第五章 复数（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记·巧练（北师大版2019必修第二册）

第五章 复数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2.在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.已知复数，其中是虚数单位，则的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 4.已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题： 甲：；    乙：； 丙：；    丁：． 如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5.已知复数在复平面内对应的点在二象限，且，则实数的取值范围是 A．或 B． C．或 D． 6.复数满足，则（    ） A． B． C． D． 7.设复数，其中为虚数单位，则（    ） A．0 B．1 C． D． 8.二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根，一个虚数根 C．有一对共轭虚数根 D．有两个虚数根 第二部分（非选择题 共92分） 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．时，复数对应的点在第一象限内 B．时，复数对应的点在第一象限内 C．复数的模的最大值为 D．复数的模长为定值 10.设为复数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 11.已知复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（    ） A．点在复平面上的坐标为 B． C．的最大值为 D．的最小值为 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知i为虚数单位，计算： . 13.设复数、满足，，，则 ． 14.已知关于x，y的方程组有实数解，则实数a，b的值分别为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知复数，其中是虚数单位，. (1)若为纯虚数，求的值； (2)若，求的取值范围. 16.（15分）计算，并用复数的代数形式表示计算结果： (1)； (2)． 17.（15分）设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2. (1)求|z|的值及z的实部的取值范围； (2)设μ＝，求证：μ为纯虚数. 18.（17分）设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数，，且，（其中），若可以与任意实数比较大小． (1)求向量对应的复数； (2)设中点为Z，求． 19.（17分）已知复数，其中是实数， （1）若在复平面内表示复数的点位于第一象限，求的范围； （2）若是纯虚数，是正实数， ①求， ②求； / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 复数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【分析】利用复数的除法化简复数，即可求得结果. 【详解】因为，因此，复数的虚部为. 故选：A. 2.在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数代数形式的乘法运算 【详解】利用复数的四则运算化简，再根据复数的几何意义即可得解. 【分析】因为， 所以对应的点为，它位于第二象限. 故选：B 3.已知复数，其中是虚数单位，则的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】结合复数乘法、共轭复数等知识求得正确答案. 【详解】. 故选：A 4.已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题： 甲：；    乙：； 丙：；    丁：． 如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】设，根据复数所在象限、复数加法、减法、乘法和除法，结合“只有一个假命题”进行分析，由此确定正确选项. 【详解】设， 由于对应点在第二象限，所以， ，， ，. 甲， 乙， 丙， 丁， 由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，的值应为. 故选：B 5.已知复数在复平面内对应的点在二象限，且，则实数的取值范围是 A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、由复数模求参数 【分析】根据复数在复平面内对应的点在二象限，得到a是一个小于0的数，根据模长大于2，首先进行复数的乘法运算，写出复数的模长的表示式，解出关于a的不等式，两个a的值求公共部分． 【详解】∵复数在复平面内对应的点在二象限， ∴a<0， ∵ ∴|(a+i)(1+i)|>2， ∴|a－1+ai+i|>2， ∴>2， ∴>2， ∴a2>1， ∴a>1或a<－1， 又a<0， ∴a<－1， 故选：B． 6.复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【解析】先利用除法化简计算，然后代入模长公式计算. 【详解】变形得， 所以. 故选：A. 7.设复数，其中为虚数单位，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】复数加减法的代数运算、复数的乘方 【分析】利用复数的运算法则，直接计算即可. 【详解】因为， 所以ω2，ω3＝（）（）＝1， 则1+ω+ω2+ω3＝11＝1. 故选：B. 8.二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根，一个虚数根 C．有一对共轭虚数根 D．有两个虚数根 【答案】D 【知识点】复数的相等、复数范围内方程的根 【分析】设方程的根为，带入方程利用复数相等解出，可判断根的情况. 【详解】解：设方程的根为，则有， 即，即 ，解得：，所以方程的根为或. 故选：D. 第二部分（非选择题 共92分） 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．时，复数对应的点在第一象限内 B．时，复数对应的点在第一象限内 C．复数的模的最大值为 D．复数的模长为定值 【答案】AD 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、求复数的模、辅助角公式 【分析】由题设易得，可知C错误，D正确；根据A、B中判断、的符号，即可确定复数对应点所在的象限. 【详解】由，， ∴. A：当时，，故，，所以对应点在第一象限，正确； B：当时，，故，，所以对应点在第四象限，错误； 由上知：复数的模为，故C错误，D正确； 故选：AD 10.设为复数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】AD 【知识点】根据复数乘法运算结果求参数、根据复数加减运算结果求复数特征、复数的乘方、复数的相等 【分析】通过反例可说明BC错误；设，，根据模长运算和复数乘法运算可分析得到AD正确. 【详解】对于A，设，，则， ，即，，A正确； 对于B，令，，则，此时，B错误； 对于C，令，，则，此时，C错误； 对于D，设，，则， ，即，则； 若，则成立，此时； 若，，由知：；由知：；此时； 同理可知：当，时，； 若，，由得：，，此时； 综上所述：若，则或，D正确. 故选：AD. 11.已知复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（    ） A．点在复平面上的坐标为 B． C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【知识点】复数的坐标表示、复数加减法几何意义的运用 【分析】A：根据复数的表达式直接写出点的坐标进行判断即可； B：根据复数的共轭复数的定义进行判断即可； C，D：根据复数模的几何意义，结合圆的性质进行判断即可. 【详解】复数在复平面内对应的点为，故A正确； 复数，所以复数，故B正确； 设，则，即，所以，复数在复平面内对应的点在圆上，其圆心为，半径， 表示的是复数和在复平面内对应的两点之间的距离，即.    而的最大值是；的最小值是.所以的最大值为，最小值为，故C正确，D错误． 故选：ABC． 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知i为虚数单位，计算： . 【答案】 【知识点】复数的三角表示、复数乘、除运算的三角表示 【解析】先把转化为，再利用复数三角形式的除法运算法则即可求出答案. 【详解】解：原式 . 故答案为：. 【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的除法运算法则，属于基础题. 13.设复数、满足，，，则 ． 【答案】 【知识点】复数的相等、求复数的模、复数加减法的代数运算 【分析】设，，根据复数的模长公式以及复数相等可得出，通过计算可得出，即可得解. 【详解】设，， 则，即， 所以，， ， 因此，. 故答案为：. 14.已知关于x，y的方程组有实数解，则实数a，b的值分别为 ． 【答案】1，2 【知识点】复数的相等 【分析】根据复数相等列方程组计算求参即可. 【详解】设是方程组的实数解．由已知及复数相等， 得由①②得 代入③④得所以实数a，b的值分别为1，2． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知复数，其中是虚数单位，. (1)若为纯虚数，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】复数的相等、已知复数的类型求参数、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】（1）根据纯虚数的特征，即可列式求解； （2）根据复数相等，转化为实部和虚部对应相等，将写为关于的二次函数， 列式求解. 【详解】（1）因为为纯虚数， 所以，解得. （2）由，得. 因此. 因为，所以当时，； 当时，，.故的取值范围是. 16.（15分）计算，并用复数的代数形式表示计算结果： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、复数代数形式的乘法运算 【分析】利用复数的乘法法则结合特殊角的三角函数值求出答案. 【详解】（1） ． （2） ． 17.（15分）设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2. (1)求|z|的值及z的实部的取值范围； (2)设μ＝，求证：μ为纯虚数. 【答案】(1)|z|＝1，. (2)证明见解析 【知识点】复数的除法运算、求复数的模、复数的分类及辨析、求复数的实部与虚部 【分析】（1）由题意，设z＝x＋y(x，y∈R，且y≠0)，由复数的加法及除法运算法则求出ω，根据ω是实数，且y≠0，可得x2＋y2＝1，从而可得|z|的值，又－1<ω<2，从而可得复数z的实部的取值范围； （2）根据复数除法的运算法则求出μ＝，结合（1）问结论即可证明. 【详解】（1）解：因为z是虚数，所以设z＝x＋y(x，y∈R，且y≠0)， 则ω＝z＋＝(x＋y)＋＝x＋y＋＝＋， 因为ω是实数，且y≠0，所以y－＝0，即x2＋y2＝1， 所以|z|＝，此时ω＝2x， 又－1<ω<2，所以－1<2x<2，解得－<x<1， 所以复数z的实部的取值范围是； （2）证明：μ＝＝＝＝， 又由（1）知x2＋y2＝1，所以μ＝－i， 因为y≠0，所以μ为纯虚数. 18.（17分）设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数，，且，（其中），若可以与任意实数比较大小． (1)求向量对应的复数； (2)设中点为Z，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、求复数的模、复数的向量表示 【分析】（1）先求出的表达式，根据为实数的条件求出的值，进而得到和，再根据向量与复数的对应关系求出向量对应的复数； （2）利用中点坐标公式求出中点对应的复数，最后根据复数的模的计算公式求出 【详解】（1）． 可与任意实数比较大小，为实数， ，解得．，， 向量对应的复数为． （2）的中点Z对应的复数为，． 19.（17分）已知复数，其中是实数， （1）若在复平面内表示复数的点位于第一象限，求的范围； （2）若是纯虚数，是正实数， ①求， ②求； 【答案】（1）；（2）①2；②-1. 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的乘方、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部均大于0求解； （2）利用复数代数形式的乘除运算化简，求得值，再求出，最后根据复数的乘方规律计算可得． 【详解】解：（1）由题可得：， 因为复数在第一象限， 所以，解得． （2）依题意得： 因为是纯虚数，则：，解得或；解得且； 综上可得或； 又因为是正实数，则． 当时，， 因为，，，，，，，，， 所 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$