2025年浙江省中考数学二轮复习专题突破课件：反比例函数常见解题方法

反比例函数常见解题方法 利用反比例函数xy＝k，用参数表示双曲线上某一点的坐标，进而表示其余相关点的坐标，通过坐标与线段长度的互化来解决面积等问题. 例1　(2024牡丹江)矩形OBAC在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数y＝ (k＞0，x＞0)的图象与AB边交于点D，与AC边交于点F，与OA交于点E，OE＝2AE，若四边形ODAF的面积为2，则k的值是(　D　) D A． C． 例2　如图，平行四边形OABC的周长为7，∠AOC＝60°，以O为原点，OC所在直线为x轴建立直角坐标系，反比例函数y＝ (x＞0)的图象经过平行四边形OABC的顶点A和BC的中点M，则k的值为(　A　) A A． B． 2 C． 3 D． 4 (1)在平面直角坐标系中，若两点所在直线与x轴平行，则这两点的 　纵坐相等；若两点所在直线与y轴平行，则这两点的 　横坐标　 相等.  纵坐标 横坐标 1． (2023绥化)如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，AC平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，BC＝2，点D在AC上，且其横坐标为1，若反比例函数y＝ (x＞0)的图象经过点B，D，则k的值是(　C　) A． 1 B． 2 C． 3 D． C 2． (2023陕西)如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边BC上，BC＝2CD，AB＝3.若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 　y＝ 　 .  y＝ k的几何意义:过反比例函数图象上任意一点作x轴，y轴的垂线，与坐标轴所围成的矩形面积为 . 例3　如图，矩形ABCD的边AB平行于x轴，反比例函数y＝ (k＞0，x＞0)的图象经过点B，D，对角线CA的延长线经过原点O，且AC＝2AO，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为 　6　 .  6 例4　如图，▱ABCO的顶点B在反比例函数y＝ (x＞0)的图象上，顶点C在反比例函数y＝ (k＜0，x＜0)的图象上，BC的中点P恰好落在y轴上，若S▱ABCO＝10，则k的值为(　D　) D A． －8 B． －6 C． －4 D． －2 (2)在反比例函数中求解面积问题时，通常需将其先转化为与k的几何意义相关联的 　三角形　 或 　矩形　 的面积，再根据面积关系进行求解.  三角形 矩形 3． 如图，四边形OACB为平行四边形，点A在反比例函数y＝ (k＞0，x＞0)的图象上，点B在反比例函数y＝－ (x＞0)的图象上，点C在x轴的正半轴上，若四边形OACB的面积为40，则k的值是(　A　) A． 28 B． 27 C． 26 D． 25 第3题图 A 4． 如图，点A是反比例函数y＝ (k＞0，x＞0)图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，延长AC至点B，使BC＝2AC，点D是y轴上任意一点，连结AD，BD，若△ABD的面积是6，则k＝ 　4　 .  第4题图 4 等长性质:如图1，点A，B在反比例函数y＝ (k≠0)的图象上，直线AB分别交x轴，y轴于点C，D，则AC＝BD. 证明:如图2，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，连结EF，EB，FA. 由S△AEF＝S△BEF，得AB∥EF，故四边形BDEF，四边形AEFC均为平行四边形，即AC＝BD. (注:当直线与反比例函数图象的两支均相 交时，上述结论仍成立，请自行尝试证明) 例5　(2023宁波)如图，点A，B分别在反比例函数y＝ (a＞0)图象的两支上(点A在第一象限)，连结AB交x轴于点C. 点D，E在反比例函数y＝ (b＜0，x＜0)图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连结DE，BE. 若AC＝2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a－b的值为 　12　 ，a的值为 　9　 .  12 9 例6　如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ x与反比例函数y＝ 的图象相交于A，B两点，点C是第一象限内反比例函数图象上一点，连结CA并延长交y轴于点P，连结BP，BC. 若△PBC的面积为20，则点C的坐标为 　 　 .  (3) 如图，点A，B在反比例函数y＝ (k≠0)的图象上，直线AB分别交x轴，y轴于点C，D，AE⊥x轴，BF⊥x轴，AG⊥y轴，BH⊥y轴，则有: ①DB＝ AC　 ，BH＝ CE　 ＝ 　　 ，DH＝ E　 ＝ 　OG　 .  ②AD＝ 　　 ，AG＝ 　　 ＝ 　　 ，DG＝ 　F　 ＝ H　 .  AC CE OF AE OG BC CF OE BF OH ③DB∶BA∶AC＝ 　∶FE∶EC　 ＝ 　∶HG∶GO　 .  OF∶FE∶EC DH∶HG∶GO 5． 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝ (k＞0)在第一象限的图象交于点E，F，过点E作EM⊥y轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，直线EM与FN交于点C，若 ，则△OEF与△CEF的面积之比是(　A　) A． 2∶1 B． 3∶1 C． 2∶3 D． 3∶2 A 6． 如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y＝ (x＞0)的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过A，B两点作x轴的平行线，与反比例函数y＝ (x＞0)的图象交于D，E两点，连结DE，则四边形ABED的面积为 　　 .  ( 等角性质:如图1，点P，A，B是反比例函数y＝ (k≠0)图象上三个不同的点，且点A，B关于原点O对称，直线PA，PB分别交x轴于点C，D，交y轴于点F，E，则∠PDC＝∠PCD，∠PEF＝∠PFE. 证明:如图2，取FC的中点G，连结OG，则∠GOC＝∠PCD，由等长性质，得PF＝AC，∴PG＝AG. 又∵OA＝OB，∴OG∥BP，∴∠GOC＝∠PDC，∴∠PDC＝∠PCD，同理得∠PEF＝∠PFE. 例7　如图，直线y＝－x与反比例函数y＝ (k≠0)的图象交于A，B两点，过点B作BD∥x轴，交y轴于点D，直线AD交反比例函数y＝ (k≠0)的图象于另一点C，则 的值为 　 　 .  (4)如知识聚焦中图1所示，①由等长性质可得:PF＝ 　AC　 ，PE＝ 　BD　 ，PC＝ 　AF　 ，PD＝ 　BE　 .  ②由等角性质可得:PF＝ 　PE　 ，PC＝ 　PD　 .  ③由此可得:PF＝ 　AC　 ＝ 　PE　 ＝ 　BD　 ，PC＝ 　AF　 ＝ 　PD　 ＝ 　BE　 ，PA＝ 　DE　 ，FC＝ 　PB　 .  AC BD AF BE PE PD AC PE BD AF PD BE DE PB 7． 如图，直线y＝－ x＋5与双曲线y＝ (k＞0)交于A、B两点(点A在点B左侧)，连结BO并延长交双曲线y＝ 于另一点C，连结AC交y轴于点D，若CD＝4AD，则△ABC的面积为 　30　 .  30 $$