2025年浙江省中考数学二轮复习专题突破课件：应用型问题

应用型问题 函数图象信息题是由图象提供数据信息，要求学生通过读图，理解图象反映的多个变量之间的关系，再综合运用有关知识来解决实际问题的一种题型. 例1　(2023吉林)甲、乙两个工程组同时挖掘某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y(m)与甲组挖掘时间x(天)之间的关系如图所示. (1)甲组比乙组多挖掘了 　30　 天；  30 (2)求乙组停工后y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； 解:设乙组停工后y关于x的函数表达式为y＝kx＋b，把点(30，210)，(60，300)代入，得 解得 ∴乙组停工后y关于x的函数表达式为y＝3x＋120(30≤x≤60). (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数. 解:由图象知，甲组单独挖掘了30天，挖掘的长度为300－210＝90(m)， ∴甲组每天挖掘3 m. 前30天是甲、乙合作共挖掘了210 m，则乙单独挖掘的长度是210－30×3＝120(m). 当甲组挖掘的长度是120 m时，工作天数是120÷3＝40(天)，乙组已停工的天数是40－30＝10(天). 例2　请阅读信息，并解决问题: 问题 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案 调查 信息 宁波有许多桥，有一座横跨鄞州和海曙的桥，因其外形酷似竖琴称为“琴桥”.琴桥的桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆(俗称“琴弦”)，琴桥全长120米，拱高25米. 处理 信息 如图是琴桥的主视图，A，B分别表示桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端C，D位于线段AB上，且AC＝BD. 一根琴弦固定在拱的对称轴OH处，其余16根琴弦对称固定在OH两侧，每侧各8根.记离拱端C最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根，…，OH为第9根，… 测量 数据 测得上桥起点A与拱端C水平距离为20米，最靠近拱端C的“琴弦” EF高9米，EF与OH之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为m米. 解决 问题 任务1:建立平面直角坐标系，求抛物线的表达式. 任务2:求琴弦EF与拱端C的水平距离CE及m的值. 任务3:若需要在琴弦EF与OH之间垂直安装一个如图所示高为17 m的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面AB上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间? 解:任务1:以点H为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，如图所示， 由题意得，O(0，25)，CH＝120÷2－20＝40，则点C的坐标为(－40，0)，设抛物线的表达式为y＝ax2＋25，将点C(－40，0)代入，得1600a＋25＝0，解得a＝－ ，∴抛物线的表达式为y＝－ x2＋25. 任务2:∵EF＝9，∴将y＝9代入y＝－ x2＋25，得9＝－ x2＋25，解得x1＝－32，x2＝32(舍去)，∴EH＝32，∴CE＝40－32＝8，m＝32÷8＝4，∴琴弦EF与拱端C的水平距离CE为8米，m的值为4.任务3:将y＝17代入y＝－ x2＋25，得17＝－ x2＋25，解得x1＝－16 ，x2＝16 (舍去)，∵－24＜－16 ＜－20，∴该艺术品顶部应该安装在第3根和第4根琴弦之间. (1)函数图象信息题解题的关键就是“识图”和“用图”.一般步骤是: ①观察图象，获取有效信息. ②对已获信息进行加工、整理，理清两坐标轴所表示的含义以及变量之间的关系. ③选择适当方法，通过建模(函数、方程、不等式等)解决问题. 1． (2023天津)已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍0.6 km，体育场离宿舍1.2 km，张强从宿舍出发，先用了10 min匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了30 min，之后匀速步行了10 min到文具店买笔，在文具店停留10 min后，用了20 min匀速散步返回宿舍，如图中x表示时间，y表示离宿舍的距离.图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系. 请根据相关信息，回答下列问题: (1)①填表: 张强离开宿舍的时间/min 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/km 0.12 1.2 1.2 0.6 ②填空:张强从体育场到文具店的速度为 　0.06　 km/min；  0.12 1.2 0.6 0.06 ③当50≤x≤80时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数表达式； 解:当50≤x≤60时，y＝0.6； 当60＜x≤80时，y＝2.4－0.03x. 综上，y关于x的函数表达式为 y＝ (2)当张强离开体育场15 min时，同宿舍的李明从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为0.06 km/min，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少?(直接写出结果即可) 0．3 km 2． (2024长春)区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度.小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶 小时，再立即减速以另一速度匀速行驶(减速时间忽略不计)，当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时，汽车在区间测速路段行驶的路程y(千米)与在此路段行驶的时间x(时)之间的函数图象如图所示. (1)a的值为 　 　 ；  (2)当 ≤x≤a时，求y与x之间的函数关系式； 解:当 ≤x≤ 时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，则 解得 ∴y＝90x＋2(≤x≤ ). (3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速.(此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时) 解:当x＝ 时，y＝90× ＋2＝9.5，∴先匀速行驶 小时的速度为9.5÷ ＝114(千米/时).∵114＜120，∴该辆汽车减速前没有超速. 方程(组)、不等式、函数是刻画丰富多彩的现实世界中数量关系的重要模型，也是解决实际问题的有力工具. 例3　(2024济宁)某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y(单位:件)与销售单价x(单位:元)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示. (1)求这段时间内y与x之间的函数表达式； 解:设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b， 将点(100，300)，(120，200)代入，得 解得 ∴这段时间内y与x之间的函数表达式为y＝－5x＋800. (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大?最大利润是多少? 解:根据题意，得 ∴100≤x≤116. 设商场获得利润为W元，则W＝(x－80)(－5x＋800) ＝－5x2＋1 200x－64 000＝－5(x－120)2＋8 000， ∵100≤x≤116， ∴当x＝116时，利润最大，最大值为7 920. 答:当销售单价为每件116元时，商场获得利润最大，最大利润为7 920元. (2)解决方程(组)、不等式、函数型应用题的关键是针对背景材料，设定合适的未知数，找出相等(或不等)关系，建立方程(组)、不等式、函数模型来解决. 3． (2024广安)某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境.已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元. (1)求A，B两种花卉的单价； 解:设A种花卉的单价为x元/株，B种花卉的单价为y元/株， 根据题意，得 解得 答:A种花卉的单价为3元/株，B种花卉的单价为5元/株. (2)该物管中心计划采购A，B两种花卉共计10000株，其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少?并求出最少总费用. 解:设采购A种花卉m株，则B种花卉(10 000－m) 株，总费用为W元.根据题意，得W＝3m＋5(10 000－m)＝－2m＋50 000，∵m≤4(10 000－m)，∴m≤8 000，在W＝－2m＋50 000中，∵－2＜0，∴W随m的增大而减小，∴当m＝8 000时，W的值最小，W＝－2×8 000＋50 000＝ 34 000，此时10 000－m＝2 000.答:当购进A种花卉8 000株，B种花卉2 000株时，总费用最少，最少费用为34 000元. 跨学科试题，是指初中各学科之间的渗透、交叉与综合的命题，它已经成为中考试卷中靓丽的风景线.这类试题，不仅题材新颖，富有创意，能有效地考查学生适应新问题、接受新知识、综合运用各科知识解决实际问题的能力. 例4　(2023台州)科学课上，同学们用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(cm)是液体的密度ρ(g/cm3)的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1 g/cm3的水中时，h＝20 cm. (1)求h关于ρ的函数表达式； 解:设h关于ρ的函数表达式为h＝ ， 把ρ＝1，h＝20代入表达式，得k＝20×1＝20， ∴h关于ρ的函数表达式为h＝ . (2)当密度计悬浮在某液体中时，h＝25 cm，求该液体的密度ρ. 解:把h＝25代入h＝ ，得25＝ ， 解得ρ＝0.8. 答:该液体的密度ρ为0.8 g/cm3. (3)在教学过程中，应结合生活实际，把培养学生的探索、创新精神为教学重点，切实加强落实数学新课程标准中用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题. 4． (2023遂宁)烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护.通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷(当碳原子数目超过10个时即用中文数字表示，如十一烷、十二烷……)等，甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为 C3H8，……，其分子结构模型如图所示， 按照此规律，十二烷的化学式为 　C12H26　 .  C12H26 $$