发售．第一个星期，国内销售每台售价是25000元，共获利1000万元，国外销售也售出相同数量该款手机，但每台成本增加4000元，获得的利润却是国内的6倍． （1）求该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是多少元？ （2）受中美贸易战影响，第二个星期，国内销售每台该款手机售价在第一个星期的基础上降低，销量上涨；国外销售每台售价在第一个星期的基础上上涨，并且在第二个星期将剩下的手机全部卖完，结果第二个星期国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求的值． 【思路点拨】 本题主要考查了销售的应用问题，涉及到一元二次方程、一元一次方程应用等知识，弄清题意，找出数量关系是解决问题的关键． （1）根据(国外的售价成本)销售的数量国内的6倍，列方程解出即可； （2）根据第二个星期国外的销售总额国内的销售总额元，利用换元法解方程可解答． 【解题过程】 （1）解：设该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是x元， 根据题意得：， 解得：， 答：该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是54000元； （2）解：第一个星期国内销售手机的数量为：(台)，则国外销售手机的数量为：台， 根据题意：第二个星期国内销售手机的数量为：(台)，国外销售手机的数量为：台， 由题意得：， 设，则原方程化为：， 即， 解得：（负值舍去）， 则，故， 答：的值为． 13．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）． （1）若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ （2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 【思路点拨】 （1）设总共生产了袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可； （2）设促销时每袋应降价元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可． 【解题过程】 （1）设总共生产了袋手工汤圆， 依题意得， 解得， 经检验是原方程的解， 答：总共生产了袋手工汤圆 （2）设促销时每袋应降价元， 当刚好10天全部卖完时， 依题意得， 整理得： ， ∴方程无解 ∴10天不能全部卖完 ∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为 ∴依题意得， 解得（舍去） ∵要促销 ∴ 即促销时每袋应降价3元． 【题型四：工程问题】 14．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【解题过程】 （1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 15．（24-25八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． （1）求甲工程队每小时修的路面长度； （2）通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【思路点拨】 （1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【解题过程】 （1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 16．（23-24八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． （1）分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； （2）实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【思路点拨】 （1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【解题过程】 （1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 17．（2023·重庆·一模）“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单． （1）求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； （2）两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 【思路点拨】 （1）设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一次方程组，从而解决问题． （2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设“甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之和，列出方程． 【解题过程】 （1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子 由题意得：解得： 答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子． （2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子 由题意得： 整理得： 解得：，， 又∵甲、乙两组加工的天数均为整数 ∴ ∴200+100×2=400（袋） 答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子． 【题型五：行程问题】 18．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【思路点拨】 题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示，设经秒二人在处相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走的步数． 【解题过程】 解：设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：， 甲共行走：， ， ， 又 ， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， 即甲走了步， 故选：C． 19．（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． （1）则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ （3）汽车滑行20米时用了多长时间？ 【思路点拨】 本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【解题过程】 （1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 20．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． （1）甲运动后的路程是多少？ （2）甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键． （1）将代入，计算求解即可； （2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则，计算求出满足要求的解即可． 【解题过程】 （1）解：当时，， 答：甲运动后的路程是； （2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）． 答：它们运动了秒． 21．（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． （1）求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ （2）乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【思路点拨】 本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解题过程】 （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 【题型六：数字问题】 22．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）若一个两位数比它的十位数字与个位数字和的平方少2，且个位数字比十位数字大1，则这个两位数是（  ） A．23 B．34 C．23或34 D．或 【思路点拨】 此题考查一元二次方程的实际运用，设十位数字为，个位数字为，根据这两个数字之积等于它们数字和的2倍列方程求出其解即可，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 【解题过程】 解：设十位数字为，则个位数字为，依题意得： ， 整理得：， ∴ 解得：（舍去），， ∴， ∴， ∴这个两位数是， 故选：A． 23．（24-25九年级上·广西来宾·期中）某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放，若第个图中共有个棋子，则的值是 ． 【思路点拨】 本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律，列出方程是解题的关键． 根据给定的图找出其中的规律，列出一元二次方程求解． 【解题过程】 解：第1个图中棋子的个数为：， 第2个图中棋子的个数为：， 第3个图中棋子的个数为：， 第4个图中棋子的个数为：， 则第个图中棋子的个数为：， ， 解得：，（不合题意，舍去） 第个图中共有个棋子． 故答案为：． 24．（23-24九年级上·江苏·期中）已知3个连续整数的和是，它们的平方和是，且，求这3个连续整数． 【思路点拨】 本题考查有理数的加法和二元一次方程的应用，根据题意列出方程再进行计算即可． 【解题过程】 解：设这3个连续整数为，，， 由题意可得，， ， 又知， 即， 解得或（舍去）， 故， ，． 故这3个连续整数为4，5，6． 25．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）两个相邻偶数的平方和的平均数为，则一定是偶数．如：，，为偶数． （1）偶数12和14是否满足上述结论，请说明理由； （2）设两个相邻偶数为和，请论证上述结论； （3）若．求符合要求的偶数． 【思路点拨】 本题考查了整数规律问题及一元二次方程的应用； （1）根据已知条件进行运算，即可求解； （2）计算的结果是否能被整除，即可求解； （3）根据规律可得方程，解方程，即可求解； 理解规律，并能根据规律得到一元二次方程是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：满足上述结论； 理由如下： ， ， 为偶数； （2）解： ， 为偶数； 故上述结论正确； （3）解：由题意得 ， 整理得：， 解得：，， ，， 或，， 故符合要求的偶数为，；，． 26．（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． （1）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． （2）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设最小数是，则最大数是，根据“最大数与最小数的乘积为180”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设最小数为，则另外三个数分别是，，，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为80，列出一元二次方程，解之可得出的值，即可解决问题． 【解题过程】 （1）解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求， 答：最小数为10； （2）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下： 设最小数为，则另外三个数分别是，，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80． 【题型七：图形问题】 27．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）《九章算术》中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．”译文：今有门，不知其高、宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽出4尺；竖放，竿比门高出2尺；斜放，竿与门的对角线长恰好相等，则门的对角线长为 尺． 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设竿的长度为x尺，则门高为尺，门宽为尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合和均为正数可求得门的高和宽，根据勾股定理即可求得答案． 【解题过程】 解：设竿的长度为x尺，则门高为尺，门宽为尺， 依题意得：， 化简得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去； 当时，． ∴门高为8尺，门宽为6尺， ∴门的对角线长为（尺）． 故答案为：10． 28．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形苗圃，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当苗圃的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的苗圃？ （2）苗圃的面积能达到：吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． （1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实数根即可求解． 【解题过程】 （1）解：设矩形的边，则边， 根据题意，得， 化简，得， 解得， 当时，， 当时，， 答：当苗圃的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的苗圃． （2）不能，理由如下： 由题意得，， 化简，得， ， 一元二次方程没有实数根， 苗圃的面积不能达到． 29．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）泾阳茯茶是中国传统的黑茶之一，具有消食健胃、降脂减肥、补充维生素和矿物质等功效． （1）如图，某茶庄种植茯茶，由于规模不断扩大，现计划开阔一块面积为平方米的长方形采茶基地，已知该采茶基地的长比宽多米，求采茶基地的长和宽； （2）如图，该茶庄开设了一片观光园区，园区内原有一块长方形空地，该空地与（）中的采茶基地大小、形状均相同，后计划在此区域栽种鲜花（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分）供游客观光，若鲜花的种植面积为平方米，求小路的宽度． 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （1）设采茶基地的宽为米，则长为米，根据面积为平方米列方程，然后解方程并检验即可； （2）设小路的宽度为米，根据鲜花的种植面积为平方米列出方程，然后解方程并检验即可． 【解题过程】 （1）解：设采茶基地的宽为米，则长为米， 根据题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：采茶基地的长为米，宽为米； （2）解：由（）得采茶基地的长为米，采茶基地的宽为米，设小路的宽度为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：小路的宽度为米． 30．（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图（1）是用总长为的木板制作的矩形置物架，抽象为图（2）中的矩形，该置物架上面部分是边长为的正方形，中间部分为矩形，点M，N分别为线段，的中点，且． （1）当时，的长为； （2）置物架的高的长为 （用含x的式子表示）； （3）为了便于放置物品，要求EG的高度不小于，若矩形的面积为，求x的值． 【思路点拨】 （1）依题意得四边形，四边形，四边形均为矩形，则，，，当时，则，则，由此可得出的长； （2）根据，，，则，进而得，； （3）依题意得，由（2）可知，，根据矩形的面积为得，由此解得，，当时，则，符合题意，当时，则，不合题意，舍去，由此可得x的值． 【解题过程】 （1）解：依题意得：四边形是矩形，四边形是正方形， ∴四边形，四边形，四边形均为矩形， ，，， 当时，则， ∵矩形置物架是用总长为的木板制作的， ， ， 故答案为：5； （2）解：，，， ， ， ； 故答案为：； （3）解：依题意得：， 由（2）可知，， ∵矩形的面积为， ， ， 整理得：， 解得：，， 当时，则， ∵为了便于放置物品，要求的高度不小于， 符合题意， 当时，则，不合题意，舍去， ∴x的值为． 31．（2025·上海浦东新·模拟预测）如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． （1）要使无盖长方体盒子的底面积为，那么剪去的正方形的边长为多少？ （2）你认为折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于吗？请说明理由 （3）当把长方形硬纸板的四周分别剪去个同样大小的正方形和个同样形状、同样大小的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）为时请直接写出结果并画出平面示意图 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程的应用和根的判别式，找到面积的等量关系是解题的关键． （1）可设剪去的正方形边长为，根据无盖长方体盒子的底面积为，可得方程求解即可； （2）可设剪去的正方形边长为，根据无盖长方体盒子的侧面积等于，可得方程，再根据根的判别式作出判断； （3）可设剪去的正方形边长为，分成两种情况，根据侧面积为列方程讨论求解． 【解题过程】 （1）设剪去的正方形边长为，由题意，得 ， 即， 解得：（不合题意，舍去），． ∴剪去的正方形的边长为． （2）折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于，理由如下： 设剪去的正方形边长为，由题意，得 ， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数解． 即折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于． （3）设剪去的正方形边长为， 若按图1所示的方法剪折， 有：， 整理得：， ， ∴此方程无解； 若按图2所示的方法剪折， 有：， 整理得：， 解得：，， 当按图2所示的方法剪去的正方形边长为或时，能使得到的有盖长方体盒子的侧面积达到． 【题型八：动态几何问题】 32．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程的应用，在中，利用勾股定理可求出的长度，当运动时间为时，，，根据的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【解题过程】 解：在中，，，， ∴， ． 当运动时间为时，，，， 依题意得：，即， 解得：（不合题意舍去）， ∴点，的运动时间为． 故选：B． 33．（2024七年级·全国·竞赛）如图，已知正方形的边长为10厘米，点在边上，且厘米，、两点分别从、两点出发以1厘米/秒的速度沿正方形的边逆时针移动，当点移到点时，、两点同时停止移动，设移动时间为秒，当时， ．    【思路点拨】 本题考查一元二次方程在几何中的应用，根据移动时间为秒，分以下两种情况讨论，①当在上时，②当在上时，根据这两种情况分别用表示出和的底和高，根据建立方程求解，即可解题． 【解题过程】 解：移动时间为秒，正方形的边长为10厘米，厘米， ①当在上时， 有厘米，厘米，厘米， ， ，即， 整理得，解得（不合题意，舍去），． ②当在上时， 则厘米，厘米， ， 整理得，解得，（不符合题意，舍去）， 综上所述，的值为或18． 34．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，线段厘米，O为的中点，射线．动点P从点A出发，以1厘米/秒的速度向点B运动，另一动点Q从点O出发，以2厘米/秒的速度沿射线运动，点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点P，Q都停止运动．设点P的运动时间为t秒，当的面积为8平方厘米时，t的值为 ． 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程的应用．根据题意列一元二次方程是解题的关键． 由题意知，，，当时，，，令，计算求出满足要求的解即可；当时，，，令，计算求出满足要求的解即可． 【解题过程】 解：∵厘米，O为的中点， ∴厘米， 由题意知，，， 当时，，， 令， 解得，或； 当时，，， 令， 解得，或（舍去）； 综上所述，经过2或4或秒，的面积为8平方厘米． 故答案为：2或4或． 35．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D，E同时停止运动，连接，，设运动时间为，的面积为． （1）用含t的代数式表示 ； ； （2）当为何值时？ （3）在点D运动过程中，的值可能为5吗？通过计算说明． 【思路点拨】 本题考查一元二次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列方程是解答的关键： （1）根据题意以及路程、速度和时间的关系求解即可； （2）利用三角形的面积公式列方程求解即可； （3）利用三角形的面积公式列方程，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可 【解题过程】 （1）解：∵点D从点C开始沿运动，速度为， ∴， ∵，点E从点B开始沿边运动，速度为， ∴， 故答案为：t，； （2）解：由题意可知，t的最大值为，即， ∵，， ∴， 由题意可知，，，，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴当时，； （3）解：的值不可能为5；理由如下： 由题意可得， ， 假设的值可能为5得， ，即， ∵， ∴方程无解， 故的值不可能为5． 36．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒． （1）在运动过程中，当_______时，的长度为． （2）在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； （3）取的中点，运动过程中，当时，直接写出的值为________． 【思路点拨】 （1）根据题意可知：，，，根据勾股定理及一元二次方程根的判别式，即可判定； （2）设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，，根据两点间的距离公式，解方程即可解决问题． 【解题过程】 （1）解： ∵点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止， ∴，，，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 解得：或， 故答案为：或； （2）解：不能；理由如下： 设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， 即， ， ， 方程无实数根， 的面积不能为； （3）解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，    ∴，，，， 是的中点， ， ，， ，，， ， ， 整理得：， 解得：，． 的值为8或． 故答案为：8或． 37．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知为长方形的四个顶点，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动． （1）求证：在点移动过程中，四边形的面积始终不变； （2）两点从出发开始到几秒时，点和点间的距离是？ （3）两点从出发开始到几秒时，点组成的三角形是等腰三角形？ 【思路点拨】 （1）设点移动的时间是，得到，，再由梯形面积公式代值求解得到四边形的面积为定值，即可得证； （2）过点作于点，如图所示，在中，，，，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （3）由题意，分三种情况：；；；分别由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【解题过程】 （1）证明：设点移动的时间是， 则， ， 四边形的面积是， 即四边形的面积为定值， 在点移动过程中，四边形的面积始终不变； （2）解：过点作于点，如图所示： ，， 则， 在中，，，若点和点间的距离是，即时，由勾股定理可得， 即，解得， 或， 即两点从出发开始到或秒时，点和点间的距离是； （3）解：连接，如图所示： 当点组成的三角形是等腰三角形时，分三种情况： ；；； 当时，过点作于点，如图所示： 由等腰三角形三线合一性质得到， ， ，即， 解得，即当两点从出发开始到秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 当时，过点作于点，如图所示： ， ，， 在中，，，时，由勾股定理可得， 即，解得， 或， 即当两点从出发开始到或秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 当时，过点作于点，如图所示： ， ， 在中，，时，由勾股定理可得， ， 即，解得， 即当两点从出发开始到秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 综上所述，当两点从出发开始到或或或秒时，点组成的三角形是等腰三角形． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$