2025年浙江省中考数学二轮复习专题突破课件：相似三角形的常见模型

相似三角形的常见模型 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上. (1)“A”字形:若DE∥BC，则△ABC∽△ADE. (2)反“A”字形:若∠AED＝∠ABC，则△ABC∽△AED. 例1　如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E. 若AB＝6，BC＝4，则DE＝(　A　) A． 2.4 B． 3 C． 3.6 D． 4.8 A (1)“A”字形模型，即为判定三角形相似的预备定理. 1． 如图，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，DE∥BC，若AE＝2，BE＝3，BC＝3，则DE的长为(　A　) 第1题图 A． C． A 2． 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，连结DE，AB＝2AE，AC＝2AD，若BC＝8，则DE的长为(　A　) A． 4 B． 5 C． 6 D． 2 第2题图 A 如图，在△ABC中，点D，E分别在BA，CA的延长线上. (1)“8”字形:若DE∥BC，则△ABC∽△ADE. (2)反“8”字形:若∠AED＝∠ABC，则△ABC∽△AED. 例2　如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC的中点，AE与BD相交于点G，则 的值为(　C　) A． C． C (2)若已知条件中有平行线条件，可以寻找“A”字形或“8”字形模型进行解题.若没有平行线条件，可以添加平行线构造上述模型. 3． 如图，在△ABC中，CE交AB于点D，∠A＝∠E，AD：DB＝2：3，AB＝10，ED＝5，则DC的长等于(　A　) A． C． A 如图，在△ABC中，点D在AB上. (1)共线共角型:若∠ACD＝∠ABC，则△ABC∽△ACD，可得AC2＝AD·AB. (2)双垂直型:若∠ACB＝∠ADC＝90°，则△ABC∽△ACD∽△CBD. 利用双垂直型的结论，可证明射影定理:CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA. 例3　如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝9，D是BC边上一点，若AD＝BD，则BD的长为(　C　) A． 3 B． 3.5 C． 4 D． 4.5 C (3)当两个相似三角形具备“共一边一角”时，则公共边的平方等于在同一直线上的两条线段的乘积，公共角所对的边之比是这两个相似三角形的相似比.射影定理即为这个模型的特殊情况. 4． 如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，且∠1＝∠B，若BC＝6，则AC的长为(　D　) A． 3 B． 4 C． 4 D． 3 D 如图，在△ABC和△CDE中，B，C，D三点共线，且∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 例4　如图，在矩形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是(　B　) B A． 4 B． C． D． 5 (4)例4中的模型是一线三等角模型.当条件中出现垂直时，且直角顶点在一条直线上时，可以尝试构造“K”型图，它是一线三等角模型的特殊情形. 5． 如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且∠ADE＝60°，AB＝6，BD＝2，则CE的长等于(　B　) A． 1 B． C． D． 2 第5题图 B 6． 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC边的中点，连结AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F，连结AF，则AF的长为(　A　) 第6题图 A． A C． 如图1，已知矩形DEFG是△ABC的内接矩形，点E，F在边BC上，点D，G分别在边AB，AC上，则△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM， . 特别地，当∠BAC＝90°时，如图2，有△ADG∽△EBD∽△FGC∽△ABC. 例5　如图，在△ABC中，BC＝12，BC边上的高AD＝10，矩形PQMN内接于△ABC，点Q，M在边BC上，点P，N分别在边AB，AC上. (1)若PQ∶PN＝1：2，求PQ的长； 解:∵四边形PQMN是矩形，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC. ∵AD⊥BC，∴AD⊥PN， ∴ ，即 ，解得PQ＝ . (2)求矩形PQMN面积的最大值，并求出此时矩形的周长. 解:设AE＝x， 由(1)得， ，即 ，∴PN＝ x. ∵PQ＝10－x，∴S矩形PQMN＝ x ＝－ (x－5)2＋30，∴当x＝5时，矩形PQMN的面积最大，最大面积是30，此时PQ＝5，PN＝6，矩形PQMN的周长为22. (5)解决三角形内接矩形的有关计算问题时，应该运用相似三角形的一条性质:相似三角形的对应高之比等于相似比. 7． 如图，在△ABC中，BC＝8，高AD＝6，点E，F分别在AB，AC上，点G，H在BC上，当四边形EFGH是矩形，且EF＝2EH时，矩形EFGH的周长为(　C　) A． C C． $$