第17章 三角形【单元卷·测试卷】-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（沪教版2024）

第17章 三角形（单元卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：90分钟； 总分：100分 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．如图，已知图中的两个三角形全等，则度数是（　 　） A． B． C． D． 2．小洪有两根长度分别为和的木条，他想钉一个三角形木框，罗列长度如下的几根木条，他应该选择长度为（    ）的木条 A． B． C． D． 3．如图，在中，点D、E分别在边上，与相交于点O，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ）    A． B． C． D． B． 4．小文与爸爸、妈妈在公园荡秋千．小文两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若点B距离地面的高度为，点B到的距离为，点C距离地面的高度是，，则点C到的距离为（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知在中，，且，和都是等腰直角三角形，下列结论中正确的有（    ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 6．如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（   ） A． B．2 C． D． 第II卷（非选择题） 2、 填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．等腰三角形一个底角的度数是，则其顶角的度数为 ． 8．如果不等边三角形的三边长分别是、、，那么整数的取值是 ． 9．在中，如果，，是 三角形． 10．如图，在中，，，的平分线相交于点D，则的度数为 ． 11．如图，已知，若要判定，则需增加一个条件为 ． 12．如图，、分别是的高和角平分线，已知，，则 度． 13．如图，中，是边的中点，过作直线交于点，交的延长线于点，且．若，，则 ． 14．如图，在中，．点D为外一点，于E．，，则的长为 ． 15．如图，过边长为2的等边的边上点作于，为延长线上一点，当时，连交边于，则长为 ． 16．在中，，把折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点．如果是等腰三角形，则的度数为 ． 17．如图，与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，B、C、D、F在同一条直线上，点与点重合，其中，，．将沿射线方向平移到的位置，连接，若，则的面积是 ． 18．如图，点是线段上一点，与都是等边三角形，连接交于点，过点作，垂足为， 连接，以下结论中：①；②是等边三角形；③；④，正确的有 ．（填入序号）    3、 （本大题共7小题，共64分） 19．如图，在中，，，求、的度数． 20．如图，已知，，．试说明的理由．    解：因为（已知）， 所以（垂直的意义）． 同理 ． 所以（等量代换）． 在和中， 所以（ ）． 得 （全等三角形的对应边相等）． 又因为（已知）， 所以（ ）． 21．如图，在直角三角形中，，将三角形沿方向平移得到三角形． (1)求的度数． (2)若，求的长． 22．如图，在中，点D、E、F分别在边上，，垂足为点G，． (1)说明的理由； (2)若，请说明的理由． 23．已知：如图，点为直线上的一点，点为直线外一点，将线段绕点顺时针旋转后得，连接，过点作，垂足为点，的平分线交于点，交的平分线于点，连接． (1)当， ①求的度数； ②证明． (2)将绕点旋转，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 24．【问题提出】唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这个问题． 【解决问题】如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 证明过程如下：如图3，在直线上另取任一点，连接，，， 因为直线是点，的对称轴，点，在直线上， 所以______，______． 所以______． 因为在中，（三角形的两边之和大于第三边） 所以，即最小． 本问题实际上是利用了轴对称变换的思想，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中在与直线的交点上，即，，三点共线），本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【拓展延伸】如图所示，点是锐角内部的一点．请你在边和边上分别找到点，，使得的周长最小． 25．中，，点为射线上一个动点（不与、重合），以为一边向的左侧作，使，，过点作的平行线，交直线于点，连接． (1)如图，若，则是 三角形； (2)若 如图，当点在线段上移动，判断的形状并证明； 当点在线段的延长线上移动，是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17章 三角形（单元卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：90分钟； 总分：100分 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．如图，已知图中的两个三角形全等，则度数是（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，正确得出对应角是解题的关键．根据全等三角形对应角相等即可得出结论． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等， ∴， 故选：A． 2．小洪有两根长度分别为和的木条，他想钉一个三角形木框，罗列长度如下的几根木条，他应该选择长度为（    ）的木条 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出选择的木条的长度的范围即可得到答案． 【详解】解：由题意得选择的木条长度， 故选：A． 3．如图，在中，点D、E分别在边上，与相交于点O，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目中的条件和各个选项中的条件，利用全等三角形的判定方法，可以得到哪个选项中的条件，不能判定，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴补充条件时，，故选项A不符合题意； 补充条件，无法判断，故选项B符合题意； 补充条件时，则，故，则，故选项C不符合题意； 补充条件时，则，则，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定的知识，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答． 4．小文与爸爸、妈妈在公园荡秋千．小文两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若点B距离地面的高度为，点B到的距离为，点C距离地面的高度是，，则点C到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用．由证明得出，即可推出结果． 【详解】解：点距离地面的高度为，点距离地面的高度是， 点距离地面的高度为，点距离地面的高度是， ， ， ， ， 又由题意可知，， ， ，， ， 点到的距离为， 故选：C． 5．如图，已知在中，，且，和都是等腰直角三角形，下列结论中正确的有（    ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握共顶点等腰直角三角形中的“手拉手全等模型”是解题的关键．直接利用等腰直角三角形性质即可证明，则，则可判断①②；延长交于点，利用，得，再利用，可得，即可判断③；利用，， 且，即可判断④． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 故①正确； ∵， ∴， 故②正确； 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故③正确； ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 故④正确； 综上所述，正确的是①②③④，有个， 故选：D． 6．如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的证明与性质，三角形中线的性质．延长交于点，作与点，利用角平分线的定义可证，可推出，，再根据三角形面积可求得，从而得到，最后利用三角形中线的性质可知，即可求得答案． 【详解】解：延长交于点，作与点，如图所示， ，是的角平分线， ，， 在和中， ， ， ，， ，，，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 第II卷（非选择题） 2、 填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．等腰三角形一个底角的度数是，则其顶角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，根据题意，等腰三角形一个底角的度数是，则另一个底角的度数是，根据三角形的内角和，即可求出顶角． 【详解】解：∵等腰三角形一个底角的度数是， ∴另一个底角的度数是， ∴顶角为：． 故答案为：． 8．如果不等边三角形的三边长分别是、、，那么整数的取值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的知识点是三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握三角形三边关系． 三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此即可求解． 【详解】解：根据三角形三边关系可得：， 即， 又∵该三角形是不等边三角形， ∴且，即且 ∴符合条件的整数x的取值为：5或7． 故答案为：或． 9．在中，如果，，是 三角形． 【答案】钝角 【分析】根据三角形的内角和定理，求出，再判断三角形的形状． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 则三角形是钝角三角形． 故答案为：钝角． 【点睛】考查了三角形的内角和定理以及钝角三角形的定义，熟记三角形的内角和定理是解本题的关键． 10．如图，在中，，，的平分线相交于点D，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，先由三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，再根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，的平分线相交于点D， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，已知，若要判定，则需增加一个条件为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据题意可知已经有两条边对应相等，据此结合全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：由题意得，，， 故可添加条件，利用证明， 故答案为：（答案不唯一）． 12．如图，、分别是的高和角平分线，已知，，则 度． 【答案】20 【分析】本题主要考查了角平分线，三角形高的定义和三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据角平分线的定义和高的定义结合三角形的内角和定理来解答． 【详解】解：∵， ， 又∵是的平分线， ， 又∵是的高线， ， 在中，， 于是． 故答案为：20． 13．如图，中，是边的中点，过作直线交于点，交的延长线于点，且．若，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 如图，过点作交的延长线于点，由“”可证，可得，可得，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， ，且，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：6. 14．如图，在中，．点D为外一点，于E．，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】在上截取，连接，设与的交点为，根据三角形内角和定理及已知条件得出，再证和全等得出，根据等腰三角形三线合一的性质得出，即可求出的长．本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，在上截取，连接，设与的交点为， ，， ， 在和中， ， ， ， ∴是等腰三角形， ， ， ， ， 故答案为：5． 15．如图，过边长为2的等边的边上点作于，为延长线上一点，当时，连交边于，则长为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，熟练运用相关的性质、定理，认真地进行计算．过做的平行线至于，通过求证和全等，推出，再通过证明是等边三角形和，推出，即可推出，可得，即可推出的长度． 【详解】解：过做的平行线至于， ， 等边， ，， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 于，是等边三角形， ， ， ， ， ． 故答案为1． 16．在中，，把折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点．如果是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，设，根据等边对等角得，根据折叠的性质得，继而得到，，，然后分三种情况：①若；②若；③若，分别建立关于的一元一次方程，求解即可．解题的关键是掌握等边对等角，方程思想和分类讨论思想的应用． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵把折叠，使点与点重合， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵是等腰三角形， ①若，则， 即， 解得：，不符合题意； ②若，则， 即， 解得：， ∴； ③若，则， 即， 解得：， ∴， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 17．如图，与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，B、C、D、F在同一条直线上，点与点重合，其中，，．将沿射线方向平移到的位置，连接，若，则的面积是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平移和三角形的面积， 过点作,先求出边的高，再分当在线段上和在线段延长线上时两种情况求三角形面积即可. 【详解】解：如图，过点作, 与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，，，． ∴，，，， ∵ ∴， ∴， 当在线段上时，， 的面积， 当在线段延长线上时，， 的面积， 答案为或 . 18．如图，点是线段上一点，与都是等边三角形，连接交于点，过点作，垂足为， 连接，以下结论中：①；②是等边三角形；③；④，正确的有 ．（填入序号）    【答案】①②③④ 【分析】利用手拉手模型，即可得证；由及三角形全等的判定得到；由的性质，结合等边三角形的判定即可得到是等边三角形；由三角形内角和定理，根据等边三角形性质，等量代换即可得证；从而确定①②③④均正确． 【详解】解：与都是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ，故①正确； ， ， ， 在和中， ， ，故④正确； ， ， ， 是等边三角形，故②正确； 在中，由三角内角和定理可知， ， ， ， ，故③正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查三角形全等综合，涉及等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握两个三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 3、 （本大题共7小题，共64分） 19．如图，在中，，，求、的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，先根据等边对等角求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴． 20．如图，已知，，．试说明的理由．    解：因为（已知）， 所以（垂直的意义）． 同理 ． 所以（等量代换）． 在和中， 所以（ ）． 得 （全等三角形的对应边相等）． 又因为（已知）， 所以（ ）． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形三线合一的性质，垂线的意义，根据垂线得意义可得出，再利用证明，根据全等三角形的性质可得出，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明． 【详解】解：因为（已知）， 所以（垂直的意义）． 同理． 所以（等量代换）． 在和中， 所以（）． 得（全等三角形的对应边相等）． 又因为（已知）， 所以（等腰三角形三线合一性质） 21．如图，在直角三角形中，，将三角形沿方向平移得到三角形． (1)求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平移的性质，三角形内角和定理，注意：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；②连接各组对应点的线段平行且相等． （1）根据平移可得，对应角相等，由的度数可得的度数； （2）根据平移可得，对应点连线的长度相等，由的长可得的长． 【详解】（1）解：在中，，， ， 由平移得，； （2）解：由平移得，， ，， ， ． 22．如图，在中，点D、E、F分别在边上，，垂足为点G，． (1)说明的理由； (2)若，请说明的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角，全等三角形的判定和性质： （1）由等腰三角形的性质可得，且．可得结论； （2）由外角性质可得，由“”可证，可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵． ∴； （2）∵， ∴， ∵，且， ∴，且， ∴ ∴． 23．已知：如图，点为直线上的一点，点为直线外一点，将线段绕点顺时针旋转后得，连接，过点作，垂足为点，的平分线交于点，交的平分线于点，连接． (1)当， ①求的度数； ②证明． (2)将绕点旋转，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)或或 【分析】（1）①由旋转的性质可得，，则是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由角平分线的定义可得，，根据三角形的内角和定理即可得的度数； ②在上截取，连接，证明，可得，即可得证； （2）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质可得出的度数． 【详解】（1）解：①∵将线段绕点顺时针旋转后得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴的度数为； ②证明：如图，在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵将线段绕点顺时针旋转后得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴； ③当时， ∴； 综上，∠AEC的度数为或或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用所学知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 24．【问题提出】唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这个问题． 【解决问题】如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 证明过程如下：如图3，在直线上另取任一点，连接，，， 因为直线是点，的对称轴，点，在直线上， 所以______，______． 所以______． 因为在中，（三角形的两边之和大于第三边） 所以，即最小． 本问题实际上是利用了轴对称变换的思想，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中在与直线的交点上，即，，三点共线），本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【拓展延伸】如图所示，点是锐角内部的一点．请你在边和边上分别找到点，，使得的周长最小． 【答案】[解决问题]，，； [拓展延伸]见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、三角形三边的关系、以及两点之间线段最短等知识，利用轴对称的性质对线段进行转化是解题的关键． [解决问题]利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决； [拓展延伸]作出点M关于的对称点，点M关于的对称点，连接，交于P，交于Q，根据两点之间线段最短，P、Q即为所求． 【详解】[解决问题] 证明：如图3，在直线上另取任一点，连接，，， 因为直线是点，的对称轴，点，在直线上， 所以，． 所以． 因为在中，（三角形的两边之和大于第三边） 所以，即最小． 故答案为： ，，； [拓展延伸] 解：如图所示，作出点M关于的对称点，点M关于的对称点，连接，交于P，交于Q，此时的周长最小． 25．中，，点为射线上一个动点（不与、重合），以为一边向的左侧作，使，，过点作的平行线，交直线于点，连接． (1)如图，若，则是 三角形； (2)若 如图，当点在线段上移动，判断的形状并证明； 当点在线段的延长线上移动，是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形． 【答案】(1)等边三角形； (2)为等腰三角形，见解析； 为等腰三角形，图见解析． 【分析】根据已知条件可以判断和为等边三角形，根据等边三角形的性质可证，利用证明，根据全等三角形的性质可证，根据平行线的性质，所以可得，所以可证为等边三角形； 当为等腰三角形，点在线段上移动时，可证，所以可得，根据平行线的性质可得，从而可证为等腰三角形； 当点在线段的延长线上移动时，仿照可证为等腰三角形． 【详解】（1）解：，，， 和为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， 为等边三角形； （2）解：为等腰三角形， ，，， 和为等腰三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， 为等腰三角形， ， 如下图所示，点为射线上一个动点（不与、重合）， 以为一边向的左侧作，使，， 过点作的平行线，交直线于点，连接， 为等腰三角形， ，，， 和为等腰三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质，解决本题的关键在于根据题意画出图形，证明三角形全等，根据全等三角形对应角相等、对应边相等可推出结论． 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$