2025年浙江省中考数学二轮复习题型突破课件：与切线有关的常见问题

与切线有关的常见问题 　切线的判定 【数学建模】 1． 当切点不确定时，一般先要过圆心作“切线”的垂线，再利用角平分线的性质或者全等三角形的性质，来证明所作垂线等于半径(模型运用T1). 2． 已知切点和一条直线，若这条直线与要证的切线有垂直(平行)关系时，则先连结圆心和切点得半径，再证半径与这条直线平行(垂直)(模型运用T2).常见证明思想:①见到角平分线时，尝试连结圆心与圆上一点构造两半径组成的等腰三角形，再利用角平分线的性质和等边对等角得到的等角证得平行(模型运用T3);②见到线段中点时，连结已知中点与圆心构造中位线，利用中位线的性质证得平行(模型运用T6). 3． 题干中常出现线段或角相等的条件，可通过角相等进行等量代换来证垂直(模型运用T4). 4． 利用三角形全等证垂直(模型运用T5). 【模型运用】 1． 如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC＝90°，在CB上截取CD＝CA，过点D作DE⊥AB于点E，连结AD，以点A为圆心，AE长为半径作圆☉A. 求证:BC是☉A的切线. 第1题图 证明:如图，过点A作AF⊥BC于点F， ∵DE⊥AB，∠BAC＝90°，∴∠BED＝∠BAC＝90°，∴DE∥AC，∴∠DAC＝∠ADE. ∵CD＝CA，∴∠DAC＝∠ADC，∴∠ADE＝∠ADC. ∵∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，∴△ADE≌△ADF，∴AF＝AE. ∵AE为☉A的半径，∴BC是☉A的切线. 2． 如图，AB是☉O的直径， ，点E在AD的延长线上，且∠ADC＝∠AEB. 求证:BE是☉O的切线. 第2题图 证明:∵AB是☉O的直径， ，∴AB⊥CD. ∵∠ADC＝∠AEB，∴CD∥BE，∴AB⊥BE， ∴BE是☉O的切线. 3． 如图，AB是☉O的直径，C为☉O上一点，MN过C点，AD⊥MN于点D，AC平分∠DAB. 求证:MN为☉O的切线. 第3题图 证明:如图，连结OC， ∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠ACO. ∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ACO，∴OC∥AD. ∵AD⊥MN，∴OC⊥MN，∴直线MN为☉O的切线. 4． 如图，AB为☉O的直径，如果圆上的点D恰使∠ADC＝∠B，求证:直线CD与☉O相切. 第4题图 证明:如图，连结OD， ∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA. ∵AB为☉O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∵∠ADC＝∠B，∴∠ODA＋∠ADC＝90°，即∠CDO＝90°，∴OD⊥CD，∴直线CD与☉O相切. 5． 如图，AB为☉O的直径，过圆上一点D作☉O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交于点E，连结BE. 求证:直线BE是☉O的切线. 第5题图 证明:如图，连结OD， ∵CD切☉O于点D，∴OD⊥CE，即∠EDO＝90°. ∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD. ∵AD∥OE， ∴∠ODA＝∠DOE，∠OAD＝∠BOE，∴∠DOE＝ ∠BOE. 在△DOE和△BOE中， ∴△DOE≌△BOE，∴∠EBO＝∠EDO＝90°， ∴OB⊥BE，∴直线BE是☉O的切线. 6． 如图，等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的☉O与BC，CA的延长线分别交于点E，D，EF⊥DC于点F. 求证:EF为☉O的切线. 第6题图 证明:如图，连结OE， ∵AB为☉O的直径，∴AE⊥BC. ∵AB＝AC，∴BE＝CE. ∵OB＝OA，∴OE∥AC. ∵EF⊥DC，∴OE⊥EF，∴EF为☉O的切线. 　求线段长 【数学建模】 运用切线的性质进行计算或证明时，常作的辅助线是连结圆心和切点或构造直径所对的圆周角，然后利用直角三角形解决问题.观察题干，若题干中含30°，45°，60°或“等腰直角三角形”“等边三角形”等字眼，则用锐角三角函数或者勾股定理解决问题;若不含，则常用相似三角形解决问题. 【模型运用】 7． 如图，在☉O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，垂足为点E，AB＝20，CD＝12，在BA的延长线上取一点F，连结CF，使∠FCD＝2∠B. 第7题图 (1)求证:CF是☉O的切线. 证明:如图，连结OC，∵OC＝OB，∴∠B＝∠BCO，∴∠COE＝∠B＋∠BCO＝2∠B. ∵∠FCD＝2∠B，∴∠FCD＝∠COE. ∵AB⊥CD，∴∠COE＋∠OCE＝90°，∴∠FCD＋∠OCE＝90°，∴∠OCF＝90°，∴OC⊥FC，∴CF是☉O的切线. (2)求EF的长. 解:∵AB是☉O的直径，AB⊥CD，∴CE＝ CD＝6.∵AB＝20，∴OC＝10，∴OE＝ ＝8.∵∠OCF＝∠OEC＝90°，∠COE＝∠FOC，∴△OCE∽△OFC，∴ ，∴ ，∴OF＝ ，∴EF＝OF－OE＝ －8＝ . 8． 如图，△ABC内接于☉O，AB是☉O的直径，点E在☉O上，点C是 的中点，AE⊥CD，垂足为点D，DC的延长线交AB的延长线于点F. 第8题图 (1)求证:CD是☉O的切线. 证明:如图，连结OC，∵点C是 的中点， ∴ ，∴∠BAC＝∠CAE. ∵OC＝OA， ∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OCA＝∠CAD， ∴OC∥AD. ∵AE⊥CD，∴OC⊥DF，∴CD是☉O的切线. (2)若CD＝ ，∠ABC＝60°，求AF线段的长. 解:∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠ABC＝60°，∴∠CAD＝∠BAC＝30°.∵∠D＝90°，CD＝ ，∴AD＝ CD＝3.∵∠F＝90°－∠BAD＝30°，∴AF＝2AD＝6. 9． 如图，在☉O中，AB是直径，AE是弦，点F是 上一点， ，AE，BF交于点C，点D为BF延长线上一点，且∠CAD＝∠CDA. 第9题图 (1)求证:AD是☉O的切线. 证明:∵ ，∴∠ABF＝∠BAE. ∵∠CAD＋∠BAE＋∠CDA＋∠ABF＝180°，且∠CAD＝∠CDA，∴2(∠CAD＋∠BAE)＝180°，即∠CAD＋∠BAE＝90°， ∴∠OAD＝∠CAD＋∠BAE＝90°， ∴OA⊥AD，∴AD是☉O的切线. (2)若BE＝4，AD＝2 ，求☉O的半径长. 解:如图，连结AF，∵ ，BE＝4，AD＝2 ，∴AF＝BE＝4.∵AB是☉O的直径，∴∠AFD＝∠AFB＝90°，∴DF＝ ＝2.∵∠BAD＝∠AFD＝90°，∴ ＝tan D＝ ＝2，∴AD＝ AB， ∴OA＝ AB＝AD＝2 ，∴☉O的半径长为2 . 　与角度有关的问题 【数学建模】 证明两角相等的方法: 1． 在两个直角三角形中通过同角或等角的余角相等来证明. 2． 利用半径相等，转化到等腰三角形中来证明. 10． 如图，AB与☉O相切于点A，半径OC∥AB，BC与☉O相交于点D，连结AD. 求证:∠OCA＝∠ADC. 第10题图 【模型运用】 证明:如图，连结OA，∵AB与☉O相切于点A，∴OA⊥AB. ∵OC∥AB，∴OA⊥OC，即∠AOC＝90°. ∵OC＝OA，∴∠OCA＝45°. ∵∠ADC＝ ∠AOC＝45°， ∴∠OCA＝∠ADC. 　证明线段相等 【数学建模】 证明两条线段相等的方法: 1． 若所证两条线段相连不共线，则可以考虑将两条线段放到一个三角形中，利用等腰三角形等角对等边来证明. 2． 若所证两条线段不共线但在有公共边的两个三角形中，则可以考虑利用全等三角形来证明. 3． 若所证两条线段平行，则可以考虑利用特殊四边形对边相等来证明. 11． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F. 求证:BF＝DF. 第11题图 证明:如图，连结OD，∵DF与半圆O相切于点D，∴OD⊥DF，∴∠ODA＋∠BDF＝90°.∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA. ∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴∠BDF＝∠B，∴BF＝DF. 　证明线段垂直 12． 如图，以等腰△ABC的一腰AB上的点O为圆心，以OB为半径作圆，☉O交底边BC于点D，过D作☉O的切线DE，交AC于点E. 求证:DE⊥AC. 第12题图 证明:如图，连结OD，∵DE切☉O于点D，∴OD⊥DE. ∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB. 又∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC. ∵DE⊥OD， ∴DE⊥AC. 　特殊四边形的证明 13． 如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝AC，☉O是△ABC的外接圆，CD与☉O相切于点C，求证:四边形ABCD是菱形. 第13题图 证明:如图，连结CO并延长交AB于点K， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD. ∵CD与☉O相切于点C，∴OC⊥CD，∴OC⊥AB，∴AK＝BK，∴直线CK垂直平分AB，∴AC＝BC. ∵AB＝AC，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形. $$