第五章 复数 易错训练与压轴训练（12易错+7压轴）-2024-2025学年高一数学单元速记·巧练（北师大版2019必修第二册）

第5章 复数 易错训练与压轴训练 01 思维导图 02 易错题型 易错题型1.复数实部与虚部的混淆： 题目给出复数z=a+bi，求实部或虚部时，学生可能错误地将虚部的系数带上i，或者忽略符号。注意事项：虚部是不带i的实数部分。 1.若复数满足，为虚数单位，则的虚部为（    ） A． B．2 C． D． 2.当实数m分别为何值时， (1)复数z＝m2＋m－2＋(m2＋5m＋6)i是实数？虚数？ (2)复数z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(3－m)是纯虚数？ 3.若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 易错题型2.复数的几何表示错误：在复平面上，点对应的复数实部对应横坐标，虚部对应纵坐标，但学生可能颠倒或者混淆坐标轴。注意区分实轴和虚轴。 1.设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？ (1)|z|＝； (2)<|z|<2. 2.若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值． 3.若向量与对应的复数分别是，则向量对应的复数为（ ） A． B． C． D． 易错题型3.复数运算中的i²处理：在乘法或平方运算中，忘记i²=-1，导致计算错误。例如计算(2+3i)^2时，展开后中间的交叉项可能忘记处理i²。 1.在复平面内，复数z＝＋i3对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.是虚数单位，i（1+i）等于（　　） A． B． C． D． 3.为 ． 易错题型4.复数相等的条件忽略：解方程时，假设两个复数相等需要实部和虚部分别相等，学生可能只考虑实部或虚部其一，导致错误解。 1.已知z＝1＋i，若＝1－i，求实数a，b的值． 2.已知a，，i是虚数单位.若，则（　　） A． B． C． D． 3.已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝ ，y＝ . 易错题型5.共轭复数的性质应用错误：例如，复数与其共轭复数的和是2a，差是2bi，乘积是模的平方。学生可能在运用这些性质时混淆符号或公式。 1.已知a，b∈R，复数z1＝－1＋ai，z2＝b－3i(i为虚数单位)，若z1＝2，则a＋b＝(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－4 2.已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　　) A．5－4i B．5＋4i C．3－4i D．3＋4i 3.把复数z的共轭复数记作，已知(1＋2i)＝4＋3i，求z. 易错题型6.模的计算公式错误： 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．，但学生可能错误地计算成a² + (bi)²，导致错误。注意模是实部和虚部平方和的平方根，不考虑i。 1.已知复数z1＝6－5i，z2＝－2＋3i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点对应复数z，则|z|＝(　　) A． B．5 C． D．3 2.设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是(　　) A．若|z1－z2|＝0，则1＝2 B．若z1＝2，则1＝z2 C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2 D．若|z1|＝|z2|，则z＝z 3.若复数和复数满足，则 ． 易错题型7.分母复数有理化错误：在除法运算中，未正确乘以共轭复数，或者计算过程中符号错误。例如，1/(a+bi)应该乘以(a-bi)/(a-bi)，但学生可能只乘分母的共轭，而分子漏乘。 1.已知z＝，则z－＝(　　) A．－i B．i C．0 D．1 2.设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3.计算：①＋；②. 易错题型8.复数的三角形式转换错误：将代数形式转为三角形式时，角度θ的计算错误，特别是当复数位于不同象限时，未正确使用反正切函数调整角度。 1.复数z＝sin15°＋icos15°的三角形式是(　　) A．cos195°＋isin195° B．sin75°＋icos75° C．cos15°＋isin15° D．cos75°＋isin75° 2.已知复数满足，且．求的三角形式； 3.设复数，其中为虚数单位，若满足，则 ． 易错题型9.复数与实数比较大小：尝试比较两个复数的大小，如z1 > z2，这是无意义的。学生可能在题目中出现这样的错误比较。 1．若复数m－4＋(m2－16)i≥0，则实数m的值为________． 2．已知(m2＋7m＋10)＋(m2－5m－14)i＝0，则实数m＝________． 3.下列命题中，不正确的是（    ） A．是一个复数 B．形如的数一定是虚数 C．两个复数一定不能比较大小 D．若，则 易错题型10.复数方程根的条件错误：例如，实系数二次方程如果有虚根，必须是共轭对，学生可能在解题时遗漏这一点，或者错误应用在非实系数的情况下。 1.已知关于x的方程(x2＋mx)＋2xi＝－2－2i(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于________． 2.下列关于一元二次方程（其中a，b，，）的说法正确的是（    ） A．两根，满足， B．两根，满足 C．若判别式，则该方程有两个相异的根 D．若判别式，则该方程有两个相等的实数根 3.设（、、）.已知关于的方程有纯虚数根，则关于的方程的解的情况，下列描述正确的是（    ） A．可能方程只有虚根解，其中两个是纯虚根 B．可能方程有四个实数根的解 C．可能有两个实数根，两个纯虚数根 D．可能方程没有纯虚数根的解 易错题型11.数的四则运算错误：　　 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式． 1.计算：(1)；(2). 2.已知复数是纯虚数，则实数（ ） A．3 B．-3 C． D． 3.计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4). 易错题型12.　复数方程问题错误： 1.设关于x的方程是x2－(tanθ＋i)x－(2＋i)＝0，i为虚数单位． (1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根； (2)证明对任意θ≠kπ＋(k∈Z)，方程无纯虚数根． 2.若虚数是关于x的方程的一个根，且，则（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 3.已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且．求的值． 巩固训练 1．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和是（    ） A．14 B．23 C．或 D．或或 2．（23-24八年级上·四川绵阳·期中）若一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是．则原来多边形的边数可能是（    ） A．10或11 B．11 C．11或12 D．10或11或12 3．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形内角和为，则原多边形的边数（    ） A．12 B．11或12 C．12或13或14 D．11或12 或13 03 压轴题型 压轴题型1　 复数范围内方程的根 例题1.已知关于的方程在复数集中的根为、，则下列结论正确的是（    ） A．、互为共轭复数 B．， C． D． 巩固训练1.已知是方程的虚数根，则（    ） A．0 B． C． D． 巩固训练2.若方程有两个虚根，且，则实数m的值为（    ） A． B． C．2 D． 压轴题型2　 复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象 例题2.已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上的对应点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 巩固训练1.若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 巩固训练2.复数，且，则（　　　） A． B． C． D．2 压轴题型3　 已知复数的类型求参数 例题3.设，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 巩固训练1.设且，若复数是实数，则 A． B． C． D． 巩固训练2.设i为虚数单位，，“复数不是纯虚数“是“”的（  ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 压轴题型4　 共轭复数的概念及计算 例题4.复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 巩固训练1.下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（   ） A． B． C．z的共轭复数为 D．z的虚部为 巩固训练2.下列说法正确的是（    ） A．复数和其共轭复数都是成对出现的 B．实数不存在共轭复数 C．互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称 D．复数和其共轭复数的模相等 压轴题型5　 复数的相等 例题5.已知，，，则（    ） A．－4 B．7 C．－8 D．6 巩固训练1.已知，其中、．求x、y的值． 巩固训练2.若共轭复数x，y满足，则x，y共有 组解． 压轴题型6　 与复数模相关的轨迹（图形）问题 例题6.在复平面内，是原点，向量对应的复数是，将绕点按逆时针方向旋转，则所得向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 巩固训练1.在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为 . 巩固训练2.设是复数且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 压轴题型7　 复数的三角表示 例题7.复数经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于（   ） A．3 B．12 C． D． 巩固训练1.任何一个复数（其中，）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A． B．当，时， C．当，时， D．当，，且为偶数时，复数为纯虚数 巩固训练2.欧拉公式建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①；②．下列说法正确的是（    ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 复数 易错训练与压轴训练 01 思维导图 02 易错题型 易错题型1.复数实部与虚部的混淆： 题目给出复数z=a+bi，求实部或虚部时，学生可能错误地将虚部的系数带上i，或者忽略符号。注意事项：虚部是不带i的实数部分。 1.若复数满足，为虚数单位，则的虚部为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】根据虚部的定义求解即可. 【详解】因为，所以的虚部为 故选：C 【点睛】本题主要考查了求复数的虚部，属于基础题. 2.当实数m分别为何值时， (1)复数z＝m2＋m－2＋(m2＋5m＋6)i是实数？虚数？ (2)复数z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(3－m)是纯虚数？ 【解析】(1)若复数z＝m2＋m－2＋(m2＋5m＋6)i是实数，则m2＋5m＋6＝0，∴m＝－3或m＝－2. 若复数z＝m2＋m－2＋(m2＋5m＋6)i是虚数，则m2＋5m＋6≠0，∴m≠－3且m≠－2. (2)若复数z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(3－m)是纯虚数，则log2(m2－3m－3)＝0且log2(3－m)≠0， 由log2(m2－3m－3)＝0可得m＝－1或m＝4， 又m＝4时，log2(3－m)无意义，m＝－1时，log2(3－m)＝2，所以m＝－1. 3.若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【答案】A 【知识点】复数的除法运算、求复数的实部与虚部 【分析】利用复数的除法，将复数表示为一般形式，然后利用复数的实部与虚部相等求出实数的值. 【详解】【解析】 因为复数的实部与虚部相等， 所以，解得 故实数a的值为. 故选：A 易错题型2.复数的几何表示错误：在复平面上，点对应的复数实部对应横坐标，虚部对应纵坐标，但学生可能颠倒或者混淆坐标轴。注意区分实轴和虚轴。 1.设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？ (1)|z|＝； (2)<|z|<2. 【解析】(1)由|z|＝得，向量(O为复平面的原点)的模等于，所以满足条件|z|＝的点Z的集合是以原点O为圆心，为半径的圆． (2)根据复数模的几何意义可知， 复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，和2为半径的两圆所夹的圆环，不包括圆环的边界． 2.若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值． 【解析】解法一：设复数－i，i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3. 如图，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2， 所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，由图可知|Z1Z3|为最小值，且最小值为1. 解法二：设z＝x＋yi(x，y∈R)． 因为|z＋i|＋|z－i|＝2， 所以＋＝2， 又＝2－≥0， 所以0≤≤2， 因为＝2－， 所以两边平方可得1－y＝， 即(1－y)2＝x2＋(y－1)2，且0≤1－y≤2. 所以x＝0且－1≤y≤1，则z＝yi(－1≤y≤1)． 所以|z＋i＋1|＝|1＋(y＋1)i|＝≥1，等号在y＝－1即z＝－i时成立． 所以|z＋i＋1|的最小值为1. 3.若向量与对应的复数分别是，则向量对应的复数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的坐标表示 【分析】复数的几何意义和向量的坐标运算即可求解. 【详解】因为向量与对应的复数分别是， 则， 所以，则向量对应的复数为， 故选：. 易错题型3.复数运算中的i²处理：在乘法或平方运算中，忘记i²=-1，导致计算错误。例如计算(2+3i)^2时，展开后中间的交叉项可能忘记处理i²。 1.在复平面内，复数z＝＋i3对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】复数z＝＋i3＝－i＝－i＝－i，其在复平面内对应的点位于第四象限．故选D. 2.是虚数单位，i（1+i）等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数代数形式的乘法运算 【分析】利用复数的乘法运算法则计算即可. 【详解】由复数的运算法则可得：. 故选： 3.为 ． 【答案】 【知识点】复数的乘方 【分析】先计算，再直接计算即可. 【详解】 故答案为： 易错题型4.复数相等的条件忽略：解方程时，假设两个复数相等需要实部和虚部分别相等，学生可能只考虑实部或虚部其一，导致错误解。 1.已知z＝1＋i，若＝1－i，求实数a，b的值． 【解析】∵z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝a＋b＋(2＋a)i， z2－z＋1＝(1＋i)2－(1＋i)＋1＝i， ∴＝(2＋a)－(a＋b)i＝1－i， 由复数相等，得解得 2.已知a，，i是虚数单位.若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的乘方、复数的相等 【分析】利用复数相等求出a，b，再借助复数平方运算计算作答. 【详解】因，a，，则有， 所以. 故选：B 3.已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝ ，y＝ . 【答案】 6 11 【知识点】复数的相等、复数加减法的代数运算、根据相等条件求参数、根据复数的加减运算结果求参数 【分析】利用复数的加减运算以及复数相等的概念计算求解. 【详解】因为(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)， 所以x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i， ∴，解得. 故答案为：6，11. 易错题型5.共轭复数的性质应用错误：例如，复数与其共轭复数的和是2a，差是2bi，乘积是模的平方。学生可能在运用这些性质时混淆符号或公式。 1.已知a，b∈R，复数z1＝－1＋ai，z2＝b－3i(i为虚数单位)，若z1＝2，则a＋b＝(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－4 【解析】由z2＝b－3i，得2＝b＋3i，∵z1＝2，∴解得∴a＋b＝2.故选B. 【答案】　B 2.已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　　) A．5－4i B．5＋4i C．3－4i D．3＋4i 【解析】因为a－i与2＋bi互为共轭复数，所以a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i. 【答案】　D 3.把复数z的共轭复数记作，已知(1＋2i)＝4＋3i，求z. 【解析】　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi， 由已知得，(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i， 由复数相等的条件知，解得a＝2，b＝1. 所以z＝2＋i. 【感悟提升】　共轭复数的性质 (1)两个共轭复数在复平面内的对应点关于实轴对称． (2)实数的共轭复数是它本身，即z＝⇔z∈R. 利用这个性质，可以证明一个复数是实数． (3)|z|＝||∈R. 易错题型6.模的计算公式错误： 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．，但学生可能错误地计算成a² + (bi)²，导致错误。注意模是实部和虚部平方和的平方根，不考虑i。 1.已知复数z1＝6－5i，z2＝－2＋3i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点对应复数z，则|z|＝(　　) A． B．5 C． D．3 【答案】A 【解析】由题意可得A(6，－5)，B(－2，3)，则线段AB的中点C的坐标为(2，－1)，其对应的复数z＝2－i，则|z|＝＝.故选A. 2.设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是(　　) A．若|z1－z2|＝0，则1＝2 B．若z1＝2，则1＝z2 C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2 D．若|z1|＝|z2|，则z＝z 【答案】ABC 【解析】对于A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，所以1＝2，故A正确；对于B，若z1＝2，则z1和z2互为共轭复数，所以1＝z2，故B正确；对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，若|z1|＝|z2|，则＝，z1·1＝a＋b，z2·2＝a＋b，所以z1·1＝z2·2，故C正确；对于D，若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|，而z＝1，z＝－1，故D错误．故选ABC. 3.若复数和复数满足，则 ． 【答案】 【知识点】复数加减法的代数运算、求复数的模 【分析】设，根据复数的运算即可求解. 【详解】设， 且， 则， 又，所以， 也即，则， 因为， 所以 故答案为：. 易错题型7.分母复数有理化错误：在除法运算中，未正确乘以共轭复数，或者计算过程中符号错误。例如，1/(a+bi)应该乘以(a-bi)/(a-bi)，但学生可能只乘分母的共轭，而分子漏乘。 1.已知z＝，则z－＝(　　) A．－i B．i C．0 D．1 【答案】A 【解析】因为z＝＝＝＝－i， 所以＝i，所以z－＝－i.故选A. 2.设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的坐标表示、复数的除法运算 【分析】先根据复数的除法运算求出结果，进而得出复数在复平面内对应的点的坐标. 【详解】,则复数在复平面对应点的坐标为. 故选：A. 3.计算：①＋；②. 【解析】①＋＝＋＝i－i＝0. ②＝＝＝－1＋i. 易错题型8.复数的三角形式转换错误：将代数形式转为三角形式时，角度θ的计算错误，特别是当复数位于不同象限时，未正确使用反正切函数调整角度。 1.复数z＝sin15°＋icos15°的三角形式是(　　) A．cos195°＋isin195° B．sin75°＋icos75° C．cos15°＋isin15° D．cos75°＋isin75° 【答案】D 【解析】z＝sin15°＋icos15°＝cos75°＋isin75°.故选D. 2.已知复数满足，且．求的三角形式； 【答案】． 【知识点】复数的三角表示、复数范围内方程的根 【分析】 先由题设条件求得，从而结合复数的三角形式求得的三角形式. 【详解】由，可得， 所以，则， 又，所以， 因为， 所以． 3.设复数，其中为虚数单位，若满足，则 ． 【答案】 【知识点】复数的三角表示、实数的平方根 【分析】根据题意，求出复数的代数形式，结合其三角形式即可求解. 【详解】由，得，即， 因， 所以. 故答案为：. 易错题型9.复数与实数比较大小：尝试比较两个复数的大小，如z1 > z2，这是无意义的。学生可能在题目中出现这样的错误比较。 1．若复数m－4＋(m2－16)i≥0，则实数m的值为________． 【答案】4 【解析】由题意，得可得m＝4. 2．已知(m2＋7m＋10)＋(m2－5m－14)i＝0，则实数m＝________． 【答案】－2 【解析】∵m∈R，∴解得m＝－2. 3.下列命题中，不正确的是（    ） A．是一个复数 B．形如的数一定是虚数 C．两个复数一定不能比较大小 D．若，则 【答案】BCD 【知识点】复数的基本概念、复数的分类及辨析 【分析】根据复数的概念逐项分析即得. 【详解】由复数的定义可知A命题正确； 形如的数，当时，它不是虚数，故B命题错误； 若两个复数全是实数，则可以比较大小，故C命题错误； 两个虚数不能比较大小，故D命题错误． 故选：BCD． 易错题型10.复数方程根的条件错误：例如，实系数二次方程如果有虚根，必须是共轭对，学生可能在解题时遗漏这一点，或者错误应用在非实系数的情况下。 1.已知关于x的方程(x2＋mx)＋2xi＝－2－2i(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于________． 【答案】3－i 【解析】由题意知(n2＋mn)＋2ni＝－2－2i，即解得所以z＝m＋ni＝3－i. 2.下列关于一元二次方程（其中a，b，，）的说法正确的是（    ） A．两根，满足， B．两根，满足 C．若判别式，则该方程有两个相异的根 D．若判别式，则该方程有两个相等的实数根 【答案】ACD 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系可知C，D正确；由韦达定理知A正确；B中若两根为虚根，则等式不成立，即B错误. 【详解】由一元二次方程根与系数的关系，可得，， 当，是复数时，此关系式仍然成立，故A正确； 当，为虚根时，，故B错误； 当判别式时，该方程有两个相异的实数根， 当判别式时，该方程有两个虚数根，且它们的实部相等，虚部互为相反数，故C正确； 若判别式，则方程有两个相等的实数根，D正确. 故选：ACD. 3.设（、、）.已知关于的方程有纯虚数根，则关于的方程的解的情况，下列描述正确的是（    ） A．可能方程只有虚根解，其中两个是纯虚根 B．可能方程有四个实数根的解 C．可能有两个实数根，两个纯虚数根 D．可能方程没有纯虚数根的解 【答案】A 【知识点】复数范围内方程的根、根据相等条件求参数 【分析】根据给定条件，设，再利用方程根的意义结合复数相等，推理计算判断作答. 【详解】，，关于的方程有纯虚数根，设纯虚数根为， 则有，即，即有，，， 方程化为，方程有两个纯虚数根为， 方程化为：， 整理得，于是得或， 因此方程有两个纯虚数根， 而方程中，， 因此方程无实数根，有两个虚数根，不是纯虚数根， 所以选项A正确，选项B，C，D均不正确. 故选：A 【点睛】思路点睛：复数问题，常设出复数的代数形式，再利用复数及相关运算，探讨关系式求解. 易错题型11.数的四则运算错误：　　 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式． 1.计算：(1)；(2). 【解析】　(1)原式＝＝＝i. (2)原式＝ ＝ ＝ ＝＝＝－1＋i. 2.已知复数是纯虚数，则实数（ ） A．3 B．-3 C． D． 【答案】A 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的除法运算 【分析】由复数的四则运算化简后，根据复数的定义求解 【详解】【解析】因为是纯虚数， ∴，解得， 故选：A. 3.计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)1＋7i (2)1－34i (3)－1 (4)5＋i 【知识点】复数加减法的代数运算、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】应用复数的加减乘除、乘方等四则运算及复数乘除的几何性质化简复数即可. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. 易错题型12.　复数方程问题错误： 1.设关于x的方程是x2－(tanθ＋i)x－(2＋i)＝0，i为虚数单位． (1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根； (2)证明对任意θ≠kπ＋(k∈Z)，方程无纯虚数根． 【解析】　(1)设实数根是a， 则a2－(tanθ＋i)a－(2＋i)＝0， 即a2－atanθ－2－(a＋1)i＝0. ∵a，tanθ∈R，∴ ∴a＝－1，且tanθ＝1. 又0<θ<，∴θ＝. (2)证明：若方程存在纯虚数根，设为x＝bi(b∈R，b≠0)， 则(bi)2－(tanθ＋i)bi－(2＋i)＝0， 即此方程组无实数解． ∴对任意θ≠kπ＋(k∈Z)，方程无纯虚数根． 2.若虚数是关于x的方程的一个根，且，则（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】由复数模求参数、复数范围内方程的根 【分析】设复数，将其代入方程求得，，然后利用复数即可求解. 【详解】设（且），代入原方程可得． 所以，解得，因为，所以． 故选：C． 3.已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且．求的值． 【答案】 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】由关于x的实系数一元二次方程的两个虚根为，从而即可求解. 【详解】【解析】因为关于x的实系数一元二次方程的两个虚根为， 所以， 所以，解得. 巩固训练 1．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和是（    ） A．14 B．23 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和，能够得出一个四边形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键． 根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得出结果． 【详解】如图所示： 多边形截去一个角有三种情况．一种是从两个角的顶点截取，这样就少了一条边，即原四边形变为三角形； 另一种就是从一个边的任意位置和一个角顶点截，那样原多边形边数不变，还是四边形；还有一种是从两个边的任意位置截，那样就多了一条边，即原四边形为五边形； 新的多边形的内角和可能是，或，或． 故选：D． 2．（23-24八年级上·四川绵阳·期中）若一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是．则原来多边形的边数可能是（    ） A．10或11 B．11 C．11或12 D．10或11或12 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和；先求出截去一个角后得到的是11边形，再根据不同的裁切方式求出原来多边形的边数即可． 【详解】【解析】设截去一个角后的多边形边数为n， 则有：， 解得：， 如图1，从角两边的线段中间部分切去一个角后，在原边数基础上增加了一条边，则原来多边形的边数是10； 如图2，从一边中间部分，与另一顶点处截取一个角，边数不增也不减，则原来多边形的边数是11； 如图3，从两个顶点处切去一个角，边数减少1，则原来多边形的边数是12； 综上，原来多边形的边数可能是10或11或12； 故选：D． 3．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形内角和为，则原多边形的边数（    ） A．12 B．11或12 C．12或13或14 D．11或12 或13 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1可得答案，理解截取一个角后多边形的边数的变化情况是解本题的关键． 【详解】【解析】设多边形截去一个角后的边数为n， 则， 解得， ∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1， ∴原来多边形的边数是11或12或13． 故选D． 03 压轴题型 压轴题型1　 复数范围内方程的根 例题1.已知关于的方程在复数集中的根为、，则下列结论正确的是（    ） A．、互为共轭复数 B．， C． D． 【答案】B 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】若两个根、都为实根，则A不成立，若两个根、 都为虚根，则C D不成立，故只有B恒成立，从而得到结论． 【详解】若两个根、都为实根，则A C不成立，B D成立． 若两个根、 都为虚根，则C D不成立，A B成立． 综上，只有B恒成立. 故选: B 巩固训练1.已知是方程的虚数根，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】由题设有且，将目标式化简为，即可得结果. 【详解】由题设，且， 而， 所以原式等于. 故选：C 巩固训练2.若方程有两个虚根，且，则实数m的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】根据给定条件可得与互为共轭复数，设，可得，再将或代入方程，经计算整理借助复数为0即可得解. 【详解】因方程有两个虚根，则与互为共轭复数，设，有， 由得，解得， 把代入得：，整理得， 而，于是得，且，解得，，若，同理得，， 所以实数m的值为. 故选：A 压轴题型2　 复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象 例题2.已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上的对应点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再判定象限. 【详解】因为，所以复数在复平面上的对应点为，在第三象限. 故选：C. 巩固训练1.若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的除法运算 【分析】由复数除法运算求得，再根据复数的几何意义得其对应点坐标，从而得结论． 【详解】由题意，对应点坐标为，在第四象限． 故选：D． 巩固训练2.复数，且，则（　　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【详解】化简，因为，所以  ，故选C. 【 思路点晴】本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意和以及 运算的准确性，否则很容易出现错误， 本题根据复数的乘法、除法的运算法则和的性质化简，最后再根据求出的值. 压轴题型3　 已知复数的类型求参数 例题3.设，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】已知复数的类型求参数、判断命题的充分不必要条件 【分析】求出为纯虚数时的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】复数为纯虚数， 则，解得：， 所以“”是“复数为纯虚数”的充分而不必要条件. 故选：A. 巩固训练1.设且，若复数是实数，则 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的乘方、复数代数形式的乘法运算、已知复数的类型求参数 【分析】先对复数化简，然后由虚部为零可求得结果 【详解】 ， 因为复数是实数， 所以， 因为且， 所以， 故选：A 巩固训练2.设i为虚数单位，，“复数不是纯虚数“是“”的（  ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知复数的类型求参数 【分析】先化简z，求出a，再判断即可. 【详解】， z不是纯虚数，则，所以，即， 所以是的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分条件和必要条件的判断，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 压轴题型4　 共轭复数的概念及计算 例题4.复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再求出其共轭复数. 【详解】因为， 所以复数的共轭复数是. 故选：C 巩固训练1.下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（   ） A． B． C．z的共轭复数为 D．z的虚部为 【答案】BC 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、求复数的模、求复数的实部与虚部 【分析】 算出，根据复数的基本概念即可判断答案. 【详解】 ， ，，z的共轭复数为，z的虚部为1. 故选：BC． 巩固训练2.下列说法正确的是（    ） A．复数和其共轭复数都是成对出现的 B．实数不存在共轭复数 C．互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称 D．复数和其共轭复数的模相等 【答案】AD 【知识点】共轭复数的概念及计算 【分析】利用共轭复数的概念逐一判断. 【详解】对于A：复数和其共轭复数都是成对出现的，正确； 对于B：实数的共轭复数是他本身，错误； 对于C：互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称，错误； 对于D：复数和其共轭复数的模相等，正确. 故选：AD. 压轴题型5　 复数的相等 例题5.已知，，，则（    ） A．－4 B．7 C．－8 D．6 【答案】D 【知识点】复数的相等、复数加减法的代数运算 【分析】根据 复数相等列出方程组，解出a,b再计算即可. 【详解】因为,即， 所以，解得，所以； 故选：D 巩固训练1.已知，其中、．求x、y的值． 【答案】 【知识点】复数的相等 【分析】由已知结合复数相等的条件即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得. 巩固训练2.若共轭复数x，y满足，则x，y共有 组解． 【答案】4 【知识点】复数的相等、共轭复数的概念及计算 【分析】待定系数法，再利用复数相等的条件可得方程组，解出答案即可. 【详解】设，则， ∵, ∴, ∴,∴, ∴或或 或 ∴共有4组解. 故答案为：4. 压轴题型6　 与复数模相关的轨迹（图形）问题 例题6.在复平面内，是原点，向量对应的复数是，将绕点按逆时针方向旋转，则所得向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的坐标表示 【分析】由复数的几何意义结合图象可得. 【详解】 如图，由题意可知，与轴夹角为， 绕点逆时针方向旋转后到达轴上点，又， 所以的坐标为，所以对应的复数为. 故选：A. 巩固训练1.在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】已知模求数量积、与复数模相关的轨迹（图形）问题、向量与几何最值、数量积的运算律 【分析】根据复数的几何意义，由，分析得关于原点对称，所以确定，再利用平面向量的三角形法则与数量积的运算性质，将所求问题转化为平面向量数量积的最值问题. 【详解】解：因为复数对应的点为 且则可确定点在以O为圆心，2为半径的圆上 又，所以为圆的直径，即关于原点对称 所以 因为 所以 又，， 则 所以 即的最大值为，所以的最大值为. 故答案为：. 巩固训练2.设是复数且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数加减法几何意义的运用 【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解. 【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离， 由图可知，. 故选：C 压轴题型7　 复数的三角表示 例题7.复数经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于（   ） A．3 B．12 C． D． 【答案】C 【知识点】复数乘、除运算的三角表示、复数的三角表示 【分析】用共轭复数的概念，以及复数的三角表示即可. 【详解】由题意，得， 由复数相等的定义，得 解得，． 故选：C 巩固训练1.任何一个复数（其中，）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A． B．当，时， C．当，时， D．当，，且为偶数时，复数为纯虚数 【答案】AC 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算、复数的三角表示、三角表示下复数的乘方与开方 【分析】运用题意中提供的棣莫弗定理，结合复数的运算规则，逐项进行运算求解. 【详解】选项A：， 故， 又因为， 所以，选项A正确； 选项B：当，时， 由棣莫弗定理得，， 所以选项B错误； 选项C：当，时， 由棣莫弗定理得，， 所以 所以选项C正确； 选项D：当，时， 由棣莫弗定理得，， 当时， ，此时不为纯虚数， 所以当为偶数时，复数不一定为纯虚数， 所以选项D错误； 故选：AC. 巩固训练2.欧拉公式建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①；②．下列说法正确的是（    ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对 【答案】A 【知识点】指数幂的运算、特殊角的三角函数值、复数的三角表示 【分析】利用欧拉公式即可判断①，逆用欧拉公式即可判断② 【详解】① ② 则①②均正确 故选：A / 学科网（北京）股份有限公司 $$