9.5三角形的中位线同步练习2024-2025学年苏科版八年级数学下册

苏科版八年级数学下 9.5 三角形的中位线 同步练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为（   ） A．2 B．4 C． D． 2．如图，在中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点且，连接，若，则线段的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 3．如图，已知的周长为38，对角线相交于点O，点E是的中点，的周长为15，则的长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．23 4．如图，在矩形中，点是边上一点，连接，点分别是的中点，连接，若，则矩形的面积是（   ） A．200 B．196 C．192 D．188 5．如图，在中，，，是斜边上的一个动点，且在上（不包含端点）运动的过程中，始终保持，分别是的中点，连接，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 6．如图，正方形的周长为24，点，，分别为，，上任意一点，，分别为，的中点，连接，则线段的最小值为（   ） A．2 B． C． D．3 7．如图，在中，，，是平面上一动点，连接，，是的中点，连接，当，的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、解答题 8．如图，在中，，点是的中点，连接，过点作，过点作，，交于点，连接交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，交于点，若，，求的长． 9．如图，在正方形中，点、在对角线上，且， (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求四边形的面积． 10．如图，在四边形中，，，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知菱形的对角线，点E、F分别是菱形的边、的中点，连接，若，求菱形的周长． 11．如图，是的中位线，的平分线交于点，连接并延长交于，若，，求的长． 12．如图，已知的中线、相交于点，、分别为、的中点． (1)求证：和互相平分； (2)若，，，求的面积． 13．如图，的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点E，P是的中点，若，，求的长．    14．如图，在中，分别是的中点，延长到点，使．连接． (1)求证：与互相平分； (2)若，求的长． 15．如图，在平行四边形中，点分别是的中点，点，在对角线上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接交于点，若，，求的长． 16．如图，在中，和的角平分线，交于边上的点． (1)求证：E为的中点； (2)若点F为的中点，连接交于点G．写出与间的数量关系，并说明理由． 17．如图，点、、分别是、、的中点，连接、、、．    (1)求证：、互相平分； (2)现有三个条件：①；②平分；③；请你从中选择两个条件（写序号）：使得四边形是正方形，并加以证明． 18．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 【概念理解】 （1）我们已经学习了平行四边形，菱形，矩形和正方形，在这四种图形中一定是垂美四边形的是_______； 【性质探究】 （2）如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《苏科版八年级数学下 9.5 三角形的中位线 同步练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B C C B D D 1．C 【分析】本题考查了三角形和菱形．熟练掌握菱形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题关键． 根据菱形的性质得，根据，，得，得，即得． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理的应用，利用三角形中位线定理得到．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可．解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中． 【详解】解：点、分别是边、的中点， 是的中位线， ， ，是的中点，， ， ． ， 故选：B． 3．C 【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 由平行四边形的性质及周长为38得到 ，由点E是的中点得到是的中位线，，则，由的周长为15得到，求出，即可得到长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，其周长为38，对角线相交于点O， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∵的周长为15， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，直角三边形斜边的中线的性质，勾股定理逆定理，根据矩形的性质可得，根据F，G分别是的中点，可得，是的中位线，求出和的长，进一步可知是直角三角形，，根据，求出的面积，根据和矩形同底等高，可知矩形的面积，即可求出矩形的面积． 【详解】解：在矩形中，， ∵F，G分别是的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴矩形的面积， 故选：C． 5．B 【分析】连接，判定四边形是矩形，推出，由三角形中位线定理得到，因此，当时，最小，由勾股定理求出的长，由三角形面积公式，得到的面积，求出，即可得到的最小值是． 【详解】解：连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴当最小时，最小，当时，最小， 此时的面积， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，关键是判定四边形是矩形，得到，由三角形中位线定理得到，由三角形面积公式求出的最小值． 6．D 【分析】连接，根据三角形中位线的性质得到，得出当线段值最小时，线段的值最小，再根据垂线段最短得出当时，值最小，然后证明四边形是矩形，得到，最后根据正方形的性质求出即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵，分别为，的中点， ∴， ∴当线段值最小时，线段的值最小， ∵正方形， ∴，， ∵，分别为，上任意一点， ∴当时，值最小，即， ∴四边形是矩形， ∴， ∵正方形的周长为24， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，垂线段最短，三角形中位线的性质，熟练掌握正方形的性质、垂线段最短、三角形中位线的性质是解题的关键． 7．D 【分析】本题考查勾股定理、三角形的中位线的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，添加辅助线，利用三角形的中位线性质求解是解答的关键．取的中点F，连接，，利用三角形的中位线性质得到，再利用勾股定理和直角三角形的中线性质求得，然后利用三角形三边关系得到，当B、F、E共线时取等号，进而得到答案． 【详解】解：取的中点F，连接，，如图， ∵是的中点，点F是的中点， ∴是的中位线，又， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，当B、F、E共线时取等号， ∴的最大值为， 故选：D． 8．(1)见解析 (2)． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质得到，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形，再根据邻边相等即可证明为菱形； （2）先证明四边形是菱形，为等边三角形，则，再根据角直角三角形的性质结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，点是中点， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴，为等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得，即， 解得． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． 9．(1)证明见解析 (2)四边形的面积为 【分析】（1）连接交于点，根据正方形的性质求出，，证得四边形是平行四边形，再根据得到结论； （2）利用勾股定理求出的长度，根据求出即可得到，利用菱形面积公式求出答案． 【详解】（1）证明：连接交于点． 四边形是正方形， ，，． ， ． ． ， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． （2）解：四边形是正方形，且， ． ， ， 菱形． 【点睛】此题考查正方形的性质，菱形的判定定理，菱形的面积公式，勾股定理，题中连接是解题的关键． 10．(1)见解析 (2)52 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，掌握相关知识点是解题关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据等角对等边的性质，得到，即可证明结论； （2）连接交于点O，，根据三角形中位线定理，得到，由菱形的性质和勾股定理得出，即可求出菱形的周长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：连接交于点O，如图： ∵点E、F分别是边、的中点，， ∴， ∵、是菱形的对角线，且，， ∴，，． 在中，，． ∴， ∴菱形的周长为：． 11．8 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据中位线性质求出，，根据等腰三角形的性质与判定求出，再求出的长，最后可得答案． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴． 12．(1)证明见解析 (2)16 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理、完全平方公式，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键． （1）先根据三角形的中位线定理可得，，，，再证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得证； （2）先求出，再利用勾股定理可得，然后利用完全平方公式变形求值可得的值，最后利用三角形的面积公式计算即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的中线，点是的中点， ∴，， 同理可得：，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴和互相平分． （2）解：由（1）已证：和互相平分， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 13． 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，平行四边形的判定与性质，先证明，可得，再结合三角形的中位线的性质可得答案． 【详解】解：在中，，，，， ． 平分， ， ， ， ． 是的中点，是的中点， ． 14．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识； （1）利用三角形中位线定理可得出， ，结合，得出，可证明四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可得证； （2）先证明为等边三角形，可得，再利用平行四边形性质求解即可． 【详解】（1）证明：连接，．    ∵点E，F分别为、的中点， ∴， ． 又∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴与互相平分． （2）解：在中，，E为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴． 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握平行四边形判定与的性质及三角形中位线定理是解题的关键． （1）证明，得，则，得，即可得出结论； （2）先由平行四边形的性质得出，再证出，可得是的中位线，然后利用中位线定理可得的长度． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点G，H分别是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接交于点O，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 16．(1)详见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，，而，，所以，，则，，所以，则为的中点； （2）取的中点，连接，由三角形的中位线定理得，，即可证明，，推导出，则，得，由，，得，则． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 点在边上，且平分，平分， ，， ，， ，， ， 为的中点． （2）解：，理由如下： 取的中点，连接， 点为的中点， ，， ∵，，且， ，， ， 在和， ， ， ， ， ∵， ， ，且， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，中位线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 17．(1)见解析 (2)①②（或①③），见解析 【分析】本题考查了正方形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握正方形的判断，三角形中位线定理是解题的关键． （1）由三角形中位线定理得，再证四边形为平行四边形，即可得出结论； （2）可以选①②（或①③），根据平行四边形的性质与判定、矩形的判定定理、三角形中位线的性质及正方形的判定定理得到结论． 【详解】（1）证明：证明：、、分别为、、的中点， ，， 四边形为平行四边形． 、互相平分； （2）方法1：选①②平分， 证明：四边形为平行四边形，， 是矩形 平分， ， ， ， ， ， 矩形为正方形． 方法2：选①；③； 证明：四边形为平行四边形， 是矩形 ， 点是的中点， 矩形为正方形． 故答案为：①②（或①③） 18．（1）菱形，正方形；（2）73 【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论； （2）利用勾股定理即可得出结论； （3）如答图，连接，设交于点．先证明，得出四边形是垂美四边形，借助（2）的结论即可得出结论． 【详解】解：（1）∵菱形，正方形的对角线互相垂直 ∴菱形，正方形是垂美四边形； （2）四边形是垂美四边形， ， ． 由勾股定理，得， ， ； （3）如答图，连接，设交于点． ， ， 即． 在和中， ， ． ， ． ， ， ， 四边形是垂美四边形． 由（2）可知． ， 由勾股定理，得， ． 【点睛】此题考查了正方形和菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$